Актуальные проблемы математического образования Однажды, выступая перед студентами, Андрей Николаевич Колмогоров сказал, что каждый из нас, живущих на этой Земле, принадлежит по меньшей мере трём кругам. Первый из них вырожденный, он состоит из одного лишь центра - это мы сами. Второй - это страна, с которой нас соединила судьба, наша Родина. Третий круг - максимально широкий, это всё человечество, ибо все мы --- братья и сёстры по человечеству. Размышляя о математике и проблемах математического образования, разумно помнить об этих «трёх кругах»'. Математика --- это всечеловеческая наука. И если нам понятно высказывание Гоголя, что «при имени Пушкина нас осеняет мысль о русском национальном поэте», то выражение «русский (или немецкий или английский и т. п.) национальный математик» лишено смысла. Математический язык (в отличие от национального языка) всечеловечен, и математическая истина не имеет национальных границ. Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Первые два свойства (и отчасти третий) относятся к третьему кругу - всему человечеству, третье во многом - ко второму, последний - к первому. Математическое образование есть благо, на которое имеет право любой человек и обязанность общества (государства и всемирных организационных структур) предоставить каждой личности возможность воспользоваться этим правом. Говоря о математическом образовании, разумно выделить следующие темы: цели, принципы, структура и содержание математического образования. Последовательно обсудим их. АНКЕТА. В чём цель математического образования (упорядочьте в соответствии со своими предпочтениями): Подготовка в вуз, Подготовка к будущей профессии, Интеллектуальное развитие, Формирование мировоззрения, Ориентация в окружающем мире, Физкультура мозга. В других странах (США, Канаде, некоторых странах Европы, где обсуждались эти вопросы) предпочтение отдавалось «подготовке к будущей профессии». А «у нас», точнее у тех, кто связан с математическим просвещением в России или странах бывшего Советского Союза, на первом месте и с большим отрывом всегда побеждало «интеллектуальное развитие'', а на последнее место (и тоже ``с большим отрывом'') всегда выходила ``подготовка в вуз''. Примерно так представляют себе цели математического образования учителя, педагоги, деятели просвещения. Обсуждению целей математического образования для личности естественно придать форму такого вопроса, который может быть адресован любому из нас, и вообще любому взрослому человеку: ``Вот если юноша или девушка 14-16 лет, размышляющие о своём будущем, спросят тебя, что может им дать математическое образование, зачем людей учат математике, что ты ответишь?'' Вот некоторые мотивировки относительно важности математического образования для личности. Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно определенные математические навыки нужны каждому человеку. Не правда ли, нам приходится в жизни считать (например, деньги), мы постоянно используем (часто не замечая этого) знания о величинах, характеризующих протяжённости, площади, объёмы, промежутки времени, скорости и многое другое. Всё это пришло к нам на уроках арифметики и геометрии и сгодилось для ориентации в окружающем мире. Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего, конечно, в тех, что связаны с естественными науками, техникой и экономикой. Математика является языком естествознания и техники и потому профессия естествоиспытателя и инженера требует серьезного овладения многими профессиональными сведениями, основанными на математике. Очень хорошо сказал об этом Галилей: «Философия [речь идёт о натурфилософии, на нашем современном языке --- о физике] написана в величественной книге, которая постоянно открыта вашему взору, но понять её может лишь тот, кто сначала научится понимать её язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики». Но ныне несомненна необходимость применения математических знаний и математического мышления врачу, лингвисту, историку, и трудно оборвать этот список, настолько важно математическое образование для профессиональной деятельности в наше время. Следовательно, математика и математическое образование нужны для подготовки к будущей профессии. Для этого необходимы знания из алгебры, математического анализа, теории вероятности и статистики. Философское постижение Мира, его общих закономерностей и основных научных концепций также не возможно без математики. И потому математика необходима для формирования мировоззрения. Именно об этих трех целях