Содержание
Лабораторная работа №1. Лабораторная установка «Моделькопра»
Лабораторная работа №2. Определениескорости пули методом физического маятника
Лабораторная работа №3. Лабораторная установка«Маховик»
Лабораторная работа №4. Лабораторнаяустановка «Наклонная плоскость»
Лабораторная работа №5. Определение объёма и плотноститела, вычисление погрешностей
Лабораторная работа №6. Определение момента инерции ипроверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний
Лабораторная работа №7. Определение модуля сдвига припомощи крутильных колебаний
Лабораторная работа №8. Исследование прямолинейногодвижения тел в поле тяжести на машине Атвуда
модель копра теорема штейнера
Лабораторная работа №1
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «МОДЕЛЬ КОПРА»
Цель работы: Лабораторнаяустановка «Модель копра» позволяет иллюстрировать применимость законовсохранения в механике: закона сохранения импульса, закона сохранения полноймеханической энергии, а также закона изменения полной механической энергии.
При работе на даннойустановке определяется сила сопротивления грунта при забивке сваи, оцениваетсядоля энергии, затраченной на деформацию при неупругом ударе, а такжезамкнутость системы копр – свая.
Принадлежности: установка «Модель копра»,габаритные размеры: длина – не более 420 ммширина – 100±5 мм
высота – не более 650 мм
масса – не более 8 кг
масса гири – (435±1) г
масса груза m1 – (319±1) гмасса сваи m2 – (121±1) гСостав изделия и комплект поставки:
– основание установки всборе с разрезной втулкой и сваей – 1 шт.
– направляющая в сборе сзащелкой и грузом – 1 шт.
– рычаг – 1 шт.
– гиря – 1 шт.
Устройство и принцип работы
Модель копра(рис. 1) состоит из груза 1, который может перемещаться по вертикальнойнаправляющей, и сваи 2, которая с большим трением скользит в разрезной втулке3. Сила трения между сваей и втулкой создается за счет силы нормальногодавления на одну из половин втулки со стороны малого плеча рычага 4. По рычагу4 скользит гиря 5, передвигая которую можно изменять силу нормального давления.
Для удержания груза 1 нанекоторой высоте служит защелка 7, которую можно перемещать по направляющей изакреплять в нужном положении стопорными винтами. Для закрепления грузапоследний поднимается с небольшим усилием до соприкосновения с защелкой.Освобождение груза производится нажатием на ручку 8 защелки.
Высота груза и сваи до ипосле удара измеряется по вертикальной линейке с помощью указателей,прикрепленных к грузу и свае.
При определении силысопротивления грунта можно четко разграничивать три этапа движения груза исваи:
1) почти свободноепадение груза (трением между грузом и направляющей можно пренебречь);
2) неупругоевзаимодействие (неупругий удар) между сваей и грузом;
3) совместное движениесваи и груза после удара до полной остановки.
Рассмотрим последовательновсе этапы движения. При падении груза с высоты Н потенциальная энергия,обусловленная взаимодействием груза с Землей, переходит в кинетическую энергиюдвижения груза. Здесь имеет место закон сохранения полной механической энергии,так как в системе груз – Земля внутренняя сила консервативна, а работа внешнихсил равна нулю, т. е. имеет место равенство DW=DWk+DWn= 0.
На данном этапе изменениекинетической энергии груза
DW=m1v12/2,
где m1 – масса груза, v1 – скорость груза непосредственноперед ударом о сваю.
Изменение потенциальнойэнергии груза определяется тем, что он опустился с высоты Н, на которуюбыл поднят над сваей, – m1gH. Следовательно,изменение полной механической энергии
DW= m1v12/2 – m1gH=0.
Отсюда можно найти скорость груза v1 непосредственно перед ударом о сваю:
V1=(2gH)1/2. (1)
При дальнейшем движении груза происходит неупругоесоударение со сваей, т. е. такое, при котором после удара соударяющиеся теладвижутся с некоторой общей скоростью, целиком сохраняя возникшую при ударе взаимнуюдеформацию.
При ударе груза о сваю можно применить законсохранения импульса, так как систему можно считать приближенно замкнутой.Действительно, на систему груз – свая действуют как внешние силы (силы тяжести груза и сваи и сила сопротивления грунта),так и внутренние силы, развивающиеся между телами при соударении. Строгоговоря, данная система не является замкнутой, но при условии, что внешние силымного меньше внутренних, систему можно считать приближенно замкнутой и,следовательно, применить закон сохранения импульса:
m1v1=(m1+m2)v2 , (2)
где m2 –масса сваи, v2 – общая скорость сваи и груза послеудара.
Из (1) и (2) следует,что:
v2=m1v1/(mi+m2)=m1(2gH)1/2/(m1+m2) (3)
После неупругого удара груз и сваяначинают двигаться замедленно до полной остановки. На этом этапе движения силасопротивления фунта, являющаяся диссипативной, совершает работу, поэтому полнаямеханическая энергия системы груз – свая – Земля не сохраняется:
DW=DWK+DWп=Адис, (4)
то есть изменение полной механической энергии системыравно работе сил сопротивления грунта. Если сравнить два состояния системы,первое из которых соответствует началу совместного движения груз – свая послеих соударения, а второе – окончанию движения, то изменение кинетической энергиисистемы можно записать так:
DWK=WK2– WK1= -(m1+m2)v22/2. (5)
Изменение потенциальной энергии будет равно:
DWП=WП2– WП1= -(m1+m2)gS, (6)
где S– перемещение груза и сваи от начала совместного движения до полной остановки.
На участке S сила сопротивлениягрунта f совершает работу Адис=fS=fScosa, где a – угол междунаправлением силы и перемещением. Угол a=p, так как сила иперемещение взаимно противоположны. Следовательно, работа силы будетотрицательной:
Адис= – fS. (7)
Под величиной силы fподразумевается среднее значение силы сопротивления, то есть f=fcp. Подставляя (5),(6), (7) в уравнение (4), получим:
–(m1+m2)v22/2 – (m1+m2)gS= – fS. (8)
Если в уравнение (8) подставить значение скорости,найденное по формуле (3), можно записать:
m12gH/(m1+m2) +(m1+m2)gS = fS.
Разделив обе части на S, получим окончательно:
f=[(m12H/[S(m1+m2)]+ m1+m2]g. (9)
При неупругом ударе частьмеханической энергии расходуется на деформацию тел, превращаясь в конечномитоге в тепловую энергию. Потерю механической энергии можно подсчитать какразность механических энергий системы после и до удара:
DW= (m1+m2)v22/2 – m1v12/2.
Подставив из (3) значениескорости v2 и из (1) скорость v1, имеем:
DW = m12gH/(m1+m2)-m1gH= m1gH[m1/(m1+m2)-1] = m1m2gH/(m1+m2).
Удобнее не определятьабсолютную величину потерь механической энергии, а рассчитывать долюмеханической энергии, затраченную на деформацию тел при неупругом соударении:
DW/WK2= m1gHm2/ m1gH(m1 + m2)=m2/(m1+ m2). (10)
Анализ этого выраженияпозволяет сделать вывод: при забивке сваи масса груза m1 должна быть значительнобольше массы сваи m2. Только в этом случае большая доляпервоначальной энергии пойдет на забивку сваи.
Подготовка изделия кработе
1. Установить и закрепитьна основании направляющую с защелкой и грузом.
2. Закрепить рычаг в основании.
