--PAGE_BREAK--Перемножив все эти равенства, получим
Откуда
(24)
Частично упругий удар сопровождается, как известно, диссипацией (рассеянием) энергии: часть механической энергии переходит в другие вида энергии — энергию остаточной деформации и внутреннюю (тепловую) энергию. Энергию диссипации Еg одного шара, относящуюся к одному соударению, можно выразить через коэффициент восстановления К. Для этого запишем закон сохранения энергии для, частично упругого удара двух одинаковых шаров:
Учитывая, что
получим
Откуда
Учитывая (18), (21), имеем
(25)
Описание лабораторной установки
На лабораторной установке (рис. 3) два стальных шара расположены на бифилярных подвесах, что обеспечивает их взаимодействие в одной плоскости. Шары удерживаются в отклоненном положении двумя электромагнитами (ЭМ), обмотки которых подключаются к источнику питания одним выключателем. Электромагниту могут перемещаться, их положение фиксируется винтами. Углы отклонения шаров от положения равновесия отсчитываются по шкалам Ш в градусах. При отключении питания электромагнитов шары начинают двигаться друг к другу под действием силы тяжести.
Порядок выполнения работы
1. Установить электромагниты так, чтобы шары были отклонены на одинаковый уголα0. Включить питание электромагнитов и отклонить шары так, чтобы они удерживались электромагнитами при натянутой нити. Измерить длину нити l.
2. Выключателем отключить питание электромагнитов и определить угол отклонения αn
после нескольких соударений (n= 2 – 5). Записать в таблицу измерений угол αnотклонения шаров после последнего соударения и число соударений. Повторить опыт четыре раза и найти среднее значение αn.
3. Проделать операции, указанные в пп. 1, 2 пять раз для разных значений начальных углов отклонения α0.Данные занести в таблицу.
4. Рассчитать по формуле (24) коэффициенты восстановления скорости К для всех заданных начальных углов отклонения. Найти среднее значение К и погрешности метода его измерения.
5. Для всех значений начального угла отклонения, при которых определялся К , посчитать энергию диссипации по формуле (25). Найти погрешности.
6. Рассчитать скорость V шара в момент удара при всех значениях начального угла α0 по формуле (21).
7. По полученным данным, построить зависимость Еg (V).
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется коэффициентом восстановления относительной скорости при ударе? Как он определяется в данной работе и от чего зависит?
2. Какие законы динамики выполняются при абсолютно упругом и неупругом ударах?
3. Что называется энергией диссипации?
4. Получите соотношение для определения энергии диссипации.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА
Цель работы
Определить экспериментально отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме и сравнить с теоретическим значением данного отношения, найденным из молекулярно-кинетической теории.
Приборы и принадлежности
Баллон с краном, водяной манометр, компрессор.
Теоретическое введение и описание лабораторной установки
На лабораторной установке (рис. 4) баллон 1 соединен с открытым V-образным водяным манометром 2. Рычажной край 3 через впускной-выпускной штуцер 4 позволяет сообщаться баллону через резиновую трубку 6 с нагнетающим насосом 5 или с атмосферой. В сосуд накачивают воздух до максимально допустимого давления. Через 2-3 мин температура воздуха в сосуде становится равной температуре окружающей среды. Обозначим для первого данного состояния газа его удельный объем V1, давление P1, температуру Т1.
Далее, отсоединив трубку 6 от штуцера 4, быстро нажмем и отпустим рычаг клапана, на мгновение, соединив баллон с окружающим воздухом. Практически сразу давление воздуха в баллоне станет равным атмосферному. Процесс происходит быстро и его можно считать адиабатическим. Новый удельный объем воздуха — V2, давление — P2=P0 (атмосферное) и температура — Т2. Через 2-3 мин воздух в баллоне нагреется до комнатной температуры T3 = Т1, его давление будет P3, а удельный объем V3=V2 (ни масса, ни объем газа не меняются).
Переход из первого, состояния во второе (адиабатический процесс) описывается уравнением Пуассона
где
Сравнивая конечное, третье состояние газа с первым, видим, что температура газа в этих состояниях одинакова, следовательно, к этому переходу применим закон Бойля-Мариотта
P1V1=P2V2, (27)
Решая систему двух уравнений ((26), (27)), можно определить γ. Для этого возведем второе уравнение в степень γ разделим его на первое уравнение:
Так как V2=V3, то или
Логарифмируя последнее выражение, получим
Обозначим разность уровней жидкости в манометре в первом состоянии h1, а в третьем состоянии — h3. Тогда
P1=P0+h1, P3=P0+h3, (P2=P0)
Подставим значения Р1, Р2, Р3 в соотношение (28):
В данном случае h1 и h3 намного меньше Р0, поэтому отношение разности логарифмов можно заменить отношением разности чисел, т.е.