математического образования говорил как-то Андрей Николаевич Колмогоров. Именно последними двумя причинами он объяснял необходимость включения в школьный курс математики элементов математического анализа. Все мы хорошо понимаем важность физкультуры для полнокровной жизни каждого человека, важность тренировки тела. Столь же необходима (вряд ли кто-то будет спорить) физкультура мозга, тренировка ума. И все мы знаем, сколь богатые возможности для этого даёт математика. (Не только она, тренируют мозг и занятия с компьютерами и, скажем, изучение языков, но, как мне кажется, всё же лучше всего для этого приспособлена именно математика.) «Изощрение ума» - безусловная цель математического образования любого уровня. В частности, того образования, которое осуществляется в гуманитарных и технических вузах, не говоря уже об университетах. Не так ли? И подготовка к вузу есть, конечно, одна из целей математического образования. И этой серьёзной теме нам придётся уделить внимание на этой конференции. Ещё одной важнейшей задачей математического образования является воспитание в человеке способности понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому надо научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, понимать смысл поставленной задачи, схематизировать, отчётливо выражать свои мысли и т. п., а с другой стороны --- развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения и т. д.). Иначе говоря, математика нужна для интеллектуального развития личности. В 1267 году знаменитый английский философ Роджер Бекон сказал: «Кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». Есть две традиции в математическом образовании. Одна из них построена на том, что человек должен уметь воспользоваться готовыми приемами, другая --- на том, что его прежде всего следует научить думать самого. Наши, российские, традиции всегда зиждились на развитии интеллекта, и это явилось великим благом для нашего общества в прошлом. Одна из наших целей в России --- не дать угаснуть замечательным традициям российского образования. Многие говорят, что математика должна способствовать освоению этических принципов человеческого общежития. Освоение ее призвана воспитывать в человеке интеллектуальную честность, объективность, стремление к постижению истины, она воспитывает также способность к эстетическому восприятию мира, красоты интеллектуальных достижений, идей и концепций, познание радости человеческого труда. Было сказано уже, что математика является неотъемлемой частью человеческой культуры, т. е. участвует в формировании духовного мира человечества. Равно как искусство. И потому каждому человеку полезно знать некоторые фрагменты истории этой науки, имена ее творцов, сущность их вклада в нее, ход научной эволюции, преодоление ошибок. Преподавание должно воспитывать уважение к авторитетам, но воспитывать и творческий дух, и смелость в отстаивании истины, свойственной великим творцам. Следует помнить слова Галилея: «Авторитет, основанный на мнении тысячи в вопросах науки, не искры разума одного единственного». Вторая объявленная нами тема --- принципы математического образования. Вот один из кардинальных вопросов: должен ли соблюдаться в вопросах образования принцип свободы или оно в значительной мере должно использовать элементы принуждения? Поколение, выросшее в Советском Союзе получало образование в те времена, когда основной целью человеческой жизни объявлялось служение государству. Государство при этом контролировало все стороны жизни каждой отдельной личности. Образование было единым для всех, все учились по единым учебникам, единым программам, и возможность выбора сводилась к минимуму. Во многих странах Запада образование основывается на либеральных принципах, и потому оно базируется на принципах личной свободы. Во многих странах на Западе этот принцип соблюдается слишком расширительно: ребёнку, например, дозволяется не знать таблицу умножения, если он этого не хочет. Некоторым парадоксом является то, что мои сверстники нередко ностальгически вспоминают свою школу, свой Университет, нашу систему обучения и недоумевают, когда знакомятся с западными системами: образование, там представляется им недостаточным. Мне думается, что в новом веке следует избегать крайностей и стараться найти компромисс. Разумеется, должен соблюдаться принцип свободы. Очевидно, что человеку необходимо предоставить возможность выбора. Но без определенного стимулирования к получению образования, к овладению многими накопленными человечеством