Визначення характеристик вала з дисками

Курсова робота: Визначення характеристик вала здисками

/>/>/>/>Зміст
Введення
1.Визначення власних частот крутильних коливань вала з дисками
1.1Постановка прямого спектрального завдання Коливання вала з одним диском
1.2Рішення прямого завдання для вала з n-дисками
1.3Коливання вала із трьома дисками
1.4Коливання вала із чотирма дисками
1.5Застосування методу рішення прямого завдання, програмна реалізація рішення
2.Діагностування характеристик вала з дисками по спектрі частот коливань
2.1Постановка зворотної спектральної завдань
2.2Діагностування коефіцієнтів твердості ділянок вала між дисками
2.3Діагностування моментів інерції мас дисків
2.4Застосування методу рішення зворотного завдання, програмна реалізація рішення
Висновок
Списоклітератури

Введення
Діагностування характеристиквала з дисками по спектрі частот його коливань є актуальною у зв'язку знеобхідністю рішень завдань акустичної діагностики технічних конструкцій івіброзахисту механічних систем.
Завдання ж акустичноїдіагностики важливі у зв'язку зі збільшенням техногенних катастроф інебезпеками, пов'язаними зі зношеністю основних фондів. Зі збільшенням розміріві швидкостей сучасних машин в інженерних розрахунках стає усе більше й більшеважливим рішення завдань, пов'язаних з коливаннями. Добре відомо, що тільки наоснові теорії коливань можуть бути повністю з'ясовані такі практично важливіпроблеми, як зрівноважування машин, крутильні коливання валів і зубчастихпередач, коливання турбінних лопаток і турбінних дисків, прецесія обертовихвалів, коливання рейкового шляху й мостів під дією вантажів, що рухаються,коливання фундаментів. Лише за допомогою цієї теорії можна встановити найбільшудалі пропорції конструкцій, що відсувають експлуатаційні умови роботи машинможливо далі від умов виникнення більших коливань.
Інше важливе використаннязавдань визначення характеристик вала з дисками — віброзахист механічнихсистем, у яких є вали з дисками. Коливання валів приводять часом до деренчання,зайвому шуму. Зв'язано це з тим, що спектри частот коливань іноді перебувають унебезпечному для здоров'я людини діапазоні. Для зміни частот коливань вала незавжди буває доцільно міняти його довжину або ж прикріплювати зосереджені маси.Тому виникає завдання визначення таких твердостей ділянок валів на крутінні абомоментів інерції мас дисків, які забезпечували б потрібний діапазон частотколивань вала. Ця проблема пов'язана з науковими завданнями шумозаглушення,акустичної діагностики й теорії зворотних завдань математичної фізики. Рішеннюподібної проблеми й присвячена представлена робота. Пряме завдання повизначенню спектра частот коливань вала з дисками розглянуті в підручниках по теоріїколивань. Але зворотне завдання по діагностуванню характеристик вала з дискамине досліджені.
Завданням технічноїдіагностики присвячена велика кількість робіт. Процеси, що протікають умеханізмах і двигунах, є джерелом шуму. Наука, що вивчає можливостірозпізнавання характеристик елементів механічної системи по його шуму, зветьсявиброакустичною діагностикою. Завдання діагностики можуть бути різними. Уроботі Кузьміна Р.В. [14], наприклад, розглядалися завдання виявлення дефектіву суднових механізмах по шуму, викликуваному пружними коливаннями від зіткненнясполучених деталей. Аналогічні завдання виявлення несправностей вирішені вроботах Бухтиярова И.Д., Алилуєва В.А.[9], але вже для пошуку дефектів вавтотракторних двигунах. У працях Биргера И.А. [8], Артоболевського І.И.,Бобровницкого Ю.И., Генкина М.Д.[1], Павлова Б.В.[16] також вирішувалисязавдання акустичної діагностики механізмів.
Велика кількість робіт здіагностики присвячено не тільки виявленню стану двигуна по його шуму, але йтакож питанням шумозаглушення, це роботи, наприклад, Зинченко В. И.[12], ЛапінаА.Д. [15]. Близькі проблемам діагностики завдання виникали також і в іншихроботах. Так у роботі Kас М.[26] ставилося питання: чи можна по звучаннюбарабана встановити його форму? Стаття W. U. Qunli і F. Fricke [27] присвяченавизначенню розміру об'єкта і його положення в камері по зрушеннях власнихчастот його коливань, а стаття Васильєва Н.А., Дворникова С.І. [10] — способувиявлення шпал, що втратили щільний контакт із баластом насипу, за допомогоюударного порушення коливань і аналізу акустичних сигналів. У роботах Frikha S.,Coffignal G., Trolle J.L.[24, 25] досліджувалися умови на вході й виходівихлопних труб і трубопровідних систем, у працях Аксьонова А.Л., Тукмакова И.Б.[21,22] — завдання ідентифікації об'єктів по їхньому акустичному відгуку.Завдання акустичної діагностики закріплень по одному спектрі для струн,мембран, стрижнів, пластин розглядалися А.М. Ахтямовим [2-6, 23], а Г.Ф.Сафиной [18-20] — для порожніх труб і трубопроводів з рідиною. На відміну відвсіх робіт з діагностики, у представленій роботі відшукуються не форма області,розміри об'єкта, його місце розташування або стан, а коефіцієнти пружнихзакріплень і моменти інерції мас дисків. Таке завдання для вала з дискамиставляться вперше.
Метою наукової праці єзнаходження власних частот крутильних коливань вала з дисками й діагностуванняпо спектрі частот моментів інерції мас дисків і твердості ділянок вала накрутінні. У відповідність із метою були поставлені й вирішені завдання:
дослідження завданнявизначення власних частот крутильних коливань вала з різною кількістю дисків(із двома, трьома, чотирма, n- дисками) по відомих моментах інерції мас дисківі твердості ділянок вала на крутінні;
дослідження завдання діагностуваннямоментів інерції мас дисків по власних частотах коливань вала;
дослідження завданнядіагностування твердості ділянок вала на крутінні по власних частотах коливаньвала.
розробка математичнихмоделей рішення поставлених завдань; аналітичне й чисельне дослідження моделей.
Наукова новизна отриманихрезультатів полягає в тому, що вперше досліджені й вирішені завданнядіагностування по спектрі частот коливань вала з дисками таких характеристик,як моменти інерції мас дисків і твердості ділянок вала на крутінні.
Практична значимістьрезультатів полягає в тому, що розроблені методи рішення завдань ставляться доакустичної діагностики недоступних для візуального огляду елементів механічнихсистем і технічних конструкцій, у яких є вали з дисками. Оскільки зміни величинкоефіцієнтів твердості ділянок вала або моментів інерції дисків можутьхарактеризувати ступінь зношеності, несправності й т.п., те отримані результатиза рішенням зворотних завдань застосовні для діагностування зазначениххарактеристик вала з дисками без дорогого розбирання всієї механічної системи
Отримані результати можнатакож використовувати для збереження заданого діапазону частот коливань вала здисками. У роботі запропоноване збереження діапазону частот за допомогою змінзначень моментів інерції мас дисків або коефіцієнтів твердості ділянок вала накрутінні.
Перший розділ роботиприсвячений прямому завданню визначення власних частот крутильних коливань валаз дисками по відомих моментах інерції мас дисків і коефіцієнтів твердостіділянок вала на крутінні. Рішення зводиться до системи n — звичайних рівняньщодо невідомих власних частот крутильних коливань вала. Із цієї системиотримані частотні рівняння для вала із двома, трьома, чотирма дисками. Зробленовідповідні обчислення, складена програма в математичному пакеті Maple.
У другому розділі наведенапостановка зворотного спектрального завдання діагностування характеристик валаз дисками по спектрі частот його коливань. Алгоритм діагностування зведений дорішення систем алгебраїчних рівнянь. Розглянуто діагностування моментів інерціїмас дисків по власних частотах коливань вала. Завдання вирішене для вала ізтрьома, чотирма дисками. У цій же главі діагностуються коефіцієнти твердостейділянок вала при крутінні між дисками. Для рішення зворотних завдань складеніпрограми в математичному пакеті Maple.
На закінчення роботизроблені виводи за отриманими результатами рішень прямих і зворотних завдань. />Проаналізовано практичнузначимість отриманих результатів діагностування.
/>/>/>/> 

