Учреждение образования
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДИКИ ОЗНАКОМЛЕНИЯ СРАВЕНСТВАМИ,
НЕРАВЕНСТВАМИ,УРАВНЕНИЯМИ В
ТРАДИЦИОННОЙ ШКОЛЕ И СИСТЕМЕ
РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ
/> ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
СТУДЕНТКИ 4 КУРСА
ФАКУЛЬТЕТ ПиМНО
БГПУ
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ ____________________________ УЧ. СТЕПЕНЬ, ЗВАНИЕ
____________________________
Ф.И.О.
ЗАЩИЩЕНА
с оценкой отл
МИНСК2003Содержание
Содержание… 2
Введение… 3
Глава 1. Система развивающего обучения Д.Б.Эльконина — В.В. Давыдова… 5
Глава 2. Сравнительный анализ методикиознакомления с равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе исистеме РО… 12
2.1. Непосредственное сравнивание предметов… 13
2.2. Моделирование отношений равенстваи неравенства: 15
2.3. Подбор величин по формулам равенства инеравенства 20
2.4. Переход от неравенства к равенству инаоборот 23
2.5. Как из частей составить целое… 26
2.6. Что такое уравнение?.. 28
2.7. Методика обучения решению текстовых задач 31
2.8. Диагностика и контроль в системе РО… 35
Заключение… 36
Литература… 38Введение
Развитие — ключевое слововсей дипломной работы.
Что же такое развитие?
Развитие — этосамостоятельный процесс, но протекает оно в формах общения, присвоения,обучения и воспитания [5, 319].
Проблема исследования:
каковы педагогические условияреализации задач общего развития младших школьников в педагогической системе РОна уроках математики; в чем сходство и различие методики обучения математики втрадиционной школе и системе РО, на примере темы “Числовые равенства,неравенства, уравнения”.
Решение этой проблемы составляет цельисследования.
Гипотеза исследования:
— общее развитие детей достигаетболее высоких результатов если будут реализованы следующие условия:
— выделение ведущих приоритетныхидей системы РО, которые соответствуют современным задачам образования и развитияучащихся начальной школы;
— обоснование педагогическихусловий организации процесса обучения и воспитания младших школьников иреализации задач общего развития школьников.
Реализация поставленной целитребует решения совокупности задач:
— выделить систему приоритетныхидей В.В. Давыдова-Эльконина адекватную современным условиям начальногообразования и организовать опытно-экспериментальную работу по реализации задачобщего развития младших школьников в современных условиях начальногообразования;
— сформировать требования кпроцессу организации урока, направленные на общее развитие младших школьников;
— опираясь на результатисследования, разработать рекомендации по реализации задач общего развития вобучении младших школьников.
Предмет исследования — процессобучения детей по системе РО.
Объект исследования —система РО в современных условиях обучения школьников в начальной школе.
Исторически сложившаясяклассическая система школьного образования при всем разнообразии ее формподчинена задаче усвоения учащимися определенной суммы знаний, умений инавыков.
С 1990 года Законом обобразовании определены первостепенные цели:
“… Обеспечить начальный этапразвития личности; выявить и обеспечить развитие способностей; формироватьумение и желание учиться, приобрести необходимые умения и навыки учебнойдеяте6льности; обучиться чтению, письму, счету; овладеть основамитеоретического мышления; культурой речи и поведения; основами личной гигиены издорового образа жизни”.
В последние годы как теоретики,так и практики нашего образования все больше внимания уделяют приемамразвивающего обучения. Этим проблемам посвящены серьезные научные труды, ихстремятся решать с помощью различных особых учебников и методических пособий.Это свидетельствует о том, что проблемы интеллектуального, нравственного ифизического развития школьников весьма актуальны в нашем образовании.
В сложившейся у нас системеобразования долгое время доминировал обезличенный подход к учащимся. То, что мыназывали образованием, не более чем накапливание информации с опорой навторичную функцию мозга — память, в то время как его основной функцией являетсямышление. В процессе обучения (математике или физике) мы чаще всего связываеммышление с решением задач, которые предполагают полный ответ. Они могут бытьлибо верными, либо неверными, однако сам ответ и его форма нередко значат дляученика и учителя больше, чем способ его получения, чем логические рассужденияна пути к нему, что фактически обесценивает мыслительный процесс. Гораздо режедетям предоставляется возможность задумываться над тем, как может быть получентот или иной результат, как самому придумать такую же задачу, как научитьдругих придумывать и решать те или иные задачи, всегда ли может быть полученоднозначный правильный ответ.
Дети, которые приходят в школу спредставлением о том, что на многие вопросы можно ответить по-разному, вскореэту уверенность теряют. В традиционной школе детей фактически приводят к мысли,что на уроке главное — правильные ответы, ничто иное не имеет ценности посравнению с правильным ответом, а основной их источник — учителя или учебники.Однако в демократической школе, как и в демократическом обществе, многиепроблемы не имеют однозначных решений.
“Процесс постановки проблем,поиска РАЗУМНЫХ альтернатив и реализация наилучших решений, — считаетамериканский ученый У. Глассер, — и есть подлинный процесс демократическогообразования. Развитая память еще не есть образованность, точная информация ещене есть знания. Определенность и механическое зазубривание, запоминание — врагиживой мысли, они убивают творчество и сводят на нет оригинальность мышления”.
Откройте наши учебникиматематики, и вы увидите традиционное зазубривание, например таблицы умноженияи сложения и многое другое.
Конечно ребенку и в традиционнойшколе приятно отвечать правильно, но, если точность ответа основана лишь намеханическом запоминании, это не приносит истинной радости познания. Мы лишьтогда испытываем настоящее удовлетворение, когда наша правота являетсярезультатом самостоятельных рассуждений, собственного мнения и принятиясоответствующего решения. Реализация такого подхода к обучению, при которомребенок живет с ощущение пусть маленького, но личного успеха, испытывая приэтом и уверенность в себе, составляет суть РО.
“Либо человек живет с ощущениемуспеха, испытывая уверенность в себе и внутреннее удовлетворение, либо считаетсебя неудачником, отчаянно пытаясь избавиться от преследующего его чувствапсихологического дискомфорта” (У. Глассер). Не это ли создает предпосылки дляего конфронтации с обществом в форме преступности или ухода в себя? А ведь ни один ребенок не должен иметь в школе клеймонеудачника.
Обычная школа со своим упором нена развитие мышления, а на запоминание и механическую зубрежку провоцируетнеуспеваемость и поэтому она больше всего бьет как раз по детям, которыеполучили хорошую дошкольную подготовку. Если до школы взрослые радовались ихинтересным словам и выражениям, бесконечным “почему?”,изобретательности в прямом и переносном смысле, то, придя в школу, дети вдругобнаруживают, что успех может быть обеспечен в основном хорошей памятью, а неумением мыслить, высказывать идеи, творчески подходить к заданию, учиться синтересом.
РО создает условия для того,чтобы научить детей думать.
“Взрослые никогда ничего не понимаютсами, а для детей очень утомительно без конца им все объяснять ирастолковывать.”
А.де Сент-Экзюпери.Глава 1. Система р/>азвивающего обучения Д.Б.Эльконина — В.В. Давыдова
Про необходимость измененияприоритетов начального образования заговорили в 50-60 годы ХХ века, советскиеученые Б.Г. Ананьев, Л.У. Зонков, Д.Б. Эльконин и др. выделилинаучно-практическую проблему связи обучения и развития младших школьников. Былоустановлено, изменение содержания и методов традиционного начального обучениядает определенный положительный эффект в развитии детей. “Мынашли ключ к проблеме развивающего обучения в младшем школьном возрасте, — писал Д.Б. Эльконин. — Этот ключ — содержание обучения.Когда мы хотим, чтобы обучение в начальных классах школы стало развивающим, тодолжны позаботиться о научности содержания. Это значит о том, чтобы детиусваивали систему научных понятий и способы их получения”.
В основу разработки новых системначального обучения, которые ориентируются, прежде всего на развитие младшихшкольников, были положены следующие теоретические положения:
Ведущая роль в развитиипринадлежит обучению.
Последователи научной школы Л.С.Выготского считают, что обучение может существенно влиять на развитие ребенка ипоэтому должно идти впереди развития.
Обучение должноориентироваться на зону ближайшего развития ребенка.