ценностями, массовое образование невозможно. Необходимо именно стимулирование, создание атмосферы в обществе, когда культурность, образованность, широта взглядов (невозможная без упорного труда по овладеванию знаниями) были бы среди важнейших критериев оценки личности. Человечеству предстоит решать столь трудные проблемы, что без широкого слоя образованных и культурных людей ему не справиться с ними. Я бы считал естественным, чтобы базовое образование, в начальном школьном этапе и на первых курсах вузов, было бы в значительной мере единым, но чтобы каждому была понятна его необходимость и разумность. А далее могло бы идти бы ветвление и «многоуровневость». Наряду с принципом свободы нужно еще руководствоваться ещё принципом разумного консерватизма, включающего в себя преемственность, предполагающую взвешенный учёт положительного опыта, накопленного отечественным математическим образованием. Дифференциация образования, о которой говорилось, возможна двух родов --- так сказать, индивидуальная, позволяющая учащимся получать математическую подготовку разного уровня в соответствии со своими индивидуальными особенностями (это пока ещё очень трудно осуществимая задача) и профильная --- возможность выбора типа математического образования в старшем звене. И, разумеется, должен осуществляться принцип непрерывности образования для большинства учащихся: от дошкольного возраста до окончания вуза. Всё сказанное может послужить базой для описания структуры математического образования. Оно должно начинаться в дошкольном возрасте. Какие-то элементы математики ребёнок должен получить до школы. Прежде всего, от родителей, но также и в детских садах, группах и т. п. Надо позаботиться о литературе и пропаганде обучения в этот дошкольный период. При поступлении в школу разумно, быть может, поставить первый барьер --- некоторые обязательные, хоть и сколь угодно слабые требования к детям, идущим в первый класс. Чтобы родители знали об этих требованиях и старались их выполнить. Для тех же, кто не смог преодолеть этого барьера (в силу замедленности развития или условий в семье) возможно, организовать структуру подготовительных классов. Далее идёт обязательный период школы (который каждая школа может разнообразить, как ей хочется, но костяк должен, как мне кажется, быть единым). Длительность этого периода должна быть установлена государством. Я бы считал, что оптимальным является восьмиклассный период, но большинство, как я слышал, склоняется к девятиклассному или даже десятиклассному периоду. И снова естественно поставить два барьера --- посередине и в конце, которые нужно преодолеть. Если школьник (после четвёртого или пятого класса) не преодолевает поставленного барьера, происходит первое разделение. Оно может быть и «безбарьерным» --- для музыкантов, спортсменов, художников, танцоров и т. п., если был проявлен талант и выражено желание поступить в соответствующие школы. Для тех же, кто оказался недостаточно подготовленным, нужно предусмотреть возможность обучения по ослабленной программе. Но необходимо также предусмотреть и возможность обратного перехода на общий уровень. В конце обязательного периода тоже должен быть некоторый барьер. Там школа подразделяется на несколько ветвей. И каждый должен сделать сознательный выбор. Я считаю, что число таких ветвей не должно быть слишком велико. Это должны быть обычные школы, для поступления в которые не нужно преодолевать барьера (но уровень математики там не может быть слишком высок); гуманитарные школы (нечто вроде старой гимназии) с особым курсом математики для гуманитариев; нечто вроде реальных училищ (где даётся подготовка для будущих инженеров); быть может, школы для будущих экономистов (ввиду важности этой профессии в будущем веке); специальные школы естественно-научного профиля (для подготовки будущих физиков, химиков, биологов) и, наконец, специальные математические школы. «Если тебя спросит премьер-министр или президент, зачем нужна математика нашей стране, что ты скажешь?» Мне кажется, каждый из нас должен быть готов к ответу на этот вопрос. Я дам лишь частичный ответ на него, но он представляется мне убедительным. Перед Войной Англия, Соединённые Штаты Америки и мы решали проблему противостояния. Они --- против Гитлера и нас, мы --- против всех. Необходимо было создать совершенные орудия поражения, средства их доставки, разработать систему шифровки своих сообщений и дешифровки чужих и многое другое. При решении этих грандиозных проблем во всех названных странах