Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников

Федеральноеагентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
«Вятскийгосударственный гуманитарный университет»
Физико-математическийфакультет
Кафедрадидактики физики и математики
Выпускнаяквалификационная работа

Решениезадач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развитиялогического мышления школьников
Выполнила студентка V курса
физико-математического факультета КоноваловаВера Сергеевна
Научный руководитель: к. пед. н.,
доцент кафедры дидактики физики иматематики Шилова З.В.
Рецензент: к. пед. н., ст. преп.
кафедры дидактики физики и математикиЗеленина Н.А.
 
Работа допущена к защите в ГАК
«___»_________2008 г. Зам. зав. кафедрой __________ М.В. Крутихина
«___»_________2008 г. Декан факультета ____________ Е.В. Кантор
 
Киров 2008

Содержание
 
Введение
1. Анализ учебной и учебно-методическойлитературы погеометрии
1.1. Анализ учебников по геометрииосновной школы
1.2. Анализ учебно-методическойлитературы
2. Логическое мышление: основные понятия.Анализпсихолого-педагогической литературы
2.1. Природа и виды мышления
2.2.Развитие мышления ребенка
2.3.Понятие логического мышления
2.4.Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике
3. Методика решения задач на построение
3.1. Анализ
3.2. Построение
3.3. Доказательство
3.4. Исследование
3.5. Методические рекомендации по обучению решению задач на построение
4. Методы решения задач на построение
4.1. Метод геометрических мест
4.2. Методы геометрическихпреобразований
4.2.1. Метод центральной симметрии
4.2.2. Метод осевой симметрии
4.2.3. Метод параллельного переноса
4.2.4. Метод поворота
4.2.5. Метод подобия
4.3. Алгебраический метод
5. Опытное преподавание
Заключение
Библиографический список
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6/> 
Введение
Геометрические задачи напостроение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчасмогут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И всамом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейкипостроить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, илидаже просто сделать построение параллельной прямой. Современные техническиеустройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, азаодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнитьпри помощи циркуля и линейки.
И все же без задач напостроение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построенияявляются весьма существенным элементом изучения геометрии. Однако, анализсодержания школьного математического образования позволил выявить ряднедостатков в обучении школьников:
1. Наметилась четкаятенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсематематики. Это объясняется тем, что значительно сужена роль задач напостроение, которая соответствует целям обучения, таким как развитие мышления ивоспитание учащихся, и проявляется в виде воздействия на мышление учеников, впервую очередь на логическое. В большинстве случаев, считается, что главная иединственная цель обучения решению таких задач – это формирование практическихумений и навыков построения основных геометрических фигур: треугольников,перпендикуляров, биссектрис и т. п., то есть основное внимание уделяется практическомузначению задач, при этом совершенно не рассматривается вопрос развитиялогического мышления учеников и возможности использования задач на построениепри изучении геометрии.
2. Знания учащихся поданной теме нередко носят формальный характер, наблюдается отсутствиеструктурности. Так, при изучении задач на построение единственное, что требуетучитель – это знание соответствующих алгоритмов построений. При этом необъясняется, как получен данный алгоритм. Поэтому ученик вынужден запоминатьматериал без понимания.
3. В настоящий момент вшколе недостаточно уделяется внимания рассмотрению таких основных методоврешения задач на построение как метод преобразований, алгебраический метод, методгеометрического места точек.
4. У учащихся нет четкогопредставления об этапах решения задач на построение: анализе, построении,доказательстве и исследовании, которые точно соответствуют этапам любогологического рассуждения. Практически не уделяется внимание одному из важныхэтапов – исследованию, в котором учащиеся зачастую не видят смысла, несмотря нато, что он, в свою очередь, является хорошим средством развития логическогомышления.
Перечисленные вышенедостатки и определили проблему исследования.
Проблема исследования заключается в рассмотрении на основепсихологии, педагогики и методики преподавания математики возможности развитиялогического мышления учащихся при решении задач на построение в курсе основнойшколы.
Цель исследования: разработать методическиерекомендации при решении задач на построение, способствующие развитиюлогического мышления учащихся.
Объект исследования: процесс обучения геометрии учащихсяв курсе основной школы.
Предмет исследования: процесс обучения решению задач напостроение.
Гипотеза: применение разработанныхметодических рекомендаций при решении задач на построение будут способствоватьнаиболее эффективному развитию логического мышления учащихся при обучениигеометрии в курсе основной школы.
Задачи:
1) провести анализучебных программ, учебной и учебно-методической литературы;
2) рассмотреть понятиелогического мышления;
3) рассмотреть основныеэтапы решения задач на построение;
4) разработатьметодические рекомендации по обучению решению задач на построение;
5) рассмотреть методырешения задач на построение;
6) осуществить опытное преподавание.
Методы исследования:
1)   анализ учебной, учебно-методической,психолого-педагогической литературы;
2)   наблюдение;
3)   анкетирование;
4)   проведение психологических методик;
5)   проведение опытного преподавания.
