Мамаева З.М. Введение в моделирование, 2005. Н. Новгород, ННГУ Введение в моделирование 1.1 . Понятие моделей и моделирования Термин модель широко распространен как в научном, так и в общеупотребительном языке, причем в разных ситуациях в него вкладывается разный смысл. Слово модель ведет свое происхождение от латинского ‘modulus’, что означает мера, мерило, норма, образец.. Мы ограничимся пониманием слова модель, которое используется в широко распространенном методе исследования, называемом моделированием, т.е. рассмотрим такие модели, которые являются инструментом получения знания Под “моделью” понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая в процессе познания, анализа замещает реальный объект (систему), сохраняя некоторые наиболее важные для исследования его черты, причем ее изучение дает нам новую информацию об объекте. Таким образом, модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Моделирование как способ научного познания появилось в античную эпоху одновременно с возникновением научного познания. Сейчас трудно назвать ту область, где бы оно ни использовалось Каковы основополагающие положения метода моделирования, и какие его достоинства заставляют постоянно прибегать к этому методу в научных исследованиях? В общефилософском плане, очевидно, что анализ процесса моделирования должен начинаться с признания реальности существования моделируемых объектов, т.е. признания объективной реальности. Этот анализ основывается на следующих основных положениях теории отражения: 1. Модель является отражением реально существующего объекта, причем гносеологическим отражением. 2. Модель является гомоморфным отражением объекта, следствием чего является сокращение и упрощение структуры оригинала. Модель воспроизводит лишь основные, наиболее существенные для исследования стороны изучаемого объекта. (Гомоморфизм - когда несколько свойств объекта отображаются в одно. Изоморфизм - взаимно однозначное соответствие(одно в одно )). 3. Модель всегда предполагает участие в ее создании, конструировании, выборе познающего субъекта. Развитие методов моделирования определяет развитие любой науки и имеет огромное практическое значение. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче. ^ Таким образом , практическое значение моделирования заключается в том,что: Модели более удобны для исследования, чем исходные объекты. Кроме того, некоторые объекты можно изучить только на моделях. Моделирование позволяет выявить наиболее существенные факторы изучаемого объекта или явления, поэтому является инструментом для более глубокого изучения реальности.^ 1.2. Классификация средств моделирования Классификация методов моделирования и моделей может проводиться по степени подробности моделей, по характеру признаков, по сфере приложения и т.д. Рассмотрим одну из распространенных классификаций моделей по средствам моделирования, именно этот аспект является наиболее важным при анализе различных явлений и систем []. (рис.1.1) По средствам моделирования методы моделирования делятся на две группы: методы материального и методы идеального моделирования Моделирование называется материальным в том случае, когда исследование ведется на моделях, связь которых с исследуемым объектом существует объективно, имеет материальный характер. Модели в этом случае строятся исследователем либо выбирается им из окружающего мира. В свою очередь в материальном моделированииМОДЕЛИРОВАНИЕМАТЕРИАЛЬНОЕИДЕАЛЬНОЕ ФормализованноеНеформализованноеПространственное ФизическоеАналоговоеЗнаковоеОбразноеРис 1. 1. Классификация по средствам моделирования По средствам моделирования методы моделирования делятся на две группы: методы материального и методы идеального моделирования Моделирование называется материальным в том случае, когда исследование ведется на моделях, связь которых с исследуемым объектом существует объективно, имеет материальный характер. Модели в этом случае строятся исследователем либо выбирается им из окружающего мира. В свою очередь в материальном моделировании можно выделить: пространственное, физическое и аналоговое моделирование.^ В пространственном моделировании используются модели, предназначенные для того, чтобы воспроизвести или отобразить пространственные свойства изучаемого объекта. Модели в этом случае геометрически подобны объектам исследования (любые макеты). Модели, используемые в физическом моделировании предназначены для воспроизводства динамики процессов, происходящих в изучаемом объекте. Причем общность процессов в объекте исследования и модели основана на сходстве их физической природы. Этот метод моделирования широко распространен в технике при проектировании технических систем различного вида. Например, исследование летательных аппаратов на основе экспериментов в аэродинамической трубе.