1.”Начала” Евклида

1.”Начала” Евклида.В греческую эпоху были накоплены и обоб­щены многочисленные знания, полученные в процессе развития землемерного искусства. Именно в Древней Греции появились знамени­тые “Начала” Евклида (Евклид жил прибли­зительно две тысячи двести лет назад), где отдельные осмысленные факты были объеди­нены в общую логическую систему. Безусловно, Евклид был выдающейся лич­ностью. Помимо “Начал” у этого оригиналь­ного мыслителя имеется много других трудов, но все же самым крупным вкладом в матема­тику были, несомненно, его “Начала”. Впро­чем, и до Евклида занимались подбором и обобщением фактов. Наиболее ранним сочи­нением такого рода считается книга Гиппо­крата Хиосского (VI в. до н. э.). Однако ос­новы теории Евклида по своему содержанию, по глубине мысли заметно отличались, и кни­га Гиппократа, как, впрочем, труды других мыслителей прошлого, не шла ни в какое сравнение с “Началами”. Как писал Прокл (V в.), Евклид многое взял от Евдокса (408— 350 гг. до н. э.; ученик Платона), многое усо­вершенствовал в трудах Теэтета (415—369 гг. до н. э.; группа Платона) и затем, проанали­зировав труды своих предшественников, возвы­сился до создания невиданной по тем време­нам точно обоснованной теории. Теория Евклида удивляет и сложным по­строением, и четкостью мысли, и живостью изложения. Это, несомненно, первый образец построения научной системы. Впоследствии теория Евклида оказала большое влияние на формирование науки в Греции, став фунда­ментом развития таких областей знания, как математика, философия и другие, тем культурным наследием, которое считается гордостью греческой нации. “Начала” Евклида не потеряли своей ценности и поныне, несмотря на то, что со дня их появления прошло более 2000 лет. Евклид при написании “Начал” не исполь­зовал слова “геометрия”, но оно, как извест­но, в то время применялось довольно широко. Примечателен следующий разговор Евклида с царем Птолемеем. Когда царь спросил: “А нет ли пути более быстрого, чем “Начала”?” — Евклид ответил: “В геометрии нет царских дорог”. Прокл, о котором мы уже упоминали, говорил: “Евклид создал основы геометрии”. Как нам представляется, теоретическое значение “Начал” Евклида заключается не только в том, что в них наряду с основами геометрии рассматриваются другие области античной математики. В “Началах” мы ви­дим, как из простых определений, аксиом и по­стулатов выводятся утверждения, теоремы, которые составляют цельную научную сис­тему. В эллинскую эпоху геометрия наравне с философией была областью чистого знания, но в то же время она, по-моему, могла быть отнесена и к естественным наукам. Хотя Ев­клид и заложил ее теоретический фундамент, он, надо полагать, рассматривал ее и как нау­ку, объясняющую природу Вселенной. Опира­ясь на практический опыт, он путем система­тизации и обобщений построил научную сис­тему. Из определений Евклида приведем следую­щие: 1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Диния же — длина без ширины. 3. Границы линии суть точки. 4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Эти понятия, лежащие в основе дальней­ших научных выводов, представляют собой некие абстракции и являются теми единицами, которые можно называть элементами нашей Вселенной. Они являются фундаментальными и в рассуждениях Евклида. Поэтому более поздняя критика евклидовых определений, состоявшая в том, что эти определения объяв­лялись не имеющими смысла, не совсем спра­ведлива. В действительности обоснование Ев­клидом своей теории — это образец такого научного подхода, которого следует придер­живаться при создании любой дедуктивной системы. Ученые Древней Греции, не говоря уже о Платоне, как в философии, так и в геометрии развили рациональную сторону духовной культуры, продемонстрировав при этом един­ство науки. Древнегреческим .философам был известен афоризм: “Не знающий геометрии не допускается”, который, как говорят, при­надлежал знаменитому Платону, повесившему его на дверях своей школы. На протяжении многих веков образ мышле­ния Евклида, его стиль являлись для всех ученых примером научного мышления, по сло­вам Паскаля (1623—1662), образцом “геомет­рического духа”.^ 2. Пятый постулат и попытки его доказательства.В течение более 2000 лет после Евклида многие математики вели напряжен­ный научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого нс торического процесса. Теория Евклида опирается на ряд опреде­лений и аксиом. Исходной точкой его логиче­ской системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их спра­ведливость признается всеми несомненной. Имеются пять постулатов: 1. Через две точки проходит единственная прямая. 2. Ограниченную прямую линию можно не­прерывно продолжить. 3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Всякий раз, когда прямая при пересе­чении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти пря­мые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Последний, пятый, постулат известен как постулат о параллельных.Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения, например: “Если к равным величинам прибав­ляются равные, то и суммы будут равными”. Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть при­менимо условие самоочевидности, однако фор­мулировка постулата такова, что нс поддает­ся восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознано позже. Воп­рос заключается в том, можно ли этот посту­лат считать не самим по себе верным, а вы­водимым из других постулатов и аксиом. Если утверждение может быть доказано, то тогда нет никакой необходимости выдвигать его в качестве постулата. А если так, то это свиде­тельствует, по словам Д'Аламбера, о “подвод­ных камнях и капризном характере геомет­рии...” Многие комментаторы Евклида, находив­шиеся во власти этого евклидова положения, пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода исследований не имели результата. Не исключено, что сам Евклид пришел к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата лишь после неудачных попыток найти его доказательство. По-видимому, его исследования в этом направлении были скорее безуспешными, чем незавершенными. Этот опыт в настоящее время породил це­лое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геомет­рии, но и всей теоретической математики. Относительно геометрии можно сказать, что в результате продолжительных исследова­ний были получены равноценные постулату о параллельных формулировки. Например, через точку, находящуюся вне данной прямой линии, можно провести только одну прямую линию, параллельную данной. Или — сумма внутренних углов треуголь­ника равна сумме двух прямых. Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о справедливости постулата о параллельных и, наоборот, допустив, что любое одно из выше­приведенных суждений правильно, можно до­казать справедливость постулата о параллель­ных. В этом смысле приведенные утверждения равносильны, или, как еще говорят, эквива­лентны. Среди попыток доказательства постулата о параллельных заслуживают особого внима­ния исследования Дж. Саккери (1677—1733) и Лежандра (1752—1833). Саккери, проведя к горизонтальной прямой ^ АВ вертикальные и равные отрезки АС и BD, соединил точки С и D. То, что углы С и D равны, можно доказать и без использования постулата о параллельных, однако при дока­зательстве того, что угол С равен прямому, постулат становится необходим. Напротив, предполагая, что угол С — прямой, можно вывести постулат о параллельных. Саккери, проявляя достаточную широту подхода к этому вопросу, рассмотрел три воз­можных случая: 1) когда угол ^ С—прямой; 2) когда угол С — тупой; 3) когда угол С — острый. Затем он пытался доказать осуществи­мость только первого случая. И хотя в конеч­ном счете он потерпел неудачу, результаты, полученные им, позволили глубже вникнуть в суть рассматриваемого вопроса. Среди важ­ных результатов, полученных Саккери, имеет­ся следующая теорема: если предположить, что для какой-либо построенной таким обра­зом фигуры справедливо одно из трех выше упомянутых положений, то такое же условие будет иметь место и для любой другой фигу­ры, построенной аналогичным образом. Исходя из какого-нибудь одного из трех допущений, можно вывести, что сумма вну­тренних углов треугольника либо равна двум прямым, либо больше, либо меньше суммы двух прямых. Так, из первого допущения о прямом угле можно вывести, что если при пересечении двух прямых третьей прямой величины соответ­ственных углов одинаковы, то в этом случае (и только в этом случае) эти две прямые не пересекутся при их продолжении. Далее, из второго допущения следует, что эти две прямые, напротив, пересекутся. И наконец, из третьего допущения вытека­ет, что существует неограниченное число пря­мых, которые не пересекутся с данной прямой, если проводить их через точку, расположен­ную вне этой прямой. Вероятно, в конечном счете Саккери, по­добно другим исследователям, потерял основ­ную нить в “безграничном болоте” рассужде­ний. Вполне возможно, что если бы Саккери в какой-то момент отказался от привычной мысли о том, что “евклидова геометрия — это единственная истина”, то, как знать, он, мо­жет быть, стал бы первооткрывателем другой, неевклидовой геометрии. Много усилий для доказательства постула­та о параллельных линиях приложил также Лежандр. Благодаря его усилиям этой проб­лемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Основным результатом исследований Лежапдра были, по-видимому, следующие выводы: из допущения, что длина прямых линий неограниченна, следует, что сумма внутренних углов треугольника не может быть больше суммы двух прямых углов; если в одном тре­угольнике сумма внутренних углов равна двум прямым, то и во всяком любом другом треугольнике эта сумма равна двум прямым. Считая евклидову геометрию “единствен­но истинной”, он направил все свои силы на доказательство существования треугольника, сумма внутренних углов которого равна сум­ме двух прямых, но цели не достиг.^ 3. Николай Иванович Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии.Многовековые попытки доказательства V постулата Евклида привели к появлению в начале XIX в. новой геометрии, отличающейся от евкли­довой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия носит в на­стоящее время имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением. Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в Нижнем Новгороде (ныне Горький) в семье мелкого чиновника. Рано лишившись мужа, мать Лобачевского добилась принятия его в Казанскую гимназию. После ее окончания Лобачевский в 1807 г. поступил в открывшийся не­задолго до этого Казанский университет, с которым был связан затем всю жизнь. Большое влияние на Лобачевского оказал приглашенный в Ка­зань в 1808 г. друг Гаусса профессор М. Ф. Бартельс (1769—1836), впо­следствии работавший в университете в Дерпте (ныне Тарту). Отлично учившийся молодой Лобачевский раздражал реакционное, университетское начальство “мечтательным о себе самомнением, упорством, неповинове­нием”, а также “возмутительными поступками”, в которых автор одного из рапортов о нем усматривал “признаки безбожия”. Однако профессора, и в первую очередь Бартельс, заступились за строптивого студента, и в 1811 г. Лобачевский благополучно окончил университет, получив звание магистра. Став преподавателем университета, Лобачевский про­должал некоторое время работать под руководством Бартельса. В 1816 г. он назначается экстраординарным профессором, в 1822 г. избирается орди­нарным профессором, в 1820 г.— деканом физико-математического фа­культета, а в 1827 г.— ректором университета. На этом посту, который он занимал до 1845 г., Лобачевский проявляет себя как блестящий орга­низатор. Он спас университет во время пожара и эпидемии холеры; под его руководством было выстроено большинство университетских зданий и комплектовалась библиотека, носящая теперь его имя. Большое влияние оказал Лобачевский также на преподавание почти на всех факультетах. В 1845 г. Лобачевский прекратил работу в университете, но до конца жизни был одним из руководителей обширного Казанского учебного округа. Одной из предпосылок геометрических открытий Лобачевского был его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В речи “О важнейших предметах воспитания” (Казань, 1828) Лобачевский сочув­ственно приводит слова Ф. Бэкона: “Оставьте трудиться напрасно, ста­раясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непремен­но и удовлетворительно” — и далее указывает, что сами правила логичес­ких умозаключений являются отражениями реальных закономерностей мира: “Разум, это значит, известные начала суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины Вселенной и которые согла­шают, таким образом, все наши заключения с явлениями в природе”. В своем сочинении “О началах геометрии”, являющемся первой публика­цией открытой им геометрии, Лобачевский писал: “Первые понятия, с ко­торых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и до­статочным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить”. Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом, из которой делался вывод о том, что единственной мыслимой геометрией является геометрия Евклида. Первое геометрическое сочинение Лобачевского — “Геометрия”, на­писанное в 1823 г., было напечатано только после его смерти. Это ориги­нальное учебное пособие отражает раздумья Лобачевского об основаниях геометрии. К этому же времени относится одна из попыток Лобачевского доказать V постулат. К 1826 г. Лобачевский пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 г. “сделал на заседании факультета доклад “Сжатое изложение начал геомет­рии со строгим доказательством теоремы о параллельных”, в котором были "изложены начала открытой им “воображаемой геометрии”, как он назы­вал систему, позднее названную геометрией Лобачевского. Доклад 1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии — статьи “О началах геометрии”, напечатанной в журнале Ка­занского университета “Казанский вестник” в 1829—1830 гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены ме­муары “Воображаемая геометрия”, “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” и “Новые начала геометрии с полной теорией па­раллельных”, опубликованные в “Ученых записках Казанского универ­ситета” соответственно в 1835, 1836 и 1835—1838 гг. Переработанный текст “Воображаемой геометрии” появился во французском переводе в “J. fur Math.” в Берлине, в Берлине же в 1840 г. вышли отдельной книгой на не­мецком языке “Геометрические исследования по теории параллельных ли­ний” (Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien) Лоба­чевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и фран­цузском языках “Пангеометрию” (т. е. “Всеобщую геометрию”). Геометрия Лобачевского получипа всеобщее признание математиков только после его смерти. Коллега Лобачевского по Казанскому университету Петр Иванович Котельников (1809—1879) в своей актовой речи 1842 г. открыто заявил: “Не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд — построить целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов в прямолиней­ном треугольнике меньше двух прямых — труд, который рано или позд­но найдет своих ценителей”. Высоко оценил “Геометрические исследова­ния” Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Гёттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук Ганноверского королевства. Однако в печати с оценкой новой геометри­ческой системы Гаусс не выступил.