Это дает расчетную формулу для нашего опыта
В молекулярно-кинетической теории молярные теплоемкости газа Сp и Сvопределяются через число степеней свобода молекулы i и универсальную газовую постоянную R
:
Найдем их отношение
В данном случае воздух не очищается от влаги и содержит большое количество паров воды, поэтому число степеней свободы будет соответствовать трехатомным молекулам, т.е. i = 6.
Порядок выполнения работы
1. Вставить резиновую трубку 6 насоса в штуцер 4. Включить насос. Нажать и удерживать в нажатом положений рычаг клапана 3. Наблюдая по шкале манометра 2 за увеличением давления в баллоне 1, довести давление до показания уровня воды в левой трубке манометра примерно 20 см. Отпустить рычаг клапана.
2. Подождать 2-3 мин, пока температура в баллоне не уравняется с температурой окружающего воздуха. Определить давление газа в баллоне по формуле h1=hл-hn, где hл и hn — высота уровня воды в левой и правой трубках манометра, соответственно. hл и hn, мм, определяются по шкале манометра.
3. Отсоединить трубку насоса 6 от штуцера 4. Быстро нажать и отпустить рычаг клапана 3 — уравнять давление воздуха в баллоне с давлением окружающего воздуха. Когда температура в баллоне уравняется с внешней температурой (примерно через 2-3 мин), определить давление паров воздуха в баллоне по формуле h3=hл — hn.
4. Повторить измерения h1 и h3 пять раз, руководствуясь пп. 1-3. Вычислить средние значения давлений h1 и h3.
5. По формуле (29) определить отношение молярных теплоемкостей для средних значений давлений h1 и h3.
6. Определить теоретическое значение γ - по формуле (30).
7. Найти абсолютную и относительную погрешность метода измерений.
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите и объясните первое начало термодинамики для изохорного, изобарного, изотермического и адиабатического процессов.
2. Что называют удельной и молярной теплоемкостью?
3. Какая из теплоемкостей СPили СVбольше и почему?
4. Объясните уравнение Р.Майера.
5. Что называют числом степеней свободы? Как это число связано с СP
, С
Vи γ?
6. Как и почему в опыте меняется температура газа в баллоне?
7. Запишите и объясните уравнения изотермы и адиабаты.
8. Нарисуйте на РV-диаграмме последовательно все процессы, происходящие с газом.
9. Получите рабочую формулу для определения отношения молярных теплоемкостей γ.
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ЭНТРОПИИ
Цель работы
Опытным путем установить зависимость изменения энтропии от теплоемкости тел при выравнивании температур тел в изолированной адиабатической термодинамической системе.
Приборы и принадлежности Калориметр, термометр, водомерный стакан, нагреватель, набор из шести: испытуемых тел: четыре железных с массами 50, 100, 150, 200 г, латунное и алюминиевое с массами 50 г каждое.
Теоретическое введение
Так же как и внутренняя энергия, энтропия является функцией состояния термодинамической системы. Если термодинамическая система получает в обратимом процессе количество теплоты δQпри температуре Т, то отношение δQ/Tопределяет изменение энтропии dSсистемы, т.е.
и. для обратимого процесса является полным дифференциалом. На практике обычно интересуются только изменением энтропии, а не ее абсолютным значением.
Изменение энтропии системы можно найти, используя второе начало термодинамики
где интеграл берется по пути термодинамического процесса между состояниями 1 и 2, где S1 и S2 — значения энтропии в этих состояниях. Знак равенства соответствует обратимому процессу, а знак неравенства — необратимому.
Второе начало термодинамики (31) утверждает, что при обратимом процессе изменение энтропии системы равно интегралу от между состояниями 1 и 2 по обратимому пути и больше этого интеграла по пути необратимому, т.е. в этом случае интеграл от не выражает изменение энтропии, а меньше его.
Представляет интерес изучение изменения энтропии в изолированной адиабатической системе.
Изменение энтропии в изолированной адиабатической системе при квазистатическом (обратимом) процессе равно нулю, так как , т.е.
В случае необратимых процессов в изолированной адиабатической системе также равно нулю, но изменение энтропии в такой системе уже нулю не равно и по формуле (31) для обратимых процессов не может быть вычислено. Это вычисление можно сделать, если учесть, что энтропия есть функция состояния системы и ее применение не зависит от характера пути процесса в системе, т.е. обратимого или необратимого. В этом случае для вычисления изменения энтропии можно воспользоваться любым квазистатическим (обратимым) процессом, переводящим систему из состояния 1 в 2, т.е.
