План
лекції з навчальної дисципліни
Ф І З И К А
Тема: «ЕЛЕМЕНТИ СПЕЦІАЛЬНОЇТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ»
Вступ
Область застосовностікласичного закону додавання швидкостей обмежена. Він, зокрема, непридатний дляопису явищ, пов’язаних із розповсюдженням світла. Але, класичний закондодавання швидкостей являється наслідком із перетворень Галілея. Отже, і ціперетворення мають обмежену область застосовності.
Відмова віднеобгрунтованих застосовностей положень ньютонівської механіки дала можливістьЕйнштейну розробити нову теорію – спеціальну теорію відносності, в основу якоїпокладені два принципи, які являються постулатами:
а) принципвідносності;
б) принцип інваріантностішвидкості світла відносно інерційних систем відліку.
Ці постулати надійнопідтверджені експериментально.
Границізастосовності класичної механіки. Спеціальна теорія відносності. ПостулатиЕйнштейна
Класична механіка,механіка Галілея-Ньютона, створена для опису руху макротіл із швидкостями вбагато разів меншими швидкості світла. З перетворень Галілея-Ньютона випливаєзакон додавання швидкостей:
И=И´+V (1)
Де И – швидкість тіла внерухомій системі,
И´ – швидкістьйого в рухомій системі,
V – швидкість руху системи.
В класичній механіціпростір і час вважаються абсолютними і непов’язаними один з одним. Якщо існуєабсолютний простір, то повинна існувати і абсолютна швидкість по відношенню доцього простору. В 1881 році американський вчений Майкельсон показав, що дляшвидкості світла відношення (1) не виконується. Абсолютної швидкості не існує.Фізики опинились у важкому становищі.
Вихід з цьогостановища вказав Ейнштейн. Він сформулював новий принцип відносності, більшзагальний, ніж принцип Галілея і розробив спеціальну теорію відносності, якабазується на серйозному експериментальному фундаменті, і тому являє собою етапбільш глибокого пізнання об’єктивних законів природи.
Теорія відносностіописує рух тіл із швидкостями, близькими до швидкості світла. При малихшвидкостях закони теорії відносності співпадають з законами класичної механіки.Таким чином, застосування законів класичної механіки обмежено. Вонизастосовуються тільки для опису руху макротіл із швидкостями в багато разівменшими швидкості світла.
Закони класичноїмеханіки не застосовуються для опису руху мікротіл. Рух мікротіл вивчається вквантовій механіці.
Згідно з уявленнямиНьютона простір і час є абсолютними і незалежними один від одного. Простіріснує сам по собі, а час сам по собі.
Вчені вважали, щооскільки існує абсолютний простір, то повинна існувати і абсолютна системакоординат. Швидкість по відношенню до цієї системи є абсолютною. Вважали, щотака система може бути пов’язана з світовим ефіром. Майкельсон в 1881 р.поставив дослід з метою визначення швидкості Землі відносно ефіру і одержавнегативний результат. Таким чином, дослід показав, що абсолютної системи неіснує. Результати досліду Майкельсона знайшли пояснення в теорії відносностіЕйнштейна.
Спеціальна теоріявідносності Ейнштейна будується на 2 постулатах:
1. Всі закони природи однакові(інваріантні по відношенню до переходу від однієї інерційної системи відліку додругої). Іншими словами, рівняння, що відбивають закони природи, інваріантні повідношенню до перетворень координат і часу при переході від однієї інерційноїсистеми відліку до іншої.
2. Швидкість світла у вакуумі незалежить від швидкості руху джерела і однакова в усіх інерційних системах.
Перетворення Лоренца. Простір ічас в спеціальній теорії відносності
Ейнштейн показав, що увідповідності з постулатами теорії відносності зв’язок між координатами і часомв двох інерційних системах відліку Sі S¢ (нерухомій і рухомій) здійснюєтьсяне перетвореннями Галілея, а перетвореннями Лоренца.
