Local Disk Методическое пособие Содержание Введение 1. Моделирование случайных величин 1.1 Метод нелинейного преобразования, 1.2 Метод Неймана 1.3 Метод кусочной аппроксимации 1.4 Типовые алгоритмы моделирования случайных величин с 1.4.1 Равномерный закон распределения 1.4.2 Нормальный закон распределения 1.4.3 Закон распределения Релея 1.4.4 Обобщенный закон распределения Релея (закон Релея-Райса) 1.4.5 Экспоненциальный (показательный) закон распределения 1.4.6 Логарифмически-нормальный закон распределения 2. Моделирование случайных векторов 2.1 Метод условных распределений 2.2 Многомерный метод Неймана 2.3 Метод линейного преобразования 3. Моделирование случайных процессов 3.1 Моделирование нормальных случайных процессов 3.1.1 Метод скользящего суммирования 3.1.2 Метод рекуррентных разностных уравнений 3.2 Типовые алгоритмы моделирования нормальных 3.2.1 Случайный процесс с экспоненциальной корреляционной 3.2.2 Случайный процесс с экспоненциально-косинусной 3.2.3 Случайный процесс с корреляционной функцией вида 3.2.4 Случайный процесс с прямоугольным спектром и корреляционной функцией sin(x)/x 3.2.5 Случайный процесс с экспоненциальным спектром и 3.2.6 Случайный процесс с треугольной корреляционной функцией 3.3 Моделирование случайных процессов с распределениями 3.4 Типовые алгоритмы моделирования стационарных 3.4.1 Случайный процесс с равномерным распределением 3.4.2 Случайный процесс с распределением Релея 3.4.3 Случайный процесс с экспоненциальным распределением 3.4.4 Случайный процесс с логарифмически-нормальным 3.5 Моделирование многомерных нормальных случайных 3.6 Моделирование нестационарных случайных процессов 3.6.1 Моделирование нестационарности по математическому ожиданию 3.6.2 Моделирование нестационарности по дисперсии 3.7 Моделирование нестационарности по корреляционной 3.7.1 Процессы со сложными видами нестационарности 4. Моделирование случайных потоков 5. Моделирование случайных полей
Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Балтийский государственный технический университет
Кафедра радиоэлектронных систем управления
Методы статистического моделирования в радиотехнике Учебное пособие
Санкт-Петербург 2003 Содержание стр. Введение… 3 Моделирование случайных величин с заданным законом распределения … 4 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения … 4 Метод Неймана … 4 Метод кусочной аппроксимации … 5 Типовые алгоритмы моделирования случайных величин наиболее распространенными законами распределения … 7 Равномерный закон распределения… 7 Нормальный закон распределения … 8 Закон распределения Релея… 10 Обобщенный закон распределения Релея (закон Релея-Райса) … 10 Экспоненциальный (показательный) закон распределения … 11 Логарифмически-нормальный закон распределения … 12 Моделирование случайных векторов … 13 Метод условных распределений … 13 Многомерный метод Неймана … 13 Метод линейного преобразования … 14 Моделирование случайных процессов … 16 Моделирование нормальных случайных процессов … 16 Метод скользящего суммирования… 17 Метод рекуррентных разностных уравнений … 19 Типовые алгоритмы моделирования нормальных случайных процессов с часто встречающимися корреляционными функциями … 19 Случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией… 19 Случайный процесс с экспоненциально-косинусной корреляционной функцией… 20 Случайный процесс с корреляционной функцией вида… 21 Случайный процесс с прямоугольным спектром корреляционной функцией sin(x)/x… 21 Случайный процесс с экспоненциальным спектром корреляционной функцией вида… 22 Случайный процесс с треугольной корреляционной функцией… 23 Моделирование случайных процессов с распределениями плотности вероятности отличными от нормальных … 25 Типовые алгоритмы моделирования стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения плотности вероятности … 26 Случайный процесс с равномерным распределением … 26 Случайный процесс с распределением Релея … 27 Случайный процесс с экспоненциальным распределением … 28 Случайный процесс с логарифмически-нормальным распределением… 29 Моделирование многомерных нормальных случайных процессов … 29 Моделирование нестационарных случайных процессов … 32 Моделирование нестационарности по математическому ожиданию … 32 Моделирование нестационарности по дисперсии … 32 Моделирование нестационарности по корреляционной функции (спектральной плотности) или одномерной плотности … 33 Процессы со сложными видами нестационарности … 33 Моделирование случайных потоков … 34 Моделирование случайных полей … 35
