3 Гёдель и Тьюринг

3.1. Гёдель и Тьюринг В главе 2 была предпринята попытка продемонстрировать мощь и строгий характер аргументации в пользу утверждения (обозначенного буквой), суть которого заключается в том, что математическое понимание не может являться результатом при­менения какого-либо осмысленно осознаваемого и полностью достоверного алгоритма (или, что то же самое, алгоритмов; см. возражение Q1). В приводимых рассуждениях, однако, ни словом не упомянуто еще об одной возможности, существенно более се­рьезной и ничуть не противоречащей утверждению, а имен­но: убежденность математика в истинности своих выводов может оказаться результатом применения им некоего неизвестного и неосознаваемого алгоритма, или же, возможно, математик при­меняет какой-то вполне постижимый алгоритм, однако при этом не может знать наверняка (или хотя бы искренне верить), что вы­воды его являются целиком и полностью результатом применения этого самого алгоритма. Ниже я покажу, что, хотя подобные до­пущения и вполне приемлемы с логической точки зрения, вряд ли их можно счесть хоть сколько-нибудь правдоподобными. Прежде всего следует указать на то, что тщательно вы­страивая последовательности умозаключений (вполне, заметим, осознанных) с целью установления той или иной математиче­ской истины, математики вовсе не считают, что они лишь слепо следуют неким неосознаваемым правилам, будучи при этом не в состоянии постичь эти правила ни рассудком, ни верой. На­против, они твердо знают, что их аргументация опирается ис­ключительно на непреложные истины — в основе своей, суще­ственно «очевидные»; столь же непреложными, на их взгляд, являются и все промежуточные умозаключения, составляющие упомянутую последовательность. Какой бы длинной, запутанной или даже концептуально неочевидной ни была цепь умозаклю­чений, само рассуждение в основе своей остается принципиаль­но неопровержимым и логически безупречным, а автор его ис­кренне верит в свою правоту. Ни один математик не согласит­ся с предположением о том, что на самом-то деле все его дей­ствия определяются какими-то совершенно иными процедурами, о которых он ничего не знает и в которые не верит, но кото­рые, возможно, неким непостижимым образом исподволь влияют на его убеждения. Разумеется, в этом отношении математики могут и ошибать­ся. Может быть, и впрямь существует какая-то алгоритмическая процедура, которая руководит всем математическим мышлением, оставаясь при этом неизвестной самим математикам. Всерьез принять такую возможность, пожалуй, легче людям, далеким от математики, нежели большинству из тех, для кого математика является профессией. Полагая, что деятельность математика не сводится к простому выполнению некоего неизвестного (и непо­стижимого) алгоритма (равно как и алгоритма, в существовании которого он испытывает сомнения), это самое большинство ока­зывается как нельзя более правым, в чем я и постараюсь убедить читателя в этой главе. Разумеется, полностью исключить воз­можность того, что суждения и убеждения математиков и в самом деле определяются какими-то неизвестными и неосознаваемыми факторами, нельзя; однако, даже если так оно и есть, я полагаю, что такие факторы не имеют ничего общего с алгоритмически описываемыми процедурами. Весьма поучительным представляется рассмотреть точки зрения двух выдающихся мыслителей от математики, которым мы, собственно говоря, и обязаны идеями, приведшими нас к утверждению . Что, в самом деле, думал по этому поводу Гёдель? А Тьюринг? Примечательно, что, исходя из одинако­вых математических данных, они пришли к противоположным, в сущности, выводам. Следует, впрочем, пояснить, что оба вы­вода находятся в полном согласии с утверждением. Гёдель, по всей видимости, полагал, что разум, вообще говоря, не ограни­чен не только необходимостью выступать исключительно в ка­честве вычислительной сущности, но и конечными физическими параметрами самого мозга. Он даже упрекал Тьюринга за то, что тот не допускал такой возможности. По словам Хао Вана ([374], с. 326, см. также Собрание сочинений Гёделя, т. 2 [158], с. 297), соглашаясь с обоими, вытекающими из позиции Тьюрин­га положениями, т. е. с тем, что «мозг, в сущности, функциони­рует подобно цифровому компьютеру», и с тем, что «физические законы, равно как и наблюдаемые следствия из них, обладают конечным пределом