^ 4. Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии.Высокая оценка открытия Лобачевского Гауссом была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллель­ных линий, пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмах к друзьям. В 1799 г. Гаусс пи­сал своему соученику по Гёттингенскому университету Фаркашу (Вольфгангу) Бояи (1775—1856) о своих занятиях теорией параллельных линий: “Правда, я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за дока­зательство V постулата, но это не доказывает в моих глазах ровно ничего: например, если бы кто-либо мог доказать, что возможен такой прямо­угольный треугольник, площадь которого больше любой заданной, то я был бы в состоянии строго доказать всю геометрию. Большинство со­чтет это за аксиому, я же — нет. Так, могло бы быть, что площадь всегда будет ниже некоторого данного предела, сколько бы удаленными в про­странстве ни были три вершины треугольника. Таких положений я имею много, но ни одно из них не нахожу удовлетворительным”. В 1804 г. Гаусс пишет Ф. Бояи о его попытке доказательства V постулата в “Теории параллельных” (Theoria parallelarum. Maros Vasarhelyini, 1804): “Твой метод меня не удовлетворяет... Однако я еще надеюсь, что когда-нибудь и еще до моего конца эти подводные камни позволят еще перебрать­ся через них”. Как видно, в это время Гаусс еще не оставил попыток до­казать V постулат. В 1816 г. в письме к астроному X. Л. Герлингу (1788— 1864), установив, что при отказе от V постулата должна существовать аб­солютная мера длины, Гаусс заявлял: “Я не нахожу в этом ничего проти­воречивого. Было бы даже желательно, чтобы геометрия Евклида не была бы истинной, потому что мы тогда располагали бы общей мерой a priori”. Эти слова показывают, что в 1816 г. Гаусс еще считает геометрию Евкли­да “истинной” в смысле физической реальности. Но уже в 1817 г. в письма к астроному В. Ольберсу (1758—1840) Гаусс пишет: “Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть до­казана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рас­судка. Может быть, в другой жизни мы придем к взглядам на природу про­странства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию прихо­дится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой”. Отсюда виден источник сомнений Гаусса: первоначально он был сторонником мнения Канта об априорности матема­тических понятий, но, размышляя о теории параллельных, пришел к вы­воду, что во всяком случае в геометрии такая априорность не имеет места. Возможно, что именно по этой причине Гаусс не публиковал своих пара­доксальных открытий. В 1818 г. в письме к Герлингу он писал: “Я радуюсь, что Вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей гео­метрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голо­ву” ; по-видимому, под “потревоженными осами” Гаусс имел в виду сто­ронников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма ма­тематических понятий. 5. Янош Бояи.Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой гео­метрии пришел и замечательный венгерский математик Янош Бояи (1802— 1860), сын Ф. Бояи. Я. Бояи родился в трансильванском городе Марош-Вашархей (ныне Тыргу-Муреш в Румынии). После окончания военно-ин­женерной академии в Вене он служил в крепости Темешвар (ныне Тими-шоара). Я. Бояи заинтересовался проблемой параллельных под влиянием отца и уже в 1823 г. писал ему: “Правда, я не достиг еще цели, но получил весьма замечательные результаты — из ничего я создал целый мир” , Отец, отчаявшийся в своих попытках доказательства V постулата, умо­лял сына оставить эти занятия: “Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий на этом пути: я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую ра­дость моей жизни я в ней похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться, как чувственных ув­лечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя — оно тебе погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновых башен и никогда на земле не прояснится; никогда несчастный род человеческий не достигнет совершенной истины, даже в геометрии!”. Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и Гаусс, отец не понял его, однако предложил напечатать краткое изложение его откры­тия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832 г. Полное название труда Я. Бояи — “Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)” (Appendix scientiam. spatii absolute veram exhibens: a veritate aut ialsitate Axiomatis XI Euclidis (a priori baud unquain decidenda) inde-pendentem), и его обычно называют коротко “Аппендикс”. В 1833 г. Я. Бояи вышел в отставку. Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал “Аппендикс”, понял его, но никак не спо­собствовал признанию открытия Я. Бояи. В 1837 г. Я. Бояи участвовал в конкурсе на премию Лейпцигского ученого общества им. Яблоновского "по вопросу об “усовершенствовании геометрической теории мнимых чисел”. В своей работе Я. Бояи переоткрыл “теорию пар” Гамильтона, опублико­ванную в 1833—1835 гг.; написанная чрезмерно сжато, да еще со ссылка­ми на “Аппендикс”, недоступный жюри конкурса, эта работа не была оце­нена по достоинству. Все это привело Я. Бояи к тяжелой моральной деп­рессии, из которой он по существу не выходил до конца жизни. “Аппендикс” Я. Бояи также был написан чрезвычайно сжато, с при­менением многих условных обозначений; это объяснялось тем, что Ф. Бояи выделил сыну для изложения его открытия слишком мало места. Поэтому уяснить суть открытия Я. Бояи по его изложению было нелегко. Пожа­луй, единственным человеком, понявшим это сочинение при жизни автора, был Гаусс. В письме Гаусса к Герлингу, написанном сразу же после по­лучения “Аппендикса”, говорилось: “Я считаю этого молодого геометра фон Бояи гением первой величины”. Однако самому Ф. Бояи Гаусс на­писал: “Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что я эту работу не должен хвалить, то ты, конечно, на мгновение поразишь­ся, но иначе я не могу; хвалить ее значило бы хвалить самого себя: все содержание сочинения, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными до­стижениями, которые частично имеют давность в 30—35 лет”. Впослед­ствии, познакомившись с “Геометрическими исследованиями” Лобачев­ского, Гаусс посоветовал отцу и сыну Бояи прочесть это сочинение. Про­чтя работу Лобачевского, Я. Бояи высказал нелепое предположение: “Гаусс — колосс, и без того владевший такими сокровищами,— не мог примириться с тем, что кто-то в этом вопросе его предвосхитил, и так как он уже не был в состоянии этому воспрепятствовать, то он сам обработал теорию и выпустил в свет под именем Лобачевского”. ^ 6. Геометрия Лобачевского.В мемуаре “О началах геометрии” (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826 г. В начале этой части Лобачевский писал: “Кто не согласится, что никакая Математическая наука не должна бы на­чинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий”. Далее следуют приведенные выше слова о “первых понятиях”, с которых начинается какая-нибудь наука. Определив затем основные понятия геометрии, не зависящие от V по­стулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не мо­жет быть >л , как это имеет место у сферических треугольников, Лоба­чевский заявлял: “Мы видели, что сумма углов прямолинейного треуголь­ника не может быть >л. Остается предполагать эту сумму =л или Лобачевский указывает, что в “во­ображаемой геометрии” сумма углов треугольника всегда П (а) = 2arctg ехр(- qa) где q — некоторая постоянная. При а>= 0 угол параллельности всегда острый, причем он стремится к л/2 при а —> 0, постоянная же q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицей длины, анало­гичной абсолютной единице угла в евклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпен­дикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две парал­лельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремятся к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше л. Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особенного рода кривую “предельную круг” — в настоящее время такие кривые называют орициклами, от гре­цких слов, эквивалентных термину Лобачевского. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал “предельной сферой”, а в настоящее время именуют рисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название “воображаемая геометрия” подчеркивает, что эта геометрия относится к вклидовой, “употребительной”, по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, “воображаемые”, по его терминологии, к действительным. Слова “понятия приобретаются чувствами, врожденным не должно верить”-называют на то, что Лобачевский, не обнаружив противоречия в следст­виях из предположения о невыполнении V постулата, пришел к выводу" о том, что евклидова геометрия не является единственно мыслимой. Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире — “употребительная” или (“воображаемая”, для чего он решил измерить сумму углов треугольника с очень большими сторонами. Однако, вычислив по последнему астроно­мическому календарю сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой — равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличает­ся от л на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. “После того,— пишет Лобачевский,— можно вообразить, сколько эта раз­ность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точ­ность всех вычислений обыкновенной Геометрии и дозволяет принятие начала последней рассматривать как бы строго доказанными”. Это объясняет, что под “строгим доказательством теоремы о параллель­ных линиях” в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность уста­новить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться “употребительной геометрией”, не рискуя впасть в ошибку. Наиболее полным изложением системы Лобачевского являются его“Новые начала геометрии с полной теорией параллельных” (1835—1838). Это сочинение начинается словами: “Прикосновение составляет отличитель­ную принадлежность тел и дает им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, сущест­венные ли то будут или случайные...”