3. Установить на рычаггирю.
4. Собранную установкупоместить на горизонтальную поверхность.
Порядок выполнения работы
1. Установить гирю 5 (см.рис. 1) на некотором расстоянии от оси вращения рычага 4.
2. Поднять сваю допредела и подобрать наибольшую высоту Н – такую, чтобы после удара сваяне касалась втулки 3.
3. Подобрав нужнуювысоту, записать положение указателя сваи до удара S1 (рис. 1).
4. Поднять груз навыбранную высоту и закрепить его там. Записать положение указателя груза H1.
5. Нажать кнопку 8защелки. Записать положение указателя сваи после удара S2.
6. Повторить опыт при техже значениях H1 и S1 пять раз.
7. Следующую сериюизмерений проделать при том же начальном положении сваи и гири, но изменитьвысоту падения груза H1 при условии выполненияпункта 2. Повторить опыт пять раз. Результаты записать в табл.
8. Переставить гирю 5 набольшее расстояние от оси вращения рычага. Провести третью серию измерений притех же значениях H1 и S1, что и в пункте 7. Опытповторить 5 раз.
Результаты измерений: S1=…..., DS1=.…..Серия № опыта
H1
S1
H=H1-S1
S2
S2cp
S=S1-S2
f 1
1
.
.
5 2
1
.
.
5 3
1
.
.
5
Для данной серии (поуказанию преподавателя) записать погрешность
DН=(DН12 + DS12)1/2, DS=(DS12+ DS22)1/2.
Обработка результатовопытов
1. По формуле (9)рассчитать среднюю силу сопротивления для каждой серии опытов.
2. Для указанной серииизмерений определить погрешность силы. Пренебрегая погрешностью ускорениясвободного падения и учитывая, что m1= m2, получим:
(Df)2 =2g2m2+[m12gH/S(m1+m2)]2
´[4(Dm/m1)2+2m2/(m1+m2)2+(DH/H)2+(DS/S)2]1/2.
В полученной формулеможно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым. Окончательная формуладля расчета погрешности имеет вид:
(Df)2=[m12gH(DS/S(m1+m2)]2[4(Dm/m1)2+2Dm/(m1+m2)2+(DH/H)2 +DS/S)2]. (11)
3. Записать окончательныйрезультат в виде
f= fcp±f.
4. Определить долюэнергии, затраченной на деформацию тел – формула (10).
5. Рассчитать внутренниесилы, действующие в системе груз – свая во время неупругого взаимодействия тел.Для этого, используя для груза m1 соотношение D(mv) = FDt, можно записать, что
m1(v2– v1))/ Dt= m1g+ F1,
где v1 – скорость груза перед ударом, v2 – скорость груза и сваи после удара, Dt – время соударения, которое равно 2×10–4 с. Подставив значенияскоростей из (1) и (3), получим формулу для расчета внутренней силы:
F = m1g + m1(2gH)1/2[1 – m1/(m1+ m2)]/ Dt.
6. Сравнить внутренниесилы с внешними.
Техническое обслуживание
Периодически осматриватьустановку и при необходимости подтягивать ослабленные винты.
Контрольные вопросы
1.Что называется импульсом тела?
2.Какая система называется замкнутой, илиизолированной?
3.Сформулируйте закон сохранения импульса и законсохранения энергии.
4.Какие виды энергии вам известны? Дайте определениямеханической, кинетической, потенциальной и внутренней энергиям.
5.Что называется упругим и неупругим ударами?
6.Запишите законы сохранения энергии и импульса дляданной установки при упругом и неупругом ударе.
7.Выведите рабочую формулу.
Лабораторная работа №2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИМЕТОДОМ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы: лабораторная установка«Определение скорости пули методом физического маятника» позволяетиллюстрировать законы сохранения в механике: закон сохранения момента импульса,закон сохранения полной механической энергии и изменение полной механической энергиипри неупругом ударе.
При работе на даннойустановке определяется скорость пули пружинного ружья по отклонению физическогомаятника от положения равновесия.
Приборы и принадлежности: лабораторная установкафизический маятник; габаритные размеры:
длина – не более 470 мм
ширина – не более 210 мм
высота – не более 670 мм
масса – не более 7 кг
масса пули m1 = (2,4 ±0,03) г
масса стержня m2= (77 ±0,1) г
масса ловушки m3 = (12,5 ±0,5) г
расстояние от оси доцентра ловушки l1 = (575 ±0,5) мм
длинна стержня l2 = (570 ± 0,5) мм
расстояние от оси долинейки l= (625 ± 0,7) мм
Состав изделия и комплектпоставки:
– основание сзакрепленными на нем пружинным ружьем, неподвижной частью фиксатора с линейкойи ограничителем – 1 шт.
– стойка с физическиммаятником – 1 шт.
– цилиндрическая пуля – 1шт.
Устройство и принципработы
Установка (рис. 2)состоит из основания 1, стоики 2, на которой закреплена ось физическогомаятника, состоящего из стержня 3 и ловушки для пули 4. На ловушке установленнеподвижный относительно нее указатель 5 и подвижная часть фиксатора крайнегоположения маятника 6. На основании установки закреплены также ограничитель перемещениямаятника 7, неподвижная часть фиксатора крайнего положения с измерительнойлинейкой 8 и пружинное ружье. Пружинное ружье состоит из основания ружья 9,цилиндра с пружиной 10 и рукоятки 11 для сжатия пружины, фиксации ее в сжатомположении и произведения выстрела. Для заряжания ружья цилиндрической пулей вверхней части его основания имеется прямоугольное отверстие 12.
При выводе расчетнойформулы рассматривается процесс абсолютно неупругого соударения пули сфизическим маятником. Пуля, взаимодействуя с физическим маятником, неупругоготормозится и сообщает маятнику угловую скорость w, в результате маятникотклоняется на угол a от вертикали.
Если время tсоударения пули смаятником мало по сравнению с периодом Т колебания физического маятника,то он за время соударения не успевает заметно отклониться от исходногоположения. Учитывая также, что момент внешних сил мал (внешние силы значительноменьше внутренних), систему пуля – маятник можно рассматривать как квазизамкнутуюи применять к ней закон сохранения момента импульса.
m1Vl=Iw, (1)
где m1– масса пули, V– скорость пули, l – расстояние от оси маятника доточки попадания в него пули, I– момент инерции маятника с пулей относительно оси вращения физическогомаятника. В нашем случае
I=(m2l22)/3 + (m1+m3)l12, (2)
где m2– масса стержня, m3– массаловушки, l2 – длина стержня.
Физический маятник, имея начальную угловую скорость w, отклоняется на угол a (баллистический отброс). При подъемемаятника центр масс поднимается на высоту h. Закон сохранения механической энергии после ударазапишется в этом случае в виде
Iw2/2=(m1 + m2+ m3)gh, (3)
где h=Rц.т..(1-cosa)=2Rц.т..sin2(a/2) (4)
– высота подъема центра масс при отклонении маятника;
Rц.т. – расстояние от точки подвеса маятника до центратяжести системы:
Rц.т.=/>/>.(5)
Выражая Vиз(1), получим
V=wI/m1l1,(6)
где w– из (3):
w=[2gh(m1+m2+m3)/I]1/2;(7)
тогда
V=(1/m1l1)[2ghI(m1+m2+m3)]1/2 (8)
Подставляя в (8) значения hи I,окончательно получим
V=(2sina/2)/m1ll[g(m2l2/2+m1l1+m3l1)(m2l22/3+m1l12+m3l12)]1/2.