Перетворення
/>
/> /> />/>
/>, /> />, /> (2)
/> />
Використовуючиперетворення Лоренца, знайдемо довжину відрізка в обох системах координат:
/>
/>/>, тобто />.
Проміжок часу міждвома подіями в обох системах буде рівний:
/>
/>, тобто />.
В системі координат,відносно якої тіло рухається, тривалість події більша ніж в системі координат,відносно якої тіло рухається, а рухомий годинник іде повільніше, ніж годинник всистемі s.
Закон додаванняшвидкостей:
/>.
Таким чином, з перетворень Лоренца випливає, що розміри тілзалежать від швидкості їхнього руху:
/> (3)
Протікання процесів в системі, що рухається, затримується:
/>, /> (4)
Закон додавання швидкостей набуває вигляд:
/> (5)
Із перетворень Лоренца видно, що просторові координатипов’язані з часом. Отже, простір і час взаємозв’язані і утворюють єдине ціле –час. В теорії відносності простір-час розглядається як абсолютна формаіснування матерії.
В теорії відносностірозглядається /> — вимірний світпростір-час. Незмінною величиною (інваріантом) в цьому світі є інтервал s, який визначається виразом:
/>, (6),
де С – швидкістьсвітла,
t – час, що пройшов від однієїподії до іншої,
l – відстаньміж подіями.
Поняття про релятивістську динаміку. Класична механікаяк частковий випадок релятивістської механіки
З принципу відносності (всі інерційнісистеми рівноправні) випливає, що математичний запис будь-якого закону фізикиповинна бути однаковою в усіх інерційних системах відліку. Цю умову називаютьумовою інваріантності фізичних законів відносно перетворень Лоренцо.
Розглянемо основний закон класичноїдинаміки:
/> або /> (7)
Рівняння (7) інваріантне по відношенню доперетворень Галілея.
Дійсно, />,але />.
Тому: />.
Але рівняння (7) неінваріантне по відношеннюдо перетворень Лоренцо (при m=const). Згідно теорії відносності
/> (8)
З урахуванням (8) рівняння (7) залишаєтьсяінваріантним по відношенню до перетворень Лоренца:
/> (9)
Ейнштейн показав також, що маса і енергіявзаємозв’язані співвідношенням />
/> (10)
Закон взаємозв’язку маси і енергіїназивають ще законом пропорційності маси і енергії. Він означає, що маса іенергія зростають або зменшуються одночасно. Якщо енергія тіла (частинка)змінюється на величину />. то одночаснозмінюється і його маса на />. Отже,не може бути мови про зведення маси до енергії (точка зору фізиків – ідеалістів).Можна стверджувати, що енергія і маса – властивості матерії, що рухається.
Порівнюючи рівняння, ми бачимо, що прималих швидкостях/>
Перетворення Лоренцо переходить вперетворення Галілея. Це означає, що при цій умові закони класичної механікиправильно описують рух тіл. Отже, закони класичної механіки можна застосовуватитільки до тіл, що рухаються із швидкостями, що задовольняють умову />.
Таким чином, теорія відносності містить всобі класичну механіку як частковий випадок. У розвиток теорії відносностівеликий внесок зробив російський вчений Френзель. Він збудував послідовнурелятивістську теорію електрона, що має свій момент імпульсу. В.А. Рондослідив декілька важливих задач теорії тяжіння. А.А. Фрідман заклав теорію загальнорелятивістської космології і ряд інших робіт.
Висновки
Уявлення про простір і час докоріннозмінилися внаслідок розвитку електродинаміки і фізики великих швидкостей, якуназивають релятивістською фізикою.
Інтервал часу />,виміряний у системі що рухається зі швидкістю />,дорівнює: />, де /> — інтервал часу в нерухомійсистемі.
Довжина стержня l в інерційній системівідліку, відносно якої він рухається зі швидкістю />,дорівнює
/>.
Довжина стержня найбільша в системівідліку, відносно якої він нерухомий.
Універсальний зв’язок між енергією і масоювизначається:
/>.
Величину /> називаютьвласною енергією або енергією спокою тіла.