Введение
Математическими моделями радиосигналов, радиопомех и различных комбинаций сигналов и помех являются, в общем случае, случайные функции времени (случайные процессы), которые можно представить в следующем общем виде:
t S ) =F [f (x t 1 , x , ,… f (x t 1 , x2 ,..., ,… v (y t 1 , y2 , ,… v (y t 1 , y ,..., ,… ξ(t ),ξ(t ),...](1)
/>t1 , 2 ) 2 , ) 1 , ) 2 , 2 ) 12
где t -непрерывное или дискретное время;
(, )(, )
x t 1 f 1 , x , ,… x t 2 f 1 , x2 ,… ,… -детерминированные функции с детерминированными
2
параметрами;
, ))
v1 (x t 1 , x2 , ,… v (x t 1 , x ,… ,… -функции со случайными параметрами;
2 , 2
ξ1 (),ξ(t ),...-случайные процессы (шумы) с заданными свойствами;
t2 Ft-символ некоторого преобразования, зависящего в общем случае от времени.
Реализации (выборочные функции) случайного процесса являются детерминированными функциями.
k k2k ) kk
S ()=F [f (x t 1 , x2 ,..., ,… v (y t 1 , y ,..., ,… ξ(t ),ξ(t ),...] (2)
/>t1 , )
1 , 12 kk k
где y1 , y ,...,ξ(),ξ(),...-реализации соответствующих случайных величин и случайных
2 1t 2kt
процессов (k -номер реализации).
Функции со случайными параметрами являются разновидностями случайных процессов, отличающихся способом их задания. Их иногда называют параметрически заданными
kk
случайными процессами, в отличие от ξ(t ),ξ(t ),… -задаваемых другими способами, например,
12
с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей, и называемых просто случайными процессами.
Параметры y (), y (t ),… -могут быть как непрерывными, так и дискретными случайными
t2
1
величинами. Обычно предполагается, что известны их плотности распределения вероятностей
ω(y1 , y ,...).
2
Преобразование Ftвключает в себя различные операции, осуществляемые, например, при модуляции сигналов или при взаимодействии сигналов и помех (суммирование в случае аддитивной смеси).
Практически любое колебание, наблюдаемое в некоторой точке радиотракта, может быть представлено в форме (1).
Целью моделирования радиосигналов и радиопомех является воспроизведение на ПК случайных процессов вида (1), математически описывающих радиосигналы и радиопомехи.
1. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения
1.1 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения
y
( ()(
Пусть y W ) = z d z w ) -функция распределения вероятностей случайной величины y ,
∫
∞ −
−1 ()−1 ()
а Wx -функция обратная y W
(). Тогда случайная величина y =Wx имеет заданный закон распределения y W
(), если случайная величина x равномерно распределена от 0 до 1.
Пример1.1
Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей закон
распределения Релея:
⎧0 , y 0 ⎪
y
W ()=⎨ y exp ⎜⎛− y ⎞⎟, y ≥
⎪22
⎩σ ⎝σ⎠
yy
⎛z2 ⎞
y W ) =∫z d z w ) =∫σ z2 exp⎜⎛− z2 ⎞⎟dz =−exp⎜⎝−2 σ2 ⎟⎠⎟
( ()(
⎜⎜
⎝ 2 σ2 ⎟⎠
∞ − ∞ −
y
⎛y2 ⎞
=1 −exp⎜⎝−2 σ2 ⎟⎠⎟⎜
0
(Для получения обратной функции W −1 (x )приравняем x =y W )и выразим из полученного
уравнения величину y :
2
(
x =y W ) =1 −exp(− y )
2
2 σ
2
−
exp(− y ) =x 1
2
2 σ
2
( −
− y =x 1 Ln )
2
2 σ
/>2
( −
y =−2 σx 1 Ln )
Так как случайная величина x должна быть распределена равномерно от 0 до 1, то и случайная величина(1-x) будет распределена так же, поэтому окончательно можно записать:
/>⋅ (
y =σ⋅ −x Ln 2 )
К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.1.2 Метод Неймана
Метод используется для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (случайные величины с усеченными законами
w(x)
распределения), а также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными (рис 1.2.1).