Принимая m1=m2m3, а также l1»l2=l,
V = (sina/2)/ m1)((2gl/3)(m22+5m2m3+6m32))1/2.(9)
Так как угол a мал, то можно заменить sin(a/2) = a/2 (при этом угол надовыражать в радианах), где a=(S-S)/l’, l’ – расстояние от осивращения маятника до линейки, Scp– среднее значениеположения указателя после выстрела и S– начальное положениеуказателя.
Подготовка изделия кработе
1. Закрепить стойку сфизическим маятником на основании. При этом обратить внимание на то, чтобыпрорезь в подвижной части фиксатора охватывала неподвижную его часть и маятникперемещался по линейке без трения.
2. При необходимостипереместить пружинное ружье так, чтобы пуля попадала в центр отверстия ловушки.
Порядок выполнения работы
1.Взвесить на весах пулюи определить ее массу m1.
2.Записать данныеустановки: m1=...., m2....., m3=...., l=....., l’=....
3.Рукояткой 11 (рис. 2)сжать пружину ружья и зафиксировать ее, повернув рукоятку против часовойстрелки.
4.Подняв подвижную частьфиксатора 6 на ловушке, перевести маятник в вертикальное положение.
5.Записать начальноеположение указателя S.
6.Через прорезь 12 восновании ружья вложить в него цилиндрическую пулю.
7.Произвести выстрел,повернув рукоятку по часовой стрелке.
8.Записать в таблицуположение указателя. Повторить опыт не менее 5 раз.№ опыта 1 2 3 4 5
S ср
Scp-So
acp
S, мм
9. Определить среднеезначение угла aср
aср=(Sср–S0)/lґ.
10. Для каждого значениярассчитать скорость пули V по формуле (9). Значения 1, m1, m2 указаны на установке.
11. Рассчитатьпогрешность DV/V по формуле
(DV/V)={(Da/a)2+(Dm1/ m1)2+0.25[(Dl/l)2+ +((2m2+5m3)2Dm22+ (5m2+12m3)2Dm32) / (m22+5m2m3+m32)]}1/2.
Убедиться, чтопогрешность Dg/g мала по сравнению состальными относительными погрешностями.
12. Записатьокончательный результат в виде
V=(V±DV).
Дополнительное задание:по данным эксперимента определить потери механической энергии при абсолютнонеупругом ударе.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте закон сохранения момента импульса изакон сохранения энергии для баллистического маятника.
2.Дайте определение моменту инерции абсолютно твердоготела относительно оси. Каков его физический смысл?
3.Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера.
4.Напишите формулу для периода колебаний маятника(математического, физического, пружинного).
5.Объясните суть метода измерения скорости полетаснаряда при помощи физического маятника. Получите формулу для скорости снаряда.
6.Увеличится или уменьшится угол отклонения маятника,если удар вместо абсолютного неупругого считать абсолютно упругим? Пояснить.
Лабораторная работа №3
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «МАХОВИК»
Цель работы: лабораторная установкапредназначена для иллюстрации законов динамики: второго закона Ньютона иосновного уравнения динамики вращательного движения, а также закона сохраненияполной механической энергии.
При работе на даннойустановке определяется момент инерции маховика и оценивается потерямеханической энергии на трение.
Приборы и принадлежности: лабораторная установка «Маховик»:
габаритные размеры – неболее 400x350x350 мм
масса – не более 30 кг
Состав изделия и комплектпоставки:
– маховик со шкивом наподставке – 1 шт.
– груз с нитью – 1 шт.
Устройство и принципработы
Установка представляетсобой горизонтально расположенный вал 1 (рис. 3), закрепленный на основании 2,на котором расположены массивный маховик 3 и два шкива различного диаметра 4.При выполнении лабораторной работы на один из шкивов наматывается нить, накоторой закреплен груз 5. Для закрепления нити на шкивах предусмотрены штыри 6.
Момент инерцииопределяется по результатам измерения времени падения груза с высоты Н.В рабочем положении установка располагается на краю лабораторного стола так,чтобы груз мог опускаться вниз до пола. Для выполнения работы на установке необходимыдополнительные измерительные приборы: штангенциркуль, секундомер и линейка.
Вывод расчетных формул
Для вывода расчетнойформулы используем закон изменения полной механической энергии для системы, вкоторой действуют диссипативные силы: dW= dАдис. Рассматриваемаямеханическая система состоит из груза массой m и маховика со шкивом ивалом с моментом инерции I. В тот момент, когда груз поднят над полом навысоту Н, система обладает потенциальной энергией mgH. При падении грузапотенциальная энергия превращается в кинетическую груза и маховика. Изменениеполной механической энергии за время падения груза равно работе силы трения:
mv2/2+ Iw2/2 – mgH= А1, (1)
где A1 – работа силы трения за n1 оборотов маховика. Силу трения можносчитать постоянной. Тогда движение груза можно считать равноускоренным иописать его уравнениями
v= at; H= gt2/2 ;(2)
из этих уравнений получается
v= 2Н/t; (3)
угловая скорость вращения маховика
w=2H/rt, (4)
где а – линейное ускорение груза;
v – его скоростьнепосредственно перед ударом о пол;
w– угловая скорость маховика в тот жемомент времени;
t – время падения груза допола;
r – радиус шкива.
Для определения моментаинерции маховика необходимо найти работу силы трения за время падения груза.Если сила трения постоянна, то ее работа пропорциональна числу оборотовмаховика. Тогда работу силы трения за время падения груза можно выразить как А1=сn1, а работу силы трения от момента соприкосновениягруза и пола до полной остановки маховика А2=сn2,где n2 – число оборотов до полной остановки маховика. Сдругой стороны, А2 равна изменению кинетической энергиимаховика 0 – Iw2/2=А2=сn2, откуда получаем
с = Iw2/2n2
и А1 = – n1w2/2n2 . (5)
Выраженную таким образом работу Ai подставим в равенство (1):
(mv2/2 + Iw2/2) – mgH= – n1Iw2/2n2.
После замены vи w в соответствии с формулами(3) и (4) получаем значение момента инерции:
I= mr2(gt2– 2Н)/ 2Н(1 + n1/n2). (6)
Так как r=d/2 и в нашейработе gt2?2H, окончательно получаем:
I=md2gt2/8H(1+n1/n2). (7)
Порядок выполнении работы
1. Штангенциркулем пятьраз измерить диаметры шкивов и записать результаты в таблицу 1.
2. Надеть петлю,имеющуюся на свободном конце нити, привязанной к грузу, на штырь шкива. Вращаямаховик, поднять груз на высоту Н. Высоту следует выбрать так, чтобы онасоответствовала целому числу оборотов n1. Для этого при нижнем положении груза(груз чуть касается пола, нить натянута) на маховике мелом наносят горизонтальнуючерту. За этой чертой нужно следить при наматывании нити на шкив.
3.Измерить высотуподнятия груза над полом при помощи вертикально поставленной линейки.
4.Отпустить маховик,одновременно включив секундомер. Остановить секундомер в момент удара груза обпол. Результат записать в таблицу 2.
5.Подсчитать числооборотов n2 от момента удара груза об пол до полной остановки маховика.Опыты 3, 4, 5 повторить 5 раз.
6.Повторить измерения,наматывая нить на другой шкив. Записать результаты в табл. 3.
