--PAGE_BREAK-- продолжение
--PAGE_BREAK-- . (5)
Наилучшей оценкой погрешности отдельного измерения в этом случае является стандартное отклонение (СО):
. (6)
Величину s2называют дисперсией.
На кривой нормального распределения случайных погрешностей (рис. 1) имеются две характерные точки перегиба А, А. Абсциссы этих точек равны ±s, т. е. стандартному отклонению. Можно показать, что вероятность появления погрешностей, не выходящих за пределы ±s, равна 0,6827 (»68 %) . Иначе говоря, при достаточно большом числе измерений (практически при n³30) приблизительно 70 % результатов измерений будут попадать в интервал . В другой терминологии: «попадание результата
измерений в доверительный интервал гарантировано снадежностью a= 0,68»
Конечно, надёжность измерений может быть задана и большая, чем 0,68. В этом случае доверительный интервал расширяется и его границы могут быть рассчитаны с помощью так называемых коэффициентов Стьюдента. При выполнении учебных лабораторных работ вполне можно ограничиться надежностью a=0,68.
Стандартное отклонение характеризует среднюю погрешность отдельных измерений. Результат измерений есть разумная комбинация всех n измерений, и поэтому имеются основания полагать, что он будет более надёжным, чем любое из отдельных измерений.
Стандартное отклонение среднего (СОС или SDOM— standarddeviationofthemean) равно стандартному отклонению s, деленному на :
. (7)
Таким образом, результат многократных измерений какой-либо физической величины должен представляться в виде:
. (8)
Чтобы учесть и случайную и систематическую погрешность, т.е. рассчитать полную погрешность измерений, обычно используют правило квадратичного сложения:
. (9)
4. Оценка точности косвенных измерений
Большинство физических величин обычно невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа. Сначала измеряют одну или более величин x,...,z, которые могут быть непосредственно измерены и, с помощью которых можно вычислить интересующую нас величину. Затем, используя измеренные значения x,..., z, вычисляют саму искомую величину. Если измерение включает эти два этапа, то и оценка погрешностей тоже включает их. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно, а затем определить, к какой погрешности они приводят в конечном результате. При этом, конечно, необходимо учитывать вид функциональной связи между величинами.
Погрешность функции q=f(x,...,z) нескольких переменных x,...,z, измеренных с погрешностями Dx,...,Dz… в случае, если погрешности независимы и случайны, определяется по формуле:
. (10)
Вычисления погрешности с помощью формулы (9) обычно оказываются достаточно громоздкими. Поэтому лучше производить поэтапное вычисление, используя некоторые правила, два из которых являются наиболее употребляемыми:
1. Абсолютная погрешность суммы и разности равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей
. (11)
2. Относительная погрешность комбинации произведения и частного равна квадратичной сумме относительных погрешностей
,
. (12)
Правила вычисления погрешностей для некоторых других функций приведены в Приложении 1.
Рассмотрим последовательность действий при вычислении погрешности косвенного измерения на примере формулы
.
Сначала найдем абсолютную и относительную погрешность суммы w=m+M:
.
Затем найдем относительную и абсолютную погрешности величины v:
.
Анализ полученной окончательной формулы позволяет установить:
а) Погрешности каких именно величин вносят наибольший вклад в общую погрешность. Точному измерению этих величин необходимо уделить наибольшее внимание.
б) Погрешности каких величин практически не влияют на окончательный результат и их можно даже отбросить.
Будем в дальнейшем не принимать в расчет погрешности постоянных (g, e, p...) и табличных величин, измеренных с большой точностью. Например, погрешность приближенного числа p»3,14 составляет всего 0,05 %.
5. Линеаризация функции и метод наименьших квадратов
В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости, Например, исследуется зависимость перемещения S равноускоренного движения от времени движения. Теоретическая зависимость имеет вид
, (13)
где а – ускорение грузов.
Если по экспериментальным точкам построить график зависимости S отt, представляющий собой восходящую кривую, то по виду графика нельзя утверждать, что это парабола и именно та парабола второго прядка, которая соответствует проверяемой закономерности, т. к. похожие графики могут иметь другие закономерности. Единственным графиком, по внешнему виду которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия. Для того, чтобы воспользоваться этим свойством
в проверяемой закономерности необходимо выявить в ней такие новые переменные, зависимость между которыми была бы линейной. В нашем случае такими переменными являются S и t2. Следовательно, для проверки справедливости соотношения (13) имеет смысл строить график экспериментальной зависимости S отt2. На систему координат S, t2 (рис. 2) следует нанести экспериментальные точки, а также вправо и влево от них отложить отрезки, длина которых равна погрешностям измерения t2 (доверительным интервалам). Если через начало координат и доверительные интервалы можно провести прямую линию, т. е. экспериментальная зависимость S= f(t2) является линейной, значит соотношение (13) подтверждено экспериментально.
Используя график линеаризованной зависимости, можно определить некоторые параметры изучаемого явления из следующих соображений. Уравнение прямой можно записать в виде
y= kx+b. (14)
Угловой коэффициент k:
, (15)
где Dx – произвольный отрезок на оси 0Х — приращение аргумента, Dy – соответствующее приращение функции. Величина b может быть определена как величина отрезка, отсекаемого графиком на оси 0Y. В нашем случае знание коэффициента k позволяет определить ускорение движения: a = 2k.
При нахождении величин k и b из графика к погрешностям измерения добавляется погрешность построения графика. Существует точный метод нахождения величин kи b – метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод позволяет провести прямую так, что сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от графика минимальна. Формулы для определения величин k и b имеют вид:
, . (16)
Зная k и bи задавшись какими-либо значениями x1и x2, можно по формуле (14) вычислить y1и y2. Затем через две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2)проводится искомая линия.
Теория позволяет также найти погрешности коэффициентов kи b. Сначала вычисляют величины:
,. (17)
Затем вычисляют коэффициент линейной корреляции:
. (18)
Это число принимает значения между -1 и +1. Если r близко к ±1, то точки лежат вблизи некоторой прямой линии; если r близко к, то точки не коррелированны и либо незначительно, либо совсем не группируются около прямой линии.
Вычисление абсолютных погрешностей коэффициентов k иb выполняется по формулам:
, . (19)
6. Микрокалькулятор
Основным назначением микрокалькулятора является быстрое и точное получение результатов арифметических вычислений. Поэтому отпадает необходимость в применении предварительного округления чисел.
Учитывая, что в лабораторных работах редко встречаются числа, имеющие больше четырех значащих цифр, точность до восьми цифр, получаемых на микрокалькуляторе, является излишней и маскирует существование инструментальной погрешности и по Для того чтобы избежать иллюзорного впечатления о высокой точности результата, полученного с помощью микрокалькулятора, нужно посредством правил подсчета значащих цифр округлить результат математических вычислений так, чтобы точность их соответствовала точности данных, полученных от измерения.
ИЗУЧЕНИЕ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА Цель работы
Экспериментальная проверка основных уравнений и законов поступательного движения тела на специально сконструированной для этого лабораторной установке – машине Атвуда.
Идея эксперимента
Несмотря на то, что основные уравнения кинематики и динамики прямолинейного движения имеют простую форму и не вызывают сомнения, экспериментальная проверка этих соотношений весьма сложна. Трудности возникают в основном по двум причинам. Во-первых, при достаточно больших скоростях движения тел необходимо с большой точностью измерять время их движения. Во-вторых, в любой системе движущихся тел действуют силы трения и сопротивления, которые трудно учесть с достаточной степенью точности.
Определим, например, время падения тела с высоты h= 1,0 м при gравным 9,8 м/с2:
. (1.1)
Если при выполнении эксперимента по определению g по времени падения тела с указанной высоты допускается погрешность в измерении времени равная 0,01 с, т. е. возможно получение значений времени 0,46 с или 0,44 с, разброс результатов измерений получается недопустимо большим: g=9,4 – 10,3 м/с2. С целью уменьшения влияния точности измерения времени на результаты измерений можно, например, резко увеличить высоту падения. Но при падении с больших высот достигаются большие скорости движения, что приводит к резкому увеличению сопротивления воздуха, которое трудно учесть.
Трудности рассмотренного опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама расчетная формула неточна, т. к. не учитывает трение.
Уменьшить ускорение и одновременно максимально уменьшить силу сопротивления можно с помощью устройства, которое называют машиной Атвуда.
Экспериментальная установка
Машина Атвуда (рис. 3) состоит из легкого блока Б, через который переброшена нить с двумя равными грузами на концах (масса обоих грузов одинакова и равна m). Грузы могут двигаться вдоль вертикальной рейки со шкалой Ш. Если на правый груз положить небольшой перегрузок, грузы начнут двигаться с некоторым ускорением. Кольцевая полочка П1, которая может закрепляться в любом положении, предназначена для свободного прохода груза и для снятия перегрузка. Для приема падающего груза служит полочка П2.
Время движения грузов может измеряться с помощью ручного или стационарного се-кундомера. Машина Атвуда может быть электрифицирована, т. е. снабжена электромагнитной муфтой-пускателем и автоматическим секундомером. Трение в машине Атвуда сведено к минимуму, но для возможно полной компенсации сил трения масса правого груза делается немного больше массы левого (с помощью дроби или пластилина). Операция балансировки, выполняется с таким расчетом, чтобы грузы не перевешивали друг друга, но от легкого толчка вниз правого груза вся система приходила в равномерное движение. (При расчетах можно считать массы грузов одинаковыми). Для выполнения работы машина Атвуда должна быть установлена строго вертикально, что легко проверить по параллельности шкалы и нити. Кроме того, в тех опытах, где используется кольцевая полочка, положение ее должно быть отрегулировано так, чтобы грузы проходили через кольцо не касаясь его, а перегрузок легко снимался и оставался на полочке.
Теория Второй закон Ньютона для каждого из тел системы в предположении невесомости блока и отсутствия трения дает
, (1.2)
где Т1,2– силы натяжения нити, m – масса каждого груза, Dm – масса перегрузка, а – ускорение системы.
В проекциях на вертикальную ось ОY получаем соотношения
(1.3)
Отсюда, так как Т1 = Т2, ускорение движения системы равно
. (1.4)
Из этого выражения видно, во-первых, что ускорение не зависит от времени, что доказывает равноускоренный характер движения грузов. Во-вторых, видно, что изменять ускорение можно, меняя массу перегрузка Dm.
В случае равноускоренного движения скорость грузов v и их перемещение DS за время t определяются уравнениями
. (1.5)
Так как начальная скорость в опытах на машине Атвуда обычно равна нулю и движение условно начинается из начала координат, то . (1.6)
Будем называть первое из этих соотношений законом скоростей, а второе законом пе-
ремещений.
Соотношения (1.6) могут быть проверены экспериментально.
Проведение эксперимента
Задание 1. Проверка закона скоростей
Измерения
1. Проверяют вертикальность установки машины Атвуда. Балансируют грузы.
2. Укрепляют на шкале кольцевую полочку П1. Регулируют ее положение.
3. Накладывают на правый груз перегрузок в 5-6 г.
4. Двигаясь равноускоренно из верхнего положения до кольцевой полочки, правый груз проходит путь S1за время t1и приобретает к концу этого движения скорость v (рис. 5). На кольцевой полочке груз сбрасывает перегрузок и дальше движется равномерно со скоростью, которую он приобрел в конце разгона. Для определения ее следует измерить время t2 движения груза на пути S2. Таким образом, каждый опыт состоит из двух измерений: сначала измеряется время равноускоренного движения t1, а затем груз повторно запускается для измерения времени равномерного движения t2.
5. Проводят 5-6 опытов при различных значениях пути S1 (с шагом 15-20 см). Путь S2 выбирается произвольно. Полученные данные заносят в таблицу 1.1. отчета
Обработка результатов.
1. По полученным данным строят график зависимости v = f(t). Точку (t=0, v=0) на графике не откладывают.
2. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о выполнении закона скоростей.
3. Для определения с помощью полученного графика ускорения движения сначала необходимо получить точное уравнение экспериментальной прямой. Для этого применяют метод наименьших квадратов (МНК). Угловой коэффициент прямой, т.е. значение коэффициента k в полученном уравнении, равен ускорению а.
4. По формулам МНК определяют погрешность измерения а.
Задание 2. Проверка закона перемещений
1. Снимают с машины кольцевую полочку.
2. На правый груз накладывают перегрузок в 5-6 г.
3. Измеряют время прохождения грузом расстояний в 20, 40, 60 и т.д. см – всего 6-7 опытов. Полученные данные заносят в таблицу 1.2 отчета.