1. Визначення власних частот крутильних коливань вала здисками
/>/>/>/>1.1 Постановка прямого спектрального завдання Коливання вала з одним диском
Пряме завдання: Визначитивласні частоти крутильних коливань вала, що складає з п (п =1, 2, 3, 4,...)дисків з відомими моментами інерції мас, укріплених на сталевому валу звідомими твердостями.
Розгляд крутильних коливаньпочнемо з найпростішого випадку круглого вала постійного перетину, що несе навільному кінці диск, верхній кінець вала забитий (мал. 1).
Нехай у силу яких-небудьпричин диск (маховик), зображений на кресленні, одержав у площині обертання,який є площина, перпендикулярна кресленню, переміщення на кут />. На той же кутповернеться й жорстко пов'язаний з диском вал. Представлена самої собі такасистема буде робити коливання, підтримувані силами пружності вала, що полягаютьу повторних обертових рухах.
/>
Мал. 1 Вал з одним диском
Відомо, що коливання, щопредставляють ряд повторних обертальних переміщень від положення рівноваги,називаються коливаннями крутіння або, крутильними. Установимовеличину навантаження, що викликає одиницю статичної деформації вала. Статичноюдеформацією вала в цьому випадку буде кут закручування, обумовлений по відомійформулі опору матеріалів