1.Анализ учебной и учебно-методической литературыпо геометрии
Нами был предварительно проведени анализ программы по математике (см. Приложение 1).
А также анализ учебниковпо математике для 5-6 классов.
1) Н.Я. Виленкин“Математика 5” [12]:в учебнике две главы “Натуральные числа” и “Дробные числа”, каждая содержитчетыре параграфа. В нем первым из построений с помощью линейки (Глава 1,§1)является построение отрезка (далее уже многоугольника). А также изучаетсясравнение отрезков с помощью циркуля. Далее идет изучение прямой и луча.Следующие построения рассматриваются в начале второй главы в пункте окружностьи круг. А именно построение окружности с помощью циркуля. В конце курсашкольники учатся обращаться с чертежным треугольником (построения прямогоугла).
Н.Я. Виленкин“Математика 6” [13]:в этом учебнике также две главы “Обыкновенные дроби” и “Рациональные числа”,каждая содержит четыре параграфа. В конце курса учащиеся знакомятся сперпендикулярными и параллельными прямыми и строят их с помощью чертежноготреугольника и линейки.
2) Г.В. Дорофеев“Математика 5” [14]:в данном учебнике первым из построений с помощью линейки является построениепрямой, проходящей через две данные точки, а также построение окружности спомощью циркуля. Далее следует изучение луча и сравнения отрезков с помощьюциркуля. В следующей главе рассматривается понятие угла и его построение, в томчисле с помощью угольника. Третья глава посвящена изучению многоугольников, вчастности прямоугольников и треугольников.
Г.В. Дорофеев“Математика 6” [15]:в главе 2 ‘Прямые и окружности’ знакомит учащихся с перпендикулярными ипараллельными прямыми, и их построением с помощью угольника и линейки. Далееопределяются касательная к окружности, концентрические окружности, ирассматриваются варианты взаимного расположения прямой и окружности, двухпрямых на плоскости. Предлагаются различные задачи на построение касательной кокружности; окружности, касающейся двух параллельных прямых; двух окружностей.Одна из глав учебника посвящена изучению симметрии: осевой и центральной.Предлагаются задачи на построение симметричных фигур, а также на нахождениекратчайшего пути. Также имеется глава, посвященная фигурам на плоскости, вчастности треугольникам и параллелограммам. В ней рассматривается построениетреугольника по трем сторонам и предлагаются задачи на построение различныхтреугольников (прямоугольных, равнобедренных, остроугольных, тупоугольных). 1.1 Анализучебников по геометрии основной школы
1)   Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]
а) 7 класс: содержитчетыре главы. Тема “Задачи на построение” изучается в конце главы 2“Треугольники”. В этом параграфе содержатся пункты “Окружность”, “Построенияциркулем и линейкой” и “Примеры задач на построение”. Основываясь на том, чтоучащиеся умеют с 5 и 6 класса выполнять основные построения с помощью циркуля илинейки, в теме рассматриваются задачи на построение такие как: построениеотрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построениебиссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка. Схема, по которойрешаются задачи на построение, не вводится. Основная цель главы 2 – отработатьнавыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки (см.Приложение 1).
В главе 3 “Параллельныепрямые” рассматривается построение параллельных прямых с помощью чертежноготреугольника и линейки, а также с помощью циркуля и линейки по заданной прямойи точке (в форме задачи).
В главе 4 “Соотношениямежду сторонами и углами треугольника” рассматривается задача о построениитреугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим кней углам и по трем сторонам. Данная глава содержит целый блок задач напостроение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач напостроение различных треугольников по различным элементам.
В конце 7 класса такжеимеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которойрешают задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Приводитсяпример.
б) 8 класс: содержит пятьглав. В главе 5 “Четырехугольники” после изучения многоугольника,параллелограмма и трапеции вводится блок задач на построение параллелограмма итрапеции по различным элементам. Перед этим еще раз идет повторение схемырешения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника,ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение.
В главе 7 “Подобныетреугольники” рассматриваются задача на построение треугольника, при решениикоторой применяется метод подобия (в данном случае треугольников), в качествепрактического приложения подобия треугольников. Также приводится ряд задач напостроение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основнаяцель главы 7 – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умениеприменять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решенияпрямоугольных треугольников (см. Приложение 1).
В начале главы 8“Окружность” в пункте “Касательная к окружности” решается задача о проведениикасательной к окружности через данную точку. Говорится о том, что решениеподобных задач основано на теореме (признаке касательной). Также в главеизучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение(касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) содержиткаждый пункт главы. Основная цель главы 8 – дать учащимся систематизированныесведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях (см.Приложение 1).
В конце 8 класса вразделе задач повышенной трудности встречается задача на построениеравнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построениявстречаются в задачах на повторение.
в) 9 класс: содержитчетыре главы. В главе 12 “Длина окружности и площадь круга” в §1 “Правильныемногоугольники” рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагаетсяс помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники.Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 –расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках(см. Приложение 1).
