Содержание1. Введение
2. Постановка
3. Анализ цепи во временной областиметодом переменных состояния при постоянных воздействиях
3.1 Составление уравнений состоянияцепи.
3.2 Определение точных решенийуравнений. Решение уравнений состояния численным методом4. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.
4.1 Определение функции передачи, еёнулей и полюсов
4.2 Определение переходной иимпульсной функции
4.3 Определение напряжения черезнагрузку5. Анализ цепи частотным методом при апериодическомвоздействии.
5.1 Определение амплитудно-фазовой(АФХ), амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик функциипередачи
5.2 Определение амплитудного ифазового спектра входного сигнала
5.3 Определение амплитудного ифазового спектра выходного сигнала
5.4 Определение выходного сигнала по вещественной характеристикепри помощи приближенного метода Гиллемина
6. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии
6.1 Разложение в ряд Фурьепериодической функции и определение её амплитудного и фазового спектров
6.2 Определение напряжения черезнагрузку
7. Заключение.
8. Список используемой литературы.
Введение
Практическое применениерасчета электрических цепей очень важно. В курсовой работе требуется провестианализ линейной разветвленной электрической цепи различными методами.
Целью курсовой работы являетсяовладение некоторыми современными методами анализа линейной электрической цепипри различных воздействиях в переходном и установившемся режимах с применениемвычислительной техники.
В курсовой работеиспользован следующий материал курса теоретических основ электротехники: методырасчёта сложных цепей, анализ цепей во временной области, операторный методанализа цепей, частотный метод анализа цепей.
При выполнении курсовойработы применялась программа MathCADProfession, что позволило значительно упростить вычисления и расчёты вряде случаев.
2. Постановка задачи
На рисунке 1представлена анализируемая цепь. Параметры элементов цепи следующие: />, />, />, />, />, />, />, />. Здесь /> - единичная ступенчатаяфункция (функция включения). Параметры одиночного и последовательностиимпульсов: />, />, />.График одиночного импульса приведён на рисунке 1.1./> />
Рисунок 1. Схемаанализируемой цепи.
/>
Рисунок 1.1. Входнойимпульс.
3. Анализ цепи вовременной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
3.1 Составление уравненийсостояния цепи
Уравненияэлектромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы(состояние) электрической цепи.
Метод переменныхсостояния основывается на упорядоченном составлении и решении системыдифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительнопроизводных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численныхметодов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники. Количество переменных состояния,следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителейэнергии.
В данной задаче переменными состояния являются напряжения на ёмкостях иток в индуктивности: />и />. При этомпеременные состоянияобразуют систему из наименьшего числа переменных, полностью определяющихреакции всех ветвей цепи при заданных начальных условиях и приложенных при />внешних воздействиях.
Требуемая системауравнений может быть получена из системы уравнений, составленной по законамКирхгофа. При этом целесообразно записывать напряжения и токи на емкости ииндуктивности через переменные состояния.
Выберем направления токов(рисунок 2)./> />
Рисунок 2.Выбор направлений токов в ветвях и контуров.
Составим уравнения позаконам Кирхгофа:
/>
Исключив из уравненийтоки и напряжения, не связанные с переменными состояния, получим системууравнений по методу переменных состояния, разрешенную относительно первыхпроизводных (форма Коши):
/> (1)
В матричной форме записиэта система имеет вид:
/>,(2)
где /> матрица коэффициентов при переменныхсостояния, называемаяматрицей Якоби; /> - вектор — столбец переменныхсостояния; /> - матрица коэффициентов источников тока иэ.д.с.; /> - вектор — столбец параметров источников.
В нашем случае это:
/> />
/>/> />
3.2 Определение точныхрешений уравнений состояния
Решение системы (1)определяется выражением:
/>
Так как в цепи действуютисточники постоянной ЭДС Е и постоянного тока J, то решение может быть представлено в более простом виде:
/> ,(3)
Здесь /> - матричная экспоненциальная функция; /> - вектор-столбец начальных значенийпеременных состояния; /> - единичная матрица.
Начальные значенияпеременных состояния могут быть определены из анализа схемы до коммутации.Предполагается, что в схеме до коммутации существовал установившийся режимпостоянного тока, что позволяет представить схему в виде:
/>
Рисунок 2.1. Схемаопределения независимых начальных условий.