/> (1.0)/>
де М — крутний момент;
-/>довжина вала;
Ip — полярний момент інерції вала;
/>
/>— модуль дотичної пружності.
Навантаженням, що викликаєодиницю статичної деформації, тобто кут закручування, рівний одному радіану,буде з формули (1.0) деякий момент; будемо позначати цей момент буквою k іназивати твердістю вала на крутіння.
/> (1.1)
Якщо вал повернеться на кут />, то в ньомувиникне момент внутрішніх сил пружності, рівний
/> (1.1а)
Цей момент за принципомДаламбера повинен бути дорівнює моменту сил інерції диска. (Масою вала мизневажаємо.) Якщо кутове прискорення позначити

/>
і момент інерції диска щодопоздовжньої вертикальної осі вала
/>,
де Q — вага диска, D-Йогодіаметр, g- прискорення сили ваги.
У випадку кільцевого диска(шків, колесо)
/>
те момент сил інерції дискабуде дорівнює
/> (1.1b)
Рівняння руху тоді буде мативигляд:
/>
Звільняючись від коефіцієнтапри диференціалі
/>
і позначаючи

/> (1.2)
одержимо
/> (1.3)
Рішення цього рівняння можебути представлене у вигляді:
/> (1.4)
за аналогією одержуємо:
/> (1.5)
Очевидно, що ми в цьомувипадку одержали просте гармонійне коливання.
Кругова частота цьогоколивання (рівна кутової швидкості) буде
/> (1.2а)
і період коливання
/> (1.6)

Формули (1.2а) і (1.6)справедливі в остаточному виді тільки для суцільного диска постійної товщини, увипадку якого-небудь іншого диска частоту й період варто визначати по формулах:
/> (1.2/>)
/>. (1./>)
Обчислюємо в них відповідниймомент інерції диска по формулах теоретичної механіки.
Розглянемо тепер випадокколивань вала з диском (мал. 1), з урахуванням маси вала. Крім полярногомоменту інерції перетину вала, скористаємося вираженням для екваторіальногомоменту інерції (маси) вала, відомим з теоретичної механіки.
/>
де I0 —екваторіальний момент інерції,
W — власна вага вала,
r — радіус вала.
Якщо вага одиниці об'ємувала, тобто його питома вага, позначити/>, то I0 для круглоговала можна представити у вигляді:
/> (2.b)
і екваторіальний моментодиниці довжини вала

/> (2.c)
Для рішення вартої переднами завдання зручніше за все скористатися рівняннями руху Лагранжа, тому,насамперед, знайдемо кінетичну й потенційну енергію нашої системи.
Кінетична енергія системибуде складатися з кінетичної енергії диска й кінетичної енергії вала. Кінетичнаенергія диска
/>
Для знаходження кінетичноїЕнергії вала спочатку знайдемо кінетичну енергію елемента його dc. Якщо кутзакручування в перетині з позначити/>, то кінетична енергія елемента dcбуде
/>
тому що якщо /> — момент інерціїодиниці довжини, то I0'dc момент інерції елемента dc.
Знайдемо залежність міжкутом закручування в перетині з-с-/>і в перетині />
/> і />
Звідки

/>
/>
/>
Підставляючи отримане значення/> увираження кінетичної енергії елемента dc, одержимо:
/>
Повну кінетичну енергію валазнайдемо інтегруванням:
/>
/>
Або заміняючи на основіформул (b) і (с) на /> одержимо остаточно:
/>
Повна кінетична енергіясистеми
коливання вад диск спектральний

/>
Потенційна енергія системи
/>
де M — крутний момент,прикладений до вала. Для крутний моменту маємо вираження:
/> (1.1а)
Підставляючи це значення увираження для потенційної енергії, одержимо:
/> (2.1)
Тепер можемо скластидиференціальне рівняння коливального руху нашого вала, що зручніше за всезробити у формі Лагранжа. У нашім випадку за узагальнену координату необхідноприйняти кут закручування />, тоді рівняння Лагранжа приймевид:
/>
у цьому рівнянні />
Знаходимо значення частокпохідних, що входять у це рівняння:
/> /> />
/>
Підставимо отримані значенняв рівняння Лагранжа
/>
Звільняючись від коефіцієнтапри диференціалі й думаючи
/>
одержимо
/>
відоме нам рівняння (1.3),рішення якого
/>.
Частота цього коливальногоруху