Таблицы результатовизмерений
1. Данные установки: m= (600 ± 1) г.
2. Измерение Н и n1:
при намотке нити напервый шкив: H1 =...., DH1 =..., n11=...,
при намотке на второйшкив: Н2 =..., DH2 =..., n12=....
3. Измерение диаметровшкивов:
Таблица 1№ опыт
d1 мм
Dd1 мм
d2, мм
Dd2, мм Среднее
4. Измерение t и n2 для первого шкива:
Таблица 2№ опыта
t1,c
Dt1, с
n21
Dn21
для второго шкива
Таблица3№ опыта
t2, с
Dt2, с
n22
Dn22
Обработка результатовизмерений
1. В конце каждой таблицырассчитать средние значения измеренных величин и случайные погрешности измерений.
2. По формуле (7)рассчитать момент инерции маховика для измерений с первым и вторым шкивами.
3. Рассчитать погрешностьI для одного из случаев поформуле:
(DI/I)2=(Dm/m)2+ 4(Dd/d)2 + 4(Dt/t)2 + (DН/Н)2 +..+(Dn2/n2)2n12/(n1+n2)2.
4. Сравнить результаты расчетов I при работе с первым и вторым шкивами. Дополнительноезадания: рассчитать силы натяжения нити, моменты этих сил при работе с первым ивторым шкивами. Показать, что отношение моментов приближенно равно отношениюдиаметров шкивов и равно отношению ускорений, с которыми движется груз в первоми втором случаях. Определить потери механической энергии при движении груза отверхней точки до момента удара об пол.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движенияв дифференциальной форме.
2.Что называется моментом инерции материальной точки итвердого тела относительно оси? В каких единицах он измеряется?
3.От чего зависит значение момента инерции данноготела?
4.Как читается теорема Гюйгенса – Штейнера?
5.Вывести формулу для натяжения нити Т.
6.Какой закон положен в основу вывода рабочей формулы?Вывести формулу.
7.Момент каких сил вызывает вращение маятника?
8.Выведите формулу для определения момента инерции:
а) тонкого стержня относительно его середины;
б) тонкого кольца;
в) тонкого диска.
Лабораторная работа №4
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА«НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ»
Цель работы: установка предназначенадля изучения законов динамики поступательного и вращательного движения придвижении тел по наклонной плоскости, определения коэффициента трения скольженияи иллюстрации теоремы об изменении кинетической энергии.
Приборы и принадлежности: секундомер, линейка,установка «Наклонная плоскость»:
габаритные размеры – неболее 870´180´180 мм
масса – не более 12 кг
Состав изделия и комплектпоставки:
1.Основание – 1шт.
2.Стойка – 1шт.
3.Наклонная плоскость с узлом крепления – 1 шт.
4.Коробка со сменнымигрузами m1=(189,3±0,1)г – 1 шт.
5.Груз на нити m2 – 1шт.
6.Дополнительные грузы –2 шт.
Устройство и принцип работы
Установка (рис. 4)состоит из наклонной плоскости 1 представляющей собой профиль, по дну которогоскользит коробка с грузом. На одном из концов наклонной плоскости закрепленневесомый блок 2 (шлифованая ось), на другом – массивный шкив 3. Коробка с грузомm1 перемещается междуфиксаторами 4 и 5. Наклонная плоскость закреплена на штативе 6, позволяющемизменять высоту наклонной плоскости над уровнем стола, а также изменять уголнаклона плоскости относительно горизонта. Установка комплектуется набором грузовm2 (7) для рассмотрениядвижения связанных тел. Для эксплуатации установки требуется секундомер.
Вывод расчетных формул
Поступательное движениегрузов m1 и m2 можно описать с помощью второго закона Ньютона.Для груза m1 уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси х иу (рис. 4) выглядят так:
Fтр– T1 + m1gsina= – m1a1,(1)
N – m1g cosa= 0 (2)
Для груза m2законНьютона в проекции на ось у дает
Т2 – m2g= – m2a2.(3)
Полагая, что скольжение нити по оси 2 происходит безтрения, а сама нить невесома, можно записать: Т1 = Т2= Т, а1 = а2 = а. В этом случае решение системыуравнений (1), (2), (3) дает значение ускорения, с которым движутся грузы m1и m2:
а=(m2g – m1gsina– mm1g cosa)/ (m1 +m2).(4)
При некотором критическом значении угланаклона плоскости aкрсистема двух грузов может двигаться равномерно, т. е. а = 0. Следовательно,из соотношения (4) можно определить величину коэффициента трения скольжения:
m= tgaкр– m2/m1соsaкр .(5)
Если тело m1 не соединено нитью с теломm2(m2= 0), то
а = g(sina – mm1g cosa) (6)
и m= tgaкр.(7)
Следовательно, построив график зависимости а = f(tga), можно экстраполяцией найти m= tgaкр.
С другой стороны, знаязначения m и а, можно определить работу всех сил, действующих на теласистемы, и проверить теорему об изменении кинетической энергии. Для упрощениязадачи рассмотрим движение только тела m1. Для него запишемтеорему
DWK= Aвсех сил ,(8)
где DWK= mv2/2. (9)
Работа всех сил, действующих на тело m1:
AT= m2 (g – а)l,
Amgl = — m1gl sina,
Aтр=-mm1glcosa.(10)
Следовательно, можно произвести проверкусоотношения (8). При этом опытным путем определяются
a= 2l/t2, (11)
v= 2l/t(12)
и mпоформуле (5).
Подготовка изделия кработе
1. Закрепить стойку наосновании.
2. Закрепить на стойкенаклонную плоскость.
3. Поместить установку нагоризонтальную поверхность.
Порядок выполнения работы
1.Установить с помощьювинта 8 (рис. 4) угол наклона плоскости a1,при которомгруз m1 начинает двигаться вниз с минимальным ускорением.
2.Переместить груз m1 в верхнее положение изакрепить его фиксатором 4.
3.Отпустить фиксатор иодновременно включить секундомер. В момент касания грузом фиксатора 5 выключитьсекундомер. Время движения груза записать в таблицу 1.(При использованииэлектронных часов запуск и остановка секундомера происходит автоматически припересечении грузом соответствующих датчиков.)
4.Измерить расстояние,пройденное грузом (1).
5.Повторить измерения неменее 5 раз.
6.Повторить п.п. 2 – 5для пяти различных значений угла наклона a.
Таблица 1№ опыта
a, град
t,c
t cp,c
а, м/с2
tga
7. Соединить нитью грузы m1 и m2, при этом нитьпропустить через отверстие в фиксаторе 4.
8. Установить груз m1 на наклонной плоскости,перекинуть нить через ось 2 так, чтобы груз свободно висел на нити.
9. Установить угол a наклонной плоскости, прикотором система двигается равноускоренно.
10. Переместить груз m1 в нижнее положение нанаклонной плоскости (рис. 4) и закрепить фиксатором.
11. Отпустить фиксатор иодновременно включить секундомер. В момент касания грузом верхнего фиксаторавыключить секундомер. Измерить расстояние, пройденное грузом.
12. Величины 1, t и а записать втаблицу 2.
Таблица 2 l =..., a=..., m1 =..., m2 =....№ опыта
t, с
Dt, с 1 2 3 4 5 Среднее
13. Задания пунктов 10 –12 повторить 5 раз.
Обработка результатов измерений
1.По формуле (11) рассчитатьускорение груза m1 вниз по наклонной плоскости для каждого значения угла a.