точности», Гёдель напрочь отвергал утвер­ждение Тьюринга о неотделимости разума от материи, считая это «свойственным эпохе предрассудком». Таким образом, согласно Гёделю, сам по себе физический мозг действует исключительно как вычислитель, разум же по отношению к мозгу представляет собой нечто высшее, вследствие чего активность разума оказы­вается свободной от ограничений, налагаемых вычислительны­ми законами, управляющими поведением мозга как физического объекта. Гёдель, судя по его собственным словам), не считал, что утверждениеможно рассматривать в качестве доказа­тельства его тезиса о невычислимости деятельности разума: «С другой стороны, учитывая доказанное ранее, следует допустить принципиальную возможность существова­ния (и даже эмпирической реализации) некоей машины для доказательства теорем, каковая машина в сущности представляет собой эквивалент математической интуи­ции, однако доказать эту эквивалентность невозмож­но, как невозможно доказать и то, что на выходе такой машины мы будем получать только корректные теоре­мы конечной теории чисел». Надо сказать, что вышеприведенное допущение ни в коей ме­ре не противоречит(и я ничуть не сомневаюсь, что Гёделю был хорошо известен тот недвусмысленный вывод, какой в моей формулировке получил обозначение). Гёдель допускал логи­ческую возможность того, что разум математика может функ­ционировать в соответствии с некоторым алгоритмом, о котором сам математик не знает, либо знает, но в таком случае не может быть однозначно уверен в его обоснованности (... доказать ... невозможно, ... только корректные теоремы ...). В соответствии с моей собственной терминологией такой алгоритм следует отнести к категории «непознаваемо обоснованных». Разумеется, совсем иное дело действительно поверить в возможность того, что деятельность разума математика и в самом деле определяется таким вот непознаваемо обоснованным алгоритмом. Похоже, сам Гёдель в это так и не поверил — и оказался в результате окружен компанией мистиков (точка зрения ), которые полагают, что средствами науки о феноменах физического мира разум объяс­нить невозможно. Что же касается Тьюринга, то он, по-видимому, мистиче­скую точку зрения не принял, будучи в то же время солидарен с Гёделем в том, что мозг, как и всякий другой физический объ­ект, должен функционировать каким-либо вычислимым образом (вспомним о «тезисе Тьюринга», § 1.6). Таким образом, Тьюрингу пришлось искать какой-то другой способ обойти затруднение в лице утверждения. При этом особенно значимым ему показал­ся тот факт, что математикам-людям свойственно делать ошибки; если мы хотим, чтобы наш компьютер стал подлинно разумным, следует позволить ему хоть иногда ошибаться: «Иными словами, это означает, что если мы требуем от машины непогрешимости, то не стоит ожидать от нее еще и разумности. Существует несколько теорем, суть которых почти буквально сводится к вышеприве­денному утверждению. Однако в этих теоремах ничего не говорится о степени разумности, которую нам мо­жет продемонстрировать машина, не претендующая на непогрешимость». Под «теоремами» Тьюринг, вне всякого сомнения, подразумева­ет теорему Гёделя и другие аналогичные теоремы — такие, на­пример, как его собственная, «вычислительная» версия теоремы Гёделя. То есть, по Тьюрингу, получается, что наиболее суще­ственной способностью человеческого математического мышле­ния является способность ошибаться, благодаря которой свой­ственное (предположительно) разуму неточно-алгоритмическое функционирование обеспечивает большую мощность, нежели возможно получить посредством каких угодно полностью об­основанных алгоритмических процедур. Исходя из этого до­пущения, Тьюринг предложил способ обойти ограничение, на­лагаемое следствиями из теоремы Гёделя: мыслительная деятельность математика подчиняется-таки некоему алгорит­му, только не «непознаваемо обоснованному», а формаль­но необоснованному. Таким образом, точка зрения Тьюрин­га приходит в полное согласие с утверждением , а сам Тьюринг, по-видимому, присоединяется к сторонникам точ­ки зрения,. Завершая дискуссию, я хотел бы представить мои собствен­ные причины усомниться в том, что «необоснованность» управ­ляющего разумом математика алгоритма может послужить под­линным объяснением тому, что в этом самом разуме проис­ходит. Как бы ни обстояло дело в действительности, в