План
лекції з навчальної дисципліни
Ф І З И К А
Тема: «ОСНОВНЕ РІВНЯННЯІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ»
Вступ
Уявлення про те, щоречовина складається з найдрібніших невидимих частинок, виникло в найдавнішічаси на сході (у Фінікії, в Індії). Але тільки в стародавній Греції (в У-1У ст.до н.е.) атомізм виникає як матеріалістичне вчення, позбавлене релігійнихуявлень.
Видатний російськийвчений М.В. Ломоносов перший приклав цілком певне атомістичне уявлення допояснення законів природи, зробивши атомістичну гіпотезу могутньою зброєю вруках природознавства. В наш час експериментально доведено, що всі матеріальнітіла складаються із великої кількості атомів чи молекул, які безперервнорухаються (хаотично) і взаємодіють між собою. Молекулярна фізика вивчаєвластивості і характеристики великої сукупності частинок, а не розглядає рухуоднієї частинки. Тому молекулярна фізика використовує статистичний метод ітеорію ймовірності.
Молекулярно-кінетичний(статистичний) і термодинамічний методи вивчення макроскопічних систем
Молекулярною фізикою називається розділфізики, в якому вивчають фізичні властивості тіл в залежності від їхньоїбудови, від сили взаємодії між молекулами, атомами, іонами, що утворюють тіла івід характеру руху цих частинок.
Задачею молекулярноїфізики є встановлення зв’язку між фізичними величинами речовин і на основістворених нових речовин з наперед заданими властивостями.
Молекулярна фізика нецікавиться поведінкою однієї окремої молекули. Вона вивчає властивості великоїсукупності частинок. Тому основним методом молекулярної фізики є статистичнийметод, а фізичні закономірності, що встановлюються молекулярною фізикою, маютьімовірнісний, статистичний характер. В основі молекулярної фізики лежатьфундаментальні положення:
1. Всі тіласкладаються з найдрібніших частинок – атомів. В деяких тілах при певних умовахатоми з’єднуються в молекули.
1. Атоми імолекули взаємодіють між собою. Величина сил взаємодії залежить від відстаніміж частинками. У твердих тіл взаємодія складніша, ніж в рідинах та газах.
2. Молекули таатоми знаходяться в стані неперервного хаотичного руху. Цей хаотичний рух мисприймаємо як теплоту. Чим більше кінетична енергія молекулярного руху, тимвища температура і навпаки. Звідси випливає, що тіло можна нагріти і без вогню.
Щоб нагріти тіло, достатньо виконати надним роботу. Так наковальня нагрівається при ударах, газ нагрівається пристисканні.
Вперше ці положення розвинув російськийвчений М. В Ломоносов. Ще задовго до нашої ери виникло вчення про найменшічастинки з яких складається будь-яка речовина. Але вперше широкий розвитокатомна гіпотеза одержала в працях Ломоносова /1711–1765 рр./, який зробивспробу дати єдину картину всіх відомих в його час фізичних і хімічних явищ. Прицьому він виходив з корпускулярного /молекулярного/ уявлення про будовуматерії. Виступаючи проти пануючої в його час теорії тепловоду /гіпотези тепловоїрідини, місткість якої в тілі визначає ступінь його нагрітості/. М.В. Ломоносов«причину тепла» бачив у обертовому русі частинок тіла. Таким чином, Ломоносоввперше сформулював молекулярно-кінетичні уявлення.
Фізична модель тарівняння стану ідеального газу
Для опису властивостей реальних газівнеобхідно враховувати розміри молекул і сили взаємодії між ними. Але приневеликих тисках і дуже низьких температурах розмірами молекули і їх взаємодієюможна знехтувати.
Такий газ, молекули якого можна вважатиматеріальними точками, які не взаємодіють між собою, називається ідеальнимгазом.
Стан газу характеризується трьомавеличинами – об’ємом V, тиском P і температурою T. Ці величини називаютьсяпараметрами газу. Всі параметри даної маси газу пов’язані між собою з допомогоюрівняння стану газу.