2.Построить графикзависимости ускорения от угла наклона.
3.Определить по графикувеличину tgaкр экстраполяцией графика.
4.Рассчитать значениескорости движения грузов m1 и m2 в момент касания верхнегофиксатора грузом m1 по формуле (12) и по данным таблицы 2.
5.Рассчитать изменениекинетической энергии тела m1 при его движении по наклонной плоскости.
6.Определить работу всехсил, действующих на груз m1 при его движении по наклонной плоскости, поформуле (10).
7.Сравнить величины.
DW = m1v2/2 и Авсехсил = At + Amlg + AFтр
8. Определить абсолютнуюпогрешность DWK и А всех сил
Контрольные вопросы
1.Запишите основной закон динамики поступательногодвижения в дифференциальной форме.
2.Запишите систему уравнений, описывающих динамикудвижения груза по наклонной плоскости.
3.Получите формулу (4).
4.В чем заключается явление трения?
5.Какие виды трения вы знаете, какие причины вызываюттрение?
6.Получите формулу для расчета погрешности косвенногоизмерения DW и Авсехсил.
7.Как изменится система уравнений, если учитыватьмассу ролика?
Лабораторная работа №5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЁМА И ПЛОТНОСТИ ТЕЛА,ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Цельработы: Ознакомлениес методами измерения линейных размеров, объёмов тел, их масс и плотностейматериалов. Определение погрешностей измерений.
Приборы и принадлежности: микрометр,штангенциркуль, детали для измерения, весы и разновесы.
Нониусом называетсядополнение к обычному масштабу (линейному или круговому), позволяющее повыситьточность измерения.
Техника непосредственногоизмерения длин и углов достигла к настоящему времени большого совершенства.Сконструирован ряд специальных приборов, так называемых компараторов,позволяющих измерять длину с точностью до одного микрона (1мкм=10–6м). Большинство из них основано на применении микроскопа и некоторых других оптическихприспособлений, но при этом они всегда снабжаются нониусами или микрометрами. Вряде случаев требуемая относительная точность измерения длины бывает такова,что можно удовлетвориться абсолютной точностью в сотые или даже в десятые долимиллиметра, а для углов – минутами или долями минут. Тогда для измерения можнопользоваться обычными масштабными линейками и угломерами, снабженными нониусами.Примерами таких приборов являются штангенциркуль, буссоль, кипрегель.
Линейным нониусомназывается маленькая линейка с делениями, скользящая вдоль большой линейки(также с делениями), называемой масштабом (рис. 5, а). Деления на нониуснаносятся так, что одно его деление составляет
/>
делений масштаба, где m– число делений нониуса.
Именно это позволяет,пользуясь нониусом, производить отсчёты с точностью до /> части наименьшего делениямасштаба.
Пусть расстояние между соседнимиштрихами масштаба yа между соседними нониусами x,Можно записать, что />; отсюда получаем />.
Величина
/> (1)
носит название точности нониуса, она определяетмаксимальную его погрешность. При достаточно мелких делениях масштаба делениенониуса делают более крупным, например:
/>, что даёт mx1 = (2m – 1)y.
Точностью такого нониусапо-прежнему является величина />. В любом положении нониусаотносительно масштаба одно из делений первого совпадает с каким-либо делениемвторого. Отсчёт по нониусу основан именно на способности глаза фиксировать этосовпадение делений нониуса и масштаба.
Рассмотрим теперь процессизмерения при помощи линейного нониуса. Пусть L – измеряемый отрезок(рис. 5, а). Совместим его с началом нулевого деления основного масштаба. Пустьпри этом конец его окажется между К и (К+1) делением этого масштаба.Тогда можно записать
/>,
где DL – неизвестная пока доля k-го деления масштаба. Приложим теперь к концу отрезка Lнаш нониус так, чтобы нуль нониуса совпал с концом этого отрезка. Так какделения нониуса не равны делениям масштаба, то на нём обязательно найдетсятакое деление n, котороебудет ближе всего подходить к соответствующему (k+n)-му делению масштаба. Как видно из рис. 5, б, /> и вся длина его будет равна />, или, согласно (1):
/>. (2)
То есть длина измеряемого отрезка L равна произведению числа целыхделений масштаба k на цену егоделения y плюс произведение точности нониуса /> на номерделения нониуса n,совпадающего с некоторым делением масштаба.
Погрешность, котораяможет возникнуть при таком методе отсчёта, будет обусловливаться неточнымсовпадением n-го деления шкалы нониуса с (k+n)-м делением масштаба, ивеличина его не будет превышать Dx/2, ибо при большемнесовпадении этих делений одно из соседних делений (справа или слева) имело бынесовпадение меньше чем на Dx/2, и мы произвели быотсчёт по нему. Таким образом, можно сказать, что погрешность нониуса равнаполовине его точности.
Длина делений масштаба ичисло делений нониуса, а следовательно, и точность нониуса бывают самымиразными. Круговой нониус, в принципе, ничем не отличается от линейного. Онпредставляет собой небольшую дуговую линейку, скользящую вдоль круга (лимба),разделенного на градусы или на ещё более мелкие деления в количестве m, общая длина которыхравна (m-1) делениям лимба, т.е.
/>,
где a и b– выраженные в градусах или минутах цены делений нониуса и наименьшего делениялимба. Точность кругового нониуса выражаетсяформулой, аналогичной формуле (1):
/>.
Отсчитываемые от нуля лимба углы будут вычисляться поформуле
/>.
Во многих случаях для облегчения отсчётанониусы снабжаются скрепленными с ними лупами, при отсутствии таковыхрекомендуется пользоваться для отсчёта обыкновенными ручными лупами.
Упражнение №1
Измерение толщины металлическогопараллелепипеда микрометром
Принадлежности: микрометр, металлическийпараллелепипед.
Описание микрометра. Микрометр служит дляизмерения диаметров проволок, пластинок небольшой толщины и т. п. Он имеет видтисков, в которых измеряемый объект зажимается с помощью винта. Ход винта обыкновеннобывает равен 1 или 0,5 мм. На стержне винта укреплен барабан с нанесенной нанем шкалой, имеющей 50 или 25 делений. При зажатом винте нуль барабана стоитпротив нуля линейной шкалы, измеряемый объект (предмет) помещают между винтом ипротивоположным ему упором; затем, вращая винт за головку, доводят его досоприкосновения с предметом. По линейной шкале отсчитывают миллиметры, а пошкале барабана – сотые доли миллиметра.
Главным источником ошибокявляется неравномерность нажатия винта на измеряемый предмет. Для устраненияэтого недостатка рукоятка микрометра снабжена специальной головкой –«трещоткой», позволяющей создавать небольшое мерительное давление на измеряемыйобъект. Действие подобных приспособлений основано на трении, возникающем междустержнем винта и рукояткой, поворачивающей винт.
Измерения. Прежде чем пользоватьсямикрометром, необходимо убедиться, что он исправен – нули его шкал совпадают.Если шкала сбита и показание микрометра отлично от нуля, то соответствующеепоказание нужно заметить: его следует вычитать из всех измеряемых значений.
Пластинку помещают междувинтом и противоположным упором; вращением барабана подводят торец винта кпластинке Окончательное нажатие винтом на пластинку следует делать только«трещоткой». Момент нажатия фиксируется слабым треском. После этого трескадальнейшее вращение рукоятки бесполезно. Производят отсчет по шкалам:миллиметры по линейной шкале, доли миллиметров – по шкале барабана.