Анализ схемы рис. 2.1позволяет определить независимые начальные условия:
/> (4)
Для определения матричной экспоненциальной функции /> используем разложение в ряд Тейлора:
/> ,(5)
Число членов разложениядолжно быть равно числу переменных состояния. /> и /> являются некоторыми функциями времени,которые в свою очередь находятся из системы:
/> (6)
Найдя собственныезначения матрицы /> :
/>
подставляем их в (6) инаходим /> и />:
/>
3.3 Решение уравненийсостояния численным методом
Решение системы уравнений(1) может быть найдено с помощью какого-либо численного метода интегрированиядифференциальных уравнений. В этих методах интересующий промежуток разбиваетсяна равные малые интервалы h.Приближённые дискретные значения переменных состояния определяютсяпоследовательно, на каждом шаге, начиная от времени t= 0.
Решение системы (1) сиспользованием явного метода Эйлера (или алгоритма Рунге-Кутта первого порядка)имеет вид:
/>
/> Начальным значениям переменныхсостояния соответствует k= 0. Оценитьвременной интервал Dtрасчрасчета можно на основе известных собственных значений матрицы /> как Dtрасч = 4/|lmin|. Здесь |lmin| — минимальное собственное значение,если собственные значения являются вещественными, отрицательными и различными,или вещественная часть комплексного собственного значения, если собственныезначения являются комплексно сопряженными. Тогда шаг расчета может быть найденисходя из выражения: h= Dtрасч/N. N— число шагов, на которые разбит интервал Dtрасч. ПоложимN=80, тогда h= 2,25*10-6. Погрешностьрасчёта пропорциональна h2.
Таблица значенийпеременных состояния на каждом шаге.
Таблица 1./>
Uc4, B Il3 , A />
U, B I, A
U, B I, A /> U,B I, A
/>
/>
/> — аналитическое решение
/> — численное решение
Рисунок 2.2 Изменение напряжения на конденсаторе С4
/>
/> — аналитическое решение
/> - численное решение
Рисунок 2.3 Изменение тока в катушке индуктивности L3
4. Анализ цепи операторным методом при
апериодическомвоздействии
4.1 Определение функциипередачи, её нулей и полюсов
Анализу подлежит схемапредставленная на рис. 3. Начальные условия в цепи нулевые, в момент t =на вход цепи источником напряжения подан импульс (рисунок 1) самплитудой 10 В и длительностью 60 мкс., j(t) = 0.
/>
Рисунок 3.Операторнаясхема замещения.
Составим уравнения воператорной форме по законам Кирхгофа, найдём отношение />.Это отношение является функцией передачи />.
/>
Таким образом, функцияпередачи будет иметь вид:
/> (7)
Полюсы функции передачимогут быть найдены путём нахождения корней полинома второй степени,находящегося в знаменателе самой функции:
/>
Таким образом:
/>
Совпадение полюсовфункции передачи /> и /> с собственнымизначениями матрицы /> - /> и /> даёт дополнительную информацию оправильности нахождения передаточной функции.
Аналогично из числителяфункции передачи находятся нули функции:
/>
Наиболее нагляднымспособом охарактеризовать передаточную функцию является графическоерасположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемой диаграммойполюсов-нулей (рис.3.1).
/>
Рисунок 3.1. Диаграммаполюсов-нулей.
Так как полюсыпередаточной функции лежат в левой полуплоскости, в линейной пассивной цепиимеются резистивные элементы, в результате чего будет происходить затуханиесвободной составляющей напряжения. Передаточные функции, полюса которых нележат в правой полуплоскости комплексной плоскости, называются устойчивыми.
Нули передаточнойфункции при учете потерь могут располагаться в любой части комплекснойплоскости.