4. Зависимость S= f(t) – квадратичная функция, а ее график – парабола. Однако ее графическая идентификация («узнавание») невозможна. Поэтому строят график зависимости S= f(t2). Точку (t=0, S=0) на графике не откладывают. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о выполнении закона перемещений.
продолжение
--PAGE_BREAK--5. Как и в задании 1 для линеаризации зависимости применяют МНК. С помощью полученного уравнения находят ускорение движения и определяют погрешность его измерения.
6. Зная массы грузов и перегрузка, из формулы (1.4) находят ускорение свободного падения. Учитывая погрешности измерения масс грузов и перегрузка, находят относительную и абсолютную погрешность измерения ускорения свободного падения.
Задание 3. Проверка второго закона Ньютона.
Поскольку ускорение движения является функцией двух переменных – силы и массы, то изучение второго закона Ньютона выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости ускорения от действующей силы при постоянной массе системы и 2) зависимости ускорения от массы системы при постоянной действующей силе.
Исследование зависимости ускорения от силы при постоянной массе
Измерения и обработка результатов
1. Тщательно балансируют грузы, выбрав их массы в пределах 150 — 200 г каждый.
2. Затем на правый груз последовательно накладывают перегрузки. В результате в системе появляется движущая сила равная Dmg, где Dm — суммарная масса перегрузков. При этом, конечно, общая масса системы незначительно увеличивается, но этим изменением массы по сравнению с массой грузов можно пренебречь, считая массу системы постоянной.
3. Измеряют время равноускоренного движения системы на пути, например, 1 метр. Все данные заносят в таблицу 1.3 отчета.
4. Пользуясь законом путей (1.6), вычисляют ускорение а.
5. Поводят еще 5-6 опытов, последовательно увеличивая массу перегрузков.
6. Строят график зависимости ускорения движения от действующей силы. Точку (F=0, a=0) на графике не откладывают. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о том, что ускорение действительно прямо пропорционально силе.
7. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют массу системы и сравнивают ее реальной массой.
Исследование зависимости ускорения от массы при постоянной силе
Измерения и обработка результатов
1. Все опыты проводят с одним и тем же перегрузком, т.е. при постоянной действующей силе. Ускорение системы измеряется также как и в предыдущем задании.
2. Для изменения массы системы одновременно на правый и левый груз кладут дополнительные одинаковые грузы. Все данные записывают в таблицу 1.4 отчета.
3. График обратно пропорциональной зависимости ускорения от массы представляет собой гиперболу, которую невозможно идентифицировать. Для проверки предположения об обратно пропорциональной зависимости между ускорением и массой необходимо построить график зависимости ускорения от обратного значения массы системы: a= f(М-1). Подтверждением предположения является прямолинейность этого графика.
4. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют значение приложенной силы и сравнивают ее с реально действующей в системе.
ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Цель работы
Экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела вокруг закрепленной оси.
Идея эксперимента
В эксперименте исследуется вращательное движение закрепленной на оси системы тел, у которой может меняться момент инерции (маятник Обербека). Различные моменты внешних сил создаются грузами, подвешенными на нити, намотанной на шкив.
Теория
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с моментом инерции J вокруг неподвижной оси z имеет вид
, (2.1)
где - угловое ускорение,М – полный момент внешних сил. Поскольку величина e является функцией двух переменных, то изучение закона динамики вращательного движения твердого тела выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости углового ускорения от момента силы при постоянном значении момента инерции (J= const) и 2) зависимости углового ускорения от момента инерции при постоянном значении момента силы (M= const).
Полный момент внешних сил равен
M= Mн – Мтр , (2.2)
где Мн – вращающий момент (в данной работе — момент силы натяжения нити) Мтр – момент силы трения. С учетом этого основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид линейной зависимости момента силы натяженияМн от e.
. (2.3)
Для экспериментального доказательства справедливости этого соотношения в работе используется маятник Обербека (рис. 6). Он состоит из четырех стержней А и двух шкивов с различными радиусами R1и R2, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре цилиндрических груза (по одному на каждом стержне) одинаковой массы m1. При помощи груза массы m, прикрепленного к концу нити, намотанной на тот или иной шкив, маятник может приводиться во вращение. Определяя продолжительность tдвижения и перемещение h груза, можно определить ускорение его поступательного движения
. (2.4)
Это ускорение равно линейному ускорению точек шкива и связано с угловым ускорением крестовины соотношением
. (2.5)
Момент силы натяжения Т нити равен
Mн =ТR. (2.6)
Силу Т можноопределить из второго закона Ньютона для поступательного движения, который в проекциях на ось Y дает
, (2.7)
где m– масса груза.
Таким образом, момент сил натяжения
нити равен
. (2.8)
Согласно (2.3) Мн линейная функция e. На рис. 7 эти зависимости для различных зна-чений моментов инерции системы изображены в виде графиков, угловые коэффициенты которых равны J. Эти графики отсекают от оси Мн отрезки, равные моменту силы трения Мтр. Так как Мтр одинаков во всех опытах, то все графики должны пересекаться в одной точке. Функция (2.3) верна для любых двух моментов сил, поэтому
(2.9) Откуда . (2.10)
Таким образом, величина Jможет быть, с одной стороны, измерена, а с другой стороны, рассчитана, исходя из масс и геометрических размеров деталей установки Обербека. Момент инерции J маятника вычисляется из условия аддитивности момента инерции и равен сумме моментов инерции шкивов, крестовины и цилиндрических грузов, вращающихся вокруг оси, не проходящей через их середины. Графики позволяют также определить момент силы трения Мтр., действующей в системе.
Экспериментальная установка
Ось маятника Обербека закреплена в подшипниках, так что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Передвигая грузы по спицам, можно легко изменять момент инерции системы. На шкив виток к витку наматывается нить, к которой привязана платформа известной массы. На платформу накладываются грузы из набора. Высота падения грузов измеряется с помощью линейки, укрепленной параллельно нити. Маятник Обербека может быть снабжен электромагнитной муфтой — пускателем и электронным секундомером. Перед каждым опытом маятник следует тщательно отрегулировать. Особое внимание необходимо обратить на симметричность расположения грузов на крестовине. При этом маятник оказывается в состоянии безразличного равновесия.
Проведение эксперимента
Задание 1. Оценка момента силы трения, действующей в системе
Измерения
1. Устанавливают грузы m1 на крестовине в среднее положение, размещая их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия.
2. Накладывая небольшие грузы на платформу, определяют приближенно минимальную массу m0 , при которой маятник начнет вращаться. Оценивают момент силы трения из соотношения
Мтр = m0gR , (2.11)
где R– радиус шкива, на который намотана нить.
3. Дальнейшие измерения желательно проводить с грузами массой m³10m.
Задание 2. Проверка основного уравнения динамики вращательного движения
Измерения
1. Укрепляют грузы m1на минимальном расстоянии от оси вращения. Балансируют маятник. Измеряют расстояние r от оси маятника до центров грузов.
2. Наматывают нить на один из шкивов. По масштабной линейке выбирают начальное положение платформы, производя отсчет, например, по ее нижнему краю. Тогда конечное положение груза будет находиться на уровне поднятой приемной платформы. Высота падения груза h равна разности этих отсчетов и может быть оставлена во всех опытах одинаковой.
3. Кладут на платформу первый груз. Расположив груз на уровне верхнего отсчета, фиксируют это положение, зажимая нить электромагнитной муфтой. Подготавливают к измерению электронный секундомер.
4. Отпускают нить, предоставив грузу возможность падать. Это достигается отключением муфты. При этом автоматически включается секундомер. Удар о приемную платформу останавливает падение груза и останавливает секундомер.
5. Измерение времени падения при одном и том же грузе выполняется не менее трех раз.
6. Проводят измерения времени падения груза m при других значениях момента Мн. Для этого либо добавляют на платформу дополнительные перегрузки, либо перебрасывают нить на другой шкив. При одном и том же значении момента инерции маятника необходимо провести измерения не менее чем с пятью значениями момента Мн .
7. Увеличивают момент инерции маятника. Для этого достаточно симметрично переместить грузы m1 на несколько сантиметров. Шаг такого перемещения должен быть выбран таким образом, чтобы получить 5-6 значений момента инерции маятника. Проводят измерения времени падения груза m (п.2-п.7). Все данные заносят в таблицу 2.1 отчета.
Обработка результатов. Исследование зависимости углового ускорения от момента силы при постоянном значении момента инерции.
1. Пользуясь формулами (2.4.), (2.5), (2.8), определяют для каждого опыта по средним значениям времени значения линейного ускорения а, углового ускорения e и момента силы натяжения нити Мн.
2. Строят графики зависимостей момента силы Мн, как функции, от углового ускорения e, как аргумента, для различных моментов инерции маятника J. Т. к. Мн = f(e) – линейная функция, то ее графики будут прямыми линиями. Если экспериментальные точки не ложатся на прямую, графики надо проводить так, чтобы «разброс» точек был приблизительно одинаков по обе стороны прямой. При этом они не обязательно пройдут через одну точку на вертикальной оси. Малый «разброс» точек свидетельствует о хорошей линейности функции Мн = f(e) и том, что угловое ускорение действительно прямо пропорционально полному моменту сил, приложенных к вращающемуся телу.
Обработка результатов. Исследование зависимости углового ускорения от момента инерции при постоянном значении момента силы
1. Для исследования используют ранее построенный график. Рассчитывают моменты инерции маятника по формуле (2.10). Для этого нужно выбирать точки прямо с графиков, например, А(М1н ,e1) и В(М2н,,e2 ).
2. На графике проводят горизонтальную прямую через произвольную точку на оси Мн, пересекающую графики Мн = f(e). Точки пересечения позволяют определить те значения угловых ускорений маятника, которые соответствуют разным значениям моментов инерции, но при постоянном значении момента силы M = Mн – Mтр. Записывают полученные значения e и соответствующие им значения J в таблицу 2.2. отчета.
3. Угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции, т. е. график зависимости e= f(J) представляет собой гиперболу и не идентифицируется. Но график зависимости e= f(J-1) должен представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат. Поэтому следует вычислить величины J-1 и построить соответствующий график. Угловой коэффициент наклона этого графика равен полному моменту приложенных сил.
Обработка результатов. Определение момента силы трения, действующей в системе
1. В идеальном случае все графики M=f(e) должны пересекаться в одной точке, лежащей на оси М. Координата этой точки дает значение момента силы трения. Для реальных же графиков, скорее всего, будет иметь место некоторый разброс в положении этой точки.
2. Определить по графику все значения момента силы трения и найти его среднее значение. Сравнить полученный результат с ранее измеренным в задании 1.
Задание 3. Сравнение измеренных и вычисленных значений моментов инерции
маятника
1. Выписывают в таблицу 2.4 отчета измеренные значения моментов инерции маятника.
2. Используя формулы для расчета моментов инерции геометрически правильных тел и теорему Гюйгенса – Штейнера, вычисляют моменты инерции шкивов, крестовины и грузов, вращающихся вокруг оси, не проходящей через их середину. Данные для расчета берут из «паспорта» прибора. Общий момент инерции маятника находится суммированием моментов инерции деталей маятника.
3. Сравнивают вычисленные и измеренные значения моментов инерции. Находят относительные отклонения вычисленных и измеренных моментов инерции: .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы Экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера и определение моментов инерции тел простой формы. Идея эксперимента В эксперименте используется связь между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции. В качестве маятника выбрана круглая платформа, подвешенная в поле тяжести на трех длинных нитях (трифилярный подвес). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. На платформу помещаются тела различной формы, измеряются периоды колебаний маятника и определяются значения моментов инерции этих тел. Теорема Гюйгенса – Штейнера проверяется по соответствию между экспериментальной и теоретической зависимостями моментов инерции грузов от их расстояния до центра платформы.
Теория Основное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид
, (3.1)
где w — угловая скорость вращения, J – момент инерции тела относительно оси вращения, М – момент внешних сил относительно этой оси.
Теорема Гюйгенса – Штейнера. Если момент инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, имеет значение J, то относительно любой другой оси, находящейся на расстоянии а от первой и параллельной ей, он будет равен
, (3.2)
где m– масса тела.
Для проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера в данной работе исследуются крутильные колебания твердого тела на трифилярном подвесе. Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу радиуса R, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины, укрепленных у ее краев (рис. 8). Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего размера (радиуса r). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси ОО¢, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движение платформы приводит к изменению положения ее центра тяжести по высоте.
Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то
приращение ее потенциальной энергии будет равно
, (3.3)
продолжение
--PAGE_BREAK--где g – ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия (h = 0) с кинетической энергией, равной
, (3.4)
где J – момент инерции платформы, w– угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия.
Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:
. (3.5)
Считая, что платформа совершает гармонические крутильные колебания, можно записать зависимость углового смещения платформы a от времени t в виде
, (3.6)
где a — угловое смещение платформы, a– угол максимального поворота платформы, т.е. амплитуда углового смещения, Т – период колебания. Для угловой скорости w, являющейся первой производной по времени от величины смещения, можно записать
. (3.7)
В моменты прохождения платформы через положение равновесия (t= 0, 0,5Т, …) величина w(t) будет максимальна и равна
. (3.8)
Из выражений (3.5) и (3.8) следует, что
. (3.9)
Если l длина нитей подвеса,R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус верхнего диска (рис. 8), то легко видеть, что
(3.10)
Так как , (3.11)
а при максимальном отклонении платформы от положения равновесия
, (3.12)
то
. (3.13)
При малых углах отклонения aзначение синуса этого угла можно заменить просто значением a. Учитывая также, что при Rl величину знаменателя можно положить равной 2l, получаем
(3.14)
При этом закон сохранения энергии (2.9) примет вид:
, (3.15)
откуда следует, что
(3.16)
По формуле (3.16) можно экспериментально определить момент инерции пустой платформы или платформы с телом, положенным на нее, так как все величины в правой части формулы непосредственно измеряются. Следует помнить, что m – это суммарная масса платформы и исследуемого тела, положенного на нее.
Экспериментальная установка Вид установки показан на рис.8. Отношение радиуса платформы к длине нитей подвеса R/l0,05, что соответствует приближениям, используемым при выводе формулы (3.16).
Тела на платформу необходимо класть строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы. Для облегчения определения положения грузов и более точной их установки на платформе нанесены радиальные линии и концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга (5 мм).
Вращательный импульс, необходимый для запуска крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг оси. Это достигается с помощью рычага, закрепленного на верхнем диске. При таком возбуждении почти полностью отсутствуют другие виды колебаний, наличие которых затрудняет измерения. При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими 10°.
Измерение времени колебаний может проводиться или с помощью ручного секундомера или с помощью таймера.
Проведение эксперимента Задание 1. Измерение момента инерции пустой платформы
Измерения и обработка результатов 1. Момент инерции пустой платформы Jпл определяется по формуле (3.16). При этом период колебаний пустой платформы Ти его погрешность определяются на опыте, а величины l, R, r, m и их погрешности даются, как постоянные установки.
2. Сообщают платформе вращательный импульс и измеряют время tнекоторого числа (N= 15 –20) полных колебаний. Такие измерения повторяют 3 – 5 раз. Полученные результаты заносят в таблицу 3.1 отчета.
3. По экспериментальным данным для каждого опыта находят значение периода крутильных колебаний.
4. Находят среднее значение и полную погрешность периода колебаний. При этом систематическая погрешность в измерении периода может быть взята равной .
5. Вычисляют момент инерции платформы JплЭ. Находят величину относительной и абсолютной погрешности для момента инерции платформы.
6. Рассчитывают теоретически момент инерции платформыJплT, исходя из ее массы и размеров. Находят погрешность такого расчета.
7. Сравнивают измеренное на опыте и вычисленное теоретически значение момента инерции пустой платформы. Указывают на сколько процентов экспериментальное
значение отличается от теоретического: .
Задание 2. Определение моментов инерции тел заданной формы
Измерения и обработка результатов 1. Платформу поочередно нагружают исследуемыми телами таким образом, чтобы их центр масс совпадал с осью вращения платформы. В качестве исследуемых тел выбираются пластины, имеющие форму квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника, диска, а также другие тела правильной геометрической формы.
2. Измеряют время нескольких колебаний всей системы. Для каждого тела проводят измерения 3 – 5 раз. Результаты измерений заносят в таблицу 3.2 отчета.
3. Вычисляют моменты инерции нагруженных платформ JN и их погрешности. При этом необходимо учесть, что в формулу (3.16) следует подставлять сумму масс тела и платформы, а в формуле погрешности погрешность массы равна суммарной погрешности массы платформы и тела.
4. Пользуясь тем, что момент инерции – величина аддитивная, вычисляют моменты инерции тел: JЭ= JN– JплЭ. Находят величину абсолютной и относительной погрешности для моментов инерции тел.
5. Проводят сравнение экспериментально полученных значений моментов инерции с рассчитанными теоретически (см. Приложение 3). Результаты расчетов заносят в таблицу 3.3 отчета.
Задание 3. Проверка теоремы Гюйгенса — Штейнера
Измерения 1. Для проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера используют два или несколько одинаковых тел, имеющих цилиндрическую форму.
2. Устанавливают грузы в центре платформы, положив их один на другой. Возбуждают крутильные колебания платформы. Измеряют время t нескольких колебаний (N= 15 – 20). Данные заносят в таблицу 3.4 отчета.
3. Располагают грузы симметрично на платформе относительно оси вращения. Проводят измерение времени колебаний для 5 – 7 положений грузов, постепенно перемещая их к краям платформы. Заносят в таблицу 3.4 значения расстояний от центра масс каждого тела а до центра платформы, число колебаний N и время этих колебаний tN.
Обработка результатов 1. Для каждого положения грузов определяют период колебаний грузов Ti. 2. Заносят в таблицу значения а2.
3. Для каждого положения грузов находят значения момента инерции платформы с грузами Ji по формуле (3.16).
4. Полученные значения момента инерции Ji наносят на график зависимости момента инерции системы тел от квадрата расстояния центра масс грузов до оси вращения а2 (схематично эта зависимость представлена на рис. 9). Как следует из теоремы Гюйгенса – Штейнера, этот график должен быть прямой линией, с угловым коэффи-
циентом численно равным 2mгр, где mгр– масса одного груза. Кроме того, отрезок, отсекаемый от оси ординат, равен сумме моментов инерции ненагруженной платформы и моментов инерции грузов b= Jпл+ 2J0гр.
5. Из зависимости J=f(a2) определяют значение mгр и величину b. Сравнивают полученное значение с массами грузов, используемыми в работе, а также полученное значение b с расчетным значением. Совпадение этих величин (с учетом погрешностей вычислений) также подтверждает теорему Гюйгенса-Штейнера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА И СИЛЫ ТРЕНИЯ В ОПОРЕ Цель работы Определение момента инерции колеса и момента силы трения в опоре, используя закон сохранения и превращения энергии.
Идея эксперимента В эксперименте используется массивное колесо, насаженное на горизонтально расположенный вал. Колесо приводится во вращение с помощью намотанного на вал шнура, к концу которого прикреплен груз.
Теория Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Необходимо иметь в виду, что момент инерции в общем случае может иметь разные значения относительно разных осей вращения тела. Если тело имеет произвольную форму и произвольное распределение масс, момент инерции можно определить только приблизительным суммированием
,
где ri– расстояние от оси вращения до i-той элементарной массы Dmi.
Если тело имеет правильную геометрическую форму и постоянную плотность по всему объему, суммирование может быть заменено интегрированием по всему объему
.
Для расчета моментов инерции тел, имеющих простую геометрическую форму (диск, стержень, квадрат и т.д.), обычно пользуются готовыми формулами (Приложение 3).
В случаях, когда расчет моментов инерции тел затруднен, применяют различные способы их измерения. Ряд таких способов рассмотрен в данном практикуме. В настоящей работе предлагается энергетический подход к определению момента инерции.
Маховое колесо (рис. 10) состоит из маховика А, жестко закрепленного на горизонтальном валу В. На вал наматывается шнур, к концу которого прикреплен груз массой m, под действием силы тяжести которого вал может раскручиваться. При вращении любого тела возникают моменты сил, препятствующих его вращению. Эти моменты создаются, в основном, силами трения в опорах и, частично, силой сопротивления воздуха. Последний в данной работе не учитывается из-за его малости. Величина момента силы трения Мтр в опорах может быть установлена, например, из условия равновесия М — Мтр =0, а также по потере энергии вращающегося тела, как это сделано в даннойработе. При падении с высоты h1 потенциальная энергия груза mgh1 идет на увеличение кинетической энергии поступательного
движения самого груза mv2/2, на увеличение кинетической энергии вращательного движения маховика и вала прибора Jw2/2 и на совершение работы А = Мтрj по преодолению трения в опорах. По закону сохранения энергии
, (4.1)
где j1– угловое перемещение вала в опоре, соответствующее перемещению h1 груза.
Движение груза равноускоренное, без начальной скорости, поэтому
, (4.2)
где t – время опускания груза с высоты h1. Угловая скорость махового колеса
, (4.3)
где r – радиус вала В. Момент силы трения Мтр устанавливается следующим образом. Колесо, вращаясь по инерции, поднимает груз на высоту h2h1, на которой потенциальная энергия будет равна mgh2. Изменение потенциальной энергии при движении груза равно работе по преодолению момента силы трения в опорах, т.е.
. (4.4)
Откуда
. (4.5)
Выражая угловой путь (j1 + j2) через линейный (h1 + h2) и радиус вала r, получаем
. (4.6)
Это выражение является рабочей формулой для измерения Мтр. Подставляя в формулу (4.1) значения v, w, Мтр из (4.2), (4.3), (4.6), получаем рабочую формулу для определения момента инерции махового колеса
. (4.7)
Экспериментальная установка
При подготовке к измерению махового колеса шнур наматывается на вал виток к витку. К концу шнура прикреплена платформа известной массы, на которую накладываются грузы из набора к установке. Для измерения высоты падения груза h1и высоты его поднятия h2 рядом с установкой укреплена масштабная линейка. Время падения груза измеряется с помощью ручного или стационарного электронного секундомера.
Проведение эксперимента
Задание 1. Измерение момента инерции махового колеса и момента силы трения
Измерения
1. Штангенциркулем измеряют радиус вала.
2. Высоту падения груза h1 во всех опытах можно брать одной и той же. Поэтому ее можно предварительно измерить как расстояние между заранее выбранным верхним
положением груза и его положением при полном разматывании шнура.
3. Наматывают шнур на вал, поднимая груз до выбранной отметки. На платформу кладут один груз из набора. Измеряют время падения груза до полного разматывания шнура.
4. Измеряют высоту h2, на которую поднимается груз после разматывания шнура.
5. Опыт с одним грузом повторяют не менее трех раз. Затем выполняют измерения с двумя и тремя грузами. Все данные заносят в таблицу 4.1 отчета.
Обработка результатов 1. По формулам (4.6) и (4.7) для каждого значения массы вычисляют момент силы трения в опорах и момент инерции махового колеса, подставляя средние значения времени t и высоты h2.
2. Находят среднее значение момента инерции махового колеса. Не имеет смысла находить среднее значение момента силы трения, так как при разных нагрузках на вал он должен иметь разные значения.
3. Погрешности измерения момента инерции предлагается оценить для опыта с одним из грузов. Полученное значение относительной погрешности момента инерции можно применить к среднему значению момента инерции. Величины систематических погрешностей измерений высот h1 и h2 следует брать, исходя из реальных условий их измерения. Погрешности измерений масс платформы и грузов равны ±0,5г.
4. Анализируют вклад погрешностей измерений всех величин в общую погрешность и указывают, какая из величин должна быть измерена с наибольшей точностью.
Задание 2. Вычисление момента инерции махового колеса
Необходимо рассчитать момент инерции махового колеса, исходя из его конструкции и геометрических размеров. Плотность железа принять равной 7,8 г/см3. Погрешность этого расчета можно не определять. Рассчитанное значение момента инерции сравнивают с измеренным.
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ПРИ УДАРЕ Цель работы Ознакомиться с явлением удара на примере соударения подвешенных на нитях шаров.
Идея эксперимента Исследование упругого и неупругого удара шаров позволяет экспериментально проверить законы сохранения импульса и энергии, на базе которых выведены рабочие формулы, а также установить некоторые закономерности ударов. Проводится сопоставление теоретических выводов и экспериментально полученных результатов.
Теория Удар – совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил, связанных со значительным изменении его скорости за очень краткий промежуток времени. Удар обычно протекает в течение тысячных или даже миллионных долей секунды. Удар называется центральным и прямым, если при ударе центры тяжести тел лежат на линии удара, а их относительная скорость параллельна линии удара. В зависимости от упругих свойств тел, характер удара может изменяться от абсолютно упругого до абсолютно неупругого. Рассеивание энергии при ударе, т.е. переход механической энергии в другие виды, характеризуется коэффициентом восстановления скорости kск или коэффициентом восстановления энергии kэ.