Суть метода заключается в выполнении последовательности действий:
из датчика равномерно 0 a b x />распределенных случайных величин независимо выбираются
Рис. 1.2.1. Усеченный закон распределения.
n
/>пары чисел x1n и x2 , из них формируются другие случайные числа по следующим правилам: 1n *) n
=a +( b −x a (1.2.1)
/>1 2n *=wmx2n (1.2.2)
где a, b -границы интервала определения случайной величины, wm -максимальное значение W ()y на интервале определения случайной величины (см. рис.1.2.1) в качестве реализации случайной величины берется число x1n *из тех пар чисел, для которых выполняется условие:
n * (
n *
x2 ≤x w 1 ) (1.2.3) Пары, не удовлетворяющие этому неравенству, выбрасываются, и на шаге n происходит
n
возврат к первому пункту последовательности действий (новая выборка пары чисел x1n и x2 ). n *
Пары случайных чисел x1n *и x2 можно рассматривать как координаты случайных точек на плоскости, равномерно распределенных вдоль осей y и W (y )внутри прямоугольника abcd (рис.1.2.2). Пары, удовлетворяющие неравенству -это координаты точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей внутри той части abcd , которая расположена под кривой./>
a b x Рис. 1.2.2. К методу Неймана.
Пример1.2.1
Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей следующий закон распределения( β-распределение):
()=⎧⎨0, y y >1
Wy
a −⋅
⋅ 1 (1
⎩cx ⋅−x ) b −1, 0 y
Из датчика равномерно распределенных от0 до1 случайных величин независимо выбираем
n
два числа x1n и x2 и производим их преобразование: n * n *
/>x1 =x2 (так как a =0, b =1) 2n *=wmx2n (максимальное значение wmнеобходимо заранее определить или аналитически, или численными методами). Далее проверяем условие:
* n c 1* n ) a −1 * n) 1-b
x2 ⋅ ≤ (x ⋅( 1 −x
1
Если оно выполняется, то в качестве реализации случайной величины с заданным законом распределения на шагеn принимаем значение x1n *, если нет, то остаемся на шаге n и повторяем все с начала. 1.3 Метод кусочной аппроксимации
Пусть требуется получить случайную величину y с функцией плотности W (y ). Предположим, что область возможных значений величин y ограничена интервалом (b a , ), т.е. неограниченное распределение заменим ограниченным (усеченным).
Стр. 5 Разобьем интервал ( ba , ) на n достаточно малых интервалов (a , a ), где
mm + 1 ; 0 ,
m = 0 ,..., n − a1 = aa = b ; таким образом, чтобы распределение заданной случайной величины
n
можно было аппроксимировать каким-нибудь более простым распределением, например, равномерным (рис. 1.3.1)./>
Пусть P -вероятность попадания случайной величины y в каждый из интервалов.
m
Тогда получать реализации y с кусочно-равномерным распределением можно в соответствии со следующей схемой: 1) случайным образом с вероятностью Pmвыбирается интервал (a , a ) ;
mm + 1 k
2) формируется реализация случайной величины ∆ ym равномерно распределенной в
,
интервале ( a0 − a ) ;
m + 1m
3) искомая реализация y получается в виде y = a ∆ + yk
mm
Случайный выбор интервала (a , a ) с вероятностью P означает, по существу,
mm + 1m
моделирование дискретной случайной величины, принимающей n значений a , m = 0 ,...n − 1 с
m
вероятностью P (рис. 1.3.2).
m/>
Рис.1.3.2. Моделирование дискретной случайной величины, 1 принимающей n значений.