“То, чторебенок сегодня делает с помощью взрослого, завтра он может сделатьсамостоятельно. Зона ближайшего развития помогает нам определить завтрашний деньребенка, динамичный характер его развития, учитывая не только уже достигнутые,но и то, что находится в процессе созревания”, — писалЛ.С. Выготский.
В основе обучения долженнаходиться активно-действенный способ (тип учения).
Идеи Л.С. Выготского о ведущейроли обучения конкретизировал П.Я. Гальперин, который доказал, что не всякоеобучение оказывает существенное влияние на развитие. Он остановил, чтоуспешность процесса усвоения знаний зависит от того, как организуется процессориентации ребенка в учебном материале. С точки зрения способа ориентировки иего полноты П.Я. Гальперин выделял три типа учения.
Первый тип.Ориентировочная основа действия дается ученику в готовом виде в качествеобразца с неполным набором ориентиров и указаний. Школьник, многократновыполняя аналогичные действия, путем проб и ошибок достигает необходимого результата.Процесс обучения при этом идёт стихийно.
Второй тип. Ученику даетсяв готовом виде полная ориентировочная основа действия (программа выполненияформируемого действия по шагам — алгоритм) для выполнения отдельных конкретныхпрактических задач. Система ориентиров помогает избежать ошибок, но непозволяет школьнику свободно оперировать полученными знаниями, так как длякаждого следующего задания он ждет от учителя очередного готового образцавыполнения действия.
Третий тип. Ученикподводится к выяснению основных принципов работы с тем или иным учебнымматериалом. Учителю важно научить школьника как анализировать объекты, чтобы онсмог самостоятельно устанавливать систему ориентиров, необходимых дляправильного выполнения задания определенного типа. Ориентировочную основу своихдействий школьник составляет сам. Обучение при этом с самого начала являетсяполностью сознательным: ребенок не только понимает то, чему должен научится, нои владеет способом такого обучения. Овладение обобщенным способом действийпозволяет ученику самостоятельно решать новые отдельные задачи. Именно такоеобучение способно вести за собой развитие, потому что оно вооружает школьникаметодом нахождения основных специфических особенностей исследуемого предмета ипозволяет в дальнейшем действовать самостоятельно.
Обучение должно опираться назакон развития от общего к частному, от целого к части.
Доктор психологических наук Н.А.Чуприкова в своей работе “Умственное развитие и обучение: психологическиеосновы развивающего обучения” заметила: сущность закона заключается в том, чтовысокоразвитая система не складывается из отдельных элементов, а “дробится наэлементы в процессе своего развития, расчленяется на все более и более мелкиечасти со все более и более специфической структурой и специализированнымифункциями” это значит развитие идет не от части к целому [11,32]. Общее — это то исходное целое (клеточка), которое в процессеразвития (через систему дифференциации) приводит к разным частным случаямсвоего проявления.
Я. Каменский в “Великойдидактике” более 300 лет назад писал о принципе природосообразности в обучениии воспитании, сравнивая природный ход развития познания ребенка с ростом иразвитием дерева, которое берет свое начало с корня. Затем появляется ствол, аот ствола “все те главные веточки, которые у него потомдолжны быть, так что потом им приходится только разрастаться”.И чтобы вооружить человека на всю жизнь возможностями развивать свое познание,необходимо в первую очередь вырастить эти “главныеветочки” его знаний и познавательных способностей [11, 35].
Умственное развитие ребенкаопределяется степенью развития внутренних когнитивных психологических структур,которые отвечают за глубокий и всесторонний анализ поступающей информацииустановление связи новых знаний с теми, что имеются в долгосрочной памяти,обеспечивают гибкость и подвижность мышления, возможность в любой моментиспользовать эти знания. В процессе обучения важно формировать на доступномребенку уровне систему взаимосвязанных знаний, что создают внутренне упорядоченнуюструктуру, а не просто сообщают некоторую сумму знаний.
Ребенок рассматривается каксубъект всех видов деятельности, свойственных младшему школьному возрасту,и в первую очередь учебной деятельности, которая является ведущей для данноговозраста.
Придать обучению действительноразвивающий характер, обеспечив условия для развития в младших школьникахвоображения, рефлексного мышления, личностных действий и поступков, желания иумения учиться, возможно только через активное включение ребенка в учебныйпроцесс. Школьник становится субъектом учебной деятельности на основе такихличностных самообразований, как активность, самостоятельность, умение вступатьв отношения с другими людьми.
Целеустремленное формированиемотивационной основы учебной деятельности.
“Психологический законутверждает: прежде чем предложишь ребенку какую-нибудь деятельность, постарайсязаинтересовать его ею, позаботься про то, чтобы выяснить, что он готов к этойдеятельности, что у него напряжены все силы, необходимые для нее, и что ребенокбудет действовать сам, преподавателю же остается только управлять и направлятьего деятельность”, — писал Л.С. Выготский [1, 118].
Организация учебноговзаимодействия и сотрудничества в учебно-воспитательном процессе.
Согласно с Л.С. Выготским учительможет целеустремленно воспитывать детей только при постоянном сотрудничестве сними, с их окружением, опираясь на желание и готовность учеников действоватьвместе с педагогом. Эта фундаментальная идея противостоит требованиямавторитарной педагогики, согласно которой каждый учитель как будто можетнепосредственно эффективно воздействовать на ребенка, исходя из учебно-воспитательныхцелей, не учитывая мотивы, интересы и готовность ученика осуществлятьсобственную деятельность.
Обоснованием организацииколлективно-поделенной учебной деятельности школьников с постепенным переходомна индивидуальное ее осуществление является фундаментальный закон развитияпсихических функций человека, сформулированный Л.С. Выготским: “Всякая высшая психическая функция в развитии ребенкапоявляется на сцене дважды — сначала как деятельность коллективная, социальная,второй раз как деятельность индивидуальная, как внутренний способ мышленияребенка…” [1,387]. Таким образом, организация учебных отношений и сотрудничества совзрослыми и товарищами является источником развития и существенным средствомсоздания зоны ближайшего развития ребенка.
Опираясь на идеи Л.С. Выготского,А.М. Леонтьев, П.Я. Гольперин, А.У. Запорожец и др. обосновали понятиедеятельности и субъекта. Огромное научное значение для развития начальногообучения имеет теория, разработанная в 60-80-х годах большим коллективомпсихологов, методистов и учителей под руководством Д.Б. Эльконина и В.В.Давыдова.
Основами данной образовательнойсистемы стали фундаментальные теории периодизации психического развития вдетском возрасте (Д.Б. Эльконин), двух типов обобщения и мышления (В.В.Давыдов), учебной деятельности как субъекта (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, Г.А.Цукерман), развивающего обучения.
Целенаправленное формированиеучебной деятельности школьников является главной определяющей чертой этойсистемы. Другие системы не связывают понятие “развивающееобучение” с понятием “учебнаядеятельность” и строятся на других основах.
Система развивающего обучения непротивопоставляет себя обычному обучению: любое обучение в той или иной степениспособствует развитию мышления ребенка, становлению его личности. Даннуюсистему необходимо рассматривать не как развивающее обучение вообще, а кактакой тип обучения, который способствует в первую очередь развитию у младшихшкольников основ теоретического мышления, это значит способности пониматьсущность явлений по их внешней форме и действовать соответствующим образом.Развивающее обучение по определению В.В. Давыдова, направлено на формирование удетей основ теоретического мышления, или, более широко, основ теоретическойсознательности, к определяющим формам которой вместе с наукой относятсяискусство, мораль, право, религия и политика.
В.В. Давыдов видел решениепроблемы гуманизации начального обучения в создании условий для становлениямладшего школьника как субъекта собственной деятельности и в использованиитакого содержания и таких методов обучения, которые способны обеспечитьсущественное психическое развитие ребенка и сформировать у него учебные умения,необходимые для дальнейшего образования.
Специфику образовательной системыД.Б. Эльконина — В.В. Давыдова можно представить в виде схемы, котораяотображает единство содержания, методов и форм обучения.
/>
Содержание развивающегообучения: являются теоретические знания, которые представлены системойпонятий о данной ветви реальности вместе со способом действий, с помощьюкоторых понятия и их система формируются у учеников. Понятие знание существенныхотношений между отдельными сторонами предмета или явления. Поэтому дляформирования понятия необходимо в первую очередь выделить данные стороны, а дляэтого выполнить определенные действия с предметами, чтоб свойства проявились.