продолжение
--PAGE_BREAK-- Коэффициент восстановления скорости определяется как отношение модуля относительной скорости тел после удара к модулю относительной скорости тел до удара
, (5.1)
где v1,v2 – скорости тел до удара,u1, u2 – скорости тел после удара.
Коэффициент восстановления энергии определяется как отношение суммарной кинетической энергии тел после удара к суммарной кинетической энергии тел до удара
. (5.2)
Нетрудно убедиться, что для абсолютно упругого удара kэ=1 и kск=1, а для абсолютно неупругого удара kск=0. В реальных ударах 0 и 0kск. Величина коэффициентов восстановления зависит от физических свойств материалов соударяющихся тел, от их формы, а для неупругого удара также в сильной степени зависит от масс соударяющихся тел.
В данной работе изучается центральный удар двух шаров, подвешенных на нитях. Опыты будут ставиться так, что один из шаров до удара покоится.
Упругий удар шаров
Обозначим массы шаров m1 иm2, скорости шаров до удара и, скорости шаров после удара и соответственно. К абсолютно упругому соударению шаров применим как закон сохранения импульса, так и закон сохранения механической энергии
. (5.3)
Решение этой системы уравнений позволяет найти скорости шаров после удара
и , (5.4)
или, разделив числитель и знаменатель этих выражений на m1:
и , (5.5)
где a= m2/m1– отношение масс шаров.
Величина aвсегда положительна, поэтому второй шар после удара всегда движется в ту же сторону, куда двигался первый шар до удара. Первый же шар после удара может продолжать движение в ту же сторону, что и до удара, если его масса больше массы второго шара (a, или же отскакивать, если его масса меньше массы второго шара (a>1). В случае равенства масс шаров (a=1), первый шар после удара останавливается, а второй шар, неподвижный до удара, начинает двигаться со скоростью первого шара (обмен скоростей).
Отношение кинетической энергии , переданной во время удара первоначально покоящемуся шару, к кинетической энергии ударяющего шара определяется соотношением
. (5.6)
Величину f можно условно назвать эффективностью упругого удара. Она дает долю энергии первого шара, которую получил второй шар после удара. Между величинами f и aсуществует взаимно однозначное соответствие, в то время как одному и тому же a могут соответствовать множество значений энергии в зависимости от начальных значений скорости . Нужно отметить, что ход f(a) не зависит от начальной скорости или m1и m2, а только от отношения m2/m1. Исследование функции (5.6) показывает, что второй шар получает от первого наибольшую энергию в том случае, когда массы шаров равны, т. е. при a=1. При этом f=1 и , вся энергия достается второму шару, а первый после удара останавливается.
Как уже указывалось, в реальном ударе часть кинетической энергии шаров переходит во внутреннюю энергию, и в предлагаемом случае, когда , . Поэтому зависимость (5.6) выполняется только с определенной степенью точности.
Неупругий удар шаров
В сущности, любой реальный удар является неупругим. Рассмотрим такой неупругий удар, после которого шары «слипаются» и движутся с одинаковой скоростью . Применяя к этому удару закон сохранения импульса, можно получить выражение для общей скорости шаровпосле удара
или , (5.7)
где a— по-прежнему отношение масс шаров.
Коэффициент восстановления энергии при неупругом ударе равен
. (5.8)
Он оказывается зависимым от отношения масс шаров.
Интересно также вычислить величину, которая показывает, какая часть кинетической энергии соударяющихся шаров преобразуется во внутреннюю энергию. Эту величину можно назвать эффективностью неупругого удара , (5.9)
где и — суммарные энергии системы до и после удара.
Очевидно, что q, рассматриваемая как функция от a, есть неизменная теоретическая функция. В то же время, эта функция, будучи просчитана по результатам измерений энергий и , является экспериментальной и может отличаться от первой.
Экспериментальная установка Для экспериментального изучения центрального удара шаров используется установка, представленная на рис. 11. Она представляет собой систему двух шаров – левого (Л) и правого (П), подвешенных к штангам 1 на бифилярных (двойных) подвесах. Бифилярные подвесы обеспечивают движение шаров в одной вертикальной плоскости и предотвращают их вращение вокруг вертикальной оси. Длина подвесов устанавливается такой, чтобы в состоянии покоя центры шаров находились на одном уровне вне зависимости от их размеров. Мгновенные скорости шаров до и после удара можно определить из закона сохранения энергии
.
Отсюда . В данном случае высоту поднятия шара h удобно выразить через угол отклонения шара j
, (5.10)
где l – длина подвеса шаров.
Отсчет углов отклонения шаров ведется по правой и левой круговым шкалам 2 со смещенными по горизонтали нулями.
Для удержания шаров в исходном положении установка снабжена двумя электромагнитами 3, которые обесточиваются с помощью тумблеров «Пуск».
К установке прилагается набор шаров, массы которых измерены с относительной погрешностью 1 % .
Проведение эксперимента
Задание 1. Изучение упругого столкновения шаров
Измерения
1. В качестве ударяющего обычно выбирается левый шар. Его отводят на угол 30 — 40°, который во всех опытах можно оставлять постоянным. Правый шар, согласно условиям этой работы, до удара должен быть неподвижным и находится в нижнем положении.
2. Перед каждым опытом проводят необходимую регулировку подвесов шаров для того, чтобы удар был центральным. В равновесном состоянии шары должны только касаться друг друга, а их центры должны находиться на одной высоте. Для проверки регулировки проводят несколько пробных соударений.
3. При отсчете углов отклонения шаров глаз нужно располагать так, чтобы он был в створе с обеими нитями. Будем считать углы отклонения шаров вправо — положительными, а углы отклонения влево и соответствующие им скорости – отрицательными. Так как трудно засечь значение двух углов одновременно, каждый опыт приходиться делать дважды: один раз для того, чтобы засечь угол отклонения правого шара, второй раз – левого.
4. Из набора шаров выбирают шар средней массы и укрепляют его на левом подвесе. На правом подвесе вначале укрепляют шар наименьшей массы.
5. Проводят не менее трех опытов для того, чтобы иметь возможность вычислить средние значения углов отклонения.
6. Далее проводят опыты со всеми другими шарами из набора, по очереди подвешивая их на правый подвес. Левый шар можно не менять. Все данные измерений заносят в таблицу 5.1 отчета.
Обработка результатов
1. Для каждого опыта вычисляют скорости шаров до и после удара. Вычисляют коэффициенты восстановления скорости и находят его среднее значение по результатам всех опытов. Вычисляют стандартное отклонение среднего значения коэффициента (табл. 5.2 отчета).
2. Для каждого опыта вычисляют кинетические энергии шаров до и после удара. Вычисляют кинетические энергии системы до и после удара. Вычисляют коэффициенты восстановления энергии и находят его среднее значение по результатам всех опытов. Вычисляют стандартное отклонение среднего значения коэффициента (табл. 5.3 отчета).
3. Подставляя в формулу (5.6) различные значения отношения масс шаров a(лучше брать те значения, которые имеются в опыте), вычисляют теоретические значения эффективности упругого удара fтеор.
4. Для каждого опыта вычисляют экспериментальную эффективность упругого удара fэксп., как .
5. Строят графики зависимости теоретического и экспериментального значений эффективности упругого удара от отношения масс шаров a (на одних координатных осях). Делают вывод о совпадении теории и эксперимента.
Задание 2. Изучение неупругого столкновения шаров
1. Измерения
1. Для того чтобы получить неупругий удар шаров к неподвижному шару прикрепляют кусочек пластилина. Необходимо добиться, чтобы после удара шары двигались как одно целое.
2. Слева подвешивается шар средней массы. Правые шары меняются для того, чтобы получить различные отношения масс шаров. Результаты измерения углов отклонения заносят в таблицу 5.4 отчета.
Обработка результатов
1. Для каждого опыта вычисляют скорости и кинетические энергии шаров до и после удара (табл. 5.5 отчета). Вычисляют коэффициенты восстановления энергии шаров. Вычисляют эффективности неупругого удара qэкспер.
2. Подставляя в формулу (5.9) различные значения отношения масс шаров, вычисляют теоретические значения эффективности упругого удара qтеор.
3. Строят графики зависимости теоретического и экспериментального значений эффективности неупругого удара от отношения масс шаров a (на одних координатных осях). Делают вывод о совпадении теории и эксперимента.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ МЕТОДОМ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы
Изучение практического приложения теории неупругого удара, а также законов сохранения импульса и энергии.
Идея эксперимента
Скорость полета пули обычно достигает значительной величины. Поэтому прямое измерение скорости, т. е. определение времени, за которое пуля проходит известное расстояние, требует специальной аппаратуры. Много проще измерять скорость пули косвенными методами, среди которых широко распространены методы, использующие неупругие соударения, т. е. соударения, в результате которых сталкивающиеся тела соединяются вместе и продолжают движение как целое. К числу методов, основанных на этой идее, относится метод баллистического маятника.
Теория Баллистический маятник представляет собой тяжелое тело, подвешенное на четырех нитях (рис. 12). Горизонтально летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем, – происходит неупругий удар. После удара маятник начинает качаться на нитях, так что его продольная ось остается параллельной самой себе, центр масс перемещается по окружности, а тело в целом движется поступательно.
Соударение пули с маятником происходит в течение очень короткого промежутка времени, но за это время маятник приобретает некоторую скорость и незначительно сдвигается из положения равновесия. При таких малых перемещениях смещение маятника происходит практически без изменения высоты. При соударении пули с маятником справедлив закон сохранения импульса
, (6.1)
где m – масса пули,M – масса маятника,v – скорость пули, V – скорость маятника непосредственно после удара.
Чтобы определить величину V, нужно измерить высоту h, на которую поднимается маятник после удара. Из закона сохранения энергии получается
. (6.2)
Соотношения (6.1) и (6.2) дают . (6.3)
Высоту подъема центра масс маятника можно определить из рис. 13:
,
где R-расстояние от шкалы с миллиметровыми делениями до уровня подвеса маятника.
Учитывая, что hR, получаем: 2Rh= s2. Определяя отсюда h и подставляя в (6.3), получаем рабочую формулу метода
. (6.4)
Для определения скорости пули можно применить модифицированный баллистический метод, используя физический маятник в виде стержня или деревянной рейки, подвешенной за один конец (рис. 14).
Пуля, ударившись о линейку, приводит её в движение с некоторой угловой скоростью w и сообщает ей кинетическую энергию
. (6.5)
Момент инерции линейки (стержня) находится по стандартной формуле
. (6.6)
После удара линейка поворачивается на некоторый угол, причем центр ее тяжести поднимается на высоту h, которую, как и в первом опыте, можно найти из соотношений в треугольниках
. (6.7)
По закону сохранения энергии
. (6.8)
К удару пули о линейку можно также применить закон сохранениямомента импульса
, (6.9)
где M – масса линейки, m –масса пули, l – длина линейки,R – расстояние от точки удара пули до оси вращения линейки.
Соотношения (6.5) – (6.9) позволяют получить окончательную формулу для вычисления скорости пули (вывод рабочей формулы выполнить самостоятельно). При выводе можно считать, что l» R, т. к. выстрел обычно производиться в точку, расположенную вблизи конца линейки.
Экспериментальная установка Используемый в данной работе баллистический маятник представляет собой обрезок трубы с пластилином, подвешенный на четырех нитях. В нижней части маятника укреплен визир. При перемещении маятника визир передвигает измерительную планку вдоль горизонтальной миллиметровой шкалы, что позволяет измерить смещение s. На некотором расстоянии от маятника укреплено пневматическое ружьё. При выстреле скорость пули направлена по прямой, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярно к оси его вращения.
Для второго опыта деревянную линейку подвешивают на оси. Выстрел производиться в коробочку с пластилином, укрепленную на конце линейки.
Проведение эксперимента
Задание 1. Определение скорости пули с помощью баллистического маятника
Измерения
1. Знакомятся с конструкцией прибора, учатся пользоваться пневматическим ружьем.
2. Записывают исходные данные опыта: массу маятника М и расстояние R. Для выстрелов желательно использовать одну и ту же пулю, масса которой вместе с погрешностью ее измерения известны.
3. Производят 3 – 5 выстрелов. В каждом опыте записывают смещение s. Все полученные данные заносят в таблицу 6.1 отчета.
Обработка результатов
1. Расчет скорости пули проводится по формуле (6.4), в которую подставляется среднее по всем опытам значение s.
2. Выводят формулу для расчета погрешности измерения скорости пули. В качестве погрешностей измерения входящих в формулу масс берут заданные погрешности DМ иDm. Погрешность DR выбирают, исходя из условия измерения величины R. Инструментальная погрешность измерения смещения s равна Ds= 0,5 мм.