самой идее о том, что превосходство человеческого разума над точной машиной достигается за счет неточности разума, мне видит­ся какое-то глубинное противоречие, особенно когда речь — как в нашем случае — идет о способности математика от­крывать неопровержимые математические истины, а не о его оригинальности или творческих способностях. Порази­тельно, что два великих мыслителя, какими, несомненно, явля­ются Гёдель и Тьюринг, руководствуясь соображениями вроде утверждения, пришли к выводам (пусть и различным), кото­рые многие из нас склонны считать, скажем так, маловероятны­ми. Кроме того, весьма интересно поразмыслить о том, к каким бы выводам они пришли, имей они шанс хоть сколько-нибудь всерьез предположить, что физический процесс может иногда оказаться в основе своей невычислимым — в соответствии с точкой зрения, ради продвижения которой и была написана эта книга. В последующих разделах (особенно, в §§3.2—3.22) я пред­ставлю вашему вниманию несколько детальных обоснований (некоторые из них довольно сложны, запутаны или специальны), целью которых является демонстрация неспособности вычисли­тельных моделейвыступить в качестве вероятной основы для исследования феномена математического понимания. Если читатель не нуждается в подобном убеждении либо не склонен погружаться в детали, то я бы порекомендовал ему (или ей) все же начать чтение, а затем, когда уж совсем надоест, переходить сразу к итоговому воображаемому диалогу (§3.23). Если у вас затем снова появится желание вернуться к пропущенным рассу­ждениям, буду только рад, если же нет — забудьте о них и читайте дальше.^ 3.2. Способен ли необоснованный алгоритм познаваемым образом моделировать математическое понимание? Согласно выводудля того чтобы математическое пони­мание могло оказаться результатом выполнения некоего алго­ритма, этот алгоритм должен быть необоснованным или непо­знаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то о его обоснованности должно быть принципиально невозможно узнать наверняка (такой алгоритм мы называем непознаваемо обоснованным); кроме того, возможно, что различные математи­ки «работают» на различных типах таких алгоритмов. Под «алго­ритмом» здесь понимается просто какая-нибудь вычислительная процедурат. е. любой набор операций, который можно, в принципе, смоделировать на универсальном компьютере с неограниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсу­ждения возражения«неограниченность» объема памя­ти в данном идеализированном случае на результаты рассужде­ния никак не влияет.) Такое понятие алгоритма включает в себя нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы, а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые процедуры, которые можно реализовать с помощью искусствен­ных нейронных сетейЭтому определению отвечают и иные типы восходящих механизмов — например, так называемые «генетические алгоритмы», повышающие свою эффективность с помощью некоей встроенной процедуры, аналогичной дарвинов­ской эволюции О специфике приложения аргументации, представляемой в настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в гла­ве 2), к восходящим процедурам я еще буду говорить в 3.22 (краткое изложение их можно найти в воображаемом диа­логе,). Пока же, для большей ясности изложения, будем рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один-единственный тип алгоритмических процедур, а именно — нис­ходящие. Такую алгоритмическую процедуру можно относить как к отдельному математику, так и к математическому сообществу в целом. В комментариях к возражениями рассматривалось предположение о том, что разным людям могут быть свойственны различные обоснованные и известные алго­ритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность не влияет на результаты рассуждения сколько-нибудь значитель­ным образом. Возможно также, что разные люди постигают ис­тину посредством различных необоснованных и непознавае­мых алгоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько поз­же (см. §3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе математического понимания лежит одна-единственная алгорит­мическая процедура. Можно, кроме того, ограничить рассматри­ваемую область той частью математического понимания, которая отвечает за доказательство-высказываний (т. е. определений тех операций машины Тьюринга, которые не завершаются; см. комментарий