Учебный курс начинается сизучения фундаментального обобщенного понятия, которое постепенно обогащается иконкретизируется отдельными фактами и знаниями, служит для учеников ориентироми помогает осмыслить все частные случаи, которые вводятся в дальнейшем. Врезультате осуществляется постепенное движение от общего к частному, отабстрактного к конкретному.
Усвоение теоретическихзнаний осуществляется в процессе учебной деятельности. При этом возникают иразвиваются такие новообразования, как содержательная рефлексия, анализ ипланирование [5, 383]. Этиновообразования определяют важное перестроение осей познавательной и личностнойсфер деятельности детей и являются основой психического развития младшихшкольников. Обеспечить качественное усвоение детьми достаточно сложной системыпонятий с опорой на учебную активность репродуктивного типа заведомоневозможно. Поэтому организация полноценной учебной деятельности школьниковявляется главным и существенным условием, которое обеспечивает их развитие впроцессе обучения.
Учебная деятельность— особая деятельность учеников, которая сознательно направлена на усвоениезнаний [9,478]. Надо учитывать, что усвоение новыхзнаний может осуществляться без целенаправленной учебной деятельностишкольников в процессе игры, трудовой деятельности, во время занятий спортом.При этом не ставится цель получить знания: ребенок играет ради игры, занимаетсяспортом для развития своих физических качеств. Поэтому с психологической точкизрения, полученные знания являются побочным продуктом указанных видовдеятельности. Только в учебной деятельности получение новых знанийрассматривается как главная цель.
С.Л. Рубинштейн в связис этим говорил, что существуют “два вида деятельности,в результате которых человек овладевает новыми знаниями и умениями. Один из нихспециально направлен на овладение этими знаниями и умениями, как на свою непосредственнуюцель. Второй приводит к овладению этими знаниями и умениями, осуществляя иныецели. Учение в последнем случае — не самостоятельная деятельность, а процесс,что осуществляется как компонент и результат деятельности, в которую он включен” [7,76].
Ключевое слово “деятельность” имеет целью творческоепревращение школьниками учебного материала, это значит такое его изучение, прикотором выясняются происхождение, становление и развитие предмета или явления.Поэтому учебной деятельностью нельзя считать усвоение детьми знаний, которые импредставляются учителем в готовом виде.
Важным этапом процессаорганизации учебной деятельности является постановка учебной задачи, когда детиубеждаются, что способов действия, которыми они владеют, недостаточно длярешения новой задачи. В этот момент учитель не дает ученикам никакихопределенных образцов, готовых способов решения, которые можно восстановить, аорганизует поиск способов действия, которых не хватает.
Учебной называетсятакая задача, которая заставляет школьника искать общий способ решения всехзадач данного типа. Учебная задача может ставиться только в отношении ккакому-нибудь фундаментально значимому понятию, что открывает весь учебныйпредмет или крупный раздел учебного курса [6, 66].
Осуществляя учебнуюдеятельность школьники выполняют определенные учебные действия. В.В. Давыдовпредставляет их в логике решения учебной задачи:
принятие от учителя учебнойзадачи или ее совместная постановка;
превращение условий задачи сцелью выявления всеобщих отношений изучаемого объекта (поиск, нахождение ивыделение);
моделирование выделенныхотношений в предметной, графической или буквенной форме;
превращение модели отношений дляизучения их особенностей в “чистом виде”;
построение системы отдельныхзадач, которые решаются общим способом;
контроль за выполнениемпредыдущих действий;
оценка усвоения общего способакак результата решения данной учебной задачи [5, 159 — 160].
Учитель в процессе обученияцеленаправленно и последовательно ведет детей от одной учебной задачи к другой.За решением одной задачи идет постановка следующей. Отрезок времени отпостановки одной “стратегической”задачи к другой через выполнение промежуточных “тактичных” задач А.Б. Воронцов называет актом учебной деятельности[2, 212 — 214].
Когда учитель освоил технологиюорганизации полного акта учебной деятельности и в соответствии с ним организуетполноценную учебную деятельность школьников, то можно говорить, что он овладел технологиейразвивающего обучения.
Центром учебной деятельностиявляется субъект. Позиция субъекта характеризуется самостоятельнымосуществлением всех этапов деятельности: постановки цели, планирования,реализации цели и анализа полученных результатов. Младший школьник как субъектосуществляет собственную учебную деятельность вместе с другими детьми и спомощью учителя. Возникновение у школьника потребности в учебной деятельности,возникновение мотивов учебных действий способствует формированию у него желанияучиться. Овладение учебными действиями с помощью которых решаются учебныезадачи, формирует у ребенка умение учиться. Именно желание и умение учитьсяхарактеризуют младшего школьника как субъекта учебной деятельности. При этом отовладевает такими важными личностными качествами, как самостоятельность,инициативность, ответственность.Глава 2.Сравнительный анализ методики ознакомления с равенствами, неравенствами,уравнениями в традиционной школе и системе РО
Изучение алгебраического материала начинается сподготовительного класса и проходит в тесной связи с изучением арифметическогои геометрического материала.
Учащиеся начальных классов знакомятся с такими важнейшимипонятиями как равенство, неравенство, уравнение.
Что же такое равенство, неравенство, уравнение?
Пусть а и в — числовые выражения. Числовые выражения иличисла, между которыми стоит знак равенства, называются числовыми равенствами.
Неравенство — отношение, связывающее два числовые выраженияили два числа посредством одного из знаков ”>” (больше), ”
Равенство с переменной f(х) = g(х)называется уравнением с одной переменной.
Переходим к краткому обзору методики ознакомления счисловыми равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе.
Понятия о равенствах, неравенствах, уравнениях раскрываютсяво взаимосвязи.
Числовые равенства и неравенстваизучаются параллельно. Упражнения с равенствами и неравенствами используютсядля раскрытия и применения арифметических знаний, а также для выработкивычислительных навыков.
Ознакомление с равенствами инеравенствами в традиционной школе непосредственно связывается с изучениемнумерации и арифметических действий и происходит в несколько этапов. 2.1. Непосредственноесравнивание предметов
На подготовительном этапе вдочисловой период, нужно в процессе практических упражнений с использованиемпар понятий научить детей сравнивать предметы и устанавливать отношение“больше”, “меньше”, “одинаково”. Приведем примеры наиболее распространенных парпонятий: больше-меньше, выше-ниже, шире-уже, правее-левее, старше-моложе,тяжелее-легче, толще-тоньше, дальше-ближе, быстрее-медленнее.
С первых же уроков отрабатываетсяумение сравнивать численности множеств. При этом начинать нужно с упражнений наустановление между множествами взаимно однозначного соответствия.
Основой таких упражнений могутслужить различные ситуации из обыденной жизни: каждому ученику в классе взаимнооднозначно соответствует его ранец; каждой чашке в чайном приборе однозначноотвечает блюдце, на которое ставят чашку.
Предлагая учащимся упражнения насравнение численности множеств, целесообразно начинать с множеств, каждое изкоторых составлено из однородных предметов, например, одно множество состоит изтреугольников, другое — из квадратов. Через некоторое время переходят ксравнению множеств разнородных предметов.
Полезно ознакомить учащихся сразличными приемами попарного соотнесения предметов двух множеств. Первымприемом будет являться наложение предметов на наборном полотне друг на друга.Второй прием — изымание по одному предмету из каждого множества и откладываниеполученных пар. Третий прием — сравнение двух множеств, элементы которых нельзяизымать, например, множеств предметов, изображенных на рисунке. Четвертый приемцелесообразно применять для сравнения двух множеств, нарисованных предметов,если эти предметы не расположены линейно. Такое сравнение предметов “один кодному” дает возможность устанавливать не только, где больше, а где меньше, нои на сколько больше, на сколько меньше. Уже в подготовительный период включаютупражнения на преобразование неравночисленных множеств в равночисленные иобратно.
Таким образом происходитнепосредственный способ сравнения предметов в традиционной школе.
Система РО. Необходимостьсравнения по какому-либо признаку возникает в ситуации восстановлениякакого-либо объекта, обладающего изучаемыми свойствами.
Именно задача восстановления (азатем и воспроизведения) вынуждает ребенка выделить свойства предметов исконструировать способы их сравнения по выделенному признаку.
Сначала ребенок выполняетпрактическое действие сравнения различных реальных предметов, которые можновзять в руки. В школе дети должны работать не с рисунками, а с реальнымипредметами. Желательно, чтобы каждый ребенок имел возможность работать спредметным материалом. Если такой возможности нет, и учитель использует демонстрационныепособия, то с ним работает не учитель, а дети (по очереди выходя к доске), с ихпомощью показывая, как они мыслят.