В случае выравнивания температуры от T1 до Т2 твердых и жидких тел в изолированной адиабатической системе этот реальный процесс можно заменить изобарическим квазистатическим (обратимым) переходом теплоты между телами. При изобарическом процессе
где т - масса тела; СР – удельная теплоемкости тела при постоянном давлении. Для характеристики теплоемкости тел используется также и удельная теплоемкость при постоянном объеме – СV
. У жидких и твердых тел разница между Ср и СVсравнительно мала, так что можно положить Ср ≈ СVи говорить просто об удельной теплоемкости жидких и твердых тел С . Нужно помнить, что удельная теплоемкость вещества С зависит от температуры, т.е. С = C(Т). Тогда изменение энтропии в этом процессе можно определить
В нашем случае вместо C(Т) будем использовать среднее значение удельной теплоемкости С в интервале температур от T1 до Т2 и считать для этого температурного интервала среднее значение удельной теплоемкости С величиной постоянной, тогда изменение энтропии будем вычислять по формуле:
В силу того, что энтропия аддитивна, полное изменение энтропии термодинамической системы можно найти, если просуммировать изменения энтропии всех отдельных тел, входящих в состав этой системы, т.е.
где ∆S
-изменение энтропии всей системы; n - число тел системы; ∆S
i— изменение энтропии одного из тел термодинамической системы.
продолжение
--PAGE_BREAK--Согласно первому началу термодинамики
сообщаемое термодинамической системе тепло идет на изменение внутренней энергии системы d
Uи совершение системой работы над внешними телами. В случае твердого и жидкого тел все сообщаемое тепло идет на изменение внутренней энергии, а так как объемы этих тел при нагревании почти не изменяются, то работой расширения можно пренебречь, т.е., чем больше изменение энтропии в адиабатно-изолированной системе, тем большее количество тепла необратимо переходит во внутреннюю энергию системы. Поэтому необратимые потери тепла, связанные с реальными необратимыми термодинамическими процессами в адиабатно-изолированных системах, принято оценивать по изменению энтропии.
Если в калориметр, содержащий определенное количество воды при заданной температуре, опустить нагретое тело, то произойдет теплообмен и установится общая температура. Сам калориметр помещен во внешний стакан, в результате чего система становится почти адиабатно-изолированной.
Термодинамическому равновесию адиабатической системы соответствует состояние с максимумом энтропии, при этом температура вест частей системы в состоянии равновесия одинакова.
Изменение энтропии такой системы при выравнивании температуры погруженного тела и воды можно рассчитать по формулам (34) и (35). В состав исследуемой системы входят: испытуемое тело массой mTс удельной теплоемкостью СT и начальной температурой Т0, вода калориметра массой mВс удельной теплоемкостью СВи начальной температурой Т0. После окончания процесса теплообмена установится температура Т.
При выравнивании температуры энтропия каждого из тел изменяется:
Учитывая аддитивность энтропии (35), можно записать
∆
S
= ∆
S
1
+ ∆
S
2
+ ∆
S
3
.
Подставляя значения ∆S1, S2, S3, получим расчетную формулу изменения энтропии всей системы
В данной работе
mB
= 0,2 кГ; СВ = 4,18*103 Дж/кГ*град (при
t
=20º
C
);
С
T
(железо)= 460,5 Дж/кГ*град;
С
T
(латунь)= 376,7 Дж/кГ*град;
С
T
(алюминий)= 879,1 Дж/кГ*град.
В работе предлагается рассчитать изменение энтропии шести нагретых тел при опускании в калориметр с водой, температура и масса которой одинаковы в каждом эксперименте.
Порядок выполнения работы
1. Опустить в нагреватель испытуемое тело. Включить нагреватель.
2. Пока тело нагревается до температуры T1 кипения воды, наполнить водой водомерный стакан (200 см) и вылить ее в стакан калориметра. По термометру определить начальную температуру Т0воды и калориметра.
3. После того как вода в нагревателе будет кипеть не менее 5 мин, отключить нагреватель, перенести за нить исследуемое тело в калориметр и быстро закрыть его.
4. По термометру калориметра следить за ростом температуры воды и записать в таблицу ее максимальное значение T.
5. Вылить воде из стакана калориметра и отладить его под струёй воды.
6. Действия, перечисленные в пп. 1-5, повторить с каждым из тел.
7. Определить теплоемкость C каждого из тел и результаты занести в табл.1.
8. По формуле (36) найти изменение энтропии ∆S для каждого из тел и записать в табл.1. Вычислить погрешность метода измерения для самого легкого тела (максимальную погрешность).
9. По данным табл. 1 построить график зависимости ∆S=f(С).
Таблица 1
Исследуе-мое тело
Fe
0,05 кг
F0
0,1 кг
Fe
0,15 кг
Fe
0,2 кг
Al
0,05 кг
Латунь 0,05 кг
Т(К)
С(Дж/К)
--PAGE_BREAK--Контрольные вопросы и задания
1. Что такое обратимые и необратимые процессы?
2. Охарактеризуйте энтропию и ее изменение.
3. Что такое термодинамическая вероятность состояния (статистический вес).
4. Статистический смысл изменения энтропии.
5. Первый закон термодинамики.
6. Вывод рабочей формулы (36) данной работы.