к возражению Q10). В дальнейшем вполне доста­точно интерпретировать сочетание «математическое понимание» как раз в таком, ограниченном смысле (см. формулировку с. 164). В зависимости от познаваемости предположительно лежа­щей в основе математического понимания алгоритмической про­цедуры F (будь то обоснованной или нет), следует четко выделять три совершенно различных случая. Процедураможет быть: I сознательно познаваемой, причем познаваем также и тот факт, что именно эта алгоритмическая процедура ответ­ственна за математическое понимание; II сознательно познаваемой, однако тот факт, что математиче­ское понимание основывается именно на этой алгоритмиче­ской процедуре, остается как неосознаваемым, так и непо­знаваемым; III неосознаваемой и непознаваемой. Рассмотрим сначала полностью сознательный случай I. По­скольку и сам алгоритм, и его роль являются познаваемыми, мы вполне можем счесть, что мы о них уже знаем. В самом деле, ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения име­ют место уже после того, как мы получили в наше распоряжение соответствующее знание — ведь слово «познаваемый» как раз и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь да наступит. Итак, алгоритмнам известен, при этом известна и его основополагающая роль в математическом понимании. Как мы уже видели (§ 2.9), такой алгоритм эффектив­но эквивалентен формальной системеИными словами, полу­чается, что математическое понимание — или хотя бы понимание математики каким-то отдельным математиком — эквивалентно выводимости в рамках некоторой формальной системы F. Если мы хотим сохранить хоть какую-то надежду удовлетворить вы­воду XX, к которому нас столь неожиданно привели изложенные в предыдущей главе соображения, то придется предположить, что система F является необоснованной. Однако, как это ни странно, необоснованность в данном случае ситуацию ничуть не меняет, поскольку, в соответствии с I, известная формальная си­стема F является действительно известной, то есть любой ма­тематик знает и, как следствие, верит, что именно эта система лежит в основе его (или ее) математического понимания. А такая вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную) в обоснованность системы F. (Согласитесь, крайне неразумно выглядит точка зрения, в соответствии с которой математик поз­воляет себе не верить в самые фундаментальные положения соб­ственной заведомо неопровержимой системы взглядов.) Незави­симо от того, является ли система F действительно обоснован­ной, вера в ее обоснованность уже содержит в себе веру в то, что утверждение G(F) (или, как вариант, omega(F), см. §2.8) ис­тинно. Однако, поскольку теперь мы полагаем (исходя из веры в справедливость теоремы Гёделя), что истинность утвержде­ния G(F) в рамках системы F недоказуема, это противоречит предположению о том, что система F является основой всякого (существенного для рассматриваемого случая) математического понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для отдельных математиков, так и для всего математического сооб­щества в целом; его можно применять индивидуально к любому из всевозможных алгоритмов, предположительно составляющих основу мыслительных процессов того или иного математика. Бо­лее того, согласно предварительной договоренности, для нас на данный момент важна применимость этого соображения лишь в той области математического понимания, которая имеет отно­шение к доказательству II1-высказываний.) Итак, невозможно знать наверняка, что некий гипотетический известный необосно­ванный алгоритм F, предположительно лежащий в основе мате­матического понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Сле­довательно, случай I исключается, независимо от того, является система F обоснованной или нет. Если система F сама по себе познаваема, то следует рассмотреть возможность II, суть которой заключается в том, что система F все же может составлять основу математического понимания, однако узнать об этой ее роли мы не в состоянии. Остается в силе и возможность III: сама система является как неосознаваемой, так и непознаваемой. На данный момент мы достигли следующего результата: слу­чай I (по крайней мере, в контексте полностью нисходящих ал­горитмов) как сколько-нибудь серьезную возможность рассмат­ривать нельзя; тот факт, что системаможет в действитель­ности оказаться и необоснованной, как выяснилось, сути про­блемы ничуть не меняет. Решающим фактором здесь является невозможность точно установить, является та или иная гипоте­тическая система(независимо от ее обоснованности) основой для формирования математических убеждений или же нет. Дело не в непознаваемости самого алгоритма, но в непознаваемости того факта, что процесс понимания действительно происходит в соответствии с данным алгоритмом.