/>
І період
/> (2.2)
Отже, для обліку власноїмаси вала, що має коливання, необхідно до моменту інерції диска, що сидить навалу, додати одну третину моменту інерції вала.
Розглянемо випадок вала, щолежить у двох підшипниках (вплив яких на коливання ми, у виді незначності, невраховуємо), що несе на кінцях два диски (маховика, шківа й т.д.) (малюнок 2).
/>
Мал. 2 Вал із двома дисками
Вал буде випробовуватикрутильні коливання тільки за умови обертання дисків у різні сторони, що можебути досягнуто додатком до дисків двох рівних і прямо протилежних моментів.Після видалення моментів у системі, що складається з вала й двох; дисків,виникнуть крутильні коливання. У кожний момент часу кутові швидкості дисківбудуть спрямовані протилежно один одному. Лівий диск і деяка частина вала, щопримикає до нього, буде обертатися, допустимо, за годинниковою стрілкою, аправий диск і його частина вала проти годинникової стрілки. У такому випадку навалу обов'язково повинне бути перетин, у якому немає ніякого обертання. Валможна розглядати як жорстко забитий у перетині, причому, у нашім прикладі, лівачастина обертається по вартовий і права проти годинникової стрілки.
Перетин, що залишається підчас коливання системи нерухливим, називається вузлом коливання.
Періоди коливань однаковідля обох частин того самого вала можуть бути знайдені з формули (1.6),
/> (2.3)
Завдання, таким чином,зводиться до визначення розташування вузла коливань по довжині вала, тобтодовжин l1 і l2. Рівняння (2.3) показує, що вузолколивання ділить вал назад пропорційно моментам інерції дисків, тобто
/> або />
Друге рівняння длявизначення положення вузла коливань буде
/>
З рівнянь одержимо
/> і />

і період коливання приймевид
/> (2.4)
частота коливань буде:
/> (2.5)
Для вивчення випадківколивання валів з більшим числом дисків, чим два, зручніше на відміну відвищенаведених випадків вала з однієї й двома масами знайти рівняння руху вала здовільною кількістю мас і потім застосовувати його для будь-якої часткивипадку.
/>/>/>/>1.2 Рішення прямого завдання для вала з n-дисками
Розглянемо вал, що неседисків. Нехай кути закручування вала в місцях насадки диска будуть відповідно /> Твердості I,II,..., n-1 ділянок вала, тобто на основі позначення (1.1) моменти, які можутьвикликати кут закручування даної ділянки рівний одному радіану, позначимо: k1,k2,…,kп-1. Моменти інерції дисків як і раніше позначимо I1,I2,..,In.Для одержання рівняння коливального руху розглянутої нами системи застосуєморівняння Лагранжа, при користуванні якими необхідно знати вираження длякінетичної й потенційної енергії системи. Кінетична енергія диска, що маємомент інерції I і кут закручування />, виражається формулою

/>
Кінетична енергія нашоїсистеми складається із суми кінетичної енергії всіх дисків (кінетичну енергіювала ми отут не враховуємо, уважаючи момент інерції диска більшим у порівнянніз моментом інерції вала).
Кінетична енергія всієїсистеми
/> (2.6)
Для знаходження потенційноїенергії системи, що є в цьому випадку енергією крутіння, необхіднокористуватися формулою
/>,
де М — крутний момент, щодіє на даній ділянці, а /> - кут закручування тієї жділянки. Знайдемо крутний момент і кут закручування для першої ділянки нашоїсистеми.
Якщо в місці насадки першогодиска кут закручування />, а в місці насадки другого диска— />2,то кут закручування на ділянці вала між дисками буде:
/> (2.7)
Для того щоб викликати кутзакручування першої ділянки вала завбільшки I радіан, необхідно прикластикрутний момент величини k1, якщо ж, як у нашім випадку кутзакручування має />1-/>2 радіан, тона валу діє крутний момент величини
/>
У нашім випадку кутизакручування для ділянок вала будуть:
/> (2.8)
і крутний моменти:
/> (2.9)
Тепер можемо скластивираження для потенційної енергії системи, підсумовуючи потенційну енергіюділянок.
/> (2.10)

(тому що /> те, підставляючизначення />1з (2.8) і M1 з (2.9) і аналогічно для інших ділянок одержимо формулу(2.10)).
У цьому випадку система маєп ступенів волі, чому відповідає п узагальнених координат. Узагальненимикоординатами є кути закручування вала в місцях насадки дисків. РівнянняЛагранжа, мабуть, прийде скласти по числу ступенів волі, тобто також п. Длякористування рівнянням Лагранжа у вигляді
/> (2.11)
необхідно знайти часткипохідні від кінетичної й потенційної енергії системи, по узагальненихкоординатах /> і частки похідні від кінетичноїенергії по диференціалах узагальнених координат:
/> />/>
Диференціюючи рівняння (2.6)знайдемо:
/>; />/>
і диференціюючи рівняння(2.10)

/>; />;
/>;……;/>
Диференціюючи рівняння (2.6)по /> одержимо:
/> />/>
Отримані рівняння необхідно диференціюватиза часом
/> />/>
Маючи у своєму розпорядженнізнайденими вище величини, можемо скласти систему диференціальних рівнянь руху розглянутоїсистеми.
/> (2.12)

Для рішення отриманоїсистеми диференціальних рівнянь думаємо, що кожний коливальний рух системи (їхбуде стільки ж, скільки й ступенів волі, тобто п) буде простим гармонійним.Приватні рішення системи (2.12), можна представити у вигляді:
/> . (2.13)
У цих рівняннях як і раніше Мамплітуда коливання, і р частота. Знаходимо другу похідну від /> за часом:
/> />.
Аналогічно,
/>/>
Підставляючи значення /> й /> у рівняннясистеми (2.12), одержимо систему звичайних рівнянь із багатьма невідомими длявизначення частоти коливання р.