. Далее определяются сечения тел, пространства, конгруэнтность тел (“одинаковость”) и их равновеликость (“равенство”), “три главных сечения”, делящих тело на восемь частей, а с их помощью — поверхности, линии и точки; расстояния, а затем сферы; плоскости (геометрические места точек, равноудаленных от двух точек) и прямые. Таким образом, изложение геометрии у Лобачевского основыкается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конг­руэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения. Далее Лобачевский подробно излагает открытую им геометрию, а в конце работы пишет: “В природе мы познаем только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой Геометрии”. Мысль о возможности различных геометрических свойств в различных участках пространства и их зави­симости от “сил”, т. е. от материи, является далеким предвосхищением идей общей теории относительности Эйнштейна. Далее Лобачевский вы­сказывает предположение, что его геометрия, возможно, имеет место “либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных при­тяжении” . В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу “Применение воображаемой гео­метрии к некоторым интегралам” (Учен. зап. Казан, ун-та, 1836); многие из них были включены в изданные голландским математиком Давидом Бьеренс де Хааном (1822—1895) “Таблицы определенных. интегралов” (Tables d'integrales definies, 1858), а затем ив позднейшие справочники. ^ 7.Непротиворечивость геометрии Лобачевского.Лобачевский доказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модель плоскости и пространства Ло­бачевского. Однако сам Лобачевский видел свидетельство непротиворе­чивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригоно­метрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачев­ского неправомерен. В своем мемуаре он доказал, что формулы сферичес­кой тригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было бы доказать, что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических фор­мул и “абсолютной геометрии” — предложений, не зависящих от V посту­лата. Такое доказательство Лобачевский попытался провести в “Вообра­жаемой геометрии”, где он писал: “Теперь, оставляя геометрические пост­роения и выбирая краткий обратный путь, намерен я показать, что глав­ные уравнения, которые нашел я (цитированной выше работе) для за­висимости боков и углов треугольника в воображаемой Геометрии, могут быть приняты с пользою в Аналитике и никогда не приведут к заключениям ложным в каком бы то ни было отношении”. Далее Лобачевский присоединяет тригонометрические формулы к предложениям абсолютной геометрии и выводит из этого утверждения, что сумма углов треугольника л, если рассматривать их как формулы плоской тригонометрии, противоре­чат аксиомам абсолютной геометрии. Фактически эти соображения Ло­бачевского доказывают только непротиворечивость его тригонометричес­ких формул. Однако, отправляясь от соображений Лобачевского, но пользуясь мето­дами, в его время неизвестными, можно дать полное доказательство не­противоречивости его геометрии. Для этого следует воспользоваться введен­ной Понселе в его “Трактате о проективных свойствах фигур” идеей мни­мых точек пространства. Если дополнить действительное евклидово прост­ранство всеми его мнимыми точками, мы получим комплексное евклидово пространство. Всякую алгебраическую и аналитическую линию и поверх­ность в действительном пространстве можно рассматривать как часть ли­нии и поверхности в комплексном пространстве, определяемых теми же уравнениями, расстояния между точками и углы между прямыми в комп­лексном пространстве выражаются теми же формулами, что и в действи­тельном пространстве; поэтому выражаются теми же формулами, что и на действительной сфере, тригонометрические соотношения на сфере комп­лексного пространства. Таким образом, геометрия плоскости Лобачевского осуществляется на сфере мнимого радиуса qi в подпространстве комп­лексного пространства, прямоугольные координаты х, у точек которого действительны, а координаты z — чисто мнимы. Это подпространство можно рассматривать как действительное аффинное пространство. Такое пространство было определено значительно позже А. Пуанкаре (1906) и Г. Минковским (1908) в связи с интерпретацией специальной тео­рии относительности и в настоящее время называется псевдоевклидовым пространством. Сферы радиуса qi в этом пространстве имеют вид двупо­лостных гиперболоидов (геометрия плоскости Лобачевского осуществляет-сяна каждой из полостей такого гиперболоида), в этом пространстве имеют­ся также сферы действительного радиуса, имеющие вид однополостньтх гиперболоидов, и сферы нулевого радиус