Затем ребенок сравнивает объекты,которые нельзя взять в руки.
Каким же образом это происходит?
а) выделяются те признакипредмета, по которым его можно сравнивать с другими;
б) находят разные способысравнения предметов, например, при сравнении по длине дети опираются назрительное восприятие, т.е. первоначально сравнивают “на глаз”, а затем, когдаэтот способ не срабатывает, находят другие способы (наложение, приложение).
Научившись сравнивать предметы(полоски, стороны геометрических фигур или тел и др.) по длине, ширине ивысоте, ребенок попадает в ситуацию, когда этого его умения станет недостаточнодля сравнения. Например, когда вместо привычных полосок — прямоугольников онсталкивается с кругом, у которого ребенок не может обнаружить ставшиепривычными длину и ширину, тогда он стоит перед необходимостью сравнения подругому признаку — площади.
Такой общий подход к появлениюновых признаков сравнения предметов позволяет ребенку уже на первых этапахобучения использовать его при решении целого класса частных задач на сравнение,что в свою очередь, значительно расширяет набор признаков, по которым можносравнивать предметы. Например не только по длине (ширине, высоте), площади,объему, массе, форме, цвету, материалу, количеству, но и по углам, расположениюна плоскости и в пространстве, по составу частей и даже по “красоте”. Сравнениепо “красоте” является ключом к формированию каллиграфического навыка.
Таким образом, действуя среальными предметами, их признаками и результатами сравнения по заданномупризнаку, дети выделяют существенные связи и отношения между компонентамидействия выполняя три основных типа заданий:
а) есть предметы, известенпризнак — необходимо установить результат сравнения;
б) есть предметы, известенрезультат сравнения — нужно установить, какой признак был выбран;
в) известны признак и результатсравнения — подобрать соответствующие предметы.
Вариативность этих заданийочевидна, что позволяет в полном объеме контролировать свои действия и по меренеобходимости их перестраивать.
Сравнивая предметы по тому илииному признаку, дети устанавливают отношение равенства или неравенства (напервых порах фиксируя результат сравнения с помощью слов: “они одинаковые”,“равные”, “их столько же” или “они неодинаковые, разные, неравные” и т.д.).
Необходимо заметить, что чембольше слов-синонимов для описания отношений равенства и неравенства будетиспользовать учитель, тем легче будет детям “переводить” тексты арифметическихзадач на язык математики. Для введения сравнения групп предметов сначаланеобходимо ввести понятие комплекта, включающего составные части, а затемнаучиться сравнивать комплекты по составу частей. При сравнении комплектов посоставу (набору) частей будет иметь значение не цвет, не размер частей, атолько их набор. Это даст возможность сравнивать разные группы предметов поотношению к определенному комплекту, включающему тот или иной набор частей.2.2. Моделированиеотношений равенства и неравенства:
предметное: с помощью полоски
графическое:
а) с помощью копирующего рисунка;
б) с помощью отрезков (схемы).
О введении графической схемыхотелось бы рассказать поподробнее.
Для подведения детей киспользованию графической модели необходимо задать конкретно-практическуюзадачу. Вы показываете детям две разные по объему “фигуристые” банки илибутылки и просите детей с помощью рисунка показать, что объем одной банкибольше объема другой. Опыт показывает, что дети начинают рисовать форму банок,т.е. делают копирующий рисунок. Тогда вы подходите к детям и начинаете“придираться”: то форма не такая, то горлышко слишком узкое и т.д., т.е. должныосознать бессмысленность такого изображения (копирующего рисунка), тем более,что банки при сравнении по объему можно использовать разные по форме, ноодинаковые по объему.
А потом начинается диалог:
Учитель: — Что вы хотели сообщитьрисунком?
Дети: — В каком отношениинаходятся объемы банок.
Учитель: — А как мы сообщаем орезультатах сравнения?
Дети: — С помощью длин полосок.
Учитель: — Попробуйте нарисовать,в каком же отношении находятся объемы банок.
Если дети нарисовали полоски, томожно продолжать разговор дальше. Если снова стали рисовать банки, нужно датьвремя для обсуждения в группах и прийти к выводу о неудачности такого способа.
Учитель: — Нужно ли рисоватьформу банок или легче нарисовать полоски?
Дети: — Легче нарисовать полоски.
Учитель: — Нарисуйте.
Окажется, что разные детинарисовали полоски, разные по длине, ширине.
Учитель: “Какой же длины и шириныможно рисовать полоски?” Обсуждая этот вопрос, детипридут к выводу, что полоски должны быть одинаковыми или разными по длине взависимости от результата сравнения, а вот ширина полоски значения не имеет.
Учитель: — Если ширина может бытьлюбой, то полоску какой ширины мы будем рисовать?
Для осознания того, что ширинуполоски можно совсем не рисовать, можно предложить детям такое задание: “Помоей команде изобразите в тетради результат сравнения площадей фигур” (онидолжны быть равны). После выполнения задания темой обсуждения должна статьскорость выполнения: почему одни нарисовали быстрее, а другие медленнее. Врезультате вы приходите к выводу, что удобнее ширину вообще не рисовать, а изображатьтолько длину полоски. Если величины (длина, площадь, объем) оказались одинаковыми,то изображают равные по длине отрезки, а если неодинаковыми, то и отрезкинеодинаковые. Таким образом вводится изображение величин с помощью отрезков.
Дети, без сомнения, смогутнаучить этому других, показывая, как изобразить два равных или неравных подлине отрезка. Очень важно, чтобы ребенок осознал сам способ изображения, прикотором отрезки должны быть фактически параллельными и один конец должен примысленном наложении совпадать с другим.
/>
Конечно, дети найдут свои словапри объяснении способа. Важно понимать, что, в отличие от традиционногоподхода, при котором дети сначала рассказывают, как нужно делать, а лишь затемначинают действовать. В РО все с точность до наоборот — сначала ребеноквыполняет практическое действие, а лишь затем “учит” других делать так, какумеет делать сам, т.е. объясняет, как нужно действовать, что эффективноразвивает речь ребенка. Ведь для объяснения другому человеку нужно будетподобрать, найти такие слова, которые были бы ему понятны. Отсюда следует, чтозадача учителя — внимательно слушать ребенка, играя роль непонимающего человекадля того, чтобы действовать в соответствии с объяснением ребенка. Тогда и будетпонятно, насколько осмысленно выполняет ребенок практическое действие.
Теперь можно предлагать детям длярешения три обратные задания:
Даны предметы и величина. Нужнопостроить схему;
Даны схема и предметы. Надоузнать величину;
Даны схема и величина. Нужноподобрать предметы.
При обсуждении с детьмирезультатов сравнения можно предложить детям придумать задания с “ловушками”: сдлиной — взять две одинаковые по длине нитки, которым придать разную форму;площадью — взять два одинаковых прямоугольника, один из них разрезать ипревратить в квадрат и т.д.
Подведем итоги наших рассуждений.Сначала ребенок осуществляет практическое действие с предметами, котороеназовем предметным действием, от которого ребенок с опорой сначала накопирующий рисунок, а затем на предметную модель переходит к графическоймодели, а от нее после введения математических знаков и букв для обозначениявеличин он перейдет к описанию этих действий с помощью формулы, т.е. к буквенно-знаковоймодели, а затем (значительно позже) к словесным моделям (правилам, определениям).Смотреть приложение 1.
знаковое:
а) с помощью знаков “=” и “¹”
б) с помощью букв и знаков “=”, “>”, “
Основная задача при введениибуквенного обозначения состоит в том, чтобы помочь ребенку мысленно отделить свойствопредмета от самого предмета. Выделенной в результате сравнения отношениеравенства или неравенства должно быть обобщено в формуле, т.е. вбуквенно-знаковой записи.
Удобнее вводить буквенныеобозначения, используя предметы, которые можно сравнить по длине, ширине,площади и объему.
Для постановкиконкретно-практической задачи ставим детям два сосуда, которые должны бытьодинаковыми по объему, разными по высоте и площади основания, и проситесравнить их по какому либо признаку, изобразив результат сравнения с помощьюсхемы. В каждой группе должны быть одинаковые пары баночек. Раздав баночки выбыстро проходите по классу и шепотом договариваетесь с группами, по какомупризнаку они будут сравнивать.
/>
При сравнении у разныхгрупп получаются разные схемы (если работало больше трех групп, не забудьтеперед началом обсуждения выяснить с ребятами, у каких групп получилисьодинаковые схемы, и рассматривать схемы по данному признаку).