/>
/>
/>
/>
Скорочуючи в даних рівнянняхна /> одержимоостаточно
/> (2.14)
Послідовно крім невідомого />, одержиморівняння для визначення частоти р. Рівняння для визначення частоти власнихколивань, отримане в результаті виключення /> з рівнянь (2.14), називаєтьсяхарактеристичним. Рівняння (2.14) можуть бути застосовані для визначення числавласних крутильних коливань системи з довільним числом дисків. У тих випадках,що коли вийшло характеристичне рівняння має високий ступінь відносно р2(що буває при системі з багатьма дисками), воно може бути вирішене графічно абояким-небудь наближеним методом.
/>/>/>/>1.3 Коливання вала із трьома дисками
Розглянемо коливання вала ізтрьома дисками (мал. 3). Тут I1, I2 ,I3 моментиінерції дисків, k1 і k2 твердості ділянок вала накрутінні, за аналогією з формулою (1.1) рівні:

/> і />
/>
Мал. 3 Вал із трьома дисками
Якщо амплітуди коливаньдисків позначити /> то рівняння (2.14) для даноговипадку приймуть вид:
/>. (2.15)
Складаючи ці рівнянняодержимо
/>
звідки
/>,
/>.
Квадрат частоти коливань р2нулю дорівнює бути не може, тому:

/>. (2.16)
Виразимо М1 і М3через М2, що може бути зроблене з рівняння (2.15)
/>
Підставимо отримані значенняМ1 і М3 у рівняння (2.16)
/>
Скорочуючи на М2 іприводячи до загального знаменника одержимо:
/>
/>
Робимо угруповання
/>
Звільняючись від коефіцієнтапри р4 і роблячи перетворення в круглих дужках одержимо остаточно:
/> (2.17)

Одержали біквадратнерівняння для визначення частоти. Корінь цього рівняння /> й /> відповідають двом головним видамколивань: нижчому, що має один вузол коливань (два сусідніх диски обертаються водну сторону), і вищому, що має два вузли коливання (крайні диски обертаються водну сторону).
/>/>/>/>1.4 Коливання вала із чотирма дисками
Розглянемо крутильніколивання вала із чотирма дисками. Нехай I1, I2 ,I3,,I4— моменти інерції дисків, k1,k2,,k3 — твердості ділянок вала на основі формули (1.1)рівні:
/>; />;/>
Амплітуди коливань дисківпозначимо як і раніше: М1, М2,, М3,, М4.
Тоді рівняння (2.14) дляданого випадку приймуть вид:
/> (2.18)
Складаючи отримані рівняннязнайдемо:
/>
З огляду на подібні доданки,одержимо

/>
/>
Квадрат частоти — р2нулю не дорівнює, отже:
/> (2.19)
Виразимо М1, М3і М4 через М2, що може бути зроблене за допомогою рівнянь(2.18).
За допомогою першогорівняння з (2.18) знайдемо:
/> (2.а)
Із другого рівняннянижченаведеними діями знайдемо:
/>,
або підставляючи замість М1його значення з (2.а)
/>,
/>,
/>,
/>. (2.d)

З рівняння четвертогознайдемо
/>
Підставивши значення М3з (2.d)
/> (2.е)
Знайдені значення М1,М3 і М4 підставимо в рівняння (2.19)
/>
/>
Скорочуємо отримане рівнянняна М2 і приводимо ліву частину рівняння до загального знаменника, щоі відкидаємо. Загальним знаменником, мабуть, буде вираження:
/>
/>
/>
/>
/>
Робимо угруповання

/>
/>
/>
/>
Звільняючись від коефіцієнтапри р6, приведемо наше рівняння до виду:
/>
/>/>/>/>/>
/> (2.20)
Таким чином, були розглянутіформули для знаходження власних частот коливання вала з різною кількістюдисків. Визначивши частоти, можна розрахувати критичні швидкості прямих валів,а, знаючи ці швидкості можна попередити надходження різного роду порушеннянормального ходу машини, які звичайно виражаються в появі биттів вала абовібрації всієї установки в цілому.

