Одномерное моделирование коллективного ускорения ионов(протонов)Цель работы: Построение одномерной численной модели коллективного ускорения ионов (протонов) и изучение зависимости эффективности ускорения от параметров эксперимента. Коллективный метод ускорения заряженных частиц возник в результате исследований, связанных с реализацией когерентных методов ускорения [1]. Для традиционных способов ускорения частиц характерно использование внешних полей для ускорения – чисто электрического или комбинации электрического и магнитного. Напряженность поля определяет темп ускорения и конечную энергию ускоряемых частиц. В коллективных методах ускорения поля, ускоряющие частицы, возникают в результате взаимодействия групп частиц между собой или с потоками плазмы, или с электромагнитным излучением. Электрическое поле, связанное с пространственным зарядом, внутри сгустка может достигает огромных значений (~10 В/см) при сравнительно небольшой плотности заряда электронов, и использование его для ускорения ионов позволяет существенно увеличить темп ускорения – набор энергии ионом на единице длины. В процессе получения больших электрических полей необходимо, прежде всего, создать условия существования самих сгустков, которые распадаются вследствие эффекта кулоновского отталкивания электронов. Однако при формировании электронного сгустка можно использовать явление ослабления кулоновского взаимодействия в релятивистских пучках. Благодаря магнитному притяжению одноименных зарядов, движущихся в одном направлении, их разлет в направлении, перпендикулярном к движению уменьшается по сравнению с неподвижными зарядами в раз, где g - релятивистский фактор. Силу кулоновского отталкивания при достаточно высоком релятивизме электронов можно компенсировать и внешними полями, а также сравнительно небольшим количеством ионов в сгустке. Сами ионы, не имеющие направленной скорости, удерживаются большими электрическими полями электронов. Так возможно существование самофокусирующегося электронно-ионного сгустка. Интерес, проявляемый в последнее время к использованию ускоренных ионов (например, в медицине) требует разработки и создания компактных (размерами порядка 1-2 метров), недорогих и эффективных ускорителей, работающих в диапазоне энергий 50-200 МэВ, с количеством частиц в импульсе не менее 1010. Плазменный релятивистский сгусток может быть создан в результате ускорения электронов плазмы в режиме электронного циклотронного резонанса в нарастающем во времени магнитном поле (синхротронный гиромагнитный авторезонанс) с последующим адиабатическим сжатием плазмы. При этом может быть создан релятивистский плазменный сгусток, вся кинетическая энергия которого практически сосредоточена в поперечном к магнитному полю движении электронной компоненты. Общее число электронов в таком сгустке обычно бывает больше числа ионов. Степень заряженности сгустка зависит от параметров эксперимента. Если создать спадающее в пространстве магнитное поле, то возникнет диамагнитная сила ( - магнитный момент), которая будет действовать на электроны в направлении спадания магнитного поля. В результате электроны начнут ускоряться в продольном направлении. Описанный подход к коллективному ускорению ионов был предложен Р. Желлером и К.С. Голованивским [2]. Из приведенного соотношения видна явная зависимость значения энергии иона от величины внешнего магнитного поля и концентраций электронной и ионной компонент плазменного сгустка. Из-за инерции ионов плазменный сгусток уже на начальном этапе ускорения начинает распадаться, часть ионов будет ускоряться (вместе с ускоряемыми электронами) электрическим полем разделения зарядов. Исходя из упрощающих предположений, что: а) число электронов в плазменном сгустке значительно больше числа ионов; б) электрическое поле, создаваемое электронами не зависит от времени; авторы проекта получили выражения для энергии ускоряемых ионов: и ограничение, накладываемое на градиент магнитного поля:.^ Численная модель Учитывая физические особенности процесса ускорения протонов, описанные выше, ограничимся одномерной электростатической моделью.Схема метода частиц в ячейке разбивается на несколько основных этапов.1. При учете известного распределения частиц разного сорта (т.е. электронов и ионов) в момент времени tn (n - номер шага по времени) определяется распределение заряда в узлах заданной сетки r(j)ºr(jDZ), где DZ - шаг сетки в направлении Z, j=1,J - число узлов сетки в направлении. Распределение зарядов в узлах сетки находится с помощью обратной билинейной интерполяции (процедура «размазывания» заряда по ближайшим узлам).2. Далее на заданной сетке решается уравнение Пуассона DF = –4pr. Значения поля в узлах сетки определяются после усреднения найденных значений потенциала по сетке с помощью взятия конечноразностных производных.3. Электрическое поле в точках расположения частиц также определяется с помощью билинейной интерполяции.4. Следующим шагом является решение уравнений движения электронов и протонов с учетом релятивизма и интегрирование. Для решения уравнений движения использовалась схема с перешагиванием. Конечно-разностный аналог уравнений движения электронов в безразмерной форме имеет вид:и ионовгде ue, ui – импульсы электрона и иона в единицах mc, gn – безразмерная напряженность электрического поля в момент времени n, t=w t - безразмерное время, dz - безразмерная координата электрона, b - магнитное поле, нормированное на В, g - релятивистский фактор, Dt - временной шаг, Rm – отношение массы иона к массе электрона.