7. Второй закон термодинамики и его статистический смысл.
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОТЫ ПЛАВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА
Цель работы
Исследовать фазовый переход первого рода на примере плавления и кристаллизации металла. Определить температуру, удельную теплоту плавления металла и изменение энтропии при плавление и кристаллизации.
Приборы и принадлежности
Тигель с исследуемым металлом, термопара, нагреватель, термометр, цифровой вольтметр, секундомер.
Теоретическое введение
Сильное нагревание твердого тела может привести к разрушению его кристаллической решетки и к переходу вещества из твердой фазы в жидкую. Фазовое превращение, сопровождающееся поглощением или выделением количества теплоты и изменением удельного объема (объема, занимаемого единицей массы), называется фазовым переходом первого роди. Плавление (переход вещества из твердого состояния в жидкое) и обратный процесс (кристаллизация) для многих кристаллических веществ является фазовым переходом первого рода. Такой переход всегда изотермичен. Во время фазового переходе сохраняется.двухфазное состояние (например, жидкое и твердое), но плавно меняется соотношение масс каждой фазы. Температура перехода зависит от давления. Если при определенном давлении сообщать твердому телу за равные малые промежутки времени одинаковое количество тепла Q, то абсолютная температура тела будет изменяться в соответствии с графиком рис.5. Участок AB представляет собой нагревание твердого тела до температуры плавления Тn .
Для кристаллических тел в точке 6 прекращается дальнейшее повышение температуры. Изотермический участок ВС характеризует переход тела из твердого состояния в жидкое и соответствует одновременному существованию двух фаз: твердой и жидкой. На участке BС при плавлении телом поглощается определенное количество теплоты при постоянной температуре. Это количество теплоты, рассчитанное на единицу массы тела, называется удельной теплотой плавления rп. Обозначим через UЖ и UТвнутренние анергии единицы массы вещества в точках С и B , соответствующих жидкой и твердой фазам и через Vж и VT- удельные объемы жидкости и твердого тела. Тогда по первому закону термодинамики удельная теплота плавления может быть выражена так:
где р - постоянное давление, при котором совершается фазовый переход.
Для фазовых переходов первого рода можно рассчитать изменение энтропии по формуле Клаузиуса
В данном случае
--PAGE_BREAK--Порядок выполнения работы
1. Соединить проводниками клеммы 8 термопары со входом цифрового вольтметра. Положить в нагреватель не более четверти таблетки сухого горючего. Включить цифровой вольтметр.
--PAGE_BREAK--Цель работы
Определить сопротивление не нагретой и нагретой металлической проволоки, ее удлинение при нагревании и коэффициент линейного расширения.
Приборы и принадлежности
Нихромовая проволока (Ni 90 %, Сr 10 %), источник питания постоянного тока, вольтметр, амперметр, пружина, шкала для измерения длины проволоки.
Теоретическое введение
Опыт показывает, что с повышением температуры происходит расширение твердя тел, называемое тепловым расширением. Для характеристики этого явления введены коэффициенты линейного и объемного расширения. Пусть l0- длина тела при температуре 0 ˚С. Удлинение этого тела ∆l при нагревании его до температуры t°С пропорционально первоначальной длине l0 и температуре:
где α - коэффициент линейного расширения, характеризующий относительное удлинение ∆l/l, происходящее при нагревании тела на 1 К.
Длина тела при температуре t
отсюда
Тепловое расширение большинства твердых тел весьма незначительно. Поэтому длина l0 при 0 °С очень мало отличается от длины l при другой температуре t, например комнатной. Поэтому в выражении коэффициента линейного расширения (41) l0 можно заменить на l1, а l — на длину l2 при температуре t2, значительно большей, чем t1:
Причина расширения твердых тел при нагревании — возрастание амплитуды тепловых колебаний атомов. График зависимости потенциальной энергии взаимодействия соседних атомов от расстояния между их центрами r приведен на рис. 9. Пунктиром показан уровень полной энергии E взаимного колебания атомов при данной температуре. При данной энергии Е расстояние между атомами при тепловых колебаниях изменяется от r1 до r2. Если r0 (атомы сближаются), между атомами действуют силы отталкивания. Когдаr=r0, полная энергия равна кинетической энергии теплового колебательного движения. При уменьшении r до r1 происходит переход кинетической энергии в потенциальную энергию взаимодействия атомов. Далее под действием сил отталкивания атом движется в сторону увеличения r. Его кинетическая энергия возрастает, а потенциальная — уменьшается. Когда r становится больше r0, возникают силы притяжения между атомами, кинетическая энергия атома уменьшается, а потенциальная увеличивается. В точке r=r2, полная Е энергия переходит в потенциальную. Далее под действием сил притяжения атомы начинают сближаться И весь процесс колебаний атома между точками r1 и r2 повторяется.