/>
Возникает проблема. Кактакое могло произойти? Почему это могло произойти? Нужно дать детям возможность обсудить этот вопрос.Обязательно найдутся ребята, которые скажут, что разные группы сравнивали поразным признакам, и даже какая схема сообщает о сравнении по высоте, какая — пообъему, а какая — по площади донышек. Тогда возникает вопрос: чем дополнитьсхему, чтобы другим людям было понятно, по каким признакам мы сравнивали этисосуды, когда строили каждую из схем?
Возникает потребность вбуквенном обозначении признака, а не предмета.
Предлагаем детямподумать, как на схеме показать, по какому признаку сравнили предмет. Кто-тонарисует рядом со схемой предметы, кто-то напишет словом, кто-то воспользуетсяпервой буквой слова — названия признака. После обсуждения всех предложений выпридете к выводу, что удобнее обозначать одной буквой, а затем познакомитеребят с буквами латинского алфавита, которые используют для обозначения. Детидополняют свои схемы буквами и записывают с вашей помощью формулу. Используявопросы, подводим детей к необходимости введения знаков “”.
Далее предлагаемобратные задачи:
на восстановление предметов посхеме и формуле;
на восстановление предметов исхеме по формуле;
на восстановление предметов иформулы по схеме;
на восстановление схемы и формулыпри сравнении предметов по определенному признаку.
В традиционной школе преобладаетзнаковое моделирование — вводятся знаки отношений “>”,“
Первые числовые равенства, скоторыми знакомятся дети, образованы при ознакомлении с действиями сложения,вычитания в концентре “Десяток”.
Введение знака “1.
Чтобы учащиеся не путали знаки “”, полезновоспользоваться мнемоническим приемом: где палочки расходятся, записываютбольшее число, а где сходятся — меньшее число.2.3. Подбор величинпо формулам равенства и неравенства
Основная задача данного этапаработы заключается в том, чтобы помочь ребенку осмыслить способыматематического описания отношений между величинами с помощью схемы и формулы,а также восстановления величин, т.е. подбора предметов — носителей величины —по схеме или формуле. Это значит, что рассматриваются задания трех основныхтипов:
1) Даны предметы. Сравнивая потому или иному признаку, дети чертят схему, показывающую отношение междувеличинами, а затем описывают это отношение в знаковой форме:
/> А А А
В В В
А>B или ВА
Важно, чтобы дети понимали,буквами А и В могут быть обозначены любые величины: длина (высота, ширина,толщина, глубина, периметр, и т.д.), площадь, масса, объем, количество,величина угла, а об отношении между ними можно сообщить словами: больше-меньше,выше-ниже, шире-уже, правее-левее, старше-моложе, тяжелее-легче, толще-тоньше ит.д. В математике все эти отношения описываются понятиями “больше-меньше”.Отношение “равно-неравно” может быть в быту описано словами “столько же”,“такие же”, “одинаковые”, “разные” и др., употребляя которые ребенок должен понимать,о какой величине идет речь. Так, например, когда говорят: “Купили 6 таких жестульев”, имеют в виду не их расцветку или форму, а как правило, цену, покоторой приобрели эти стулья. Или в задаче сказано: “Если сшили 8 таких жеплатьев”, то речь идет опять же не о фасоне или расцветке ткани, а о расходеткани на одно платье, и т.д.
2) Дана схема, описывающаяотношение между величинами, нужно подобрать соответствующие величины (т.е.предметы-носители этих величин) и записать формулу.
3) Дана формула, описывающаяотношение между величинами, нужно построить схему и подобрать соответствующиевеличины.
Отбирая материал к уроку, нельзяиспользовать однотипные упражнения, как это принято в традиционной школе, длязакрепления и формирования навыка. В данной системе обучения, одной из задачкоторой является развитие и формирование способности думать, рассуждать,мыслить, нужно для уроков подбирать задания разного типа из разных блоков, чтодает ребенку возможность осмысливать изменение условий, влекущее за собойизменение способа действия, и устанавливать различные связи и отношения какмежду величинами, включенными в задание, так и между заданиями. Это позволит вдальнейшем осознать принцип, который положен в основу придумывания заданий потипу составления “обратных” задач, когда меняются “ролями” известные инеизвестные величины.
Для выполнения каждого из данныхтипов заданий хорошо использовать группу из 3-4 детей: один действует спредметами, молча демонстрируя способ их сравнения, другой описывает результатсравнения с помощью схемы, третий на основании либо схемы, либо увиденногоспособа сравнения величин обозначает их буквами и записывает формулу (равенстваили неравенства), используя знаки “=”, “>” и “
Обсуждение итогов работы каждойгруппы может происходить следующим образом: каждая группа называет величину, скоторой она работала. Остальные дети по схеме и формуле определяют, какиепредметы могла сравнивать группа и какие ошибки при сравнении, при составлениисхемы или записи формулы она могла допустить.
После такой проверки можнопредложить группам, парам или отдельным детям (по выбору) придумать своизадания на сравнение или восстановление величин (с которой она работала) посхеме и формуле. Придумав задание, каждый должен выполнить свое задание так,как он хотел бы, чтобы его выполнили другие, а затем организовать “аукцион” заданий,при котором каждый выбирает понравившееся ему (из придуманных детьми) задание.
Предложенные задания можноклассифицировать и по другому основанию: большинство из перечисленных заданийпозволяет детям познакомиться с основными свойствами равенства и неравенств,однако названий рассматриваемых свойств детям сообщать не нужно. Главное, чтодети должны понять, что иногда непосредственного сравнения величин производитьне нужно, чтобы узнать, в каком отношении они находятся, т.е. вывод можносделать, опираясь на результаты сравнения этих величин с другими.
Так, если А=В, то В=А (свойствосимметричности), т.е. А сравнили с В, то нет необходимости вновь брать в рукипредметы, чтобы сравнивать В и А. Если же А=В, а В=С, то нет необходимости А иС сравнивать непосредственно, так как А наверняка будет равно С, — это свойствотранзитивности равенства. Аналогично можно рассмотреть транзитивностьнеравенства: если А>В, а В>С,то А>С, и если А
Тот факт, что буквой может бытьобозначена любая величина, дает возможность приступить к использованиюдошкольного опыта ребенка, а именно: после составления одной из формулы А>В или А
Переход от букв к подходящимчислам дает возможность и для обратных действий, при которых детивосстанавливают буквенные формулы с помощью числовых. Этот обратный переходможно задать следующим образом: “Дети в другом классе вместо букв в формулеподобрали подходящие числа. Вот что они записали: 7
В дополнение к указанным заданиямнеобходимо предложить выполнить задание с “ловушкой”:
— поставить двое весов: на однивесы положить одинаковые по массе предметы и на другие тоже. Записать либо М1=М2и М3=М4, либо А=В и С=Д.
Возникает вопрос: можно ли, невзвешивая самих предметов, сравнить массы А и Д (а следовательно, и В и Д, А иС, В и С)? Если ребенок понимает свойствотранзитивности, то он должен утверждать, что такого сравнения без взвешиваниясделать нельзя, массы А и Д могут оказаться как одинаковыми, так и разными.
Если ребенок обращает вниманиетолько на знаки равенства, а связи между сравниваемыми величинами не видит, тоего вывод будет неверным, т.е. он будет утверждать: А=Д. Тогда и возникаетвопрос: как не ошибиться? Для этого следует сделать двезаписи и сравнить их.
I II
А=В, а В=Д А=В, а С=Д
Сравнить
А и Д А и Д
Первая позволяет безнепосредственного сравнивания сделать вывод А=Д, а вторая нет: может оказатьсяА>Д, А
Схема даст возможность обосноватьсвою точку зрения, а затем вновь вернуться к равенствам, по которым можноопределить, во-первых, сколько величин участвует в сравнении и, во вторых, каксвязаны эти величины между собой. Могут появиться следующие записи и схемы (см.приложение ).
Важно помнить, что обсуждениеданного материала следует начинать не до того, как дети собираются чертитьсхемы, а после того, как схемы к формулам готовы.
Традиционно же все делаетсянаоборот: сначала дети говорят, обсуждают, как выполнять задание, а потом егоделают, а в этой системе обучения нужно сначала сделать (осуществитьпрактическое действие), а затем обсуждать, как это сделали и как научить другихделать то, что умеешь делать сам. Повторю, это коренное и принципиальное отличиеподхода к обучению в системе РО.