4.2 Определениепереходной и импульсной характеристик
Переходная характеристикацепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатойфункции (функции Хэвисайда 1(t)) и может быть найдена какобратное преобразование Лапласа от />, либо с помощью формулы разложения:
/>, (8) где /> и /> числительи знаменатель передаточной функции /> соответственно, а /> - корни выражения />:
/>
Таким образом, подставляякорни /> и, применяя преобразование Эйлера, получим:
/>
Импульсная характеристикацепи /> представляет собой реакцию цепи на воздействие единичнойимпульсной функции /> и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа отпередаточной функции, либо с помощью формулы разложения:
/>, (9) где /> и /> числительи знаменатель передаточной функции /> соответственно, а /> - полюсы />:
/>
Таким образом:
/>
Первое слагаемоеопределяется действием на входе цепи d — импульса тока и существует только для t=0. Вдальнейшем переходной процесс протекает за счет энергии, накопленной вэлектрическом поле конденсатора и магнитном поле индуктивности в результатедействия d — импульсатока. Из приведенного выражения видно, что, как и в первом случае, переходнойпроцесс носит затухающий колебательный характер с частотой, равной собственнойчастоте рассматриваемой цепи: wсв= 41574 рад/сек. Подобного вида решения (с d -функцией) возникают всякий раз,когда степени полиномов числителя и знаменателя передаточной функции оказываютсяравными. Коэффициент при /> соответствует части входного импульса поступающей в нагрузку./> />
/>
Рисунок 3.2. Импульсная ипередаточная характеристики
4.3 Определение напряженияна нагрузке
Входной импульс в данномзадании представляет собой знакопеременное прямоугольное напряжение. Его можнопредставить как сумму следующих функций:
/>
Применяя теоремуЗапаздывания, найдём операторное изображение для одиночного импульсанапряжения:
/> (10)
Так как />, выразим />:
/> (11)
Подставив в (11)выражения (10) и (7), получим:
/>
Для того чтобы найтиоригинал этой функции, воспользуемся таблицами для преобразований Лапласа:
/>/>/>
Рисунок 3.3 Графики входногои Рисунок 3.4 График выходного
выходного сигналов сигнала
5. Анализ цепи частотнымметодом при апериодическомвоздействии
5.1 Определениеамплитудно-фазовой (АФХ), амплитудно-частотной (АЧХ)и фазо-частотной (ФЧХ)характеристик функции передачи
Амплитудно-частотнаяхарактеристика – это зависимость от частоты модуля входной, выходной илипередаточной функции цепи, выраженных в комплексной форме (ГОСТ 19880-74).Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) является одной из самых важныххарактеристик любой цепи и позволяет исследовать искажения вносимые цепью вспектр входного сигнала. Наличие частотно — зависимых элементов (L и C)в исследуемой цепи приводит к неравномерному изменению составляющих спектравходного сигнала. Наиболее простой способ получения АЧХ цепи — это замена ввыражении для /> операторной переменной pна мнимую частоту jw и нахождение модуля полученной комплексной функциичастоты:
/>
/>Рисунок 4.1 АЧХ функции передачи понапряжению
Характеристика имеет вид,качественно сходный с подобной характеристикой параллельного колебательногоконтура. По построенной характеристике может быть определена полосапропускания. Полоса пропускания – полоса частот, в пределах которой затуханиеостаётся ниже определённого значения (СТ МЭК 50(151)-78). Т. е.коэффициент передачи для этой полосы не более чем в /> отличаетсяот его максимального значения. Для рассматриваемой цепи максимальное значениепередаточной функции достигается на нулевой частоте (для постоянногонапряжения) и составляет />. Границе полосыпропускания соответствует значение передаточной функции />.Это значение достигается на частоте />. Таким образом, полосапропускания равна: />./> />
Фазо-частотная характеристика –зависимость от частоты аргумента входной, выходной или передаточной функцийцепи, выраженных в комплексной форме (ГОСТ 19880-74). Таким образом, дляданной цепи ФЧХ будет иметь вид: />. Построенная по данному выражениюФЧХ имеет вид, представленный на рис. 4.2.
Рисунок 4.2 ФЧХ функциипередачи по напряжении
Амплитуднофазочастотнаяхарактеристика цепи (годограф) связывает воедино изменение коэффициентапередачи (в нашем случае, по напряжению — /> ) ифазового сдвига между выходным и входным напряжением /> во всем диапазоне частот. Годографвключает сведения, которые содержатся как в АЧХ, так и в ФЧХ.
/>
Рисунок 4.3 Годографанализируемой цепи
Годограф являетсяпараметрической кривой, параметром которой является частота w. Длина вектора, проведенного изначала координат к какой-либо точке годографа, соответствует абсолютномузначению передаточной функции на этой частоте />, а уголмежду ним и положительным направлением вещественной оси — аргументупередаточной функции />. Нулевой частоте (постоянномунапряжению) соответствует точка с координатой 0.1428 на вещественнойоси, очень большой (в пределе бесконечной) частоте соответствует точка скоординатой 0.09524 на вещественной оси. На этих граничных частотахвлияние реактивных элементов на фазовый сдвиг отсутствует.