Как видно из рис.9, вследствие несимметричности кривой и(r) среднее расстояние между соседними атомами при данной температуре
больше, чем r0, и возрастает с ростом температуры, так как увеличивается полная энергия атома.
Описание лабораторной установки и метода измерений.
Схема лабораторной установки приведена на рис. 10.
Нихромовая проволока 1 закреплена между клеммами 2, 3, причем клемма 3 соединена с растягивающей пружиной 4. По проволоке течет постоянный ток. Сила тока I измеряется амперметром A, а напряжение U вольтметром V . По закону Джоуля — Ленца в проводнике, по которому течет ток, выделяется тепло
зависящее от времени его прохождения t, сопротивления проводника R и силы тока I. Проводник нагревается, сопротивление металла увеличивается с ростом температуры по закону
где R1 - сопротивление проводника при комнатной температуре t1°С;
R2 — его сопротивление при нагревании до температуры t2°С;
β — температурный коэффициент сопротивления нихромовой проволоки,
Из соотношения (43) можно определить разность температур
зная сопротивления R1 и R2.
Сопротивление R1, определяется по формуле
где ρ — удельное сопротивление нихрома при t1 = 20 °С; ;
l
1— длина проволоки при комнатной температуре, м, l
1= 0,34; d - ее диаметр, мм, d = 0,4.
Сопротивление проволоки R2 при температуре t2 определяется по закону Ома для участка цепи
Удлинение проволоки при нагревании измеряется по шкале 5.
продолжение
--PAGE_BREAK--Порядок выполнения работы
1I. Собрать схему рис. 9. Включить источник питания. Подождать 2-3 мин, пока проволока не нагреется до максимальной температуры и не наступит тепловое равновесие. Измерить силу тока, напряжение и удлинение проволоки ∆l. Опыт повторить три раза, определить средние значения I и U.
2. Измерить температуру воздуха t1 °С в лаборатории.
3. По формуле (45) вычислить сопротивление проволоки R1 при температуре t10C.
4. Для средних значений I и U определить сопротивление проволоки R2 при температуре t2 0С, используя закон Ома (46).
5. Используя соотношение (44), вычислить разность температур t2 — t1. Найти температуру нагретой проволоки t2.
6. По формуле (42) определить коэффициент линейного расширения α для нихромовой проволоки.
7. Определить погрешности измерения R2, t2, α.
8. Сравните результаты измерения α с табличным значениям.
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется коэффициентом линейного расширения твердых тел?
2. Объясните причину теплового расширения твердых тел.
3. Как определяется в работе удлинение проволоки?
4. Как определяется сопротивление проволоки R1 при комнатной температуре t1, и сопротивление нагретой проволоки?
5. Почему при прохождении тока по металлическому проводнику он нагревается?
6. Как изменяется сопротивление проводника при изменении температуры?
7. Как определяется в работе температура нагретой проволоки?
8. Как изменяется длина твердого тела при нагревании?
9. Как можно определить количество теплоты, выделившееся в проводнике при прохождении тока?
ЧАСТЬ П
I. ИЗУЧЕНИЕ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ НА ПРИБОРЕ АТВУДА
Цель работы
Изучить равноускоренное движение и определить ускорение свободного падения на приборе Атвуда.
Приборы и принадлежности
Прибор Атвуда, дополнительные сменные грузики.
Описание экспериментальной установки
Экспериментальная установка (рис. 11) собрана на платформе 1 с вертикальной колонной 2 и представляет собой систему грузов 3, соединенных между собой нитью, переброшенной через блок 4. Масса каждого груза равна М = 60 г. Блок 4 для уменьшения сил трения в опоре смонтирован в подшипнике 5, а электромагнитная фрикционная муфта 6 обеспечивает начальную фиксацию грузов и их торможение в конце перемещения. Блок с фрикционной муфтой закреплен на верхнем конце колонны 2, а между блоком и основанием 1 имеются три подвижных кронштейна 7, 8 и 9, расстояние между которыми определяется с помощью миллиметровой шкалы 10, расположенной на колонне 2.
Верхний кронштейн 7, оснащенный риской, служит для фиксации начального положения системы грузов. Средний кронштейн 8 обеспечивает съем дополнительного грузика 11, а фотоэлектрический датчик 12 на этом кронштейне включает электронный секундомер в момент съема дополнительного грузика. На нижнем кронштейне 9 есть еще един фотоэлектрический датчик 13, выключающий секундомер и включающий электромагнитную муфту 6 для торможения подвижной системы.
--PAGE_BREAK--Теоретическое введение
Найдем закон движения груза 3 с перегрузком 11 (см.рис. 11). Будем пользоваться неподвижной системой координат, центр которой совмещен с осью блока. Ось ОХ направим вниз. Пусть массы грузов 3 равны М, а масса перегрузка — т.
На правый груз с перегрузком (см. рис. 13) действуют силы тяжести (М+т)g и натяжения нити Т1. По второму закону Ньютона
(47)
где а — ускорение правого груза.