Задание 2. Определение скорости пули с помощью физического маятника.
Измерения и обработка результатов
Баллистический маятник отводят в сторону и укрепляют на оси линейку. Методика проведения опыта аналогична той, которая используется в задании 1. Все данные заносят в таблицу 6.2. отчета.
продолжение
--PAGE_BREAK-- В отчете необходимо представить рабочую формулу и формулу для расчета погрешности v.
В выводе необходимо сравнить результаты, полученные в первом и втором задании.
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы
Изучение основных закономерностей колебательного движения физического маятника.
Идея эксперимента
В эксперименте исследуется физический маятник, представляющий собой прямой стержень, колеблющийся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести стержня.
Теория
Колебания являются одним из наиболее распространенных видов движения. При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими.
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис. 15).
Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j, то составляющаясилы тяжести уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом
. (7.1)
Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника
из положения равновесия sinj»j, поэтому Ft»-mgj. Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения
, (7.2)
где М – момент силы Ft относительно оси О, J – момент инерции маятника относительно оси О, — угловое ускорение маятника.
Момент силы в данном случае равен
M= Ft×l= -mgj×l, (7.3)
где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.
С учетом (7.2) уравнение (7.1) можно записать в виде
(7.4)
или
, (7.5)
где
Решением дифференциального уравнения (7.5) является функция
j=j×cos(wt+a) , (7.6)
позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t. Из выражения (7.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания (колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по законам синуса или косинуса) с амплитудой колебаний j, циклической частотой , начальной фазой a и периодом
, (7.7)
где L= J/(mg) – приведенная длина физического маятника, т.е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника.
Формула (7.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси.
Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (7.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 3). Например, для физического маятника, имеющего вид однородного стержня, колеблющегося вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню, формула (7.7) приобретает вид
, (7.8)
где d– длина стержня, l – расстояние от оси качаний до центра тяжести стержня.
Экспериментальная установка
Применяемый в данной работе физический маятник состоит из однородного металлического стержня и опорной призмы, которая может перемещаться вдоль стержня. Можно также использовать стержень с отверстиями, с помощью которых маятник одевается на горизонтальную ось. Период колебаний маятника измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.
Проведение эксперимента
Задание 1. Изучение зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния между осью качаний и центром тяжести маятника.
Измерения
Измеряют периоды колебаний Т физического маятника при различных расстояниях l между центром тяжести и осью качаний. Шаг изменения расстояния l выбирают с таким расчетом, чтобы получить 8-10 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте 15-20. Полученные данные заносят в таблицу 7.1 отчета.
Обработка результатов
1. Вычисляют периоды колебаний маятника во всех опытах.
2. Строят график зависимости периода колебаний маятника от расстояния l.
3. График T = f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. В качестве новых переменных выбирают Т2lи l2, т. е. строят график зависимости (Т2l) = f(l2). Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о правильности формулы периода колебаний физического маятника.
4. Производят обработку результатов с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
5. Используя полученное уравнение прямой, находят величины и . Вычисляют погрешности измерения этих величин.
6. Вычисляют ускорение свободного падения g и погрешность его измерения.
7. Вычисляют длину стержняd и погрешность её измерения. Для вычисления используют раннее полученное значение g и погрешность его измерения.
8. Сравнивают полученное значение g с табличным значением, а величину d c длиной стержня. Делают вывод о точности проделанных измерений.
9. Для случая, когда расстояние l имеет наибольшее значение, вычисляют приведенную длину физического маятника.
Задание 2. Определение моментов инерции тел различной формы методом колебаний.
1. Из набора тел к работе берут (по указанию преподавателя) одно и измеряют период его колебаний относительно произвольной оси.
2. С помощью формулы (7.7) вычисляют момент инерции тела относительно оси качаний.
3. Производят необходимые геометрические измерения и, зная массу тела, вычисляют момент инерции тела относительно центра масс. С помощью теоремы Гюйгенса –Штейнера рассчитывают момент инерции тела относительно оси, проходящей через ось качаний. Измеренный и вычисленный результаты сравнивают в выводе.
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы
Изучение основных закономерностей колебательного движения математического маятника.
Идея эксперимента
В эксперименте исследуется колебательное движение груза, подвешенного на длинной нити. Соотношение его элементов таково, что этот физический маятник с достаточной степенью точности может считаться моделью математического маятника.
Теория
Маятник – тело, совершающее колебательное движение под действием квазиупругой
силы. Простейший маятник – массивный груз на подвесе. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О. Такой маятник называется математическим.
На маятник действуют силы: натяжения нити и тяжести , которые в положении равновесия компенсируют друг друга. Для возбуждения колебаний маятник выводят из положения равновесия (рис.16). Теперь и маятник обладает избыточной потенциальной энергией mgh по отношению к положению равновесия. Эта энергия обуславливает колебание, происходящее по окружности и описываемое основным уравнением динамики вращательного движения
, (8.1)
где — результирующий вращающий момент, — угловое ускорение,J = ml2 – момент инерции шарика относительно оси ОО¢, проходящей через точку подвеса О, перпендикулярно плоскости колебаний (плоскости чертежа). Результирующий момент силы натяжения нити и силы тяжести равен
. (8.2)
Тогда . (8.3)
Угол — вектор, направленный от читателя вглубь, так как отсчет угла ведется по часовой стрелке. Векторы направлены по оси вращения.
Спроецируем выражение (8.3) на осьОО¢. Примем за положительное направление оси направление вектора . Тогда
, (8.4)
где — радиус-вектор точки, модуль которого равен длине подвеса .
Очевидно, что угол , а угол . Тогда
. (8.5)
Или, так как
. (8.6)
Для достаточно малых углов sinj»j, тогда
, (8.7)
где .
Решение уравнения (8.7) представляет собой гармоническую функцию, соответствующую гармоническому колебанию
, (8.8)
где j– амплитуда, w– частота так называемых собственных колебаний, a– начальная фаза.
Мы видим, что wоказывается циклической частотой этого колебания с периодом
. (8.9)
Решение уравнения (8.6) сложнее и представляет собой колебание с непрерывно изменяющейся частотой, которой соответствует период
. (8.10)
Экспериментальная установка Используемый маятник – шарик на бифилярном (двойном) подвесе. (рис. 17). Прибор состоит из горизонтальной планки Г, прикрепленной к стене, вертикальной шкалы Ш, подвеса П с шариком и устройства У для изменения длины маятника. Вверху прибора может быть укреплен транспортир для отсчета углов
отклонения маятника. Кроме того, угол может задаваться по первоначальному отклонению маятника: . Маятник может быть снабжен таймером, который позволяет отсчитывать время некоторого заранее заданного числа колебаний.
Проведение эксперимента
Задание 1. Проверка независимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при малых углах отклонения
Измерения и обработка результатов
Согласно теории период колебаний математического маятника практически не зависит от амплитуды колебаний при углах отклонения менее 5° – формула (8.10). Во всяком случае, эта зависимость лежит за пределами точности измерений периода в нашем опыте – 0, 01 с. При малых углах отклонения оказывается справедливой формула (8.9). Это утверждение и подлежит проверке в данном задании.
1. Измеряют период колебаний математического маятника при постоянной длине (» 2 м) и массе маятника при углах отклонения 1°, 2°, 3°,4°и 5°. Число колебаний выбирают равным 15-20. Данные заносят в таблицу 8.1 отчета.
2. Вычисление периода колебаний производят с точностью до 0,001 секунды. Если различие в периоде колебаний не превышает 0,01 с, то можно сделать вывод о практической независимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при малых углах отклонения.
Задание 2. Проверка зависимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при углах отклонения, больших 5°.
1. Измеряют период колебаний математического маятника при постоянной длине (» 2 м) и массе маятника при больших углах отклонения от 5° до 60°с шагом 5°. Число колебаний выбирают равным 15-20. Вычисляют период колебаний с точностью до 0,001 с. Данные заносят в таблицу 8.2 отчета.
2. С помощью формулы (8.10), используя два первых члена формулы, вычисляют теоретические значения периодов колебания математического маятника при заданной длине маятника и выбранных углах.
3. На одном графике строят теоретическую и экспериментальную зависимости периодов колебаний математического маятника от угла отклонения. Обе кривые должны если не совпадать, то, во всяком случае, иметь одинаковый ход. В выводе надо объяснить некоторое несовпадение двух кривых.
Задание 3. Проверка независимости периода колебаний математического маятника от его массы.
1. Для проверки необходимо использовать тела разной массы, но имеющие одинаковые размеры и форму, что позволяет считать силу сопротивления воздуха во всех опытах одинаковой. При этом тела не обязательно должны иметь шарообразную форму. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5°.
Задание 4. Изучение зависимости периода колебаний математического маятника от его длины и определение ускорения свободного падения.
1. Подвешивают на нити стальной шар. Длину подвеса изменяют в пределах от 0,8 до 2,5 м с шагом приблизительно 20 см. Число колебаний в каждом опыте 20-30. Полученные данные заносят в таблицу 8.4 отчета. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5°.
2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Для этого можно, например, построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о выполнении формулы (8.9).
3. Для определения с помощью полученного графика ускорения свободного падения сначала необходимо получить точное уравнение экспериментальной прямой. Для этого
применяют метод наименьших квадратов (МНК). Находят угловой коэффициент прямой, т.е. значение коэффициента kв полученном уравнении. Вычисляют ускорение свободного падения.
По формулам МНК определяют погрешность измерения g.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА Цель работы
Изучение метода оборотного маятника для определения ускорения свободного падения.
Идея эксперимента
Применение оборотного маятника основано на свойстве сопряженности центра качания и точки подвеса. Это свойство заключается в том, что во всяком физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период колебаний его остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет собой приведенную длину данного маятника.
Теория и описание экспериментальной установки
Если амплитуда физического маятника мала, то период его колебаний определяется формулой
, (9.1)
где J — момент инерции физического маятника относительно оси качания, l1 -расстояние между осью качания и центром тяжести маятника, m — масса маятника.
По теореме Гюйгенса-Штейнера
, (9.2)
где J — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси качаний, а величины J, mи l1те же, что и в формуле (9.1).
Если последовательно подвешивать маятник в двух точках, то периоды его колебаний определяются уравнениями
(9.3)
Отсюда имеем
(9.4)
продолжение
--PAGE_BREAK-- Для величины ускорения свободного падения из последней формулы после преобразований получаем уравнение, данное Бесселем:
, (9.5)
где l=l1+l2 -приведенная длина маятника.
Если периоды равны между собой (T1=T2=T), уравнение принимает вид
(9.6)
Добиться полного равенства периодов нелегко. Формула Бесселя позволяет достаточно просто и с неменьшей степенью точности определить величину ускорения при приближенном равенстве периодов колебаний.
Пусть T1 и Т2 близки друг к другу, а величины а1 и а2сильно отличаются одна от другой. В этом случае, как видно из формулы (9.5), нет необходимости определять величины а1 и а2 с большой степенью точности (не точнее чем 1 мм).
Оборотные маятники имеют различную форму. Они обычно состоят из металлического стержня длиной свыше 1 м. По стержню могут передвигаться и закрепляться тяжелые и легкие чечевицы (грузы) и опорные призмы.
Проведение эксперимента
Измерения и обработка результатов.
1. Готовят оборотный маятник к измерениям. Опорные призмы рекомендуется расположить на расстояниях 20 — 25 см от концов маятника. Подвижную чечевицу последовательно перемещают с шагом 1-2 см от конца маятника к призме П2. В отчете выполняют чертеж маятника с указанием всех размеров, определяющих геометрию маятника.
2. Маятник приводят в колебание на опорной призме П1 и определяют период колебаний Т1. Измерение периода проводят, беря не менее 10 колебаний. Угловая амплитуда колебаний не должна превышать 4°.
3. Меняют ось колебаний, подвешивая маятник на другой призме. Проводят измерения периода Т2.
4. Перемещают чечевицу А2. Снова измеряют периоды колебаний на призмах П1 и П2. И т. д. Данные измерений заносят в таблицу 9.1 отчета.
5. По полученным данным строят графики зависимостей Т1 = f1(d) и Т2 = f2(d), где d — расстояние от призмы П2до подвижной чечевицы. Точка пересечения кривых определяет такое положение чечевицы А2, при котором значения периодов наиболее близки.
6. Для найденного положения чечевицы А2 определяют периоды колебаний Т1 и Т2(в прямом и перевернутом положении маятника) с наибольшей тщательностью. Определяют время 40 — 60 колебаний маятника не менее трех раз, откуда вычисляют средние значения периодов колебаний и погрешности их измерений.