Аналоговое моделирование связано с использованием материальных моделей, имеющих другую физическую природу, но описывающихся теми же математическими соотношениями, что и изучаемый объект. Оно основано на аналогии в математическом описании модели и объекта (изучение механических колебаний с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями, но более удобной в проведении экспериментов). Во всех случаях материального моделирования модель–это материальное отражение исходного объекта, а исследование состоит в материальном воздействии на модель, то есть в эксперименте с моделью. Материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом и в экономических исследованиях не используется. От материального моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, основанное на идеальной, мыслимой связи между объектом и моделью. Методы идеального моделирования широко используются в экономических исследованиях. Их условно можно разделить на две группы: формализованное и неформализованное. В формализованном моделировании моделью служат системы знаков или образов, вместе с которыми задаются правила их преобразования и интерпретации. Если в качестве моделей используются системы знаков, то моделирование называется знаковым (чертежи, графики, схемы, формулы ). Важным видом знаковой моделирования является математическое моделирование, основанное на том факте, что различные изучаемые объекты и явления могут иметь одинаковое математическое описание в виде совокупности формул, уравнений, преобразование которых осуществляется на основе правил логики и математики. Другой формой формализованного моделирования является образное, в котором модели строятся на наглядных элементах (упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел). Анализ образных моделей осуществляется мысленно, поэтому они могут быть отнесены к формализованному моделированию, когда правила взаимодействия объектов, используемых в модели четко фиксированы (например, в идеальном газе столкновение двух молекул рассматривается, как соударение шаров, причем результат соударения мыслится всеми одинаково). Модели такого типа широко используются в физике, их принято называть "мысленными экспериментами".^ Неформализованное моделирование. К нему можно отнести такой анализ проблем разнообразного типа, когда модель не формируется, а вместо нее используется некоторое точно не зафиксированное мысленное отображение реальной действительности, служащее основой для рассуждения и принятия решения. Таким образом, всякое рассуждение не использующее формальную модель можно считать неформализованным моделированием, когда у мыслящего индивидуума имеется некоторый образ объекта исследования, который можно интерпретировать как неформализованную модель реальности. Исследование экономических объектов в течение долгого времени проводилось только на основе таких неопределенных представлений. В настоящее время анализ неформализованных моделей остается наиболее распространенным средством экономического моделирования, а именно всякий человек, принимающий экономическое решение без использования математических моделей вынужден руководствоваться тем или иным описанием ситуации, основанной на опыте и интуиции. Основным недостатком этого подхода является то, что решения может оказаться мало эффективным или ошибочным. Еще долгое время, по-видимому, эти методы останутся основным средством принятия решений не только в большинстве обыденных ситуаций, но и при принятий решений в экономике.^ 1.3. Понятие экономической системы и принципы ее моделирования Система–множество взаимосвязанных в единую структуру, целенаправленно функционирующих элементов, Каждой системе присущи своя цель функционирования, структура, возможность обособленного от внешней среды рассмотрения и анализа ее частей. Таким образом, для того чтобы объект представлял систему необходимо: совокупность элементов числом более одного; наличие взаимосвязи между элементами, отношений, соединяющих их в единое целое; наличие цели, для реализации которой предназначена рассматриваемая совокупность; наличие субъекта исследования (наблюдателя), формирующего систему; наличие внешней среды по отношению к системе и отражение ее взаимосвязей с системой. Поэтому такие экономические объекты, как все народное хозяйство в целом, отрасль, регион, отдельное предприятие и т.д. могут быть названы экономическими системами. Экономические системы – это управляемые системы.^ В широком смысле под управлением понимается конкретная организация тех или иных процессов для достижения намеченных целей. Управляемая система признана обеспечить целенаправленное функционирование при изменяющихся внутренних или внешних условиях. В экономической системе выбор и формирование как структуры, так и способа функционирования являются задачами управления, обеспечивающими динамику социально–экономического развития. Однако соотношение типов задач: формирование производственно-организационной структуры самой системы и способа ее функционирования – различно на разных уровнях иерархии управления. Рассмотрим общую принципиальную схему систем управления. Любое управление предполагает наличие объекта управления (управляемой