Моделирование такой дискретной случайной величины проводится следующим образом. Отрезок прямой от 0 до 1 разбивается на n интервалов длиной Pm = xn + 1 − x каждый. На шаге
n
n берем реализацию случайной величины x равномерно распределенной от 0 до 1, и
n
сравниваем ее с порогами P1, (P + P ), (P + P2 + P ) ,… Если x не превысила порог P1, то
1213 n
реализация искомой случайной величины yn будет находиться в первом интервале. Если x
n
превысила порог P1, но не превысила порог (P + P ), то -во втором и так далее.
12
Пример1.3.1
Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей следующий закон распределения(нормальное распределение с выбросами на концах):
⎧ ⎪ 0 ,
y
+> a
b
⎪ />ε
⎪ a 2 , b W ( y ) =⎨
y
+> a
b />
Разобьем интервал определения случайной величины (− b − a ,+ b + a ) на3 интервала: (− − − ba , b ) , (+ − b , b ) , (+ b ,+ + a ) . Вероятности попадания случайной величины y в крайние
b
интервалы будут одинаковы и равны:
εε
P1 = P3 =⋅ a =
a 2 2
Вероятность попадания в центральный интервал будет равна:
P2 = 1 − P1 − P3 = 1 −ε
На шаге n берем реализацию случайной величины x равномерно распределенной от 0 до 1 и
n
сравниваем ее с порогами P1и (P + P ) . Если x не превысила порог P1, то реализация
12 n
искомой случайной величины на шаге n yn будет находиться в первом интервале. Если x
n
превысила порог P1и не превысила порог (P + P ) , то yn будет находиться во втором
12
интервале. Если x превысила оба порога, то yn будет находиться в третьем интервале.
n
Моделирование случайной величины yn в первом и третьем интервалах производится с
помощью алгоритмов формирования случайных величин с равномерным законом распределения, во втором-с помощью алгоритмов формирования случайных величин с нормальным законом распределения:
1
( b ⋅
y − − = a )+ z a
nn
2
y =σ />⋅ − Ln ()⋅ sin( 2 π⋅ zn )
2z 2
nn
z a
y3 = b ⋅ +
nn
где z-случайная величина с равномерным от 0 до 1 законом распределения
n
1.4 Типовые алгоритмы моделирования случайных величин с наиболее распространенными законами распределения
Для всех законов распределения приводятся их аналитические выражения W (x ) ,
2
статистические характеристики (математические ожидания Mx и дисперсии σ ) и алгоритмы
x
формирования случайных величин.1.4.1 Равномерный закон распределения
⎧ 0 , x a ⎪ 1
x
W (x ) =⎨, a ≤ ≤ b (1.4.1.1)
⎪ b − a ⎩ 0 , x > b
ab −
+
M =; σ x2 =ba (1.4.1.2)
x
2 12
Такое распределение имеют:ошибки квантования по уровню при аналогово-цифровом преобразовании; случайная фаза узкополосного шума.
Исходным материалом для формирования случайных величин с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 случайные числа, которые вырабатываются на компьютерах встроенными датчиками. Так как ошибки моделирования случайных величин с различными законами распределения зависят от качества этих датчиков, то рассмотрим подробнее, как формируются эти случайные последовательности.
Исторически первыми использовались таблицы случайных чисел. Очевидно их неудобство при решении современных задач.
Позднее использовались физические датчики случайных чисел. Для их реализации берется встроенный генератор шума и преобразователь напряжение-код. Такие генераторы используются редко, т.к. в них невозможно воспроизвести выборочную последовательность для повторения расчетов.
В настоящее время в основном используются программно реализованные генераторы псевдослучайных последовательностей. Наибольшее распространение получилмультипликативно-конгруэнтный метод, основанный на использовании рекуррентного соотношения:
x 1n+=( axn ) n m c+ ,mod1≥
(1.4.1.3)1−
2t , где m = -разрядность целых двоичных чисел; c a -целые положительные нечетные числа, на которые накладываются следующие ограничения:
a mod 8 = 5
m
− m5 0 (1.4.1.4)
am .
100 c 11
≈ 211132 0 − ≈ 3
.
m 26
Начальное значение xдля 1.4.1.3 может быть выбрано произвольно. Тогда величина
z = x / m имеет приближенно равномерное распределение.
nn
Достоинством алгоритма является его простота и независимость от типа компьютера. Однако, этот метод требует тщательного подбора параметров, определяющих свойства псевдосл