Применим второй закон Ньютона к движению левого груза. В силу нерастяжимости нити ускорение левого груза разно ускорению правого груза по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону. Оно равно, следовательно, а. Натяжение левого конца нити обозначим Т2. Тогда
(48)
--PAGE_BREAK--L0=mVr
,
где r - кратчайшее расстояние от оси маятника до траектории движения тела. Во время выстрела маятник покоится, т.е. момент импульса его равен нулю. После влипания тела в мисочку маятника последний вместе с телом приобретает начальную угловую скорость вращенияw0.
Из закона сохранения момента импульса для системы тело — маятник следует, что
mV2=I1w0, (98)
где I1 - суммарный момент инерции маятника и тела относительно оси вращения. Маятник с угловой скоростью w0 и соответственно кинетической энергией начинает поворачиваться. При этом происходит закручивание подвеса (упругой нити) и возникает тормозящий момент. Поворот маятника прекращается, когда его кинетическая энергия вращения полностью перейдет в потенциальную энергию закрученной нити:
где К -коефициент упругостинити; α0 максимальный угол закручивания маятника.
Решая совместно уравнения (98) и (99), находим
Дня определения скорости V из (100) необходимо знать величины К и I1. Для этого следует выполнить два дополнительных измерения, основанных на законах крутильных колебаний маятника.
Из второго закона динамики для вращательного движения следует
IE=M= — kα, (101)
где Е — угловое ускорение маятника; ; — угловая скорость маятника);М — тормозящий момент; α — угол поворота маятника.
Таким образом, уравнение крутильных колебаний маятника (101) преобразуется к виду;
где - циклическая частота колебаний маятника). Решением уравнения (105) являются гармонические колебания с периодом
Период колебания маятника можно найти экспериментально, причем период будет зависеть от момента инерции маятника и коэффициента упругости подвеса k.
Изменяя момент инерции маятника перемещением грузов массой Миз положенияR1, для которого момент инерции I1, в положение R2, для которого момент инерции I2, и определяя для этих моментов периоды T1 и T2, составляем систему уравнений (рис. 24):
где I
– момент инерции системы без подвижных грузов;
I1= I
+2MR12; I2= I
+2MR22.
Решая систему (104), находим коэффициент упругости нити
и момент инерции
I
1
=
I
+2
MR
1
;
Подставляя значения К и I1 в выражение (100), определяем скорость полета тела
Порядок выполнения работы
1. Приблизить грузы, перемещаемые по стержням, к оси маятника на расстояние 4-5 см (R1).
2. Установить маятник в таком положении, чтобы черта на мисочке с пластилином совпадала с положением «О» на прозрачном экране.
3. Выстрелить тело из стреляющего устройства (первая зарядка тела в стреляющее устройство осуществляется при помощи преподавателя или лаборанта).
4. Измерить максимальный угол отклонения маятника α0.
5. Включить и обнулить счетчик времени и периодов.
6. Отклонить вручную маятник на уголα0, деблокировать измеритель времени (нажатием клавиши «Сброс») и отпустить маятник.
7. Измерить время десяти колебаний и вычислить период крутильных колебаний Т1.
8. Отдалить от оси подвижные грузы на расстояние 9-10 см (R2) и повторить действия согласно пп.2, 5, 6 данного подраздела.
9. Измерить время десяти колебаний и вычислить величину Т1
10. Вычислить скорость полета тела по формуле (107).
11. Повторить опыт по определению скорости полета тела не менее трех раз.
12. Вычислить среднее значение скорости полета тела.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте закон сохранения импульса.
2. Что такое момент силы?
3. Дайте определение момента инерции тела относительно неподвижной оси вращения.
4. Дайте определение момента импульса тела и сформулируйте закон сохранения момента импульса для замкнутой системы.
5. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения.
6. Запишите формулу кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
7. Запишите формулу работы при вращательном движении тела.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТЫ ДЕФОРМАЦИИ, КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ И СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ ПРИ УДАРЕ
Цельработы
Изучить законы сохранения энергии и импульса; определить экспериментально работу деформации, коэффициент восстановления, время и силу взаимодействия тел при ударе.
Приборы и принадлежности
Прибор для исследования столкновений шаров, комплект шаров. Понятие «удар» включает в себя совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых взаимодействиях твердых тел с жидкостями и газами (гидравлический удар, взрыв и т.д.). Отличительная особенность данных физических явлений заключается в том, что время взаимодействия мало (10-4 — 10-6 с), а давление, возникающее в точках контакта соударяющихся тел или сред, достигает значений порядка107 — 1088 Н/м2.