Итогом работы над данной темойявляется составление справочника ошибок, в который как раз включаются всевозможные ошибки, которые были или могут быть (!) у детей. Фиксируя их всправочнике любым удобным для детей способом, необходимо каждый развозвращаться к вопросам о происхождении этих ошибок, а также к способам ихобнаружения и исправления, что является необходимым этапом дальнейшего предупрежденияэтих ошибо/>к.2.4. Переход отнеравенства к равенству и наоборот
Основная задача в том, чтобы детисмогли найти три способа уравнивания:
1) путем увеличения одной(меньшей) величины до ее равенства с другой (большей), т.е. с помощью сложения:
А А
/>
В Послеуравнивания В С
А>В А = В + С
2) путем уменьшения одной(большей) до ее равенства с другой меньшей, т.е. с помощью вычитания:
А А
/>
В Послеуравнивания В В С
А>В А –С = В
/>/>/> 3) путемуменьшения одной и увеличения другой на одну и ту же величину:
/>/>/>/>/> А А
/>
В После уравнивания С С К
А>В В К
А – К =В + К
Третий способпредполагает свободное владение первыми двумя.
Итак, два первыхспособа уравнивания величин являются основными.
Постановку задачи,требующей уравнивания величин, начнем со сказочного сюжета о Незнайке.
Прочитайте ту частьсказки, в которой рассказывается о том, как Винтик и Шпунтик изобрелиавтомобиль, который работал на газированной воде с сиропом (текст приведен вучебнике).
Результатом обсуждениявозможных причин остановки машины станет постановка задачи, требующейуравнивания величин.
Нужно в бак налить столькосиропа, сколько его не хватает, чтобы бак стал полным.
Налейте воды (подкрашенной!) вдве банки так, чтобы одна из них была полная (но не до самого края, чтобы можнобыло при необходимости долить немного воды), а вторая заполнена примерно на1/3. Объясните, сколько сиропа должно быть и сколько осталось. Условие работы“двигателя” – полная банка.
Теперь вместе с детьми переведемэту задачу на язык математики:
/>Есть две неравные величины(объем воды в банках). Изобразим их, обозначив буквами (например А и В), изапишем формулу:
А
В
или А
А>В В
В сюжетной задаче о баке намнужно узнать, сколько сиропа нужно добавить в неполную банку, чтобы машинаснова могла ехать. Эта же проблема на языке математики выглядит так: нужноуровнять величины так, чтобы меньшая величина В стала равна большей величине А.
Как это можно сделать?
Сначала дети выполняютпрактическое действие, пытаясь в неполную банку долить воды до того же уровня,что и в первой банке, т.е. долить воды столько, сколько ее не хватало до полнойбанки. Проще говоря, проблема сначала выглядит так: что нужно сделать, чтобы внеполной банке воды стало столько же, сколько в полной банке?Ответ не заставит себя ждать, и дети тут же скажут, что воду нужно долить. Вынепременно выполняете практическое действие, доливая воды значительно меньше,чем нужно (или, наоборот, больше).
Если дети скажут, что этого мало,то долейте заметно больше, чем нужно (или отлейте больше, чем нужно). Именнотогда дети и смогут осмыслить то, что речь идет об определенном количестве – нибольше, ни меньше.
Возникает новая задача: какоеколичество воды нужно долить, чтобы стало поровну?
Невозможность восстановитьпрежний объем есть основание для рождения у детей о метках на обеих банках.
Поскольку дети уже умеютизображать величины, то предложите им сначала изобразить данные величины(объемы воды или количество воды) с помощью схемы, обозначив их буквами.
Затем, запишем формулы: А>B или B
Теперь ответ на вопрос (сколькоже нужно долить воды?) может быть показан на банках ина схеме: 1) на банках: от метки на одной банке до метки на другой или с помощьюдвух меток на одной банке, если вторая метка прикреплена детьми при сравнении:
/>
Метка,которую добавили
Метка дети,на том же уровне, что
и на первой банке
На схеме эту же разность(разницу) дети могут показать так:
/>
это тот объем воды, который нужно долить
А вбанку с меньшим объемом (В).
Помните! Не банка В, а объем воды
В в банке – это В, банки то одинаковые.
Показать то, сколько нужно долитьводы, – это то же самое, что узнать, на сколько одна величина больше другой илименьше другой, – А>В (на С). Чтобы узнать эту новуювеличину С, нужно от большей величины отнять меньшую, т.е. С = А – В.
Значит, если к величине Вдобавить разницу, а “настоящие математики” говорят “разность”, – величину С,равную А – В, то получится величина, равная А.
/>А= В + С (1) или А = В + (А – В) (2)
С
Найти эту разницу, т.е. разностьмежду величинами и записать формулу (2) дети смогут лишь после введения знака“минус”.
Чтобы изменить отношение междувеличинами, т.е. из неравенства сделать равенство или, наоборот, из равенства сделатьнеравенство (но таких заданий мало, т.к. они являются обратными,восстанавливающими неравные величины из равных, поэтому их желательнодополнить), нужно будет одну из двух величин либо увеличить (+), либо уменьшить(–), а может быть уменьшить одну и увеличить другую, причем на сколькоуменьшают одну, на столько же увеличивают другую.
Очень важно, чтобы дети понимали:когда они от неравенства переходят к равенству, то отнимать или добавлять нужноне сколько угодно, а определенное количество, соответствующее разности этихвеличин.
Работа с графическими и знаковымимоделями, т.е. схемой и формулой, является основным звеном в цепи решенияучебной задачи.
Отношение неравенства однородныхвеличин (А
Каковы бы ни были А и В, имеетместо одно и только одно из трех отношений: или А=В, или А
Если А
Для любых двух величин А и Всуществует однозначно определенная величина С=А+В.
А+В = В+А (коммуникативностьсложения).
А+(В+С) =(А+В)+С (ассоциативность сложения).
А+В >А(монотонность сложения).
Если А>В,то существует одна и только одна величина С, для которой В+С=А (возможностьвычитания).
Изучение свойств отношений, окоторых шла речь, открывает перед ребенком новые возможности.2.5. Как из частейсоставить целое
Система РО.
Введение об отношении частей ицелого понятия обусловлено, прежде всего необходимостью обучения ребенкарешению текстовых задач (прямых и косвенных) алгебраическим способом, т.е. наоснове составления уравнений. Для этого ребенок должен научится изображать этоотношение с помощью схем, опираясь на которые он сможет описать это особоеотношение величин, не зависящее от их конкретного числового значения, в видебуквенных формул. Сформировав это понятие, дети приобретают умение выражатьцелое через части и части через целое:
/>
И , где
/>кружками обозначено целое,а треугольником – части. Графической моделью этого отношения могут служитьразные геометрические фигуры (круг, прямоугольник, треугольник и др.), нонаиболее удобным и простым способом изображения этого отношения являетсяотрезок.
Рассматривается ибуквенно-графическая модель:
/>
всем хорошо знакомые “лучики”,используемые традиционной школой для изображения состава числа.
/>Введение знаков дляобозначения целого и частей дает ребенку возможность относительность этихпонятий. Во-первых, дети должны понять, что пока над величиной не производишьникакого действия – нельзя установить, является она (величина) частью илицелым, т.е. одна и та же величина может быть частью по отношению к однойвеличине и она же является целым по отношению к другой.
/>Например:
Теперь величину В разобьем еще на2 части К и Д, по отношению к которым В – целое.
/>
/>/>Величина В по отношению к Аявляется частью, а по отношению к величинам К и Д является целым. Наложениезнаков и , друг на друга позволяетлучше увидеть относительность этого понятия.
Итак, понятие “целое” и “часть” –это относительные понятия; основное свойство этого отношения: целое не можетбыть меньше части, или часть не может быть больше целого. Сравнивать частимежду целым и остальными частями.
Умение изображать графически иописывать с помощью формул отношение частей и целого даст возможность решатьцелый класс текстовых задач с буквенными данными путем составления уравнений.Решив таким образом задачу, ребенок вместо букв подбирает подходящие числа итем самым осознает, какова область допустимых значений букв не только поотношению к выполнимости арифметического действия, но и по отношению креальности сюжета и к собственному опыту оперирования с числом. Такой подход позволяетучителю обнаружить “слабые” места у детей и незамедлительно приступить ккоррекции.