7. Для определения положения центра тяжести маятника его тщательно уравновешивают на трехгранной подставке. Измерение расстояний l1 иl2 производят масштабной линейкой с точностью до миллиметра.
8. По полученным данным с помощью формулы Бесселя (9.5) определяют величину ускорения свободного падения.
9. Относительная погрешность измерения ускорения свободного падения определяется по формуле
, (9.5)
где величина DТ полная погрешность измерения одного из периодов.
10. В выводе сравнивают измеренное и табличное значения ускорения свободного падения.
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА
К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ Цель работы
Изучить устройство, работу электронного осциллографа и генератора звуковой частоты и их применение к исследованию электрических колебаний звуковой частоты.
Идея эксперимента
При изучении механических колебаний в студенческой лаборатории возникают большие сложности при постановке и выполнении некоторых опытов. Так, например, нелегко на механических моделях провести наблюдения явлений, возникающих при сложении колебаний, или проводить измерения характеристик затухающих колебаний. Это связано с трудностями изготовления соответствующих механических приборов и проведения измерений. В данной работе механические колебательные системы заменены на электрические – колебательные контуры и электрические генераторы, а основным измерительным прибором является электронный осциллограф, который обладает уникальными возможностями для наблюдения колебательных процессов. При этом наблюдения и выводы, сделанные в этой работе для электрических колебаний применимы и для механических колебаний.
Электронный осциллограф
Блок-схема осциллографа представлена на рис.19. Основной блок осциллографа – электронно-лучевая трубка (ЭЛТ), в которой возникает и фокусируется электронный луч. Там же расположены системы, с помощью которых можно управлять движением луча, отклоняя его в вертикальном и горизонтальном направлениях. Движущийся луч
оставляет на экране трубки, покрытой специальным составом, светящийся след. Осциллограф имеет два входа. Сигнал, поданный на Вход 1, поступает на усилитель У1, а затем подается на вертикально отклоняющую систему ЭЛТ. Сигнал, поданный на Вход 2, поступает на усилитель У2, а затем подается на горизонтально отклоняющую систему ЭЛТ. В дальнейшем Вход 1 будем называть Y-входом, Вход 2 – X-входом.
Различают два основных режима работы осциллографа. В первом режиме на X — и Y-входы подаются два внешних сигнала. Переключатель П устанавливается в положение 1. В результате сложения этих сигналов, действующих по двум взаимно-перпендикулярным направлениям, на экране ЭЛТ появляется линия. Во втором режиме на Y-вход подается один внешний сигнал. Переключатель П поставлен в положение 2. На усилитель У2 подается входное напряжение от генератора развертки (ГР), обеспечивающее перемещение луча в горизонтальном направлении по линейному закону. На экране ЭЛТ возникает линия, характеризующая изменение внешнего сигнала во времени.
На рис. 20 изображена передняя панель осциллографа С1-1 (ЭО-7), на которой распо-
ложены экран ЭЛТ и основные ручки управления. С помощью тумблера «Сеть» включается блок питания осциллографа. Тумблер «Луч» включает ЭЛТ. Луч, генерируемый в трубке, можно сфокусировать ручкой «Фокус» и отрегулировать ручкой «Яркость». Ручки «Ось Y» и «Ось X» смещают луч в соответствующих направлениях.
Сигнал, подаваемый на Y-вход, подводится к левым клеммам «Вход» и «Земля». Амплитуда сигнала регулируется усилителем У1, управляемым ручками «Усиление Y» (плавная регулировка) и «Ослабление» (грубая регулировка», расположенными в левой части панели.
Сигнал, подаваемый на X-вход, подводится к правым клеммам «Вход» и«Земля». Амплитуда сигнала регулируется усилителем У2, управляемым ручкой «Усиление X» (плавная регулировка), расположенной в правой части панели.
Если осциллограф работает в первом режиме, то переключатель «П» поставлен в положения 1, чему соответствует установление ручки «Диапазон частот», управляющей генератором развертки у метки «Выкл».
Если ручку «Усиление X» поставить на нуль, а ручку «Усиление Y» поставить примерно на середину шкалы, то на экране осциллографа появится вертикальная линия, длина которой пропорциональна амплитуде исследуемого сигнала (при неизменном положении ручки «Усиление Y»). Выключив усилитель У1 и включив усилитель У2 (ручка «Усиление Х»), увидим на экране горизонтальную линию.
При одновременном включении ручек «Усиление Х» и «Усиление Y» светящийся следотэлектронного луча на экране будет перемещаться по траектории, образующейся в результате сложения взаимно перпендикулярных сигналов, подаваемых на «Вход Х» и «Вход Y».
Если осциллограф работает во втором режиме, то переключатель П поставлен в положение 2. В этом случае на горизонтально отклоняющие пластины ЭЛТ подается напряжение генератора развертки, имеющее «пилообразный» характер, то есть линейно нарастающее со временем, а затем также линейно убывающее. При этом время падения напряжения значительно меньше времени возрастания напряжения. И в этом случае при включении ручек «Усиление Х» и «Усиление Y» траектория следа электронного луча образуется в результате сложения сигналов, подаваемых на вертикально и горизонтально отклоняющие пластины. Если отношение частот этих сигналов выражается рациональной дробью, то на экране возникает устойчивое изображение развертки во времени сигнала, поданного на Y-вход.
Чтобы согласовать частоту ГР с частотой сигнала, поданного на Y-вход, ручку «Диапазоны частот» нужно установить у метки, примерно соответствующей предполагаемой частоте исследуемого сигнала. Полное согласование частоты ГР с частотой исследуемого сигнала достигается ручкой «Частота плавно».
Для полной синхронизации сигналов, подаваемых на горизонтально и вертикально отклоняющие пластины, можно использовать (при необходимости) переключатель «Синхронизация» и ручку «Амплитуда синхронизации». В левой части передней панели
осциллографа расположена клемма «Контрольный сигнал». К ней подведен источник синусоидальных колебаний с частотой 50 Гц, который можно использовать как эталонный источник колебаний.
Звуковой генератор ГЗ-33
Генератор ГЗ-33 предназначен для получения синусоидальных электрических колебаний звуковой частоты от 20 до 200000 Гц. Амплитудаколебаний регулируется усилителем мощности. На выходе колебания подаются на вольтметр и делитель напряжения (аттенюатор), которой позволяет изменять выходное напряжение в широких пределах.
Ручки управления звуковым генератором выведены на его переднюю панель (рис.21). Частота колебаний устанавливается поворотом ручек «Множитель» (ступенчатая регулировка) и поворотом лимба (плавная регулировка). Для определения частоты генератора в герцах нужно отсчет по шкале лимба умножить на показания переключателя «Множитель». Вращением ручки «Расстройка, %» можно плавно изменять частоту в пределах ±1,5% от установленной.
Возбуждаемые в генераторе колебания подаются на клеммы «Выход». Напряжение на выходе регулируется плавно с помощью ручки «Рег. выхода» и ступенчато (через каждые 10 дБ) при помощи переключателя аттенюатора, имеющего гравировку «Пределы шкал — ослабление».
Переключение пределов шкал в зависимости от выходного сопротивления производится переключателем «Вых. сопротивление». При работе с сопротивлением нагрузки значительно больше 600 Ом для правильного отсчета выходного напряжения следует включить внутреннюю нагрузку тумблером «Внутр. Нагрузка».
Теория
Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
Рассмотрим плоское движение материальной точки под действием двух взаимно перпендикулярных квазиупругих сил F1и F2. В прямоугольной декартовой системе координат x0y, начало которой совпадает с положением равновесия материальной точки, а оси 0x и 0y направлены вдоль линий действия соответственно силы F1 и силы F2,, уравнения движения имеют вид:
, (10.1)
где k1и k2 – коэффициенты квазиупругих сил F1 и F2. Зависимость координат от времени имеет вид:
, (10.2)
где и - собственные циклические частоты.
Таким образом, движение точки является результатом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. Траектория точки заключена внутри прямоугольника, стороны которого параллельны осям x и y и соответственно равны 2А1 и 2А2, а центр совпадает с точкой. В случае рационального отношения частот w1и w2 траектории замкнуты и называются фигурами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу зависит от отношений w2/w1, А2/А1 и разности фаз (j2— j1) (рис.22) (при неизменном отношении А2/А1).
Отношение частот
Сдвиг фаз °
45°
90°
135°
180°
1:1
1:2
2:3
Отношение частот w2/w1 равно отношению числа касаний фигуры Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который он вписывается. Если w1=w2, то фигуры Лиссажу имеют форму эллипса:
. (10.3)
Такие колебания называются эллиптически поляризованными. На рис. 22 в верхней строке показаны частные случаи эллиптически поляризованных колебаний. Если, кроме того A1 = A2, то траектория точки имеет вид окружности. Такие колебания называются циркулярно поляризованными (поляризованными по кругу). Если (j2-j1) = kp(k=0; ±1;±2; ...), то эллипс вырождается в отрезок прямой и колебания называются линейно поляризованными.
Сложение колебаний одного направления При сложении колебаний одного направления с одинаковой амплитудой А и близкими частотами w и w+Dw (Dwбиениями. Запишем уравнения колебаний:
(10.4)
Сложив эти выражения, получим (10.5) (во втором множителе пренебрегаем членом Dw/2, который значительно меньше w).
Движение, описываемое формулой (10.5), можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с переменной амплитудой (рис. 23). Величина амплитуды определяется модулем множителя, стоящего в скобках. Частота пульсаций амплитуды (частота биений) равна разности частот колебаний, а период биений равен
(10.6)
Затухающие колебания Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени вследствие действия на колебательную систему сил сопротивления (трения). Если принять, что сила трения пропорциональна скорости колеблющегося тела , где r – коэффициент трения, то дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы имеет вид
, (10.7)
где - коэффициент затухания, – частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Коэффициент затухания для данной колебательной системы и данной среды, в которой происходят затухания, является величиной постоянной. Промежуток времени t=1/b, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е (2,72) раз, называется временем релаксации.
Если bw, то система совершает затухающие колебания:
, (10.8)
где Aи j– постоянные, называемые начальной амплитудой и начальной фазой соответственно, . Величина
А(t)=Ae-bt (10.9)
называется амплитудой затухающих колебаний и убывает по экспоненциальному закону (рис. 24). Опытная проверка (10.9) сводимая к графическому изображению зависимости А от t, связана с трудностью идентификации («распознавания») закономерности.
Задача упрощается переводом зависимости (10.9) в линейную путем замены переменных. Действительно, прологарифмируем (10.9)
lnA= lnA0 — bt (10.10)
или . (10.11)
продолжение
--PAGE_BREAK-- Теперь в координатах ln(A0/А), t получается прямая, изображенная на рис.25. Нетрудно видеть, что угловой коэффициент ее определяется соотношением
. (10.12)
Убывание A принято также характеризовать сравнением амплитуд, достигаемых через интервал t=T, где T= 2p/w – период колебаний. Пусть в момент t амплитуда равна At, а в момент (t+T) – At+T. Отношение
[D]= 1, (10.13)
называется декрементом затухания, характеризующим быстроту убывания амплитуды. Более удобен, однако, логарифмический декремент затухания
d= lnD= bТ, [d]= 1 , (10.14)
Величина, обратная логарифмическому декрименту затухания, дает число колебаний, в течении которых амплитуда затухающего колебания уменьшается в е раз.
Проведение эксперимента
Задание 1. Включение и настройка осциллографа и генератора
1. Перед включением осциллографа устанавливают ручки регулировки: регулятор яркости – в крайнее правое положение (т.е. на максимальную яркость); регулятор фокусировки – в среднее положение; усиление по оси Y – в нулевое положение; усиление по оси Х – в среднее положение; переключатель диапазонов развертки – в положение 30-130. Вилку шнура питания включают в сеть и устанавливают тумблер «Сеть» в верхнее положение; контрольная лампочка на передней панели должна загореться. Прибор прогревают в течение 2-3 мин. Включают тумблер «Луч», при этом на экране должна появиться яркая линия. Линия может не появляться вследствие слишком большого отклонения луча за пределы экрана трубки. Для возвращения луча постепенно устанавливают регулятор положения луча на оси Y (ручка «Ось Y») в разные позиции и в каждой из них поворачивают регулятор положения луча по оси X(ручка «Ось X»). При нахождении линии уменьшают яркость и регулируют фокусировку до максимально четкого изображения.