системы), аппарата, который непосредственно осуществляет процессы управления (управляющей системы, субъекта управления), и внешней среды. Объект управления производит те или иные действия для реализации намеченных целей. Сложность объекта управления зависит от количества входящих в него элементов и природы взаимосвязей между ними. В процессе функционирования объект управления подвергается воздействию внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению намеченных целей.. Основное назначение управляющей системы–поддерживать установленный и по каким-либо свойствам признанный нормальный режим работы объекта управления, а также обеспечивать нормальное функционирование отдельных элементов объектов управления в условиях воздействия внешней среды. Объект управления во взаимодействии с управляющей системой образует замкнутую систему управления (рис.1.2) Рис. 1.2. Структура системы управленияХ- это воздействие внешней среды на объект управления: Y-реакция системы на воздействие X. Связь, с помощью которой управляющая система воздействует на объект управления, если она имеется, называется обратной. Входным сигналом для обратной связи является выходной сигнал системы Y. Если этот сигнал не соответствует целям управления замкнутой системой, то управляющая система вырабатывает воздействие обратной связи X, которое вместе с Х поступает на вход объекта управления (X, Y, X – векторы соответствующих размерностей). В правильно работающей, с точки зрения поставленной цели, системе сигнал Х+X должен способствовать улучшению качества функционирования замкнутой системы управления. Количественные оценки степени достижения цели в модели управления даются в виде значений целевой функции (функционала), а условия, в рамках которых функционирует система, –в виде ограничений модели. Цель оптимального управления–нахождение наилучшего, с точки зрения принятого условия, критерия оптимизации. Для конкретных ситуаций при выборе способа управления, хозяйствования или ведения деятельности он реализуется в виде экстремального значения функционала. Не в каждой системе управление осуществляется с помощью обратной связи (например, управление уличным движением с помощью светофора).Это зависит от целей системы. Любая экономическая система является управляемой системой с обратной связью. В технике – воздействия управляющих систем на объекты управления осуществляются через обратную связь с помощью разного рода усилителей, рулевых приводов и других механизмов. В экономике это могут быть, например, дополнительные фонды на сырьевые и материальные ресурсы, изменение плановых показателей и другие факторы управления производственными процессами. Итак, в структуре системы управления можно выделить: объект управления–непосредственное устройство, агрегат подсистема общей системы, в которой реализуется цель функционирования всей системы; управляющая система–орган управления (в экономической литературе его иногда называют субъектом управления). фиксирующий параметры объекта управления и вырабатывающий при необходимости управляющие воздействия на объект управления для приведения его функционирования к режиму, который в соответствии с целью управления принято считать нормальным. Если достижение такого режима в условиях имеющихся ресурсов системы невозможно, то в качестве нормального может быть принят режим, отклоняющийся от желаемого минимально; обратная связь объект, подсистема, с помощью которой реализуется воздействие управляющей системы на управляемый объект. Эти элементы, формирующие в совокупности замкнутую систему управления, находятся под воздействием внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению целей системы. Представленное схематичное описание замкнутой системы управления весьма упрощено и отражает только принцип ее построения. В действительности каждый из указанных элементов, в свою очередь, может включать объект, субъект управления с обратной связью или без нее, вся система будет иметь, таким образом, иерархическую структуру. Подобное характерно для экономических систем. Например, в системе управления отраслью в качестве объекта управления следует рассматривать подведомственные министерству предприятия, а управляющего органа – аппарат министерства. Обратная связь при этом осуществляется через систему учета, контроля и оперативного управления в отношении предприятий со стороны министерства. Каждое предприятие, являясь, таким образом, объектом управления со стороны министерства, в свою очередь, представляет замкнутую систему управления со всеми необходимыми структурными элементами. Объект управления – цехи, производственные участки; управляющая система – дирекция, заводоуправление; обратная связь осуществляется также через систему учета, контроля и оперативного управления со стороны руководства предприятия. Если спускаться по этой иерархической лестнице, то по аналогичной схеме можно рассмотреть систему управления цехом. В управлении народным хозяйством такие иерархические построения могут быть