^ 3.3. Способен ли познаваемый алгоритм непознаваемым образом моделировать математическое понимание? Перейдем к случаю II и попытаемся серьезно рассмотреть возможность того, что математическое понимание на деле экви­валентно некоторому сознательно познаваемому алгоритму либо формальной системе, однако эквивалентность эта принципиаль­но непознаваема. Иными словами, даже при условии познавае­мости той или иной гипотетической формальной системымы никоим образом не можем убедиться в том, что именно эта кон­кретная система действительно лежит в основе нашего матема­тического понимания. Правдоподобно ли такое предположение? Если упомянутая гипотетическая формальная системане является уже известной, то в этом случае нам, как и ранее, следует полагать, что она может, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь таковой стать. Вообразим, что этот светлый день наконец наступил, и допустим, что в нашем распоряжении име­ется точное и подробное описание этой самой системы. Предпо­лагается, что формальная система, будучи, возможно, крайне замысловатой, все же достаточно проста для того, чтобы мы ока­зались способны, по крайней мере, в принципе, постичь ее на вполне сознательном уровне. При этом нам не позволено испы­тывать уверенность в том, что системадействительно целиком и полностью охватывает всю совокупность наших твердых математических убеждений и интуитивных озарений (по край­ней мере в том, что касается-высказываний). Это, вообще-то вполне логичное предположение оказывается на деле в высшей степени неправдоподобным, в причинах чего мы и попытаемся разобраться. Более того, несколько позднее я покажу, что даже будь оно истинным, это не принесло бы никакой радости тем ИИ-энтузиастам, которые видят смысл жизни в создании робота-математика. Мы еще поговорим об этом в конце данного раздела и — более подробно — в §§ 3.15 и 3.29. Дабы подчеркнуть тот факт, что существование подобной си­стемы F и в самом деле следует полагать логически возможным, вспомним о «машине для доказательства теорем», возможности создания которой, согласно Гёделю, логически исключить нельзя (см. цитату в §3.1). В сущности, такую «машину», как я поясню ниже, как раз и можно представить в виде некоторой алгоритми­ческой процедуры F, соответствующей вышеприведенным пунк­там II или III. Как отмечает Гёдель, его гипотетическая машина для доказательства теорем может быть «эмпирически реализо­вана», что соответствует требованию «сознательной познаваемо­сти» процедуры F в случае II; если же подобная реализация ока­зывается невозможной, то мы, по сути, имеем дело со случаем III. На основании своей знаменитой теоремы Гёдель утверждал, что невозможно доказать «эквивалентность» процедуры F(или, что то же самое, формальной системысм. §2.9) «математи­ческой интуиции» (см. ту же цитату). В определении случая II (и, как следствие, III) я сформулировал это фундаментальное ограничение, налагаемое на, несколько по-иному: «Тот факт, что математическое понимание основывается именно на этой ал­горитмической процедуре, остается как неосознаваемым, так и непознаваемым». Это ограничение (необходимость в котором следует из об­основанного в §3.2 исключения случая I) со всей очевидностью приводит к невозможности показать, что процедураэквива­лентна математической интуиции, поскольку посредством подоб­ной демонстрации мы могли бы однозначно убедиться в том, что процедура действительно выполняет ту роль, о самом факте выполнения которой мы предположительно не в состоянии ни­чего знать. И наоборот, если бы эта самая роль процедуры (роль фундаментального алгоритма, в соответствии с которым осуществляется постижение математических истин) допускала осознанное познание (в том смысле, что мы могли бы в полной мере постичь, как именно процедуравыполняет эту свою роль), то нам пришлось бы признать и обоснованность. Ибо если мы не допускаем, что процедурацеликом и полностью