Если же задача предложена счисловыми данными, то прежде чем ее решать, необходимо “восстановить”, какойона могла быть до того, как вместо букв дети из другого класса (или авторучебника) подобрали (придумали), как им кажется, подходящие числа. Это значит,что, прежде чем приступить к решению задачи, нужно установить, говоря языкомматематики, входят ли числовые данные в область допустимых значений по отношениюк реальности сюжета. Другими словами, дети должны оценить, соответствуют лиданные числа смыслу задачи, ее сюжету, а затем заменить числа буквами и, решивзадачу, вместо букв данные числа. Восстановление исходной (буквенной формызадания) текстовой задачи ставит перед детьми новую проблему: заменятьодинаковые числа одинаковыми буквами или разными? Ответна такой вопрос с неизбежностью потребует более глубокого осмысления текстазадачи и тех понятий, которые составляют ее смысл.
С помощью заданий в разделе“Проверь себя!” вы сможете составить сначала проверочную работу, а затем иконтрольную (контрольная работа по данной теме подводится не сразу позавершении ее изучения, а после рассмотрения следующей!)2.6. Что такоеуравнение?
Система РО.
Описание методики работы надпостроением и решением уравнений рассмотрим с рассмотрения различныхопределений уравнения.
В школьной энциклопедии уравнениеопределено как “два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражениявходят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение– значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), прикоторых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значенийнет”. Там же дано определение уравнения как “аналитической записи задачи оразыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны”.
Понятно, что под аналитическойзаписью и понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенноевыражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимыхчисловых значениях.
Введение записи задачи (онахождении неизвестной величины) с помощью уравнения начинается с конкретнойзадачи. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого иего частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании, умножении, делении.
Для того, чтобы найти способрешения уравнения, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу поформуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известнаявеличина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть,то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку не нужнозапоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого ивычитаемого.
Успешность ребенка, его навык прирешении уравнений будут зависеть от того, может ли ребенок переходить отописания отношения между величинами с помощью схемы к описанию с помощьюформулы и наоборот. Именно этот переход от уравнения как одного из вида формулк схеме и определения с помощью схемы характера (часть или целое) неизвестнойвеличины являются теми основными умениями, которые дают возможность решатьлюбые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания. Другими словами, детидолжны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит,и задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей в чем и поможет схема.Схема здесь выступает в качестве средства решения уравнения, а уравнение, всвою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданийориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовыхзадач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения,позволяющего найти решение задачи.
Традиционная школа.
Изучение уравнений в начальныхклассах традиционной школы происходит в несколько этапов. Программойтрадиционной школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степенис одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеютупражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах,вида 4+=5, 4–=2, –7=3,и т.п. в процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, чтонеизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых(уменьшаемое или вычитаемое). До 2 класса неизвестное число обозначается, какправило, так: ,?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквылатинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство,где есть буква, называют уравнением.
На первом этапе уравнения решаютна основе состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятиемуравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения подиктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “чтоесть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.
На втором этапе решение уравненийпроисходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае принахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данногоуравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф. Приведупримеры уравнений и замены их равнозначными уравнениями с опорой на графы.
/>
х ×4 = 16
х = 16: 4
х = 4
4 ×4 = 16
/>х: 5 = 7
х = 7 × 5
х = 35
35: 5 = 7
После того как учащиеся научатсярешать простейшие уравнения, включаются более сложные уравнения видов: 48 – х =16 + 9, а – (60 – 14) = 27, 51 – (х + 15) = 20, решение которых выполняетсятакже на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметическихдействий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений.Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, атакже умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанныхвидов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что ихправая часть задается не числом, а выражением. Далее включаются уравнения, вкоторых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать этиуравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению такихуравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестноечисло, например: 60 – (х + 7) = 25, (12 – х) + 10 = 18.
При решении уравнений такого видаприходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов.Рассмотрим.
Обучение решению таких уравненийтребует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правилнахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения впояснении решенных уравнений. Кроме того, следует чаще решать такие уравнения спредварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить,чтобы решить данное уравнение. Такая работа предупреждает ошибки и способствуетовладению умением решать уравнения.
Особое внимание следует уделятьпроверке решения уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоитьпоследовательность и смысл действий, выполняемых при проверке: найденное числоподставляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого выраженияи, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значениемвыражения, стоящего в другой части уравнения. Если получаются равные числа,значит, уравнение решено верно.
Дети могут выполнять проверкуустно или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные еезвенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…2.7. Методикаобучения решению текстовых задач
Традиционная школа.
Уравнения используются длярешения задач. Существует правило составления уравнения:
Выясняется, что известно, чтонеизвестно.
Обозначение неизвестного за х.
Составление уравнения.
Решение уравнения.
Полученное число истолковываетсяв соответствии с требованием задачи.
Необходимым требованием дляформирования умения решать задачи с помощью уравнений является умениесоставлять выражения по их условиям. Поэтому вводится запись решения задач ввиде выражения. Учащиеся упражняются в объяснении смысла выражений,составленных по условию задачи; сами составляют выражения по заданному условиюзадачи, а также составляют задачи по их решению, записанному в виде выражений.
Одним из самых трудных моментовявляется запись задачи в виде уравнения, поэтому вначале при составленииуравнения широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.
Для формирования у учащихсяумения решать задачи алгебраическим способом необходимо, чтобы они могли решатьуравнения, составлять выражения по задаче и осознавать сущность процесса“уравнивания неравенств”, т.е. преобразования неравенства в уравнение. Уже напервых уроках дети, сравнивая два множества, устанавливают, в каком из нихсодержится больше элементов и что нужно сделать, чтобы в обоих множествах былоодинаковое их количество.
Вместе с тем возможностииспользования алгебраического метода решения текстовых задач в начальныхклассах традиционной школы ограничены, поэтому арифметический способ остается втрадиционной школе основным.
Система РО.
Сначала учитель читает задачу дляобщего ознакомления, а затем вновь переходит к чтению, но “по частям”. Учитель(и только учитель!) читает такую часть текста, которая позволяет ребенкунарисовать элемент будущей схемы, затем следующие часть – и опять детиизображают часть схемы, и т.д. Начертив схему, дети должны заменить буквой (х, y, z) неизвестную величину, после чего приступать к анализуотношений между известными и неизвестными величинами.
Схема, которую дети составят кданной задаче, фактически является моделью (обратите внимание на то, что насхеме всегда отсутствует наименование), т.к. с ее помощью может быть решена нетолько данная задача, а целый класс частных задач. Моделирование (с помощьюсначала схем, а затем буквенных формул) как учебное действие служит средствомвыделения отношений при анализе условий конкретных задач, а сама графическаяили (и) беквенно-знаковая модель является средством фиксации выделенныхотношений (см. приложении ).
Итак, процесс решения текстовойзадачи с буквенными данными в течение первых трех лет мы будем осуществлять всемь этапов.
I этап –это перевод условия задачи в графическую модель, т.е. в схему. Кстати, схема, вотличие от чертежа, не требует, во-первых, специальных чертежных инструментов,и, во-вторых, точного соблюдения заданных отношений. Схема может выполняться отруки, указывать и отображать заданные отношения;
II этап –это преобразование одной графической модели в другую. Этот этап может бытьпропущен, если необходимости в преобразовании нет изначально, либо она отпала всвязи со свернутостью действия;
III этап– составление буквенно-знаковой модели (формулы), т.е. составление уравнения.
Когда ребенок переходит от схемык составлению уравнения, то бывают, при правильно построенной схеме, ошибки вописании отношений (заданных через схему) в знаковой форме, т.е. с помощьюуравнения. Чтобы предупредить эти ошибки, нужно использовать те значки,которые мы использовали, когда работали над переходом от текста к схеме, отсхемы к преобразованной схеме и от нее к знаковой форме. Это были вспомогательныезначки – “дорожки”.
Например:
“В три магазина привезли а кг.печенья, во второй – на в кг больше, чем в первый, а в третий – на с кгменьше, чем во второй. Сколько кг печенья привезли в каждый магазин?”
Строим ступенчатую схему, затемобозначаем первую величину буквой х (так удобнее)
/> х
х в/>
?
х в
? с
/>Если мы сразу переходим отступенчатой схемы к описанию в виде формулы, то дети часто теряют элементысхемы, компоненты действий. Это самая распространенная ошибка. Чтобы устранитьошибки такого характера. Чтобы научить ребенка видеть каждую часть входящую вэто целое, мы вводим этап преобразования схемы (IIэтап). Мы преобразовываем ступенчатую схему в схему линейную. Чтобы ничего непотерять, введем “дорожку” от элемента схемы к развертке.