/>, (1)
де B – деяка константа.
Ця константа для 1 моля позначаєтьсябуквою R і називається універсальною газовою сталою. Чисельне значеннясталої R знайдемо, підставивши в рівняння стану значення параметрів газу внормальних умовах:
/>
Отже для 1 моля маємотаке рівняння:PV=RT (2)
Для будь-якої масигазу m рівняння стану запишеться так:PV=(m/m) RT (3)
Це рівняння називається рівняннямКлайперона-Мендєлєєва. В формулі /3/ (m/m) являє собою числомолей даної маси газу.
Відмітимо, що для того, щоб рівняння /2/описувало властивості реального газу, в нього потрібно ввести поправки на об’ємВ який займали б молекули газу при щільному упакуванні і на силу притягання міжмолекулами a/V2. Тоді одержимо таке рівняння:
(P-a/V2) (V-B) = RT(4)
Рівняння /4/ називають рівняннямВан-дер-Ваальса. Сталі а і в називають поправними Ван-дер-Ваальса. З формули/4/ випливає, що при р®¥:
V-b®0, тобто V®b
Отже, при збільшенні тиску об’єм газупрямує до власного об’єму молекул газу, а не до нуля, формула /4/ є набагатокращим наближенням до дійсності, ніж /2/. Але і вона не абсолютно точна.
Основне рівняннямолекулярно-кінетичної теорії газу. Середня кінетична енергія молекул газу
З курсу фізики середньої школи відомо, щовластивості ідеальних газів описуються рівняннями Бройля-Маріота, Гей-Люсака,та ін., знайденими експериментально. Але можна, теоретично вивести рівняння, зякого всі зазначені вище закони будуть випливати як наслідки. Тому такерівняння називають основним рівнянням кінетичної теорії газів.
Основним рівнянням кінетичної теорії газівназивають рівняння, що встановлює зв’язок між тиском газу і його енергією. Присвоєму рухові молекули газу неперервно ударяється об стінки посудини. Ударичергуються один за одним дуже швидко, усереднюються і створюють постійну силу,що діє на стінки посудини. Внаслідок цього газ створює на стінки посудини тиск,який дорівнює:
/>, (5)
де f – сила, що дієна стінку, S – площа стінки.
Знайдемо цей тиск. Для цього розглянемопосудину з газом у вигляді кубу з довжиною ребра l(рис. 1) вякому хаотично рухаються молекули.
/>
Рис. 1
В зв’язку з повною хаотичністю рухумолекул можна вважати, що /> всіхмолекул рухаються прямолінійно між передньою і задньою стінками куба, /> молекул – між правою ілівою стінками і /> – між верхньою інижньою гранями. Від такого спрощення результат дії молекул не змінюється.
При пружному ударі об стінку, маса якоїнескінченно велика в порівнянні з масою молекули m, кожна молекула,що рухається зі швидкістю n, в результаті чого їїімпульс зміниться на величину, рівну:
/>.
Ця зміна імпульсу молекули відбуваєтьсяпід дією імпульсу сили />, що діє зісторони стінки на молекулу під час удару. За другим законом Ньютона маємо:
/>,
/>, (6)
де /> –тривалість удару.
По третьому закону Ньютона сила, чисельнорівна />, буде діяти зі сторонимолекули на стінку. Відскочивши від стінки, молекула полетить до протилежноїстінки, і, відскочивши від неї, знову вернеться до першої стінки через деякийчас Dt. Середня сила Df, що діє настінку за весь час між двома послідовними ударами молекули, визначиться зумови, що її імпульс /> повиннийчисельно дорівнювати імпульсу сили />, що дієв продовж />. Тоді замість рівняння (6)маємо:
/> (7)
Величина Dt являє собою час,за який молекула проходить відстань 2l. Отже:
/> (8)
Підставляючи це значення />в формулу (7), одержимо:
/> (9)
Ми знайшли середню силу удару однієїмолекули. Але різні молекули рухаються з різними швидкостями />Тоді сумарна сила ударумолекул об стінку буде рівна:
/> (10)
де /> –число молекул, що рухаються між двома протилежними стінками.