5.2 Определениеамплитудного и фазового спектра входного сигнала
Для нахожденияспектральной характеристики входного сигнала /> можновоспользоваться непосредственно прямым преобразованием Фурье. Второй путьрешения этой задачи основан на аналогии между преобразованиями Лапласа и Фурьеи состоит в замене в операторном изображении входного сигнала (10) операторнойпеременнойp на мнимую частоту jw. В итоге после простыхпреобразований получим:
/>
Амплитудный спектрвходного сигнала />может быть найден как модульспектральной характеристики сигнала:
/>/>
Рисунок 4.4 АЧХ входногосигнала />
Максимальное значениеспектральной характеристики достигается при /> исоставляет />. Определенная по уровню /> ширина спектра сигнала составляет />. Между шириной спектра сигнала и егодлительностью существует следующее соотношение: />. Дляданного вида сигнала получаем:/>. Эта константа называетсябазой сигнала. Уменьшение длительности импульса в 100 раз приводит к такому же(в 100 раз) увеличению ширины его спектра. Наличие широкого спектра у короткихимпульсов дает возможность использования таких импульсов для исследованиячастотных свойств различных цепей. В математическом смысле спектрнесинусоидального сигнала неограничен.
Фазовый спектр входногосигнала определяется как аргумент от входной спектральной характеристики: />.
/>
Рисунок 4.5 Фазовыйспектр входного сигнала
5.3 Определениеамплитудного и фазового спектра выходного сигнала
Амплитудно-частотнаяхарактеристика выходного сигнала может быть получена перемножением амплитудно-частотныххарактеристик входного сигнала /> и цепи />: />/>.
График АЧХ выходногосигнала приведён на рис. 4.6.
/>
Рисунок 4.6Амплитудно-частотная характеристика
входного сигнала />
Сравнение АЧХ /> с соответствующей характеристикой /> позволяет предположить значительноеискажение формы выходного сигнала. Искажения связаны с различием величины передаточнойфункции для различных составляющих спектра входного сигнала. Для резистивнойцепи выходной сигнал был бы подобен входному и имел бы ту же длительность. Вданном случае цепи содержащей частотнозависимые элементы значительные изменениябудут иметь место и для фазового спектра входного сигнала. Это приведет кнарушению фазовых соотношений между составляющими сигнала и станет другойпричиной искажения формы выходного сигнала. Искажение на рис. 4.6 и рис. 4.7ярко выражено на частоте />, т. е. той же частоте,что имела место в АЧХ функции передачи по напряжению(рис. 4.1), определяющейхарактеристику данной цепи как параллельного колебательного контура. Анализпреобразования импульсного сигнала основывается на представлении о том, чтоискажение фронта выходного импульса по сравнению с формой входного импульсазависит от свойств цепи на высоких частотах (теоретически на бесконечно высокихчастотах). Искажение формы вершины импульса определяется свойствами цепи нанизких частотах. Используя подобный подход, например, для анализа искаженийфронта входного импульса «закорачивают» конденсаторы, находящиеся на путиследования сигнала в нагрузку и заменяют разрывом индуктивные элементы,включенные параллельно резистивным элементам схемы.
Фазовый спектр выходногосигнала может быть получен суммированием аргумента спектральной характеристикии ФЧХ цепи:
/>
/>
Рисунок 4.7 Фазовыйспектр выходного сигнала
5.4 Определение выходного сигнала повещественной характеристике при помощи приближенного метода Гиллемина
Метод Гиллемина являетсяодним из методов позволяющих восстановить функцию времени (какой — либо сигнал)по известной вещественной (или мнимой) частотной характеристике. Метод основанна такой аппроксимации, когда аппроксимирующая частотную характеристику функциялибо ее производные состоят из последовательности бесконечно короткихимпульсов. Последовательность бесконечно коротких импульсов представляет собойзаданную функцию в так называемой квантованной форме. Погрешность методапреимущественно связана со ступенчатым характером аппроксимирующей функции.Уменьшение этой погрешности требует увеличения общего числа членов ваппроксимации. Исходная частотная характеристика аппроксимируется кусочнолинейнымобразом, после чего два последовательных дифференцирования позволяют свестиаппроксимирующую функцию к последовательности бесконечно коротких импульсов.Окончательное выражение для искомой функции времениf(t) полученной по вещественной частотной характеристикеимеет вид:
/> (12)
/>Здесь ak-величины бесконечно коротких импульсов, wk — координаты импульсов на частотнойоси. Вещественная частотная характеристика /> может бытьопределена из соотношений: />; />;/>, где /> - фазо-частотная характеристика цепи, /> - фазо-частотная характеристикавходного сигнала.