/>/>/>/>1.5 Застосування методу рішення прямого завдання, програмна реалізація рішення
Розглянемо застосуванняметоду рішення прямого завдання по визначенню власних частот крутильнихколивань вала з дисками на конкретних прикладах.
Приклад 1
Визначити власні частотисистеми, що складає із трьох дисків з моментами інерції мас: /> /> />, укріплених насталевому валу з жестокостями /> й />.
При підстановці данихзначень у рівняння (2.17) одержуємо біквадратне рівняння:
р4-3.5p2+2.0=0.
Корінь даного рівняння,знайдені в пакеті Maple, мають вигляд:
p1=-1.667566013,p2=1.667566013, p3=-0.8480705122, p4=0.8480705122
Аленас цікавлять тільки позитивні величини, тому що частоти негативні значенняприймати не можуть.
Приклад 2
Визначити власні частотисистеми, що складає із трьох дисків з моментами інерції мас: /> /> />, укріплених насталевому валу з жестокостями /> й />.
При даних значеннях фізичнихвеличин рішення рівняння (2.17) має вигляд:
p1=-1,370821968,p2=-0,7879385321, p3=1,370821968, p4=0,7879385321
Приклад 3
Визначити власні частотисистеми, що складає із чотирьох дисків з моментами інерції мас: /> /> />, />укріплених на сталевомувалу з жестокостями />, /> і />.
При даних значеннях фізичнихвеличин рішення рівняння (2.20) має вигляд:
p1=-2,417091066,p2=-1,581138830, p3=2,417091066, p4=1,581138830
Приведемо програмнуреалізацію рішення прямого спектрального завдання, що використовує командиматематичного пакета MAPLE
Рішення приклада 1:
> I1:=0.2;
/>
> I2:=0.3;
/>
> I3:=0.1;
/>
> k1:=0.1;
/>
> k2:=0.2;
/>
>y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
/>
Підставимо дані значення врівняння (2.17)
>y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
/>
> solve(y,p);
/>
Рішення приклада 3:
> restart;
> i1:=0.2;
/>
> i3:=0.3;
/>
> i2:=0.1;
/>
> i4:=0.2;
/>
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
/>
/>
> k3:=0.3;
/>
Підставимо дані значення врівняння (2.20)
>y:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>
> fsolve(y,p);
/>

/>/>/>/>2. Діагностування характеристик вала з дисками по спектрі частот коливань
/>/>/>/>2.1 Постановка зворотної спектральної завдань
Поставимо тепер до завданнявизначення частот крутильних коливань вала з дисками зворотне спектральнезавдання.
Оскільки зміни величинмоментів інерції мас дисків і коефіцієнтів твердості ділянок вала на крутінніможуть характеризувати ступінь зношеності дисків, налипання до вала сторонніхпредметів і так далі, те зворотне завдання полягає в діагностуванні характеристиквала з дисками по власних частотах коливань вала. Відомо, що зміни зазначенихзначень характеристик вала проявляються в змінах значень власних частот йогоколивань, що у свою чергу може привести до непотрібних вібрацій, збільшеннюшуму й т.п.
Тому виникає також завданнязбереження заданого (безпечного) діапазону частот крутильних коливань вала.Подібну проблему ми пропонуємо вирішити також при розгляді зворотного завдання.
Отже, відомі власні частотир крутильних коливань вала з дисками. Необхідно визначити характеристики вала здисками по спектрі частот його коливань. До характеристик ми віднесемо моментиінерції мас дисків і коефіцієнти твердості ділянок вала на крутінні.
Зупинимося на діагностуванніцих характеристик докладніше.
/>/>/>/>2.2 Діагностування коефіцієнтів твердості ділянок вала між дисками
При дослідженні завдання проколивання вала із трьома дисками отримане наступне частотне рівняння (2.17):

/>
Тут, як і раніше, k1,k2. – коефіцієнти твердості ділянок вала між дисками, р.–власна частота крутильних коливань вала, I1, I2, I3…– моменти інерції мас трьох дисків відповідно.
Зворотне завдання: Відомівласні частоти коливань вала, моменти інерції дисків. Невідомі коефіцієнтитвердості ділянок вала між дисками.
Перетворимо рівняння (2.17)до виду
/>.
Якщо розглянути дві власнічастоти р1 і р2, то останні рівняння являють собоюсистему алгебраїчних рівнянь із двома невідомими k1, k2 .
/> (3.1)
Віднімаючи з першогорівняння системи (3.1) друге, одержимо
/>.
Розділимо обидві частиниостанньої рівності на />:
/>
Виразимо />:

/>, (3.2)
і підставимо його в першерівняння системи (3.1):
/>
Перетворимо останню рівністьдо виду:
/>
Вирішуючи останнє рівняннявідносно />,одержимо
/>, (3.3)
де />
Таким чином, формули (3.2) і(3.3) однозначно визначають коефіцієнти твердості ділянок вала на крутінні длявала із трьома дисками.
Поставимо тепер подібнезворотне завдання для вала із чотирма дисками, частотне рівняння для крутильнихколивань якого має вигляд (2.20):