В першій частині рівняння (10) винесемо /> за дужки, помножимо іподілимо його на />. Одержимо:
/> (11)
Величина /> являє собою середнєзначення квадратів швидкостей молекул, а величина, рівна /> називається середньою квадратичноюшвидкістю. Тоді замість (11) маємо:
/> (12)
Як вказано вище, число молекул, щорухаються між двома протилежними стінками, />.Отже, одержуємо:
/> (13)
Підставивши це значення f в формулу (5) івраховуючи, що площа грані /> знаходимо:
/>. (14)
Але /> –об’єм кубу. Отже /> – являє собоючисло молекул в одиниці об’єму. Тому маємо:
/>. (15)
З останнього виразу випливає, що тиск, щовиконує газ на стінки посудини визначається числом молекул в одиниці об’єму />, масою молекули m і середньоюквадратичною швидкістю.
Формулу (10) можна записати в іншомувигляді. Помноживши і поділивши праву частину на два, одержимо:
/>, (16)
але /> –представляє собою середню кінетичну енергію руху молекули. Тому маємо:
/>. (17)
тобто тиск газу пропорційний середнійкінетичній енергії молекул одиниці об’єму.
Співвідношення (15) і еквіваленти (17)називається основним рівнянням кінетичної теорії газів згідно (17) тиск газудорівнює 2/3 кінетичної енергії поступального руху молекул, вміщених в одиниціоб’єму.
Таким чином, для обрахунків тиску газунеобхідно знати середню кінетичну енергію молекул або їхню середню квадратичнушвидкість. Найчастіше відома температура газу. Тому знайдемо формулу длявизначення цих величин через температуру газу. Для цього помножимо ліву і правучастини рівняння (17) на об’єм одного моля Vo, одержимо:
/> (10)
Але по /> –кількість молекул в 1 молі. Отже /> – числоАвогадро.
Тому формула (18) має вигляд:
/> (19)
Порівнюючи вираз (19) з рівнянням стануідеального газу />, знаходимо:
/> (20)
Звідси
/> (21)
Оскільки RіN – величинисталі, то і величина k рівна:
/> (22)
теж буде сталою. Вона носить назву сталоїБольцмана. Її значення дорівнює:
/>
Після чого формула (21) записується так:
/> (23)
Стала Больцмана k є однією знайважливіших фундаментальних фізичних сталих і має зміст універсальної газовоїсталої, віднесеної до однієї молекули газу.
З рівняння (23) випливає молекулярно-кінетичнийзміст температури. Температура газу визначається середньою кінетичною енергієюпоступального руху молекул.
Вираз (23) можна записати так:
/> (24)
Звідси можна визначити середню квадратичнушвидкість молекул:
/> (25)
/> (26)
Підставивши в формулу (17) значеннясередньої кінетичної енергії за формулою (23):
/> (27)
Рівняння (27) дозволяє обчислити кількістьмолекул, наприклад, в електровакуумних приладах.
Розподіл молекул газів пошвидкостях при тепловій рівновазі (розподіл Максвелла)
Як же розподіляються молекули газів взалежності від їхніх швидкостей тобто, скільки молекул рухається швидко іскільки повільно? Цю задачу вперше розв’язав Максвелл. Він знайшов рівняння, задопомогою якого можна визначити, скільки молекул має швидкість, близьку доданої швидкості />. Іншими словами,рівняння Максвелла дозволяє визначити кількість молекул, що мають швидкість вінтервалі (n,n+ Dn).