Описание экспериментальной установки
Общий вид прибора для исследования столкновения шаров показан на рис. 24. В основании I закреплена колонка 2, к которой прикреплены нижний 3 и верхний кронштейны 4. К верхнему кронштейну подведены провода 5 от шаров 6. Винт 7 позволяет изменять расстояние между шарами. На нижнем кронштейне укреплены угольники 8 с измерительными шкалами и электромагнит 9. После отвинчивания болтов 10 электромагнит можно передвигать вдоль первой шкалы и фиксировать высоту его установки. Сила притяжения электромагнита регулируется винтом 11, перемещающим сердечник 12.
При включении прибора в сеть и нажатии клавиши «Сеть» загорается цифровой индикатор. Для установки нулевых показаний необходимо сбросить измерительную схему нажатием клавиши «Сброс». Управление электромагнитом осуществляется клавишей «Пуск». При отжатой клавише «Пуск» включается электромагнит и шар, отведенный к магниту, удерживается в отклоненном положении. В этом положении по шкале измеряется начальный угол @@ отклонения нити от вертикального положения. При нажатии клавиши «Пуск», электромагнит отключается, шар под действием силы тяжести начинает перемещаться и, сталкиваясь с покоящимся шаром, вызывает его смещение. При этом нить второго шара отклоняется на угол @@, а первого на угол@@, величины которых зависят от упругих свойств материалов шаров. При столкновении шара с неподвижной стенкой, установленной вместо покоящегося шара, нить правого шара отклоняется на угол @@1.
Порядок выполнения работы
Измерение времени взаимодействия шаров и углов α, β, γ, γ1.
1) Измерить расстояния R от точки подвеса до центра даров и при необходимости отрегулироватьих; эти расстояния должны быть равны. Массы шаров указаны на установке.
2) Включить источник питания нажатием клавиши «Сеть».
3) Отжать клавишу «Пуск» и отвести правый шар к электромагниту, измерить угол первоначального отклонения нити α от вертикального положения.
4) Нажать клавишу «Сброс».
5) Нажать клавишу «Пуск». Измерить углы максимальных отклонений от вертикального положения нитей левого шара β и правого γ после их взаимодействия. Зафиксировать по микросекундомеру время взаимодействия шаров. Измерения повторить 3-5 раз и подученные данные занести в таблицу.
6) Используя пары с различными упругими свойствами, выполнить исследования в соответствии с пп.1-5.
7) Заменить левый шар неподвижной стенкой и в соответствии с пп.3)-6) определить максимальный угол отклонения нити γ1 правого шара от вертикального положения после его взаимодействия со стенкой. Данные занести в таблицу.
Определение скоростей шаров
При абсолютно упругом столкновении шара массой m1, который двигаетcя со скоростью V1, с шаром массой m2, который двигается со скоростью V2 (V2, рис.25), поверхностиих деформируются, но этот процесс обратим, так как форма шаров мгновенно восстанавливается, а энергия деформации без потерь превращается в кинетическую энергию движения шаров.
После удара шары будут двигаться с измененными скоростями U1 и U2, определить которые можно с помощью законов сохранения кинетической энергии
и сохранения импульса (количества движения)
m1V1+m2V2=m1U1+m2U2, (109)
После несложных преобразований находят скорости шаров после удара
Если происходит встречный центральный абсолютно упругий удар (скорости шаров до удара имеют противоположные знаки), то необходимо учитывать знак скорости при вычислении соответствующих величин в выражениях (110), (111). При равенстве масс шаров (т1 = т2 = т) из (110) и (111) следует
U
1
=
V
2
,
U
2
=
V
1
, (112)
т.е. первый шар приобрел после удара скорость, равную скорости второго шара, и наоборот. Если до столкновения один из шаров (например, второй) покоился (V2 = 0), то U1 = 0; U2 = V1).
После абсолютно неупругого удара тела совершают совместное движение (рис. 26), а кинетическая энергия соударяющихся тел частично переходит в другие виды энергии и тела приобретают остаточную деформацию. При этом закон сохранения механической энергии системы не выполняется. Скорость U' после удара, как известно, можно определить, используя закон сохранения импульса и считая, что внешние силы отсутствуют, а масса системы после удара — т1+ т
2:
Если первоначально тело было поднято на высоту h1, то в момент удара его кинетическая энергия равна исходной потенциальной энергии (рис. 27): .
Скорости шаров после взаимодействия можно определить из условий
где h2 и h3 - высота подъемов второго и первого шара после взаимодействия.
Из этих соотношений следует
1) По измеренному значению угла α начального отклонения правого шара вычислить по формулам (114) и (116) его скорость U1 при прохождении им положения равновесия.
2) Определить теоретические значения скоростей шаров после взаимодействия для случаев абсолютно упругого удара (формулы (110), (111) и абсолютно неупругого удара (формула (113)).
3) По измеренным углам отклонения шаров после их взаимодействия (β и γ) вычислить по формулам (115), (116) действительные значения скоростей шаров.
4) Сравнить теоретические и экспериментальныезначения скоростей, дать объяснение полученным результатам.
