--PAGE_BREAK--Пример 1.9.1Произведена случайная выборка объемом.n=200 деталей. Из них поврежденных оказалось 40. Определить с вероятностью 0,95 доверительный интервал для доли поврежденных деталей генеральной совокупности.
Рассчитываем выборочную долю:
р* =
m
/
n
= 40 / 200 = 0.20
По заданной доверительной вероятности
Р = 1 –
α
= 2Ф(zα) = 0.95
находим по таблице интегральной функции Лапласа соответствующее значение zα
=1,96. Применяем формулу (1.9.9):
Таким образом, доверительный интервал для генеральном доли р:
0,20-0,06
Пример 1.9.2. По результатам той же выборки определить вероятность того, что ошибка выборки не превысит 0,03.
Имеем:
Отсюда:
По таблице интегральной функции Лапласа находим соответствующую доверительную вероятность Р = 2Ф(z
а
)=0,71.
Пример 1.9.3.До проведения выборки необходимо ответить на вопрос: какой объем выборки обеспечит с вероятностью0,95 ошибку выборзки не более, чем 0,02?
Применяем формулу (1.9.11):
Следует заметить, что требуемые надежность и точность может обеспечить в нашей задаче и выборка меньшего объема.Если до проведения выборкиу нас есть приближенная оценка хотя бы максимальной величины р*,то мыможем применить формулу (1.9.10) и получить меньшее значение необходимого объема выборки п.
В случае безвозвратной выборки случайная величина р*, как доказываетсяв теории вероятностей, имеет так называемое гипергеометрическое распределение. Ее математическое ожидание,как и в случае возвратнойвыборки, равно генеральной доле: М(р*)=р, а среднее квадратическоеотклонение вычисляется но формуле:
(1.9.12)
где N — объем генеральной совокупности
Придостаточно большом объеме выборки гипергеометрическоераспределение также хорошо аппроксимируетсянормальным распределением с указанными параметрами M(p*) и σ(p*), поэтому дальнейший ход решения задач аналогичен рассмотренному выше случаю возвратной выборки.
Формула для предельной выборки принимает вид
(1.9.13)
При решении задач IIIтипа из (1.9.13) получаем:
(1.9.14)
Соответственно изменится и формула для nmax:
(1.9.15)
Если объем выборочной совокупности nсоставляет незначительную долю по отношению к объему генеральной совокупности N, то величина в формуле (1.9.12) ближе к 1, можно пренебречь различием формул (1.9.9) и (1.9.13) и пользоваться более простыми соотношениями для возвратной выборки, даже если фактически выборка производится как безвозвратная.
В заключение раздела необходимо отметить что в статистике используется понятие средней ошибки выборки, которая определяется как среднее квадратическое отклонение соответствующей выборочной характеристики. Нетрудно видеть, что формула для средней ошибки выборки является частным случаем формулы предельной ошибки выборки при z=1.
3.4 Точечные оценки для средней и дисперсии генеральной совокупности
Обозначим через и σ2 среднюю и дисперсию генеральной совокупности.
Возвратная выборка объема
nможет рассматриваться как совокупность nнезависимых случайных величин Xj, имеющих одно и то же распределение, совпадающее с генеральным, для которых, следовательно:
M(Xj)= ; D(Xj)= σ2
Для точечной оценки генеральной средней естественно использовать статистику ¾среднюю. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим:
(1.9.16)
(1.9.17)
Нетрудно видеть, что статистика θ ¾X
* является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой параметра .
Для точечной оценки генеральной дисперсии воспользуемся статистикой — выборочной дисперсией. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что
(1.9.18)
Таким образом, статистика θ= D
* является смещеннойоценкой для генеральной дисперсии σ2. Однако смещенность легко устраняется путем введения корректирующего множителя .Статистика
(1.9.19)
(так называемая «исправленная» выборочная дисперсия) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии σ2 и используется для ее точечной оценки.
Заметим, что при большом п отношение и потому значение s2≈D
*
В случае безвозвратной выборки можно показать, что точечная оценка средней будет той же (т. е. *), а точечная оценка дисперсии должна быть заменена на:
(1.9.20)
где N— объем генеральной совокупности
В случае безвозвратной выборки изменится и выражение для D(*), которое потребуется для построения доверительного интервала при оценке средней:
(1.9.21)
При относительно небольшом объеме выборки и
3.5 Интервальные оценки средней
При изложении данного вопроса будем различать случаи больших и малых выборок. При этом оба случая сначала рассмотрим в более простой, с теоретической точки зрения, ситуации возвратной (повторной) выборки.
3.5.1 Большая выборка
Если объем выборки достаточно большой (практически, начиная с п > 20—30), то распределение выборочной средней , согласно центральной предельной теореме, независимо от характера генерального распределения приближается к нормальному распределению с параметрами
М()= и )
где — генеральная средняя,
σ— генеральное среднее квадратическое отклонение,
п — объем выборки.
