Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”
на
тему:
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В.Л.
Руководитель: профессор
Хабаров В.С.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.
“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела — шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой — это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система
.
x=Ax+bx, s=c’x, (1)
где x и s — в общем случае векторы (и, следовательно, b и с — прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим, что для некоторого m, £ m £
система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива.
Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М() нелинейностей x=j(s,t), удовлетворяющих условию
/>£j(s,t)/s£ (2)
достаточно, чтобы при всех w, -¥
Re{[1+/>w)][1+W(jw)]}>0. (3)
Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x,s)=(s-x)(x-s). Действительно, как было показано выше, форма F(jw,x) имеет вид
F(jw,x)=-Re{[1+W(jw)][1+W(jw)]}|x|
Из этой формулы после сокращения на |x| следует (3).
В (3) />¹-¥ , ¹+¥. Случай, когда либо =-¥, либо =+¥ рассматривается аналогично.
Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(jw).
Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:
Re[(1+/>z)(1+z/>)]£0, если ¹-¥ , ¹+¥. (4)
Re[(1+/>z)z]£0, если ¹-¥ , ¹+¥. (5)
Re[z(1+/>z)]£0, если ¹-¥ , ¹+¥. (6)
Пусть С(/>) — облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В(/>) области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/, -1//>сцентром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если />>0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор (/>) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если />=0 или =0, то область С будет полуплоскостью, а ее граница — вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1//>. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов (/>) в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости: кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству
(/>s-x)(x-s)³0 (7)
/>
Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> А Х Y У />(P) Z
/> (-)
/>/> G(p) g />
Рисунок 2.
Здесь W/>(p) — оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид: />
W/>(p)=;
/> (8)
/> W(p)=;
Алгоритм регулятора имеет вид:
y=Y/>x,
/>/>/>/>
/>/> при gx>0
/> Y= (9)
/> — при gx
g=(/>
В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:
/>/>
/>=, />
/>/> =-/>, (10)
/>/>/>/>
k/>при g>0
где />=
— k/>при g
g=c/>+; />=.
Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при
W/>(p)= в уравнениях (10) имеем:
/> (11)
а при W(p)=/> имеем:
/> (12)
Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение
/> (13)
В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами — /> и G(p) или в виде формы Коши (10).
Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.
/>|x|=c
/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> l g y z
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> (-) x G(p) W(p) />
Рисунок 3.
Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда |x| — var.
Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех w, изменяющихся от — ¥ до + ¥, выполнялось соотношение:
Re{[1+/>w)][1+W(jw)]}>0,
а гадографmW(jw)+1 при /> соответствовал критерию Найквиста.
Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде
(4) и (5).
На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М() и годографы W(jw), расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.
/>/> y ^ /> />
y=/>g () />
/> |x| y=/>g (при =0) />
/>/>/> >
/> 0
“а” “б” /> />
“в” “г”
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W/>(p)=, когда
W(p)= W/>(p)G(p), G(p)=p+1,
годограф W(jw) системы на рис. 5.
/> j
W(jw)
w=¥ />
/>> />
/>=
w=0
Рисунок 5.
В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в, г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при
/>> (14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову
а > 0, y(t) > 0
и
a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование
y(t) > 0 (15)
поскольку, согласно (11) и (13) a=a/>=.
Докажем это, используя условия существования скользящего режима
-/>k£y(t)=c/>k
т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а, с, и k их выражения через
/>,, />, тогда получим
-/>£/>y(t)= £/> (16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при /> =, y(t)=0
2) при /> >, y(t)>0
3) при />
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.
/>|x|=c
/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> l g s z
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> (-) x G(p) />(p) />
/>/> />
Рисунок 6.
В данном случае считаем что:
/> - варьируемая величина,
/>=0.5,
/>=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),
/>=0.1,1 (коэффициент обратной связи),
/>=10,100.
Рассмотрим теперь саму функцию:
W(p)=G(p)W/>(p),
где G(p) — функция корректора, W/>(p)= (p)W/>(p), где
/>(p)=, а W/>(p) в свою очередь будет:
W/>(p)=,
где />, соответственно вся функция имеет вид:
W(p)=/>;
Теперь заменяем p на jw и имеем вид:
/>;
Для построения гадогрофа выведем формулы для P(w), jQ(w) которые имеют вид:
P(w)=/>;
jQ(/>;
Графики можно посмотреть в приложении N 2.