Определение работы деформации при ударе шаров
При неупругом ударе часть механической анергии тел переходит в другие формы энергии (например, тепловую) и затрачивается на работу о статочной, деформации поверхности шаров. В этом случае полная энергия системы не изменяется, кинетическая энергия шаров после удара будет меньше, чем до удара.
Уменьшение механической энергии системы ∆W с достаточной степенью точности можно считать равным работе сил, создающих остаточную деформацию.
По закону сохранения энергии при столкновении реальных тел следует учесть работу деформации тел A, т.е. ту часть общей энергии, которая необратимо расходуется на совершение невосстанавливающейся деформации и преобразуется в энергию теплового движения молекул вещества:
Это уравнение позволяет определить работу деформации шаров равныхмасс (m1 = m2 = m), закрепленных на нерастяжимых нитях длины R. Если второй шар покоится (V2 = 0), а первый — отклоненна угол α от вертикального положения (рис. 27), то (117) преобразуется к виду:
A=∆W=mg(h1-h2-h3), (118)
гдеh2 и h3 — высота подъема второго и первого шара после удара. С учетом (116)
A=mgR(cosβ+cosγ-cosα-1), (119)
1) Вычислить кинетическую энергию шара в момент удара по измеренному значению угла α первоначального отклонения первого шара.
2) По измеренным значениям углов α, β и γ и длины подвеса шаров R вычислить по формуле (119) изменение механической энергии системы — работу деформации.
Определение коэффициента восстановления тел при ударе
Степень «неупругости» удара определяется отношением нормальных составляющих скоростей тела после его удара о неподвижную стенку Un (после удара) и V1 (до удара). Это отношение называется коэффициентом восстановления:
В качестве неподвижной стенки можно использовать шар достаточно большой массы или любое плоское массивное тело. С учетом, что
где h3 - высота подъема шара после его удара о массивную неподвижную стенку, коэффициент восстановления
Используя связь высоты подъема шара с углом отклонения нити от положения равновесия, окончательно получаем
По измеренным значениям αи γ1 вычислить коэффициент восстановления E и результаты занести в таблицу.
Определение силы взаимодействия тел
Силу взаимодействия двух тел можно определить исходя из основного уравнения динамики Поступательного движения:
где F - средняя сила удара; ∆t — время взаимодействия соударяющихся тел; ∆V - изменение скорости тела, возникающее в результате удара.
Таккак скорость первого шара после его столкновения с покоящимся шаром отлична от нуля и направлена в ту же сторону, что и скорость до удара, то ∆(mV) =
mV1 — mU1 и, следовательно, сила взаимодействия шаров
С учетом (114)-(116) результат (123) преобразуется к виду
1) По измеренным значениям длины подвеса R, углов α и γ начального и конечного отклонений первого шара и времени взаимодействия шаров ∆t вычислить по формуле (124) силу взаимодействия шаров. Результаты занести в таблицу.
2) Предполагая, что площадь контакта взаимодействующих шаров составляет S = 0,1 мм, найти величину давления, действующегона стенку шара.
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется ударом?
2. Какой ударназывается абсолютноупругим? Приведите пример.
3… Какой удар называется абсолютно неупругим? Приведите пример.
4. Запилите закон сохранения анергии при ударе.
5. Выведите формулы для определения скорости шаров после абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
6. Запишите закон сохранения импульса при центральном ударе шаров.
7. Выполняется ли закон сохранения механической анергии при абсолютно неупругом ударе?
8. Выведите формулу для определения работы деформации тел при ударе.
9. ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы
Исследовать явления резонанса и биений в колебательных механических системах.
Приборы и принадлежности
Прибор для изучения колебаний связанных систем.
Описание экспериментальной установки
На основании 1 установки (рис. 28) смонтирован блок управления и измерений 2, в котором находится электродвигатель. На валу электродвигателя закреплен ведущий стержень 3, движения которого возбуждают колебания механической системы. На колонке 4 закреплен кронштейн с фотоэлектрическим датчиком 5 и измерительной шкалой 6. Связанная система представляет собой маятник 8 с грузом 7 и стержень 9, жестко скрепленный скобой 10 со стержнем 3. Связь между маятником и стержнем осуществляется П-образной скобой 11, снабженной пружинами 12.
Колебания возбуждаются вращением электродвигателя. Последний, перемещая стержень3, связанный скобой 10 и пружинами 12 с маятником 8, приводит маятник в состояние колебаний. Все стержни закреплены на подвесках 13,.установленныхна неподвижной общей оси 14.
Порядок выполнения работы
Определение собственной частоты колебаний маятника.
Собственная частота колебаний маятника в основном зависит от параметров (длины, массы и формы закрепленного груза, жесткости и места закрепления пружин) и незначительно — от амплитуды колебаний, если она невелика.
продолжение
--PAGE_BREAK--