Таким образом, величина
распределена по стандартному нормальному закону (с математическим ожиданием M(z)= 0и средним квадратическим отклонением σ(z
) = 1).
Задавшись доверительной вероятностью Р = 1 — α, определяем из равенства 2Ф(z) = 1 — α соответствующее значение za
(используем при этом таблицу интегральной функции Лапласа). Тогда с вероятностью Р = 1 — α выполняется неравенство:
(1.9.22)
которое эквивалентно неравенству:
(1.9.23)
Величина называется предельной ошибкой выборки.
Таким образом, мы имеем доверительный интервал для генеральной средней:
(; )
Наоборот, если задана предельная ошибка ε, а требуется определить вероятность Р, то схема решения задачи следующая:
ε→z=→Ф(z)→P=2Ф(z) (1.9.24)
Наконец, определение объема выборки п по данным Р и ε производится по следующей схеме:
P=2Ф(z) →z→n= (1.9.25)
Пример 1.9.4. Взвешивание 50 случайно отобранных коробок печенья дало =1200г. Определить с вероятностью Р = 0,95 доверительные границы для среднего веса коробки печенья в генеральной совокупности, если есть основания полагать, что генеральная дисперсия σ2 = 11664.
Решение:
Дано: n=50; =1200; σ2=11664 (= 108); Р = 0,95.
Из равенства Р = 2Ф(z)=0,95 по таблице значений интегральной функции Лапласа находим z=1,96, откуда:
ε=(г)
Таким образом, получаем доверительный интервал:
1200 — 30
Пример 1.9.5Определить, с какой доверительной вероятностью можно утверждать, что при данном объеме выборки (50 коробок) ошибка выборки не превысит 20 г.
Решение:
По величине ε=20 вычисляем , откуда по таблице Ф(z): Р = 2Ф(1,31)≈0,81
Пример 1.9.6.Определить необходимый объем выборки n, который с вероятностью 0,99 гарантировал бы ошибку выборки не более чем ε= 20г.
Решение:
Из Р = 2Ф(z
) =0,99 находим z= 2,58, откуда:
коробок
Предположение о том, что генеральная дисперсия σ2известна при неизвестной генеральной средней, на практике выполняется весьма редко. Чаще всего мы имеем лишь выборочные данные и можем дать лишь выборочную оценку s
2 неизвестной дисперсии σ2.
Статистика
(1.9.26)
подчиняется закону распределения Стьюдента с v
=
n—1 степенями свободы. Однако при больших значениях параметра v(v≥ 30) распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным. Поэтому в случае больших выборок схема решения задач остается прежней, даже если вместо 'Неизве стного генерального среднего квадратического отклонения а используется его выборочная оценка s
.
3.5.2. Малая выборка
Если генеральная совокупность подчинена нормальному закону распределения (что на практике имеет место очень часто), то выборочная средняя как средняя арифметическая п нормально распределенных случайных величин также имеет нормальный закон распределения. Таким образом, величина распределена по стандартному нормальному закону, и схема решения задач при известном генеральном среднем квадратическом отклонении σ остается прежней.
Если же генеральное среднее квадратическое отклонение σ неизвестно и приходится пользоваться его выборочной оценкой s
, то используется статистика t
(1.9.26), которая, как мы уже отмечали, подчинена закону распределения Стьюдента с v
=
n—1 степенями свободы. При vv). Используя функцию распределения Стьюдента, мы можем записать равенство, аналогичное формуле Лапласа:
(1.9.27)
где S
(
t
,
v) — функция Стьюдента, значения которой для различных значений tи vподробно рассчитаны и представлены в специальных таблицах.
Выражение (1.9.27) эквивалентно выражению:
(1.9.28)
где
Решение задач с помощью этого равенства аналогично решению задач с использованием формулы Лапласа. Лишь определение п несколько усложняется из-за того, что оно входит также в параметр v
=
n—1.
Поэтому можно воспользоваться схемой последовательных приближений. Вначале производят оценку (s2) генеральной дисперсии. Затем находят п1по схеме (1.9.25), используя таблицу функции Лапласа и принимая σ2 = s
2
— По найденному n
1
и, соответственно, v
1
=
n
1— 1 и заданному значению
Р=1—α определяют t
1
(по таблице распределения Стьюдента) и вычисляют
и так далее.
Теперь можно снова повторить расчет по v
2
=
n
2— 1 и т.д.
Итерация заканчивается, если окажется ni
≈ ni
-1.
Пример 1.9.7. Для определения среднего заработка работника за день при соблюдении необходимых условий было отобрано 10 работников, заработок которых оказался равным (в руб.): 325; 337; 319; 330; 327; 328; 332; 320; 318; 334. Требуется определить с вероятностью 0,95 доверительный интервал для среднего заработка работников в генеральной совокупности, если есть основания полагать, что заработная плата в генеральной совокупности подчиняется нормальному закону определения.
продолжение
--PAGE_BREAK--