Толщину пластинкинеобходимо измерить вблизи каждого из ее четырех углов 5 раз. Результатызанести в табл. 1.
Таблица 1
Вычислениеплотности прямоугольного бруска№
Ширина а, мм
Длинна в, мм
Высота с, мм
Масса m, кг
Плотность
p, кг/м3
аi а
Dаi
Dаi
bi b
Dbi
Dbi
ci c
Dci
Dci
mi Dmi
p
Dp 1 2 3 4 5
Упражнение №2
Определение объёма цилиндра иплотности его материала при помощи штангенциркуля
Принадлежности: штангенциркуль, измеряемыйпредмет, весы.
Описание штангенциркуля. Штангенциркуль (рис. 5, б)состоит из разделенного на миллиметры масштаба, вдоль которого можетперемещаться ножка с зажимным винтом, служащим для ее закрепления: в ее обоймепротив делений масштаба сделан вырез, на скошенном и прилегающем к масштабукрае которого нанесен нониус; когда ножки сдвинуты вплотную, то нуль нониусасовпадает с нулем масштаба. Неподвижная ножка, укрепленная в начале масштабаперпендикулярно его длине, служит упором для измеряемого тела.
Измерения. Для определения объемацилиндра необходимо определить его геометрические размеры: длину и диаметр. Дляопределения плотности вещества трубки необходимо (кроме объема) определить и еемассу.
Определение объема. Измерение длиныпроизводят следующим образом. Достаточно раздвинув ножки штангенциркуля, междуними помещают цилиндр. Ножку подводят так, чтобы цилиндр был слегка зажат, ипроизводят отсчет. Так как ножка, а следовательно, и путь нониуса переместилисьна длину трубки, то отсчитывают по масштабу целое число миллиметров до нулянониуса и смотрят, какое деление нониуса совпадает с некоторым делениеммасштаба. Измерение повторяют несколько раз, повернув перед каждым из нихцилиндр вокруг его оси на некоторый угол (около 45°).
Далее производятизмерение диаметра цилиндра. Одинаковое число раз на том и другом концецилиндра измеряют два взаимно перпендикулярных диаметра, слегка зажимая цилиндрмежду ножками штангенциркуля и держа его при этом перпендикулярно к длинемасштаба. Результаты занести в табл. 2. Из всех результатов измерения берутсреднее значение.Таблица 2
Вычислениеплотности вещества цилиндра№
Диаметр d, мм
Высота h, мм
Масса m, кг i
di
Ddi2
Ddi
hi
Dhi
Dhi2
mi
Dmi
Dmi2
/> /> />
/>; />.
При измерении внутреннихдиаметров ножки штангенциркуля вводят в трубку и разводят настолько, чтобы обеони прилегли к внутренним стенкам трубки; производят отсчет. Измерениеповторяют несколько раз, поворачивая перед каждым из них трубку вокруг ее осина некоторый угол (около 45°). Если штангенциркуль не приспособлен специальнодля измерения внутреннего диаметра трубки, то необходимо принять во вниманиетолщину обеих ножек; эта толщина обычно указывается на самом штангенциркуле.
Из результатов измеренийпо элементарным геометрическим формула вычисляют объем цилиндра.
Определение плотностивещества цилиндра. Измерение массы цилиндра производят при помощи весов. На одну чашукладут цилиндр, на другую – разновесы. Их подбирают так, чтобы плечи весовоказались в равновесии. По результатам измерения массы и объема цилиндраопределяют плотность его материала
/>.
Замечание.
Количество измерений вкаждом из опытов указывается преподавателем.
Обработка результатов измеренийпроизводится в соответствии с требованиями методических указаний: «Методикаобработки данных измерений физических величин». С ними следует ознакомиться доначала выполнения измерений.
Контрольные вопросы
1.Как произвестиизмерение линейных размеров тела с помощью микрометра, штангенциркуля?
2.Как определяетсяточность нониуса?
3.Каковы причины возникновения погрешностей приизмерении линейных размеров тел, их объемов, плотностей, массы?
Лабораторная работа №6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: изучить один изэкспериментальных методов определения моментов инерции тел.
Приборы и принадлежности: трифилярный подвес,секундомер, штангенциркуль; набор тел подлежащих измерению.
Момент инерции I твердого телаотносительно некоторой оси определяется выражением
/>,
где r– расстояние элемента массы dmот оси вращения.
В простых случаяхвеличину момента инерции можно определять расчетом, а в сложных его приходитсяискать экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментовинерции твердых тел является метод трифилярного подвеса.
Теория трифилярного подвеса
Схема трифилярногоподвеса приведена на рис. 6.
Подвижная платформа Р'подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях АА', ВВ'., СC'.Платформа Р позволяет возбудить в системе крутильные колебания. Вращательныйимпульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформепутем специального приспособления, которое находится сверху прибора,приводящего в движение рычажок, связанный с диском. Этим достигается почтиполное отсутствие других крутильных колебаний, наличие которых затрудняет измерения.Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой припокоящейся платформе устанавливается указатель – проволока на штативе.
При повороте нижнейплатформы Р' (относительно верхней) вокруг вертикальной оси на некоторый угол j возникает момент сил,стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. Если пренебречь трением,то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся системы можно записать:
/>, (1)
где /> – кинетическая энергия системы, /> — потенциальнаяэнергия системы, I – моментинерции платформы вместе с исследуемым телом, М – масса платформы стелом, z– начальная координата точки О' (при (j=0), z – координата точки О притекущем значении j. Точкой обозначено дифференцирование по времени.
Как следует из рис. 6,координаты точки С в системе координат
(x, y, z) равны (r,0,0), а точка С' имееткоординаты (Rcosj, Rsinj, Z), где j– максимальный угол отклонения. Расстояние между точками С иС' равно длине нити l. Записывая l через значение еекоординат (l2=x2+y2+z2, где x2=(Rcosj-r)2, y2=(Rsinj)2, z2=z2), получим:
(R cosj0 – r)2+ (R sinj)2+ z2=l2
z2=l2-R2-r2+2Rrcosj=Z02 –2Rr(1-cosj),
так как Z2=l2-(R-r)2= l2-R2+2Rr-r2.
Учитывая, что для малыхуглов отклонения jcosj0 »1-j2/2, получим
Z2=Z2-Rrj2.(2)
Приравнивая корень извыражения (2), найдем, что при малых углах j
/>. (3)
Из (3) следует, что />, (4)
так как Z=l.Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем записатьзависимость углового смещения в виде:
/>, (5)
где j0 – амплитуда отклонения, Т – периодколебания, t – текущее время. Угловая скорость,являющаяся первой производной по времени, выражается так:
/>. (6)
В момент прохождения через положение равновесия
t=0, T/2,T,3T/2, ….(т.к.cos(2p/T) = ±1),
абсолютное значение этой величины будет
/>. (7)
На основании вышеизложенного – выражений (1) и (7) –имеем
/>. (8)
Подставляя в (8) выражение (4), получим
/>,
откуда />(9)
По формуле (9) может быть определен моментинерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правойчасти формулы могут быть непосредственно измерены. Формула (9) справедлива приотсутствии в системе потерь энергии на трение, илипри t>>T, где Т –период колебаний системы, а t – время, в течение которогоамплитуда колебаний платформы заметно уменьшается (в 2 – 3 раза).