исключительную роль сыграли математики. Интересно отметить, что руководящую роль играли математики по своему образованию не связанные с приложениями. В Англии проблемы кодирования решал и решил один из крупнейших логиков того времени --- Алан Тьюринг. Группа, им руководимая, сумела разгадать немецкие шифры, что привело к тому, что Англия разгромила немецкий бомбардировочный воздушный флот. Соответствующую группу в Америке возглавлял Маршалл Стоун, крупнейший специалист в области функционального анализа и топологии. Когда СССР стал форсировать атомную и космическую программы, был образован Отдел прикладной математики, который возглавил Мстислав Всеволодович Келдыш. Большую роль в формировании Отдела сыграл Иван Георгиевич Петровский. Для осуществления фантастических по трудности прикладных задач были приглашены сотрудники и выпускники мех-мата. Среди них были Израиль Моисеевич Гельфанд --- специалист в области функционального анализа, абстрактнейший тополог Олег Вячеславович Локуциевский и другие. После окончания мех-мата перешли в ОПМ Сергей Константинович Годунов, Николай Николаевич Ченцов, Владимир Федотович Дьяченко и многие их товарищи по студенческой скамье. Подобных примеров --- множество. И у нас и в других странах. А теперь --- о другом аспекте. В человеке, обнаружившем в себе тягу к нашей науке, возжигается огонь, который может угаснуть только со смертью. Азарт решить стоящую перед математиком проблему, стремление достичь цели становится всепоглощающим. Для большинства великих математиков творчество является основным стимулом в жизни, а материальные проблемы не играют особой роли. Всё это позволяет надеяться, что в труднейших задачах созидания, которые стоят ныне перед нами, перед всем человечеством в новом столетии, математики сыграют столь же фундаментальную роль, какую сыграли наши старшие коллеги в иное время, создавая орудия разрушения. (Будем надеяться, что орудия разрушения больше не понадобятся.) И наконец, несколько слов о третьем круге, о роли математики для всего человечества. Мне представляется, что человечество сможет выжить в будущем столетии только подчинившись некоторой глубоко продуманной общей программе, а такую программу невозможно составить без сложнейших расчетов, без колоссальных интеллектуальных усилий, и без математиков высшей квалификации. Математика обязана стать одной из самых уважаемых профессий во всём мире. Обсудим вопрос: каковы могут быть стимулы к получению образования? Определенная доля людей, которые будут с увлечением заниматься нашей наукой, человечеству обеспечена. Но она слишком мала, эта доля. Необходимы усилия всех нас, учителей, преподавателей в вузах, государственное стимулирование ( при этом мы знаем, что в России широко развита система математических олимпиад, турниров, конкурсов по решению задач и т. п.) Важный попутный вопрос: как использовать естественную для юношества жажду соперничества, состязательный дух, желание первенствовать. В некоторых странах какие-либо сравнения успехов учащихся не производятся, в других же соревновательный дух является одним из основных стимулов. Для того, чтобы дать человеку возможность развить этот заложенный в нем дар, нужны усилия и всего общества в целом и тех, кому доверено быть учителями, работникам просвещения. Нужны книги, телевизионные передачи, олимпиады и турниры, и многое, многое другое. Несколько слов о формах образования. До сих пор традиционные формы любого обучения оставались неизменными в любой дисциплине. Для очного обучения это --- урок в школе, лекция и семинарское занятие в университете и вузе. Заочное обучение основывалось на переписке и общении с преподавателями во время сессий. Форма отчетности --- вызов к доске в школе, контрольная работа, коллоквиум, зачет, экзамен. Урок происходит в классе, лекция и семинарское занятие --- в аудитории «у доски»'. Для подготовки к урокам, зачетам и экзаменам используются задачники и учебники. Компьютерные технологии предоставляют несравненно большие возможности, и этим надо воспользоваться. Математическое образование должно включать в себя обучение компьютерам, компьютерным технологиям и современным информационным возможностям. Это --- веяния нового времени, но несомненно, что новый век будет веком Компьютеров также, как были века Пара, Электричества, Атома. И надо иметь ввиду, что в самой математике происходят события первостепенной важности, которые необходимо включать в математическое образование (теория катастроф, фракталы, дискретная математика и т. п.)