Учитывая, что добротность x должна быть ³ 0.5¸0.7 мы можем определить добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за увеличения /> и , x уменьшается, можно сделать вывод, что колебательность звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 — 1.16 в приложении N 2.
Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как />>/>, то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только на высоких частотах, а на низких будет преобладать />, что можно наблюдать на графиках 1.1 — 1.4. На графиках 1.5 — 1.8 можно наблюдать минемальные значения />, это значит что, при этих значениях будет максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.
Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках 1.9 — 1.12, особенно при минемальном значении />.
Приложение N 1.
Программа для построения годографов на языке программирования
СИ ++.
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);
void Osi(int Xc, int Yc, int kol);
int xmax, ymax;
float Kos[]={0.1,1.0},
Ko[] ={10.0,100.0},
Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};
void main(void)
{
float P_w, Q_w, w;
int driver, mode, err;
driver = DETECT;
initgraph(&driver,&mode,"");
err = graphresult();
if (err!=grOk) {cout
getch();}
else {
xmax = getmaxx();
ymax = getmaxy();
int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2);
for(int i=0;i
cleardevice();
setviewport(0,0,xmax,ymax,0);
Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1);
setcolor(7);
setlinestyle(1,0,1);
rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15);
setlinestyle(0,0,1);
rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205);
setcolor(15);
setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1);
setfillstyle(1,0);
floodfill(5,5,7);
line(10,100,230,100);
line(125,10,125,190);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);};
closegraph();
}
}
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err)
{
float P_w1=0.0, Q_w1=0.0,
P_w, Q_w,
To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0;
for(float w=0;w
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;
if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;
if (P_w
if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0.01;
if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0.01;
};
};
float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,
KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;
if (KmasX
if (KmasX>=220) KmasX=150;
if (KmasY>=140) KmasY=100;
if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;};
w = 0;
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w); };
setcolor(Color);
setcolor(9);
line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);
gotoxy(2,5);
printf(«K2=»);
printf("%f",(-1/P_w_min));
setcolor(15);
for(w=0;w
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);
};
};
setcolor(13);
circle(Xc-KmasX,Yc,2);
circle(Xc-KmasX,Yc,1);
putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);
outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");
setcolor(15);
if (err==1){
if (x==0) outtextxy(10,10,«Tpr = 0.01»);
if (x==1) outtextxy(10,10,«Tpr = 0.09»);
if (x==2) outtextxy(10,10,«Tpr = 0.2»);
if (x==3) outtextxy(10,10,«Tpr = 0.5»);
if (y==0) outtextxy(10,30,«Ko = 10»);
if (y==1) outtextxy(10,30,«Ko = 100»);
if (z==0) outtextxy(10,50,«Koc = 0.1»);
if (z==1) outtextxy(10,50,«Koc = 1.0»);}
else {
char ch=' ';
while(ch!=27&&ch!=13)
if (kbhit()!=0) ch=getch();};
};
void Osi(int Xc, int Yc, int kol)
{
setcolor(15);
rectangle(0,0,xmax,ymax);
line(Xc,10,Xc,ymax-10);
line(10,Yc,xmax-10,Yc);
line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);
line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);
line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));
line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));
settextstyle(2,0,5);
outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,«jQ(w)»);
outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,«P(w)»);
settextstyle(2,0,4);
outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,«0»);
settextstyle(0,0,0);
if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' — exit");
else outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' — next ");
setcolor(15);
};
Приложение N 2.
/>
Рисунок N 1.1 />
Рисунок N 1.2
/>
Рисунок 1.3
/>
Рисунок 1.4
/>
Рисунок 1.5
/>
Рисунок 1.6
/>
Рисунок 1.7
/>
Рисунок 1.8
/>
Рисунок 1.9
/>
Рисунок 1.10
/>
Рисунок 1.11
/>
Рисунок 1.12
/>
Рисунок 1.13
/>
Рисунок 1.14
/>
Вставка 1.15
/>
Рисунок 1.16
Литература:
1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой. — М.: Наука, 1967.
2. Воронов А.А., Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва “Наука”, 1979.
3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости СПС: Научн.-исслед. работа.
4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В.Л.Смык,-1997.
Список постраничных ссылок:
1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.-М.: Мир, 1964.-168 с.
2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. — Собр. соч.- М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.