Параметры трифилярногоподвеса.
r = (0,06±0,001) м; l = (0,61±0,002) м;
R = (0,12±0,001) м; m= (0,481±0,01) кг – масса пустойплатформы.
Проверка теоремы Штейнера методомкрутильных колебаний
Для однородных исимметричных тел справедлива теорема Штейнера, которая формулируется следующимобразом: момент инерции Iотносительно произвольной оси равен суммемомента инерции Iотносительно оси, параллельной данной и проходящейчерез центр инерции тела, и произведения массы тела mна квадрат расстояния dмежду осями:
I=I0 +md2.(10)
Справедливость теоремы Штейнера можно проверить при помощи трифилярногоподвеса, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Оба теласимметрично располагают на платформе и определяют их момент инерции при такомрасположении. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела,находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения. Зная это расстояние,массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, можнопроверить теорему Штейнера
I=(I2-I)/2=/>+md2, (11)
где I2– момент инерции двух грузов с платформой; I0– момент инерции пустой платформы; /> – момент инерции первогогруза без платформы; I – момент инерции первого груза без платформы, расположенногона расстоянии d от оси вращения.
Тела на платформенеобходимо класть строго симметрично – так, чтобы не было перекоса платформы,для чего на платформе нанесены цилиндрические окружности на определенномрасстоянии друг от друга.
Измерения
Сначала по формуле (9)определяют момент инерции пустой платформы I. Так как величины l, R, r и масса платформы m0даются как постоянные прибора, то определяют только время периода колебанийпустой платформы Т0. Для этого сообщают платформевращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 50 полных колебаний,что дает возможность достаточно точно определить величину периода Т0.После этого нагружают платформу в центре исследуемым телом, масса которогодолжна быть предварительно определена путем взвешивания, и вновь определяютпериод колебаний Т всей системы. Затем, пользуясь формулой (9),вычисляют момент инерции I1 всей системы, принимая ее массу m равной сумме масс тела иплатформы. Величина момента инерции тела /> определяется как разность />=I1 – I.
Далее нагружают платформудвумя одинаковыми телами, расположенными симметрично, и по формуле (9)определяют их момент инерции вместе с платформой I2. Остальные результатынаходят с помощью соответствующих вычислений.
При измеренияхнедопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими чем 5 – 6 градусов.Все данные измерений и расчетов свести в таблицу, проверить соотношение (11).
В работе использоватьсистему единиц СИ.№
t0, с
(50
колебаний платформы)
T0, с
I0,
кг/м2
t, с
(50 колебаний
с грузом 200 г
в центре
платформы)
T1, с
I0,
кг/м2
t, с
(50 колебаний
с грузом 400 г
по краям
платформы)
T2, с
I0,
кг/м2
1
2
3
4
5
t0
t1
t2
Период />, где N = 50.
Контрольные вопросы
1.Что называется моментоминерции тела? В каких единицах измеряется момент инерции тела?
2.Выведите рабочуюформулу. Какие упрощающие предположения следует использовать при выводе?
3.Справедлив ли указанныйметод при определении момента инерции, если его центр инерции не лежит на осивращения системы?
4.Сформулируйте идокажите теорему Штейнера.
Рекомендуемая литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.:Наука, 1977. Т. 1. § 36 – 39.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.:Наука, 1974. Т. 1. § 52, 55 – 59.
Лабораторная работа №7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИКРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: ознакомление сдинамическим методом определения модуля сдвига.
Принадлежности: проволока изисследуемого материала, грузы, секундомер.
Если механическийстержень с двумя симметрично расположенными грузами, подвешенный горизонтальнок металлической проволоке, заставить колебаться, то уравнение движения дляэтого случая запишется в виде
/>, (1)
Здесь: М – момент сил, происходящий из упругихдеформаций; I – моментинерции стержня с грузом; j – угол поворота стержня. Если амплитуда колебаний невелика, то дляопределения момента сил можно воспользоваться законом Гука в форме
M=fj, (2)
где f– модуль кручения проволоки (/>).
Момент М в этомслучае вызван деформацией проволоки и стремится уменьшить, а не увеличить угол j. В формуле (2) поэтомунеобходимо изменить знак.
После подстановки (2) в(1) формула приобретает вид
/>,(3)
где />.
Выражение (3) является дифференциальным уравнением2-го порядка. Его решение находится в виде гармонической функции.
j=j0 sin(wt+q), (4)
где амплитуда j0 и фаза q определяются начальными условиями.Таким образом, wявляется угловой частотой крутильных колебаний стержня, период которых равен
/>, (5)
Следует заметить, чтопоследняя формула получена для незатухающих колебании, в то время как на самомделе колебания стержня всегда затухают. Если, однако, затухание невелико, т. е.изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, тоформулой (5) можно пользоваться. Критерием ее применимости служит неравенство
n>>1, (6)
где n– число полных колебаний, после которого амплитуда уменьшается в 2 – 5 раз.
Отметим, что период Т,как видно из формулы (5), не зависит от амплитуды. Однако при большихамплитудах закон Гука нарушается и такая зависимость может проявляться. Такимобразом, вторым условием применимости данного метода является соблюдение равенстваТ = const.
Описание экспериментальной установки
Данные прибора: 2m = 410,8 + 410,8 = 821,6г; расстояние от центров грузов до оси системы (при установке грузов внутреннейстороной на риску):
1-я риска – 0,1 м, 2-яриска – 0,15 м, 3-я риска – 0,2 м, 4-я риска – 0,25 м, 5-я риска – 0,288 м.
Экспериментальнаяустановка (рис. 7) состоит из длинной вертикально висящей проволоки 1, книжнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень 2 сдвумя симметрично расположенными грузами 3. Их положение на стержне можнофиксировать. Верхний конец проволоки зажат в цангу 4 и при помощи специальногоприспособления вместе с цангой может поворачиваться вокруг вертикальной оси.Таким образом, в системе можно возбудить крутильные колебания.
Ход работы
1. Прежде всегоустановите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (6). Для этогоукрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системекрутильные колебания. Измеряя время нескольких полных колебаний, найдите периодT1. Затем, уменьшивамплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т2.Если T1=T2 то для проведенияизмерений можно выбрать любую амплитуду, но не больше первой. Если же окажется,что T1¹T2, то амплитуду необходимоуменьшить до такого значения j, начиная с которого длявсех j=j будет справедливо равенствоT1=T2.
2. Установите грузы так,чтобы их центры находились на некотором расстоянии L1 от оси системы, измерьтепериод, как описано выше. Если I – момент инерции стержня без грузов, а I1 – момент инерции грузов,то очевидно, что
/>. (8)
Изменив расстояние грузов до значения L2, аналогично получим
/>.(9)
Из (8) и (9) следует
/>, (10)
где m– масса одного груза.
Измерьте период колебанийдля трех разных положений грузов на оси маятника (L1, L2, L3). Определите величину f по формуле (10) длянескольких (не менее трех) пар значений L1и L2. Результаты измерений ивычислений занесите в таблицу:
Расстояние до груза
i
ti,c
/>, c
(Dt1)2,c2 T, c
L1=15 см 1:5
L2=20 см 1:5
L3=25 см 1:5
3. Зная f, вычислите значениемодуля сдвига G, который связан с модулем кручения формулой />, где r– радиус проволоки (r=(1±0,01) мм), l – длина проволоки (l=(508±1)мм). Сравните экспериментальное значение модуля сдвига G с табличным значениемдля стали.