обосно­вана, то это означает, что мы отвергаем какие-то ее следствия. А ее следствиями являются как раз те математические положения (или хотя бы только-высказывания), которые мы полагаем-таки истинными. Таким образом знание роли процедурырав­нозначно наличию доказательствахотя такое «доказатель­ство» и нельзя считать формальным доказательством в рамках некоторой заранее заданной формальной системы. Отметим также, что истинные-высказывания можно рас­сматривать в качестве примеров тех самых «корректных теорем конечной теории чисел», о которых говорил Гёдель. Более то­го, если понятие «конечной теории чисел» включает в себя-операцию «отыскания наименьшего натурального числа, обла­дающего таким-то свойством», в каковом случае оно включает в себя и процедуры, выполняемые машинами Тьюринга (см. ко­нец § 2.8), то тогда частью конечной теории чисел следует считать все-высказывания. Иными словами, получается, что доказа­тельство гёделевского типа не дает четкого способа исключить из рассмотрения случай II, руководствуясь одними лишь строго логическими основаниями — по крайней мере, до тех пор, пока мы полагаем, что Гёдель был прав. С другой стороны, можно задаться вопросом об общем правдоподобии предположения II. Рассмотрим, что повлечет за собой существование познаваемой процедурынепознаваемым образом эквивалентной человеческому математическому пони­манию (заведомо непогрешимому). Как уже отмечалось, ничто не мешает нам мысленно перенестись в некое будущее время, в ко­тором эта процедура окажется обнаружена и подробно описана. Известно также (см. §2.7), что формальная система задается в виде некоторого набора аксиом и правил действия. Теоремы системыпредставляют собой утверждения (иначе называемые «положениями»), выводимые из аксиом с помощью правил дей­ствия, причем все теоремы можно сформулировать посредством того же набора символов, который используется для выражения аксиом. А теперь представим себе, что теоремы системыв точ­ности совпадают с теми положениями (сформулированными с помощью упомянутых символов), неопровержимую истинность ко­торых математики, в принципе, способны самостоятельно уста­новить. Допустим на минуту, что перечень аксиом системыявля­ется конечным. Сами же аксиомы суть не что иное, как част­ные случаи соответствующих теорем. Однако неопровержимую истинность каждой теоремы мы можем, в принципе, постичь по­средством математического понимания и интуиции. Следователь­но, каждая аксиома в отдельности должна выражать нечто та­кое, что по крайней мере, в принципе, постижимо посредством этого самого математического понимания. Иными словами, для каждой отдельной аксиомы когда-нибудь непременно настанет (либо принципиально возможно, что настанет) время, когда ее неопровержимая истинность будет однозначно установлена. Так, рассматривая одну за другой, мы сможем устанавливать истин­ность любой отдельно взятой аксиомы системыТаким образом, в конечном итоге будет установлена (либо принципиально воз­можно, что будет установлена) неопровержимая истинность всех отдельно взятых аксиом. Соответственно, настанет время, когда будет установлена неопровержимая истинность всей совокупно­сти аксиом системыв целом. А как быть с правилами действия? Можем ли мы предпо­ложить, что настанет время, когда будет однозначно установлена неопровержимая обоснованность этих правил? Во многих фор­мальных системах правилами действия служат достаточно про­стые утверждения, каждое из которых с очевидностью «неопро­вержимо», например: «Если установлено, что высказывание является теоремой и высказываниеявляется теоремой, то можно заключить, что высказываниетакже является те­оремой» (относительно символа«следует» см. НРК, с. 393, или [222]). Признать неоспоримую справедливость таких пра­вил совсем не трудно. С другой стороны, среди правил действия встречаются и гораздо более тонкие отношения, справедливость которых вовсе не так очевидна; прежде чем прийти к однознач­ному решению относительно того, считать то или иное такое пра­вило «неопровержимо обоснованным» или нет, нам, возможно, потребуется прибегнуть к весьма подробному и тщательному ана­лизу. Более того, как мы вскоре убедимся, в наборе правил дей­ствия формальной системынеизбежно имеются такие правила, неоспоримая обоснованность которых не может быть достоверно установлена ни одним математиком — причем мы все еще пола­гаем, что число аксиом в системеконечно. В чем же причина? Перенесемся в воображении в то са­мое время, когда уже однозначно установлена неопровержимая справедливость всех аксиом формальной системыПеред нами открывается замечательная возможность без помех рассмотреть всю системуцеликом. Попробуем допустить, что все правила действия системыможно также считать справедливыми безо всяких оговорок. Хотя предполагается, что мы еще не можем знать наверняка, что системадействительно включает в себя всю математику, которая в принципе доступна человеческому по­ниманию и интуиции, мы должны к настоящему моменту, по мень­шей мере, уже убедиться в том, что системаявляется неоспори­мо обоснованной, поскольку справедливость как ее аксиом, так и ее правил действия безоговорочно нами принимается. Следова­тельно, мы также должны уже быть уверены в том, что системанепротиворечива. Не забываем, разумеется, и о том, что, в силу этой непротиворечивости, утверждениетакже должно быть истинным — более того, неопровержимо истинным! Однако, поскольку предполагается, что системафактически (хотя нам об этом неизвестно) включает в себя всю совокупность того, что безоговорочно доступно нашему пониманию, утверждение должно на деле представлять собой теорему системыСогласно теореме Гёделя, такое, вообще говоря, возможно только в том случае, если формальная системапротиворечива. Если же система F противоречива, то одной из теорем этой системы явля­ется утверждениеСледовательно, утверждение должно быть, в принципе, доступно нашему математическому по­ниманию — очевидное противоречие! Несмотря на это, следует, по крайней мере, учесть саму воз­можность того, что математики действуют (не зная о том) в рам­ках системыкоторая является, по существу, необоснованной. К этому вопросу я еще вернусь в §3.4, пока же (в пределах данно­го раздела) будем полагать, что на самом деле процедуры, лежа­щие в основе математического понимания, целиком и полностью обоснованны. При данных обстоятельствах, если мы продолжаем настаивать на том, что все правила действия нашей формальной системыс конечным набором аксиом безоговорочно истинны, нам остается лишь признать, что противоречие действительно имеет место. Следовательно, среди правил действия системыдолжно быть по крайней мере одно правило, обоснованность ко­торого не может неопровержимо установить ни один математик (хотя в действительности это правило является обоснованным). Все вышеприведенные рассуждения опирались на то до­пущение, что система задается конечным набором аксиом. В качестве возможного альтернативного решения можно пред­положить, что количество аксиом в системебесконечно. От­носительно этой возможности необходимо сделать некоторые комментарии. Для того чтобы системуможно было опреде­лить как формальную в требуемом смысле — т. е. как систему, в рамках которой всегда можно однозначно установить (посред­ством некоторой заранее заданной вычислительной процедуры), что предполагаемое доказательство того или иного положения действительно является доказательством в соответствии с пра­вилами системы, — необходимо, чтобы ее бесконечный набор аксиом можно было выразить каким-то конечно определяемым образом. Вообще говоря, всегда допускается некоторая свобода в отношении выбора конкретного способа представления фор­мальной системы, в соответствии с которым операции системы определяются либо как аксиомы, либо как правила действия. Так, стандартная аксиоматическая система теории множеств — си­стема Цермело—Френкеля (обозначаемая здесь как) — вклю­чает в себя бесконечное количество аксиом, выражаемых по­средством структур, называемых «схемами аксиом». Путем соот­ветствующего переформулирования системуможно выразить таким образом, что количество действительных аксиом станет конечным). Более того, действуя определенным образом, такое можно проделать с любой схемой аксиом, являющейся «фор­мальной» в требуемом нами вычислительном смысле. Может создаться впечатление, что вышеприведенное рас­суждение (целью которого является исключение из списка воз­можных вариантов случаяприменимо к любой (обоснованной) системевне зависимости от того, конечно или бесконечно ко­личество ее аксиом. Это и в самом деле так, однако в процессе приведения бесконечной схемы аксиом к конечному виду мы мо­жем ввести новые правила