2. Соединяют проводником клемму «Контрольный сигнал» с клеммой «Y-вход», переключатель «Диапазоны частот» – в положение 30-130. Вращением ручек «Частота плавно» и «Амплитуда синхронизации» получают неподвижную картину развертки контрольного сигнала во времени (переключатель «Синхронизация» устанавливают в положение «Сеть» или «Внутр.»). Регуляторами усиления по осямX и Y устанавлива-
ют желаемые размеры изображения. Исследуют влияние различных регуляторов на изображение. Изменяя частоту развертки, получают на экране 1, 2, 3 и т.д. полных колебаний.
3. Вилку шнура генератора ГЗ-33 включают в сеть переменного тока напряжением 220В. Тумблер включения сети ставят в положение «Вкл», при этом должна загореться
сигнальная лампочка. К работе следует приступить после предварительного прогрева генератора в течение нескольких минут. Подключают выход генератора на «Y— вход» осциллографа. Сопротивление выходного устройства генератора должно быть согласовано с сопротивлением нагрузки (в данном случае – осциллографа). Переключатель «Вых. сопротивление» необходимо поставить в положение, наиболее соответствующее величине нагрузки (по указанию преподавателя или лаборанта).
Затем ручкой«Множитель» и поворотом лимба установить произвольную частоту. С помощью ручки «Рег. выхода», а при необходимости и ручки «Пределы шкал – ослабление» генератора а также с помощью ручек управления осциллографа получают неподвижную картину развертки сигнала от генератора. Убеждаются в том, что генератор дает неискаженные гармонические колебания во всем диапазоне частот от 20 до 20000 Гц.
Задание 2. Управление аплитудой колебаний звукового генератора
1. Колебания от звукового генератора подают на «Y-вход». Получают на экране осциллографа вертикальную линию, длина которой пропорциональна амплитуде колебаний напряжения звукового генератора. Поворачивают на панели генератора ручку «Пределы шкал – ослабление», наблюдают изменение амплитуды колебаний генератора. Цифры в окне аттенюатора указывают пределы напряжения, измеряемого вольтметром, а цифра в нижней строке – затухание, т.е. отношение интенсивности колебаний на выходе ГЗ к интенсивности колебаний, подаваемых на вольтметр.
В децибелах может быть выражено отношение двух любых интенсивностей I1 и I2:
. (10.15)
Известно, что интенсивность пропорциональна энергии колебаний, а энергия пропорциональна произведению квадрата амплитуды на квадрат частоты колебаний. Следовательно:
. (10.16)
Если n1= n2, то
. (10.17)
Таким образом изменение амплитуды колебаний на ±10 дБ означает увеличение или уменьшение амплитуды в 3,16 раза.
2. Ставят ручку «Пределы шкал – ослабление» в положение «0 дБ» и, пользуясь ручкой «Рег. выхода», получают на экране осциллографа вертикальную прямую линию наибольшей длины, удобной для измерения. Ручку «Ослабление» ставят в положение 1:1. Измеряют длину прямой а0 (удвоенную амплитуду колебаний) в делениях сетки на экране. Вводят затухание -10, -20,-30 дБ, измеряя каждый раз длину линии: а-1, а-2, а-3. Частоту генератора поддерживают постоянной (примерно 103 Гц).
3. Вычисляют отношения . По формуле (10.17) рассчитывают затухание. Сравнивают полученные результаты с затуханием, определенным по показаниям ручек «Затухание, дБ».
4. Такие же измерения проводят, поставив ручку «Пределы шкал – ослабления» в положение +30 дБ(а+3), а затем переключая ее в положение +20, +10, 0 дБ (а +2, а+1, а0).
5. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 10.1. отчета. В выводе оценивают точность измерений и правильность калибровки положения ручек ступенчатой регулировки амплитуды генератора.
Задание 3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
1. Подают контрольный сигнал на «Y-вход» осциллографа. Выключают генератор развертки. На «Х-вход» подают сигнал от ГЗ-33. Получают на экране осциллографа кривые, возникающие в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний от контрольного сигнала и звукового генератора.
2. Получают первую фигуру Лиссажу – эллипс. Для этого на генераторе должна быть выставлена частота 50 Гц. Для точной окончательной подгонки частот используют ручку «Расстройка, %». Если разность колебаний будет постоянной, то эллипс будет стабильно располагаться на экране. Обычно же разность фаз медленно меняется и эллипс постепенно меняет форму, периодически вырождаясь в прямые линии.
3. Подбирают на генераторе кратные 50 Гц частоты колебаний (1:2; 1:3; 3:1; 2:1; 2:3; 3:2) и получают следующие фигуры Лиссажу. Амплитуды колебаний подбирают так, чтобы фигуры вписывались в прямоугольник размером, например, 2´3 см. Зарисовывают фигуры в отчет, указывая, при каком отношении частот они получены.
4. На рисунках находят и указывают точки касания фигурами горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольников. В выводе сверяют отношение числа касаний и отношение частот колебаний.
Задание 4. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой
1. Для получения биений используют два одинаковых генератора ГЗ-33.
2. Для измерения периода биений удобно выбрать небольшие частоты складываемых колебаний, например, 50 и 51 Гц. Вначале подключают генераторы к «Х» и«Y— входам» осциллографа и, получив первую фигуру Лиссажу, тщательно уравнивают частоты колебаний генераторов – 50 Гц.
3. Затем сигналы от обоих генераторов подают на «Y-вход». Частоту одного из генераторов изменяют на 1-2 Гц. Наблюдают на экране осциллографа картину биений. Определяют период биений, измеряя время 10-20 биений. По формуле (10.6) рассчитывают период биений. В выводе сравнивают вычисленный и измеренный период биений.
Задание 5. Изучение затухающих колебаний
Для получения затухающих колебаний в данной работе используется специальная электрическая схема. Питание схемы осуществляется от генератора развертки осциллографа, для чего с помощью длинного проводника соединяют клемму «П» устройства с клеммой «М», расположенной на задней панели осциллографа. Клеммы «Выход» соединяют с «Y-входом» осциллографа. Включают осциллограф и получают устойчивую осциллограмму затухающих колебаний с десятью-двенадцатью полными колебаниями. Для окончательной стабилизации картинки используют ручку «Амплитуда синхронизации», поставив переключатель вида синхронизации в положение«Внутр.».
1. Используя сетку на экране осциллографа, измеряют амплитуды нескольких колебаний, отстоящие на один период друг от друга.
2. Для определения периода затухающих колебаний поступают следующим образом.
Сначала подсчитывают число полных колебаний, приходящихся, например, на 10 больших клеток экранной сетки осциллографа. Затем, не изменяя настроек осциллографа (не трогая ручки «Диапазоны частот» и «Частота плавно», «Усиление X» ), вместо устройства для получения затухающих колебаний подключают к осциллографу генератор ГЗ-33. Пользуясь только ручками управления генератора, получают на экране синусоиду с таким же периодом (с таким же количеством колебаний на экране), как и у затухающих колебаний. Частоту определяют по лимбу генератора. Вычисляют период колебаний.
3. Вычисляют отношения А0/А0, А0/А1, А0/А2, А0/А3 и т. д. и натуральные логарифмы этих отношений. Строят график ln(A/Ai)=f(t) от времени (рис.25). Масштаб времени равен периоду колебаний. По углу наклона прямой полученной прямой находят коэффициент затухания b и логарифмический декремент затухания d.
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА Цель работы
Произвести наблюдение формы собственных колебаний струны при неизменном ее натяжении и исследовать зависимость скорости распространения поперечной волны в струне от ее характеристик.
Идея эксперимента
В работе собственные колебания струны исследуются методом резонанса. Явление резонанса заключается в следующем: если частота вынуждающей силы, периодической во времени и приложенной к малому участку струны, становится равной одной из собственных частот струны, то в ней устанавливаются стоячие волны с максимальной амплитудой колебаний. При этом необходимо, чтобы участок приложения вынуждающей силы совпадал с одной из пучностей соответствующей стоячей волны. Стоячая волна получается в результате наложения волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (частный случай интерференции).
Теория В натянутой между двумя закрепленными точками струне при возбуждении колебаний устанавливаются стоячие волны. Так как точки закрепления струны являются узлами стоячих волн, то в струне возбуждаются колебания лишь таких частот, при которых на длине струны l укладывается целое число полуволн l/2. Отсюда
(11.1)
где l– длина струны.
Учитывая связь скорости распространения колебаний v с частотой n и длиной волны l, получаем для скорости
(11.2)
Скорость распространения волны зависит только от собственных характеристик струны и определяется по формуле
(11.3)
где P,d,r— натяжение, диаметр и плотность материала струны соответственно. Подставляя значения скорости в формулу (11.2), получаем окончательное выражение для собственных частот колебаний струны:
(11.4)
Самая низкая собственная частота (или самый низкий тон, издаваемой струной) получаемый при n= 1
(11.5)
называется основной частотой или основным тоном. Более высокие частоты, кратные
n1, называются обертонами основной частоты или гармониками. Основная частота называется первой гармоникой, удвоенная основная частота или первый обертон – второй гармоникой и т.д.
Приняв за начало координат одну из точек закрепления струны и направив ось х вдоль струны, запишем уравнение n — й стоячей волны:
, (11.6)
где xn – поперечное отклонение точки струны с абсциссой х в момент t, – амплитуда, . Профиль стоячей волны в любой момент времени имеет форму синусоиды и представляет собой график распределения смещений и амплитуд по оси х. Частоты колебаний всех точек струны одинаковы и определяются по формуле (11.4).
Итак, струна, закрепленная на двух концах, не может находиться в простом гармоническом колебании с любой частотой, допустимы лишь частоты, определяемые формулой (11.4).
В общем случае в струне могут устанавливаться одновременно колебания самых разных частот, но кратных основной частоте, так как струна представляет собой систему с гармоническими обертонами.
Экспериментальная установка
В схеме установки, представленной на рисунке 26, струна из медной проволоки натягивается на некоторой высоте между двумя стойками-струбцинами. Один конец струны закреплен неподвижно, а к другому концу, перкинутому через блок, прикреплена платформа с грузами, с помощью которых в струне создается натяжение.
От генератора электрических колебаний на струну подается регулируемое по частоте переменное напряжение. Вдоль струны может свободно перемещаться постоянный магнит.
Участок струны с текущим по нему переменным током попадает в поле постоянного магнита. При этом возникает периодическая сила, приложенная к струне. Частота изменения этой силы равна частоте переменного тока. В том случае, когда частота генератора будет совпадать с одной из собственных частот струны, а положение полюсов магнита – с пучностью стоячей волны, соответствующей данной частоте, наблюдается явление резонанса: в струне устанавливается стоячая волна.
Проведение эксперимента
Измерения и обработка результатов
1. Между двумя струбцинами, укрепленными на столе, натягивают тонкую медную проволоку. Для обеспечения надежного электрического контакта место закрепления конца струны и место ее касания блока должны быть предварительно хорошо зачищены с помощью наждачной бумаги. На свободный конец струны подвешивают платформу для грузов. К клеммам на струбцинах подключают выход генератора.
2. Включают генератор звуковых частот.
3. Создают натяжение в струне, поместив на платформу для грузов какой-либо разновес. При определении натяжения струны учитывается масса платформы. Для первого опыта рекомендуется взять общую массу груза 120-140 г.
4. С помощью микрометра измеряют диаметр струны, а с помощью линейки ее длину.
5. Устанавливают магнит посередине струны и, плавно изменяя частоту вращением лимба генератора (в районе 20 — 30 Гц), добиваются устойчивых колебаний основного тона. Затем увеличивают частоту колебаний в кратное число раз и, передвигая магнит вдоль струны, получают устойчивые колебания последующих обертонов. Если амплитуды колебаний малы, следует увеличить выходное напряжение на генераторе.
6. Записывают в таблицу 11.1. отчета в порядке возрастания значения частот звукового генератора, при которых на струне устанавливаются стоячие волны. Вычерчивают профили стоячих волн.
7. Подставляют в формулу (11.2) полученные значения резонансных частот и вычисляют скорость волны в струне для различных опытов. Находят среднее значение скорости при данном натяжении струны. Оценивают погрешность измерения скорости. При этом можно использовать результаты первого опыта, очевидно дающий наибольшую погрешность. Погрешность в измерении собственных частот колебаний струны равна половине цены делений на лимбе генератора.
8. Изменяют первоначальное натяжение струны. В результате этого изменяется скорость распространения поперечных волн и набор собственных частот. Проводят измерения и вычисления согласно пп. 5 и 7 при других натяжениях. Рекомендуется варьировать натяжение струны ступенчато через 0,5 Н.