4. Вычислите погрешность результатов косвенного измерения f и G. Число колебаний N= 20; t – время, за которое происходит 20 колебаний;период одного колебания Т = t /N.
Контрольные вопросы
1.Как формулируетсяосновной закон динамики вращательного движения?
2.В каком случае правуючасть уравнения (1) можно записать в таком виде?
3.Что такое деформациякручения? Проиллюстрируйте графически деформацию кручения балки, закрепленнойна одном из концов.
4.Каков физический смыслпараметров f и G?
5.В каком случаесправедлива формула М =fj?
6. Запишите уравнениегармонических незатухающих колебаний в дифференциальной форме и сравните его суравнением (3). Какой вывод можно сделать из этого сравнения?
Когда гармоническиеколебания станут ангармоническими?
Рекомендуемая литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.:Наука, 1977. Т. 1. § 33, 38, 45, 64, 86.
Лабораторная работа №8
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯТЕЛ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ НА МАШИНЕ АТВУДА
Цель работы: опытное изучениеравноускоренного движения и нахождение ускорения свободного падения.
Принадлежности: машина Атвуда,секундомер, набор перегрузков.
Краткая теория
Машина Атвудапредназначена для исследования закона движения тел в поле земного тяготения.Естественнее всего изучать этот закон, исследуя свободное падение тел, ноэтому, однако, мешает большая величина ускорения свободного падения. Поэтомуопыт возможен либо при очень большой высоте прибора (намного выше высоты комнаты),либо с применением специальных методов, позволяющих точно измерить небольшиепромежутки времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностейи замедлить движение до удобных скоростей.
Машина Атвуда состоит извертикальной штанги 2 со шкалой (рис. 8), сверху которой установлен легкийпластмассовый блок, укрепленный на корундовых подшипниках и способный вращатьсявокруг оси с незначительным трением. Через блок перекинута нить, на концахкоторой прикреплены грузы А и В, имеющие равные массы М. На груз А могутнадеваться один, два или несколько перегрузков. Система грузов в этом случаевыходит из равновесия и начинает двигаться ускоренно.
Найдем закон движениягруза А. При расчетах будем пользоваться неподвижной системой координат, центркоторой совпадает с осью блока. Ось ОХ направлена вниз. На груз А действуют двесилы – сила тяжести (M+m)g и сила натяжения левойчасти нити T1, m – масса перегрузка, лежащего на грузе А. Повторому закону Ньютона:
(М + m)g–T1= (М+m)a, (1)
где a– ускорениегруза А.
1– подставка (столик),передвигающаяся по штанге,
2– вертикальная штанга сошкалой,
3– грузы одинаковых масс,
4– электромагнит дляудерживания грузов,
5– легкий пластмассовыйблок,
6– тонкая капроноваянить.
Применим второй законНьютона к движению груза 3. В силу нерастяжимости нити ускорение груза 3 равноускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположнуюсторону, следовательно, оно равно а. Натяжение правого конца нитиобозначим через Т2. Тогда
Mg-T2=Ma. (2)
Запишем основное уравнение динамики вращательногодвижения твердых тел применительно к блоку:
/>.
Здесь /> – суммарный момент силотносительно оси вращения, приложенный к блоку; I – момент инерции вращающего тела; /> – угловое ускорение.
Угловое ускорение связанос линейным ускорением a следующим образом
/>,
где R– радиус блока.
Запишем дляпластмассового блока (с учетом двух последних выражений) основной закондинамики вращательного движения:
/>, (3)
где I– момент инерции блока; R– радиусблока (R=0,066±0,001 м). Очевидно, что если подобран перегрузок m, при котором система движетсяравномерно, то момент силы трения
МTP= m0 gR.
Учитывая, что />, где М0 – массаблока, уравнение (3) перепишется в виде
/>. (4)
Из системы уравнений (1), (2), (4) найдем линейноеускорение:
/>. (5)
Здесь M0 – масса блока (M0 =(0,115± 0,0005) кг); М=(0,161±0,0005)кг – масса груза А и В; m= 0,2 г (определяется экспериментально).
Таким образом, движениегруза А происходит равноускоренно и подчиняется уравнению (5). Формула (5)может служить для определения ускорения g. Экспериментосложняется, однако, тем обстоятельством, что не существует простых способовпрямого измерения ускорения a. Для определения a воспользуемсяравноускоренным характером движения и будем измерять путь S и время tдвижения груза. Этивеличины связаны известным соотношением:
/>. (6)
Из (6) выразим ускорение а:
/>. (7)
Экспериментальная часть
Эксперимент выполняется вследующем порядке. Один из имеющихся перегрузков кладут на груз А. Груз Аподнимают на определённую высоту и фиксируют, подав ток в катушкуэлектромагнита. Секундомер ставится на нуль. По шкале отмечается высота поднятиягруза Sнад столиком.
Теперь следует разорватьцепь электромагнита и одновременно включить секундомер. При соприкосновениигруза А со столиком секундомер выключают и замечают время опускания груза А.Зная S и t, нетрудно посчитать a по формуле (7), Опыт повторяют 5 раз изаписывают полученные данные в таблицу:
№ Масса перегрузки M=2 г M=4 г M=6 г i
S1
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a1
м/с2
S1
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a2
м/с2
S1
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a3
м/с2
S2
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a1
м/с2
S2
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a2
м/с2
S2
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a3
м/с2
1
:
5
S3
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a1
м/с2
S3
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a2
м/с2
S3
м
ti
c
t
c
Dti2
c2
a3
м/с2
1
:
5
/>
Прежде чем приступить ксистематическим измерениям, полезно проделать несколько опытов при разных S и t для того, чтобыубедиться в правильности работы установки. Вычисленное по экспериментальнымданным по формуле (5) значение g следует сопоставить с табличным.
Экспериментальноопределить m0. Для этого используют миллиграммовые перегрузкиразновеса; их кладут на груз А; постепенно увеличивая нагрузку до тех пор, покагруз А не начнет опускаться.
Ход работы
1.На груз А положитьперегрузок и измерить время прохождения расстояния S не менее пяти раз.
2.Повторить опыт дляразличных перегрузков: 2 г, 4 г, 6 г.
3.Повторить опыт для трехразличных высот подъёма груза.
4.Полученные данныеизобразить графически t=F(S1/2). Проверить равноускоренныйхарактер движения.
5.Вычислить значения всехускорений a. Найти среднее значение и погрешности в определении a для каждого перегрузка.
6.Используя найденныезначения a, вычислить значения g и сравнить их с табличными. Оценить точностьнайденного значения по формулам:
/>,
/>.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте изапишите второй закон Ньютона в дифференциальной форме.
2.Дайте определениемомента сил, момента инерции, линейного и углового ускорения. Выведите связьлинейного и углового ускорения.
3.Изменится ли натяжениенити (при движении грузов), если один перегрузок заменить другим?
4.Как изменится ускорениесистемы, если увеличить массу постоянных грузов А и В (не меняя массыперегрузка и сил трения)?
5.Почему системадвижется, хотя сила трения больше веса перегрузка?
6.Почему не рекомендуетсяставить платформу слишком близко к началу шкалы?
7.Почему найденноезначение g отличается от табличного?
Рекомендуемая литература
1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1:Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М.: Наука, 1973. § 14, 16,19, 21.
2.Иверонова В.И. Физический практикум. 1967.С. 51.