действия, которые могут оказаться не столь самоочевидно обоснованными. Так, представляя себе, в со­ответствии с вышеизложенными соображениями, времена, когда нам станут известны все аксиомы и правила действия системы (при этом также предполагается, что все теоремы этой гипоте­тической системы в точности совпадают с теоремами, кот^ 3.4. Не действуют ли математики, сами того не осознавая, в соответствии с необоснованным алгоритмом? Допустим, что в основе математического понимания и в са­мом деле лежит некая необоснованная формальная система F. Как же мы тогда можем быть уверены в том, что наши математи­ческие представления в отношении того, что считать неоспоримо истинным, не введут нас в один прекрасный день в какое-нибудь фундаментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуация несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со случаем, где мы исключили возможность нашего зна­ния о том, что некая системаи в самом деле является необос­нованной. Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы принципиально непознаваема, вследствие чего нам придется по­вторно рассмотреть вариант с возможной необоснованностью Можно ли считать действительно правдоподобным предположе­ние о том, что фундаментом для наших неопровержимых мате­матических убеждений служит некая необоснованная система -настолько необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе, оказаться уверенность в истинности равенства Несомненно одно: если мы не можем доверять собственным ма­тематическим суждениям, то мы равным образом не можем доверять и всем остальным своим суждениям об устройстве и функционировании окружающего нас мира, поскольку матема­тические суждения составляют весьма существенную часть всего нашего научного понимания. Кто-то, тем не менее, возразит, что нет ничего невероятно­го в том, что какие-то современные общепринятые математиче­ские суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспо­римыми в будущем) содержат скрытые «врожденные» противо­речия. Возможно, они даже сошлются на тот знаменитый пара­докс (о «множестве множеств, которые не являются элементами самих себя»), о котором Бертран Рассел писал Готтлобу Фреге в 1902 году, как раз тогда, когда Фреге собирался опублико­вать труд всей своей жизни, посвященный основам математики (см. также комментарий к возражениюи НРК, с. 100). В приложении к книге Фреге писал (см. [126]): Вряд ли с ученым может приключиться что-либо более нежеланное, чем потрясение основ его мировоззрения сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бу­маге. Именно в такое положение поставило меня письмо от г-на Бертрана Рассела... Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допус­кают ошибки — порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне ис­правимой. Разве мы не убедились (вкомментарий к) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рас­суждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и влишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообще­ства. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность кото­рых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадле­жат к категории принципиальных вопросов, разве нет? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражениюпоскольку теперь у нас есть формальная си­стема, которая, возможно, лежит в основе нашего математи­ческого понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки — или «оговорки», — ко­торые может допустить отдельный математик, рассуждая в рам­ках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упу­щение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаклю­чений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт на­личия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречиво­сти установлен не был, то математики могли бы еще долгое время считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фун­даменте собственные системы. Впрочем, полагаю, в данном случае крайне маловероятно, что многим математикам удалось бы в течение сколько-нибудь длительного срока наслаждаться той свободой умопостроений (в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла си­стема Фреге. Причина в том, что парадоксы типа парадокса Рассела довольно легко обнаружить. Можно представить себе какой-нибудь гораздо более тонкий парадокс, например, такой, что неявным образом содержитс