Визначимо спочатку, від чого повинназалежати кількість частинок Dn, швидкості якихлежать в інтервалі (n,n+ Dn). Наприклад в інтервалі100, 101 м/с або 367, 370 м/с і т.д. Очевидно, найбільша кількістьчастинок має швидкості, близькі до середньої швидкості, а кількість частинок здуже малими швидкостями, як і кількість з дуже великими швидкостями, мала.Отже, кількість частинок Dn, що приходитьсяна однакові інтервали швидкостей Dn залежить відрозглядуваної швидкості n. Іншими словами, такзвана функція розподілу Максвелла повинна бути функцією швидкостей f(n), тобто: />
Фізично також ясно, що число /> буде пропорційнеширині інтервала швидкостей Dn ікількості молекул в одиниці об’єму n. Тому можемозаписати таке співвідношення:
/> (28)
Або, переходячи до нескінченно малихвеличин /> і />, одержуємо:
/> (29)
Звідки знаходимо:
/> (30)
Функцію f(n) називають функцією розподілу. Її фізичний зміст випливає з(30). Дійсно при Dn= 1 м/c маємо: />, тобто, f(n) рівна долі частинок, швидкості яких лежать в одиничномуінтервалі швидкостей поблизу даної швидкості n.
На основі теорії ймовірностей Максвеллзнайшов вигляд цієї функції:
/>.
На рис. 2 приведений графік функції f(n). З графіка видно, що f(n) функція має максимум при певному значенні швидкості />. Це значить, що найбільшукількість молекул в газі мають швидкості, близькі до />. Тому швидкість /> називають найбільшймовірною.
/>
Рис. 2
Найбільш ймовірна швидкість рівна:
/> (31)
Враховуючи значення найбільш ймовірноїшвидкості формулу (31) можна записати в такому вигляді:
/> (32)
Формула Максвелла дозволяє обчислити ісередню арифметичну швидкість. Вона рівна:
/> або /> (33)
Тепер можна знайти формули для визначеннякількості молекул dn, швидкості яких лежать в інтервалі (n,n+ dn). Так, підставившизначення f(n) по формулі (33) вформулу (30) одержимо:
/> (34)
Таким чином, властивості газу визначаютьсятакими швидкостями:
Середня квадратична – />
Середня арифметична – />
Найбільш ймовірна – />
Звідси видно, що /> (рис. 3).
/>
Рис. 3
Фізичний зміст цих швидкостей полягає внаступному. За допомогою графіку (рис. 3) можна знайти кількість молекул,швидкості яких лежать між /> і />. Для цього перемножимосереднє значення ординати цього інтервалу на ширину інтервалу. Тоді одержимо:
/>.
Ми знайшли відносну кількість молекул,швидкості яких лежать в інтервалі (/>, />), але цей добуток дорівнюєплощі фігури, закресленої на рис. 3. Таким чином, маючи графік розподілуМаксвелла для якогось газу можна легко визначити відносну кількість молекул,швидкості яких лежать в даному інтервалі.
Функція розподілу Максвелла залежить відтемператури (рис. 4).
/>
Рис. 4
Як видно з рис. 4 при /> максимум функціїобертається в гострий пік.
Отже діапазон швидкостей навколо /> при зменшеннітемператури зменшується. При підвищенні температури все більше зменшуєтьсякількість молекул, швидкості яких менше найбільш ймовірної і збільшуєтьсячастина молекул, швидкості яких перевищують найбільш ймовірну.
Висновки
1. Молекулярна фізика розглядає будь-якетіло як таке, що складається з надзвичайно великої кількості частинок – атомівчи молекул і характеризує таку велику сукупність середніми величинами на основіметодів статистичної фізики.
2. Основним рівнянням ідеального газу, якевраховує можливу зміну всіх параметрів газу, є рівняння Менделєєва-Клапейрона,або рівняння стану ідеального газу.
3. Тиск газу пропорційний середнійкінетичній енергії молекул одиниці об’єму, або тиск газу пропорційнийабсолютній температурі газу, а температура газу є мірою середньої кінетичноїенергії поступального руху молекул.
4. Розподіл Максвелла дає змогу визначитичастки молекул, швидкості яких розміщені в інтервалі від n до n + dn. Розподіл даєзмогу знайти швидкості молекул: середню, середню квадратичну, найбільшймовірну.