/>
? х
/>/> х в/> /> /> /> />
? /> /> />
/>/> х в
/> ? с
/>/> а
с
х х в х в
С помощью “дорожек”ребенок следит, чтобы каждый элемент ступенчатой схемы входил в общую линейнуюсхему, в общую величину. Постепенно эти “дорожки” уходят, становятся не нужны,т.к. ребенок видит все части составляющие целую величину. При переходе отлинейной системы к составлению уравнения опять могла произойти потеря. Чтобыпроверять самих себя, мы “дорожками” показываем каждый элемент равенства:
/> а
/> с
/>/>/>/>/> х х в х в
3х + 2в – с = а
Если дети научились видеть, изчего состоит линейная схема, то преобразовывать ступенчатую схему в линейную ненужно. Если ребенок научился действовать, то никакие дорожки ему не нужны. Ноесли вы возвращаетесь к анализу того, какие ошибки могут быть и как ихобнаружить, то тогда те значки, которые были на этапе обучения ребенка, ребенокиспользует вновь для самоконтроля и для самопроверки.
Задача состоит в том, чтобысформировать у ребенка действие самоконтроля.
Как будет выглядеть наша картинка
если несформировано: если сформировано
выполняю проверяю выполняю проверяю/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/>IVэтап – решение составленного уравнения. Этап может совпасть с предыдущим, еслиребенок записывает уравнение сразу в форме решения: х = выражение ;
V этап –это подбор вместо букв подходящих чисел. Подходящих с трех точек зрения:
сюжет задачи;
выполнимости арифметическогодействия;
умения успешно оперировать сподобранными числами.
Другими словами, речь идет обобласти допустимых значений по отношению к сюжету и т.д.
VI этап –выполнение необходимых вычислений, требующих последовательного выполненияарифметических действий с числами.
VII этап– возвращение к условию задачи для получения ответа на вопрос ее, т.к. невсегда величина, которую обозначили буквой х и относительно которойсоставляется и решается уравнение, может совпадать с величиной, которую нужнонайти для ответа на вопрос задачи. Решив уравнение, необходимо его проверить,получен ли ответ на вопрос задачи.
Итак, выделено семь этапов, хотяосновными являются четыре: построение схемы, составление и решение уравнения ивычисление числового значения.2.8. Диагностика иконтроль в системе РО
Нами были проведены экспериментальные исследования, которые проводились во 2-ом классе РО и 2-омклассе традиционного обучения.
Основная задача состояла в том,чтобы проанализировать качество усвоения математических знаний.
Детям были даны три задания потеме “Решение уравнений” (см. приложение 4), а также три текстовые задачи (см.приложение5).
Анализ результатовсвидетельствуют о том, что учебная деятельность в системе РО способствуетинтенсивному развитию теоретического мышления. У детей экспериментальныхклассов повысился уровень общего развития, а также в значительной мере увеличилоськачество обученности. В результате учебной деятельности школьники получаютновые знания, двигаются вперед в своем развитии.Заключение
Про методику проведения уроков,приемы с способы РО можно говорить много, но вот несколько высказыванийродителей:
“Нас впечатляет способность Иринырешать сложные проблемы простым способом, пусть и по-своему, но всегда правильно”.
“У славы обо всем есть своемнение, которое он всегда отстаивает”.
“Мне нравится, что сын прирешении любой проблемной ситуации анализирует возможные варианты” и т.д.
Становление человекаосуществляется в начальной школе.
Главная цель учителя – научитьдетей учиться – в классах РО достигается на выходе в среднее звено. Поэтомушкольники могут учиться в любой школе и в любом классе. Рядом с ними меняетсясам учитель. А это хорошо, если учитель наконец задумается над тем, с какимзапасом знаний он придет к детям, будет ли он интересен им как человек.
Хочется дать советы учителям иродителям:
Умей мечтать, не став рабоммечтаний,
И мыслить, мысли не обожествив,
Равно встречай успех и поруганье,
Не забывая, что их голос лжив.
Имей принудить сердце, нервы,тело
Тебе служить, когда в твоей груди
Все пусто, все у же сгорело,
И только говорит – иди.
Р. Киплинг
Старайтесь найти в ребенке то, зачто его можно похвалить, а не то, за что поругать.
Знайте, что ребенку тогдаинтересно с вами, когда вам интересно с ним.
Давайте возможность каждомуребенку сделать свое маленькое открытие.
Если ребенку тяжело, то найдитедля него такое задание, которое ему по силам.
Не навязывайте ребенку своих формработы, он должен выбрать их сам.
Чем выше уровень эмоциональногокомфорта, тем больше шансов на успех в учебе.
Вместо отметок – главной причинышкольных бед (они акцентируют в большей степени провалы в учебе, чем успех) — пользуйтесь рекомендуемой системой оценок в РО.
Помните, что ошибка одного можетпородить мысль другого. Не пугайтесь детских ошибок.
Не бойтесь сделать вид, что вычто-то не понимаете, этому всегда можно и нужно найти разумное обоснование.
Не бойтесь признаться в том, чегосами не знаете.
Не пытайтесь объяснить ребенкуто, до чего он может додуматься сам.
Вступайте в диалог с детьмитолько в том случае, если у вас есть разумные аргументы “за” или “против”высказываний детей.
Не требуйте от ребенка словесныхформулировок и обобщений до того, как он выполнит предметное действие иликакое-либо задание.
Знайте, что учебники носятрефлексивный характер: дети вместе со взрослыми конструируют их содержание.Ребенок работает не с картинками из учебников, а с реальными предметами(фигурами), изображенными в нем.
Помните, что неудачи в жизниимеют две причины – недостаток любви и заниженная самооценка, а значит, ребенокособенно нуждается в чувстве собственного достоинства. Просто любите детей и небойтесь им показать это.
Владей собой среди толпысмятенной,
Верь сам в себя наперекорвселенной
И маловерным отпусти им грех.
Пусть час не пробил, жди неуставая,
Пусть лгут жрецы, не снисходи доних,
Умей прощать и не кажись, прощая,
Великодушней и мудрей других. (Р. Киплинг)Литература
1. Выготский Л.С.Педагогическая психология / Под ред. В.В. Давыдова. М.: Педагогика, 1991
2. Воронцов А.Б.Практика развивающего обучения по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. М:ЦПФО “Развитие личности”,1998
3. Давыдов В.В.Виды обучения. М.: Интор, 1996
4. Давыдов В.В.Проблемы развивающего обучения. М.: Педагогика, 1997
5. Давыдов В.В.Теория развивающего обучения. М.: Интор, 1999
6. Давыдов В.В.Учебная деятельность и развивающее обучение //Давыдов В.В. Последниевыступления. ПЦ “Эксперимент”,1998
7. Основы общейпсихологии. М., 1991
8. Дусавицкий А.К.Развитие личности в учебной деятельности. М.: Дом педагогики, 1996
9. Российскаяпедагогическая энциклопедия: в 2-х т. /Гл. ред. В.В. Давыдов. М.: БольшаяРоссийская энциклопедия, 1993, 1998
10. Цукерман Г.А.Виды общения в обучении. Томск: Пеленг, 1993
11. Чуприкова Н.А.Умственное развитие и обучение: психологические основы развивающего обучения.М.: АО “Столетие”, 1995
12. Информационно-методическийжурнал “Феникс”. – 1997 — №6, — 1995 — №3 – (межрегиональный вестник развитияличности)
13. Эрдниев П.М.Обучение математике в начальных классах.
14. А.А. Столяр.Методика начального обучения математике.
15. Давывыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г. “Обучение математике”. М.: Мирос, 1999
16. АлександроваЭ.И. “Методика обучения математике в начальной школе”. М.: Вита-Пресс, 1999
17. АлександроваЭ.И. Математика. М.: “Дом педагогики”, 2000
18. АлександроваЭ.И. Учебные тетради по математике. М.: “Дом педагогики”, 2000
19. АлександроваЭ.И. Развивающие прописи. М.: “Дом педагогики”, 2000
20. Давывыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г. Математика. М.: “Дом педагогики”, 2000
21. Микулина Г.Г.Учимся понимать математику. М.: “Дом педагогики” 2000
22. Захаров А. М.,Фещенко Т.И. Математика. М.: “Дом педагогики” 2000
23. Пачатковаяшкола 2001 — № 6, 11