многоступенчатыми. Изложенное выше относится к характеристике систем управления без учета их природы - физической, производственно-технологической, социально-экономической. Однако, экономические системы имеют некоторые особенности.. Экономическая система охватывает параметры и характеристики общественного производства, распределения, обмена и потребления материальных благ. В любой экономической системе, будь то участок цеха или все народное хозяйство можно выделить два уровня: производственно- технологический и социально-экономический, тесно связанные между собой. При исследовании производственно–технологического уровня изучаются производственные возможности экономических систем. На уровне социально–экономическом определяется, каким образом реализуются производственные возможности, т.е. рассматриваются взаимодействия людей. При моделировании производственных. возможностей экономическую систему разбивают на отдельные элементарные экономические единицы, затем описывают производственные возможности каждой элементарной единицы, обмен ресурсами и продуктами между этими единицами. Использование хорошо разработанных принципов моделирования неживой природы дает возможность строить модели этого уровня относительно просто. Незамкнутость этих моделей, т.е. наличие внешних воздействий на течение производственных процессов, к которым можно отнести и социально–экономический фактор не является препятствием при их исследовании, особенно, когда речь идет о выборе наиболее рационального варианта производственного процесса. Именно при построении и анализе таких задач достигнуты наибольшие успехи в применении методов экономико–математического моделирования. Задача моделирования социально-экономических явлений чрезвычайно сложна. Для построения адекватных математических моделей явлений этого типа необходимо правильно описывать цели групп людей и отдельных индивидуумов, а также факторы, влияющие на эту цель, уметь анализировать конфликты, возникающие в человеческом обществе и пути их разрешения. В настоящее время пока не создано достаточно хороших моделей социально–экономического уровня. Для того, чтобы обойти это препятствие при моделировании экономических систем применяют следующий методический прием: закономерности, описывающие взаимодействие людей с природой (производственно–технологический уровень) рассматриваются отдельно от взаимодействия людей (социально–экономический уровень). Социальный фактор при этом можно рассматривать в качестве внешнего воздействия на модель. Все же, несмотря на кажущуюся естественность, разделение экономических систем на два уравнения, изучение только производственно-технологического к определенным трудностям при анализе экономических проблем, поскольку в практических задачах технологические и социальные проблемы тесно связаны между собой. В настоящее время эти трудности частично могут быть при использовании системного подхода в моделировании, нашедшего свое воплощение в человеко-машинных имитационных системах принятия решений.^ 1.4. Этапы экономико-математического моделирования. В экономико-математическом моделировании самое сложное – увидеть в экономической проблеме математическое содержание. Для этого требуется хорошо понимать экономическое содержание проблемы и владеть необходимым математическим инструментарием. Процесс экономико-математического моделирования можно разделить на несколько основных этапов.1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает: выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, формулирование ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). ^ Математической моделью реального объекта (явления) называется ее упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций (соотношений). Следовательно, для получения математической модели сначала вводится система буквенных обозначений элементов реального объекта и затем, на основе изучения существующих взаимосвязей между этими элементами, составляются отражающие их математические соотношения (уравнения, неравенства и др.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Важнейшая проблема моделирования – адекватность (соответствие, совпадение) модели оригиналу. К модели предъявляются противоречивые требования: с одной стороны, она должна по возможности полнее совпадать с оригиналом; чем больше такое совпадение, тем ценнее знание, полученное при исследовании модели; с другой стороны, неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Таким образом, модель должна быть как можно более простой, чтобы ее было легче исследовать. В разрешении этого противоречия и состоит проблема адекватности модели. Кроме того нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).В связи с этим, одним из главных принципов моделирования является следующий: модель должна соответствовать оригиналу только в главном, существенном, в том, что интересует исследователя; все несущественное должно быть отброшено. Одна из важных особенностей математических моделей потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели. В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.^ Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются следующие вопросы: единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели. Знание общих свойств модели имеет большое значение. Часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.^ Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.^ Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.^ Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних. Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.^ Взаимосвязи этапов. Следует обратить внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования. Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации или имеющимся методам решения. По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации. На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования^ 1.5. Основные принципы описания производственно-технологического уровня экономических систем. Процесс моделирования начинается с анализа проблемы, в результате которого формулируется содержательная постановка задачи моделирования (этап1). Рассмотрим основные принципы описания содержательной постановки задачи моделирования производственно–технологического уровня экономических систем[1]: Изучаемая экономическая система (народное хозяйство, отрасль, регион и т.д.) всегда моделируется в виде совокупности некоторого числа элементарных экономических единиц, каждая из которых имеет в экономической системе определенные функции, связанные с производством, потреблением и распределением материальных благ. Вопрос о том, в какой совокупности элементарных экономических единиц представить изучаемую систему, решается в зависимости от целей и задач исследования. Например, народное хозяйство в целом можно описать как совокупность производственных отраслей, каждая из которых производит единственный продукт, отражающий суммарную стоимость продукции отрасли. В других случаях народное хозяйство можно представить как совокупность экономических регионов. Наконец, народное хозяйство часто описывают как единственную экономическую единицу, в которой производится единственный продукт, используемый как для создания новых производственных фондов, так и для потребления. Таким образом, одна и та же экономическая система в зависимости от целей может моделироваться как элементарная или рассматриваться как сложная система, состоящая из элементарных экономических единиц. При описании любой экономической системы производственно-технологический уровень этой системы моделируется на основе материальных закономерностей производства, распределения и потребления материальных благ. Поэтому при построении ЭММ прежде всего необходимо сформулировать список материальных благ, которые будут фигурировать в модели. Часто материальные блага называют продуктами, включая сюда сырье, материалы, и прочие ресурсы. Вопрос о выделении списка продукции является сложной проблемой и зависит от цели исследования и от типа изучаемой системы. Если рассматривается участок цеха, то список продуктов может включать детали, выпускаемые участком, перечень, используемого сырья и т.д. В качестве единиц измерения могут быть выбраны натуральные (штуки, килограммы., метры и т.д.) Если рассматривать модель отрасли, описывать производство в такой подробной номенклатуре трудоемко и нецелесообразно. Поэтому в таких моделях используется агрегированная номенклатура продуктов, а в качестве единиц измерения всегда выбираются стоимостные. Поэтому при моделировании очень важно выбрать уровень агрегирования, то есть сформулировать список продуктов так, чтобы построенная модель могла стать основой для изучения явлений, интересующих исследователя. Производство невозможно без участия людей. Трудовые ресурсы описываются на основе численности рабочих различных специальностей или количества человеко-часов, которые рабочие могут отработать в течении определенного периода времени. Часто все трудовые ресурсы агрегируются в единственный показатель– общее количества трудовых ресурсов. После выбора элементарных экономических единиц и списка продуктов необходимо описать потоки ресурсов и продуктов между этими экономическими единицами. Потоки материальных благ должны удовлетворять законам сохранения вещества, которые выражаются в виде балансовых соотношений. Общий принцип построения балансовых соотношений можно сформулировать так: суммарное потребление любого продукта не превышает( или равно) сумме его исходных запасов, производства в системе и поставок извне.P+Y Важным элементом моделирования является установление и формулировка в математической формуле закономерностей преобразования продуктов и ресурсов в системе. Соотношение, описывающее закон выпуска продукции принято называть производственными функциями. Таким образом, для построения ЭММ необходимо: провести декомпозицию системы на элементарные экономические единицы; сформулировать перечень материальных благ и выбрать их единицы измерения; сформ