/>
Тут, знову, k1, k2.k3 – коефіцієнти твердості ділянок вала між дисками, р.–власна частота крутильних коливань вала, I1, I2, I3,I4. — моменти інерції мас чотирьох дисків.
Зворотне завдання: Відомі власнічастоти коливань вала, моменти інерції дисків. Невідомі коефіцієнти твердостіділянок вала між дисками.
Розглянемо знову дві власнічастоти р1 і р2 крутильних коливань вала, тоді рівняння(2.20) являють собою систему алгебраїчних рівнянь із двома невідомими k1,k2 при відомому коефіцієнті k3. Обчислення, проведені впакеті MAPLE, показують, що із системи (3.4) можна однозначно визначитикоефіцієнти твердості двох будь-яких ділянок вала між дисками при відомомукоефіцієнті твердості одного із трьох ділянок. Причому всі ці коефіцієнтипружних закріплень визначаються по двох власних частотах крутильних коливаньвала.
/>

/>/>/>/>2.3 Діагностування моментів інерції мас дисків
Розглянемо знову частотнерівняння (2.17), отримане для обчислення частот крутильних коливань вала ізтрьома дисками.
Зворотне завдання. Нехайвідомі власні частоти р коливань вала, коефіцієнти твердості k1, k2ділянок вала між дисками. Необхідно визначити невідомі моменти інерціїмас двох дисків при відомому моменті інерції третього диска.
Нехай, наприклад, відомиймомент інерції другого диска. Тоді, якщо розглянути знову дві власні частоти р1і р2 коливань вала, то рівняння (2.17) являють собою системуалгебраїчних рівнянь із двома невідомими I1, I3.
/> (3.5)
Підставляючи вираження /> із другогорівняння системи (3.5) у перше рівняння, одержимо
/>.
З останньої рівностівиразимо /> через/>:

/> (3.6)
/>.
Підставимо тепер вираження(3.6) у перше рівняння системи (3.5). Після перетворень маємо
/> (3.7)
де />.
Вирішуючи рівняння (3.7)щодо невідомої />, одержимо квадратне рівняння
/>
дискримінант якого маєвигляд
/>.
/>. (3.8)
Таким чином, моменти інерціїмас двох дисків перебувають однозначно по формулах (3.7) і (3.8). Подібніформули можна одержати для моментів інерції будь-яких двох дисків при відомомумоменті інерції одного із трьох дисків.
Аналогічне завданнядіагностування розв'язуване й для вала із чотирма дисками, частотне рівнянняякого отримане нами у вигляді (2.20).
Обчислення, проведені впакеті MAPLE, показують, що із системи (3.4) можна однозначно визначитикоефіцієнти твердості двох будь-яких ділянок вала між дисками при відомомукоефіцієнті твердості одного із трьох ділянок. Причому всі ці коефіцієнтипружних закріплень визначаються по двох власних частотах крутильних коливаньвала.
/>/>/>/>2.4 Застосування методу рішення зворотного завдання, програмна реалізаціярішення
Розглянемо застосуванняметоду рішення зворотного завдання по визначенню характеристик вала з дискамина конкретних прикладах.
Приклад 4
Відомі власні частотикрутильних коливань вала із трьома дисками: />, />. Момент інерції маси першогодиска /> коефіцієнтитвердості ділянок вала між дисками />, />.Знайти моменти інерції масдругого й третього дисків.
Рішення.
Підставляючи значення />, /> у рівняння(2.20), одержимо систему двох рівнянь із двома невідомими />. Рішення системи,знайдене в пакеті Maple, має вигляд: /> />. Значення /> визначені вірно, томущо за рішенням прямого завдання саме цим моментам інерції відповідають данізначення власних частот.
Приклад 5
По двох власних частотах />, /> крутильнихколивань вала із трьома дисками й відомими моментами інерції /> /> /> діагностуватикоефіцієнти твердості ділянок вала на крутінні.
Рішення
Рівняння (2.17) при заданихзначеннях />,/> являєсобою наступну систему:
/>
з якої одержуємо, що />, />. Цього жзначення коефіцієнтів виходять при підстановці значень власних частот ваналітичні формули (3.2) і (3.3). Коефіцієнти вірни, тому що саме цимкоефіцієнтам при рішенні прямого завдання відповідали задані значення власнихчастот.
Приклад 6
Розглядається вал із чотирмадисками, для якого відомі />/>, />,/>. По частотах /> визначити моментиінерції мас перших трьох дисків.
Рішення
Підставляючи значення /> в рівняння(2.20), одержимо систему трьох рівнянь із трьома невідомими />. Рішення системи маєвигляд /> /> />.Значення /> визначенівірно, тому що за рішенням прямого завдання саме цим моментам інерціївідповідають дані значення власних частот.
Розглянемо програмніреалізації рішень зворотних завдань.
Рішення приклада 4
> restart;
> i1:=0.2;
/>
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
/>
/>
> p:=.8480705122;
/>
> p:=1.667566013;
/>
> p:=-1.667566013;
/>
> t1:=.5172825777-.7192235937e-1*(i1+i2)/i1/i2-.1438447187*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
/>
> t2:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3= 0;
/>
> t3:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3= 0;
/>
> solve({t1,t2,t3},{i2,i3});
/>
Рішення приклада 5
> restart;
> i1:=0.2;
/>
> i2:=0.3;
/>
> i3:=0.1;
/>
> p:=.8480705122;
/>
> p:=1.667566013;
/>
>t1:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
/>
>t2:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
/>
> solve({t1,t2},{k1,k2});
/>
Рішення приклада 6
> restart;
> i4:=0.2;
/>
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
/>
/>
> k3:=0.3;
/>
> p:=1.581138830;
/>
> p:=2.417091066;
/>
> p:=-1.581138830;
/>
>t1:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>/>
>t2:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>/>
>t3:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>/>
>solve({t1,t2,t3},{i1,i2,i3});
/>
/>/>/>/> 