Рисунок 4.8 Аппроксимациявещественной частотной характеристики />
Аппроксимация позволяетнайти точки />, необходимые для записи и построения первойпроизводной вещественной частотной характеристики />:
/>
Рисунок 4.9 Перваяпроизводная — />
На этом шаге уже можновосстановить функцию времени (/>). Для этого воспользуемсявыражением вида:
/>
/>Аналогично вычисляется вторая производная вещественной частотнойхарактеристики />:
Рисунок 4.11 Втораяпроизводная — />
/>Применяя выражение (12), можно восстановить выходной сигнал />:
Рисунок 4.12Аппроксимированный выходной сигнал по />
6. Анализ цепи частотным методом при периодическомвоздействии
6.1 Разложение в рядФурье заданной периодической функции, определение амплитудного и фазовогоспектров
Разложение периодическойпоследовательности импульсов может быть осуществлено с учетом очевидной связикомплексной амплитуды гармоники ряда Фурье и спектральной плотности одиночногоимпульса той же формы />. Коэффициенты ряда Фурье могутбыть найдены по формуле:
/>
Фазовые коэффициенты /> определяются как аргумент комплексного числа/>:
/>
Результаты вычислений:
Таблица 2.
k, номер гармоники
Амплитудаk — той гармоники
Uок, B
Начальная фаза k — той гармоники ak, рад 1 9.549 -0.524 2 4.775 -2.618 3 - 4 2.387 -0.524 5 1.91 -2.618 6 - 7 1.364 -0.524 8 1.194 -2.618 9 - 10 0.955 -0.524 11 0.868 -2.618 12 - 13 0.735 -0.524 14 0.682 -2.618
/>
Рисунок 5.1 Амплитудныйспектр входного сигнала
На рис. 5.1 представленамплитудный спектр входного сигнала. Огибающая дискретного спектрапериодического сигнала совпадает с амплитудно-частотной характеристикой одиночногоимпульса. При всех частотах /> амплитуды спектрапериодической функции отличаются от значений спектральной плотностинепериодической только постоянным множителем />.Увеличение периода следования импульсов ведет к уменьшению расстояния между соседнимигармониками амплитудного спектра. При увеличении периода до бесконечностидискретный амплитудный спектр периодической последовательности переходит внепрерывный спектр одиночного импульса. Вид этого спектра наглядно позволяет судитьо свойствах периодических функций времени, например, по скорости уменьшения амплитудногоспектра можно судить о степени гладкости периодической функции, а по наличиюили отсутствию гармоник на высоких частотах – есть ли участки с быстрымиизменениями. Амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый –нечетной функцией.
/>
Рисунок 5.2 Фазовыйспектр входного сигнала
Таким образом, входнойсигнал можно представить как
/>
6.2 Определениенапряжения на нагрузке
Для определениякоэффициентов ряда Фурье выходного тока вычислим значения АЧХ и ФЧХ функциипередачи, полученной нами в пункте 4.1, для значений (k×w1),k=0,1,2,3...14. Тогда:
/>
Результаты вычислений:
Таблица 3.
k, номер гармоники
Амплитудаk — той гармоники
Uкн, B
Начальная фаза k — той гармоники kн, рад 1 0.43 -0.307 2 0.405 -2.416 3 - 4 0.222 -0.423 5 0.179 -2.538 6 - 7 0.129 -0.467 8 0.113 -2.568 9 - 10 0.091 -0.484 11 0.082 -2.582 12 - 13 0.07 -0.493 14 0.065 -2.59
/>
/>
Заданная периодическаяпоследовательность импульсов />
Аппроксимация отрезкомряда Фурье
/>
Напряжение на выходе цепи />
Аппроксимацияотрезком ряда Фурье
7. Заключение
В данной курсовой работебыли применены различные современные методы для анализа разветвлённой линейнойэлектрической цепи при различных воздействиях в переходном и установившемсярежимах с применением вычислительной техники.
Вычисления, проводимые спомощью математического пакета MathCADProfession, в большинстве случаев былипроверены встроенными функциями, согласующимися с поставленной задачей в даннойкурсовой работе.
Анализ графиковпоказывает, что характер их изменения весьма соответствует характеру физическойреализации цепи с данным включением L и Сэлементов.
Применяемые аппроксимациив качестве дополнительной информации о правильности, в результате подтвердиливыполненные расчёты.
8. Список используемой литературы
1. Бессонов Л.А. Теоретические основыэлектротехники. — М.: Высшая школа, 1996.
2. Матханов П.Н. Основы анализаэлектрических цепей. Линейные цепи. — М.: Высшая школа, 1990.
3. Зевеке Г.В. и др. Основы анализацепей. — М.: Энергоатомиздат, 1989. 5-е изд. — 528.
4. Лосев А.К. Теория линейныхэлектрических цепей. – М: Высшая школа, 1987.
5.Шебес М.Р. Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. –М:Высшая школа, 1990.
6. Зевеке Г.В. и др. Основы анализацепей. — М.: Энергоатомиздат, 1975. 4-е изд. — 752