При переходе к следующему моменту времени цикл вычислений завершается расчетом новых координат частици получением нового распределения частиц в координатном пространстве и пространстве импульсов. В дальнейшем цикл вычислений повторяется.Выбор данной численной модели обусловлен возможностью рассмотрения нескольких следующих проблем:- исследование условий ускорения протонов плазмы и зависимости эффективности ускорения от начальных параметров (плотности плазмы, градиента магнитного поля);- изучение эволюции плазмы в процессе ускорения протонов;- анализ потерь ускоряемых протонов;- изучение зависимости энергетического спектра протонов от начальных параметров плазмы и градиента магнитного поля.^ Рекомендации по выполнению работыВ начальный момент времени t=0, учитывая результаты экспериментов, проведенных на установках Gyrac [5, 6, 7] и результатов численного моделирования плазмы в условиях синхротронного гиромагнитного авторезонанса [8, 9], задается гауссово пространственное распределение электронов и протонов при общем числе моделируемых частиц порядка 8000-10000 каждого сорта. Число протонов равняется числу электронов, за исключением некоторых вариантов расчетов, в которых вводилась небольшая степень (до 5%) заряженности исходной плазмы. Предполагается, что вся кинетическая энергия электронов в начальный момент связана с поперечным движением. Таким образом, начальные продольные импульсы электронов, как и начальные импульсы протонов, считаются равными нулю. В модели используется реальное соотношение массы протона к массе электрона. Учитывая предполагаемые особенности исследуемого процесса, а именно: возможное быстрое изменение плотности плазмы, ускорение протонов до релятивистских энергий, выбор шага сетки обусловлен следующими соображениями. С одной стороны, шаг сетки должен быть меньшим, чем дебаевский радиус, соответствующий начальной плотности плазмы, а с другой стороны, он должен быть достаточно большим, чтобы релятивистская частица проходила расстояние равное шагу сетки не менее чем за два временных шага, то есть DZВ данной работе шаг сетки ^ DZ=0.05 см при среднем числе частиц в одной ячейке Ne=Ni=400. Задание столь значительного числа частиц в одной ячейке обусловлено тем, что на стадии ускорения ионов происходит значительное (в десятки раз) снижение плотности моделируемой плазмы. Учет пространственной ограниченности процесса проводится для анализа потерь частиц из плазмы. Это производится путем ввода границ, соответствующих условиям эксперимента. Частицы, достигшие стенок камеры, считались потерянными.^ Генерация начального распределения Для моделирования начального состояния плазмы часто требуются случайные числа, которые вырабатываются датчиками случайных (псевдослучайных) чисел. Они получаются программным путем, являются детерминированными.Основой выработки случайных чисел с заданными законами распределения являются датчики случайных чисел в диапазоне от нуля до единицы. Такие числа будем обозначать . В задачах физики плазмы, помимо равномерного распределения, чаще других встречается нормальное (гаусово, максвелловское),где – плотность вероятности. Для гаусова или максвелловского распределения при наличии датчика случайных чисел можно получить пару случайных чисел по формулам, .Для воспроизведения плотности начального распределения частиц в фазовом пространстве предложено несколько способов.^ Хаотический старт. Начальные положения координат и импульсов частиц вырабатываются с помощью датчиков случайных чисел по заданным законам распределения.Спокойный старт. Координаты и импульсы задаются регулярным образом, без использования случайных чисел. Координаты задают таким образом, чтобы распределение плотности заряда было приблизительно таким, как в исследуемой физической системе. Для двухкомпонентных моделей используется тепловой старт. По этому способу частицы одного сорта размещаются в фазовом пространстве так, чтобы дебаевское экранирование в модели было таким же, как и физической системе. В ряде задач, где состояние плазмы определяется внешними полями, можно задавать однородное начальное распределение частиц. Примером такой задачи является нагрев плазмы в зеркальной магнитной ловушки в условиях электронного циклотронного резонанса. В этом случае параметры плазмы (температура, плотность) изменяются со временем, достигая стационарного (или квазистационарного) состояния.Учет диамагнитных явлений, отраженных в уравнении движения для электронов (сила кулоновского расталкивания электронной компоненты уменьшается в 2 раз), дает основание воспользоваться схемой метода частиц с учетом лишь электростатических взаимодействий. Раздача заряда в ближайшие узлы сетки осуществляется по методу обратной билинейной интерполяции. Решение разностного аналога уравнения Пуассонаосуществляется методом прогонки (см. практическую работу №1). Потенциал на границах области полагался равным нулю. Решение уравнений движения осуществляется методом «с перешагиванием».ДиагностикиВ ходе проведения численного эксперимента надо получить и проанализировать следующие данные:- информацию о пространственном распределении частиц, что дает возможность проследить за эволюцией плазмы во времени;- данные об энергиях частиц (электронов и протонов) для анализа изменения энергетического спектра во времени, а также эффективности ускорения протонов;- зависимость максимального значения собственного электрического поля, возникающего в плазме, от времени.