Висновок
У роботі досліджені йвирішені завдання визначення власних частот крутильних коливань вала з дискамипо відомих моментах інерції мас дисків і коефіцієнтів твердості ділянок вала накрутінні. Рішення зведене до системи n звичайних рівнянь щодо невідомих власнихчастот крутильних коливань вала. Із цієї системи отримані частотні рівняння длявала із двома, трьома, чотирма дисками. Зроблено відповідні обчислення,складена програма в математичному пакеті Maple.
Уперше наведена постановказворотного спектрального завдання діагностування характеристик вала з дискамипо спектрі частот його коливань. Алгоритм діагностування зводиться до рішеннясистем алгебраїчних рівнянь. Розглянуто діагностування моментів інерції масдисків по власних частотах коливань вала. Завдання вирішене для вала із трьома,чотирма дисками. Ці характеристики однозначно визначаються для двох дисків валаіз трьома дисками при відомому моменті інерції маси третього диска. Показано,що для вала із трьома дисками достатнє знання двох власних частот коливаньвала. Причому, чисельні рішення показують можливість визначення моментівінерції мас будь-яких двох дисків (при відомому моменті третього диска),незалежно від їхнього взаємного розташування.
Аналогічне завдання вирішенедля вала із чотирма дисками.
Діагностуються такожкоефіцієнти твердості ділянок вала при крутінні між дисками. Для вала із трьомадисками коефіцієнти твердості відновлюються по двох власних частотах. Длярішення зворотних завдань складені програми в математичному пакеті Maple. Отримані результати зворотних завдань підтверджуютьсправедливість рішень прямих завдань.
/>/>/>/> 

Список літератури
1. Введенняв акустичну динаміку машин./ І.І. Артоболевський [і ін]. – К., 2004
2. АхатовІ.Ш., Ахтямов О.М. Визначення виду закріплення стрижня по власних частотах йогоколивань // Прикладна математика й механіка. – К., 2001.
3. Ахтямов,О.М. Діагностування закріплення кільцевої пластини по власних частотах їїколивань. – К., 2005
4. Ахтямов,О.М. До одиничності рішення одного зворотного спектрального завдання / О.М.Ахтямов // Диференціальні рівняння. — 2003. — №8. — C. 1011-1015.
5. Ахтямов,О.М. Розпізнавання закріплення кільцевої мембрани по власних частотах їїколивань / О.М. Ахтямов // Звістки РАЕН. Серія МММИУ. Т.5. -2001. — №3. — C.103-110.
6. Бабаков,І.В. Теорія коливань /І.В. Бабаков –К., 2004.
7. Биргер,І.А. Технічна діагностика /І.А. Биргер – К., 2003
8. Васильєв,Н.О. Експериментальні дослідження коливальних характеристик залізничних шпал/Н.О.Васильєв// Акустичний журнал. — 2000. — №3. — C. 424-426.
9. Вібраціїв техніку: Довідник. Т.1. Коливання лінійних систем. – К., 2003
10. Зниженняшуму на судах. / В.І. Зинченко. – К., 2006
11. Коллатц.Л. Завдання на власні значення (з технічними додатками):. – К., 2006
12. КузьмінР.В. Дифектація суднових механізмів. – К., 2005
13. Лапін,А.Д. Резонансний поглинач хвиль у стрижнях і пластинах /А.Д.Лапін// Акустичнийжурнал. — 2002. — №2. — C. 277-280.
14. Павлов,Б.В. Акустична діагностика механізмів /Б.В.Павлов – К., 2005