9. По формуле (11.3) рассчитывают теоретические значения скорости волны в струне при различных натяжениях. (Расчеты проводятся в системе СИ; плотность меди r= 8,9×103 кг/м3). Оценивают погрешность такого расчета.
продолжение
--PAGE_BREAK--10. В выводе сопоставляют измеренные и вычисленные значения скорости.
11. Для проверки характера зависимость скорости волны в струне от величины натяжения строят график зависимости квадратов измеренных скорости распространения от величины ее натяжения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ Цель работы
Измерение скорости распространения звука в воздухе методом сложения перпендикулярных колебаний.
Идея эксперимента
В бегущей волне A=Acos(wt-kl+j) смещение колебания двух точек, находящихся на расстоянии Dl друг от друга, сдвинуты по фазе на
, (12.1)
где V — скорость распространения волн в упругой среде, n, l — частота и длина волны.
Выражение (12.1) может быть использовано для экспериментального определения скорости распространения звука в воздухе по измерениям величин Dj,n,Dl.
Экспериментальная установка
Схема установки изображена на рисунке 27. Громкоговоритель Г, излучающий звуковые волны, закреплен на одном конце широкой трубы. Противоположный конец трубы либо открыт, либо закрыт заглушкой. Для предотвращения появления отраженной волны заглушка имеет прокладку из мягкого пористого материала (паралона). Питание громкоговорителя осуществляется от звукового генератора ЗГ. Вся установка смонтирована на измерительной скамье, вдоль которой может перемещаться микрофон М. Положение микрофона определяется с помощью масштабной линейки, укрепленной на скамье. Громкоговоритель Г испускает звуковую волну некоторой фазы j1. Эта звуковая волна достигает микрофона с фазойj2и порождает в его цепи переменное напряжение. Между переменным напряжением на выходе звукового генератора и напряжением, возникающим в цепи микрофона, существует сдвиг фаз Dj= j2 -j1, зависящий от взаимного расположения микрофона и громкоговорителя. При перемещении микрофона по измерительной скамье на расстояние Dl= nl, составляющее целое число волн, разность фаз Dj изменяется на 2pn. Если измерить расстояние Dl между двумя положениями микрофона, соответствующее разности фаз Dj=2p, то, используя формулу (12.1), можно вычислить скорость звука в воздухе:
(12.2)
Сдвиг фаз Dj определяется по форме эллипса, описываемого на экране осциллографа электронным лучом, если вертикальные пластины осциллографа соединить с выходом звукового генератора, а горизонтальные — с микрофоном. При разности фаз Dj = 2pn
(n=0, 1, 2, ...) эллипс вырождается в прямую, проходящую через первую и третью четверти координатной плоскости, а при Dj=p(2n+1) — в прямую, проходящую через вторую и четвертую четверти.
Проведение эксперимента
Измерения и обработка результатов
1. Собирают электрическую схему установки. Микрофон располагают рядом с громкоговорителем. Подают напряжение от звукового генератора на телефон. По лимбу генератора выставляют частоту звуковых колебаний (между 1000 и 3000 Гц).
2. Медленно перемещая микрофон к противоположному концу измерительной скамьи, находят такое его положение, при котором на экране осциллографа появляется прямая линия. Делают отсчет положения микрофона.
3. Продолжая перемещать микрофон, находят несколько следующих его положений, в которых на экране осциллографа появляется такая же прямая линия, как и в первом положении.
4. Вычисляют расстояния Dl1, Dl2, Dl3 … между двумя последующими положениями микрофона на измерительной скамье. Находят их среднее значение.
5. По формуле (12.2) вычисляют скорость распространения звуковой волны в воздухе. Находят погрешность ее измерения.
6. Измерения повторяют для двух других частот. Находят среднее значение скорости звука по всем измерениям.
7. Для сравнения полученного результата с табличными данными вычисляют скорость звука при условиях опыта, пользуясь соотношением
, (12.3)
где q— температура воздуха в комнате (в кельвинах), V — скорость звука при °С (331 м/с).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы
Экспериментальное определение модулей сдвига различных материалов методом крутильных колебаний.
Идея эксперимента
Крутильный маятник представляет собой стержень или проволоку, верхний конец которой закреплен. К нижнему концу проволоки подвешивается тело произвольной формы. Если закрутить проволоку, т.е. вывести маятник из положения равновесия, то в системе возникнут крутильные колебания j(t). Очевидно, что период этих колебаний зависит от геометрии системы, от момента инерции подвешенного тела и от упругих свойств материала подвеса. Это позволяет, изучая крутильные колебания, определить одну из важнейших характеристик материала, – модуль сдвига.
Теория Если момент пары сил, приложенных касательно к незакрепленному концу проволоки, равен М, то угол кручения (угловое смещение колебательной системы) по закону Гука оказывается равным j= сМ, где с – коэффициент, зависящий от упругих свойств материала проволоки. Модуль кручения f, равный
, (13.1)
показывает, какой момент сил надо приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.
Модуль сдвига G равен
, (13.2)
где F/S определяет величину касательной силы, приходящейся на единицу поверхности, а g — угол сдвига (рис. 28).
Между модулем кручения и модулем сдвига материала существует простое соотношение
, (13.3)
где r – радиус цилиндрической проволоки, L – ее длина.
Подвешенное на проволоке твердое тело при возникновении в системе крутильных колебаний совершает вращательные движения, к которым может быть применен основной закон динамики вращательного движения
, (13.4)
где M – вращательный момент относительно оси подвеса, J – момент инерции тела относительно той же оси, - угловое ускорение. Используя (13.1) и учитывая, что угловое ускорение направлено против углового смещения j, можно записать
. (13.5)
Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении ускорение пропорционально угловой координате — смещению j и направлено противоположно ему, что является существенным признаком гармонического колебания , где w– циклическая частота. Поэтому wдолжен быть равен
, (13.6)
где Т – период колебаний.
Далее
, (13.7)
откуда
. (13.8)
Экспериментальная установка В данной работе крутильный маятник представляет собой штангу Ш, подвешенную на проволоке А (рис. 29). Верхний конец проволоки закреплен с помощью винта В в держателе Д. Для выведения маятника из положения равновесия, т. е. для первоначального закручивания проволоки служит пусковое устройство П. Вдоль штанги могут перемещаться два груза Г одинаковой массы m. Изменяя расстояния l от грузов до центра штанги, можно изменять момент инерции маятника, а вместе с этим и период колебаний маятника.
Для того, чтобы из выражения (13.8) найти модуль кручения f материала проволоки, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника при разных моментах инерции
, (13.9)
откуда . (13.10)
Момент инерции крутильного маятника складывается из моментов инерции грузов 2ml2 и суммарного момента инерции штанги и проволоки j
. (13.11)
Для исключения j вычтем J1 из J2
. (13.12)
Подставляя сюда из соотношения (13.10) значение , получаем
. (13.13)
Подставив, наконец, это выражение в уравнение (13.7), находим модуль кручения . (13.14)
Для модуля сдвига получается выражение . (13.15)
Проведение эксперимента
Измерения
1. Подвешивают стержень крутильного маятника на выбранную проволоку. Надевают на концы штанги грузы Р. Наблюдая за положением равновесия штанги с грузами и понемногу перемещая грузы, уравновешивают штангу в горизонтальном положении. Измеряют радиус проволокиr и длину подвеса L. Записывают массы грузов m.
2. Сообщают маятнику вращательный импульс так, чтобы он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой. Для этого легким рывком отодвигают в сторону рычажок пускового механизма Н. Следят за тем, чтобы при пуске не возникали поступательные колебания.
3. Измеряют суммарное время t1 50-100 колебаний маятника. Измеряют расстояние l1 от оси вращения до середины одного из грузов.
4. Передвигают грузы в другое положение и, снова уравновесив маятник, измеряют время t2 такого же числа колебаний. Измеряют расстояние l2.
5. Если число колебаний Nв первом и втором случаях одинаково, то формулы (13.14) и (13.15) можно записать через время и число колебаний
. (13.16)
Подставляют в эти формулы измеренные значения входящих в них величин и вычисляют модуль кручения f и модуль сдвига G материала проволоки.
6. Для вычисления величин погрешностей измерений можно вывести следующие формулы ,
. (13.17)
При этом принято, что погрешности измерений величин l1 и l2 одинаковы и равны Dl, а погрешности измерения t1 и t2 равны Dt.
Анализ приведенных формул показывает, что наибольший вклад в измерение модуля сдвига вносит погрешность измерения величины r. Следовательно, радиус проволоки должен быть измерен с максимально возможной точностью. Кроме того, желательно
проводить эксперимент таким образом, чтобы значения величин l1 и l2 и, соответственно,t1 и t2 как можно больше отличались друг от друга.
7. Проводят необходимые измерения и вычисляют модули кручения и модули сдвига еще для двух-трех материалов.
8. Сравнивают полученные значения модуля сдвига с табличными значениями и делают вывод о точности проделанных измерений.
ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ Цель работы Изучение зависимости величины деформации твердого тела от напряжения при деформации растяжения.
Идея эксперимента
В эксперименте подвергается растяжению металлическая проволока. Точное измерение величины деформации в зависимости от нагрузки позволяет установить основные закономерности и характеристики деформации растяжения.
Теория
Упругая деформация твердых тел описывается законом Гука
, (14.1)
где s = F/S – нормальное напряжение (отношение силы F, приложенной перпендику-
лярно поперечному сечению образца, к площади S этого сечения), e = Dl/l0– относительная деформация (отношение удлинения Dlк первоначальной длине l0образца), Е – модуль упругости (модуль Юнга).Заметим, что sчисленно равно энергии, приходящейся на 1м3деформируемого материала.
Модуль Юнга характеризует упругие свойства твердых тел при деформации растяжения – сжатия. Он численно равен величине напряжения, которое вызывает изменение длины образца вдвое, если деформация при этом остается упругой. С другой стороны, модуль Юнга можно понимать как величину, численно равную объемной энергии деформации при удвоении размеров образца.
Закон Гука справедлив лишь для идеально упругих тел. Для реальных же тел наблюдаются различные отклонения от этого закона. На рис. 30 представлена характерная диаграмма растяжения твердого тела. Строгая пропорциональность между относительным удлинением и напряжением наблюдается лишь при сравнительно небольших нагрузках, на участке 0А.
Максимальное напряжение sп, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности.
Максимальное напряжение sуп, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации (относительная остаточная деформацияне превышает 0,1 %), называется пределом упругости.Ему соответствует точка Вна диаграмме деформации.
Предел текучести– это напряжение, которое характеризует такое состояние деформируемого тела, после которого удлинение возрастает без увеличения действующей силы (горизонтальный участок ВС).
Пределом прочностиsпр(точка D) называется напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой телом перед разрушением.
Отклонения от закона Гука в области напряжений, не превосходящих предела упругости, объединяются общим понятием неупругости. Проявлением неупругости являются, например, упругие последействияи упругий гистерезис, подлежащий экспериментальному наблюдению в данной работе.
Явление упругого последействия заключается в изменении со временем деформационного состояния при неизменной величине напряжения. В этом случае после приложения нагрузки к образцу деформация возникает не мгновенно, а продолжает увеличиваться с течением времени (прямое упругое последействие); также и после снятия нагрузки: деформация образца исчезает не мгновенно, а продолжает уменьшаться во времени (обратное упругое последействие).
Площади, ограниченные кривой нагрузки и двумя абсциссами, соответствующими двум значениям относительной деформации, пропорциональны работе Авнешних сил или, что тоже, потенциальной энергии Еппри упругом деформировании образца. Это следует из расчета элемента площади DQ под кривой
, (14.2)
где с– коэффициент пропорциональности, DW1– объемная плотность энергии деформации образца. Коэффициент пропорциональности сравен объемной плотности энергии деформации, приходящейся на единицу площади, ограниченной графиком, и имеет размерность Дж/клетку.
Площадь под всей кривой нагрузки соответствует объемная плотность энергии W1, а площади под всей кривой разгрузки – объемная плотность энергии W2.
Если к образцу прикладывать сначала возрастающее напряжение, а затем производить разгрузку, то на графике s = f(e)кривая нагрузки не будет совпадать с ветвью разгрузки. При полном цикле нагрузки – разгрузки график образует фигуру, называемую петлей гистерезиса. Площади петли пропорциональна объемная плотность поглощенной энергии упругости DW, перешедшей в тепло.
Явления необратимого превращения в теплоту механической энергии (иначе, диссипация энергии) в процессах деформирования твердых тел связано с так называемым внутренним трением.
Для количественной оценки внутреннего трения материалов часто пользуются относительной величиной – коэффициентом поглощения
y = DW/W1 , (14.3)