В главе 13 “Движения”изучаются симметрии, поворот и параллельный перенос. В конце главы содержатсязадачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основнаяцель главы 13 – познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями,параллельным переносом, поворотом (см. Приложение 1).
2) А.В.Погорелов [5]
а) 7 класс: содержит пятьпараграфов. В §1 “Основные свойства простейших геометрических фигур”рассматривается, как построить параллельные прямые с помощью угольника илинейки. В §2 “Смежные и вертикальные углы” рассматривается, как построить перпендикулярныепрямые с помощью угольника и линейки. §5 “Геометрические построения” содержитпункт “Что такое задачи на построение”, где рассказывается о чертежныхинструментах и о том, что значит решить задачу на построение. Схема решения невводится. В следующих пунктах рассматриваются задачи на построение треугольникас данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезкапополам; построение перпендикуляра к прямой. Далее идут пункты “Геометрическоеместо точек”, в котором вводится определение ГМТ и Теорема о ГМТ,равноудаленных от двух данных точек; а также “Метод геометрических мест”,который раскрывает сущность данного метода. В конце параграфа приводится рядзадач на построение для самостоятельного решения. В основном это задачи напостроение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Основнаяцель §5 – решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки(см. Приложение 1).
б) 8 класс: содержит пятьпараграфов. В конце §6 “Четырехугольники” содержится задача на построениичетвертого пропорционального отрезка. Также содержится ряд задач на построениепараллелограмма, ромба и трапеции по данным элементам. Основная цель §6 – датьучащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах (см.Приложение 1). В §9 “Движение” изучаются геометрические преобразования:центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос. В концепараграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методахданных преобразований. Основная цель §9 – познакомить учащихся с примерамигеометрических преобразований (см. Приложение 1).
в) 9 класс: в §11“Подобие фигур” изучаются геометрические преобразования: подобие и гомотетия. Вконце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано наметодах данных преобразований. Основная цель §11 – усвоить признаки подобиятреугольников и отработать навыки их применения (см. Приложение 1). В §13“Многоугольники” рассматриваются построения некоторых правильныхмногоугольников. В конце имеется пара задач: вписать в окружность n-угольник и описать около окружностиправильный n-угольник. Основная цель §13 – расширитьи систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях (см. Приложение1).
3) А.Д. Александров,А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]
а) 7 класс: содержит триглавы. В главе 1 “Начала геометрии” в §5 “Окружность и круг” содержится пункт“Построения циркулем и линейкой”, в котором рассказывается о чертежныхинструментах, с помощью которых выполняются задачи на построение. Тут же приводитсязадача на построение треугольника, стороны которого равны сторонам данноготреугольника. Приводится построение, доказательство и исследование, но на общейсхеме внимание не заостряется. §6 “Углы” содержит пункт “Построение угла,равного данному, циркулем и линейкой”. Для самостоятельного решения задач нет. В§7 “Действия над углами” рассматривается задача на построение биссектрисы угла,которая решает еще две задачи: в данной точке прямой провести перпендикуляр кней, построить прямой угол. Также параграф содержит пункт “Задача о деленииугла на равные части циркулем и линейкой”, в котором рассказывается онеразрешимости задачи о трисекции угла. Основная цель главы 1 – рассказать озадачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения(см. Приложение 1).
В главе 2 “Треугольники”в §10 “Признаки равенства треугольников” рассматривается задача о построениитреугольника по двум сторонам и углу между ними. В §11 “Серединныйперпендикуляр” первыми пунктами идут задачи о делении отрезка пополам и опостроении перпендикуляра к данной прямой через данную точку, не лежащую наданной прямой. В конце параграфа содержится несколько задач на построение. Основнаяцель главы 2 – развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля илинейки, начать знакомство с симметриями фигур (см. Приложение 1).
В главе 3“Параллельность” в §13 “Параллельные прямые” изучается, как строитьпараллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §14 “Аксиомапараллельности” рассматривается задача о построении треугольника по стороне идвум прилежащем к ней углам.
б) 8 класс: содержит триглавы. В главе 5 “Метрические соотношения в треугольнике” в § “Применениетеоремы Пифагора” содержится пункт “Геометрическое место точек”, гдеобъясняется, что значит, когда про фигуру говорят, что она является ГМТ,обладающих данным свойством. Также приводятся примеры, каким ГМТ являютсябиссектриса и серединный перпендикуляр. Параграф содержит такие задачи как,например, найти ГМТ, равноудаленных от прямой на данное расстояние; найти ГМТ,равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.
в) 9 класс: содержит двеглавы. В главе 7 “Многоугольники и окружности” в задачах для самостоятельногорешения к §31 “Хорды и касательные” содержатся задача на нахождение ГМТ, изкоторых данный отрезок виден под данным углом; задача на построение касательнойк окружности из данной точки, общей касательной к двум окружностям. §33“Правильные многоугольники” содержит пункт “Построение правильныхмногоугольников” с помощью циркуля и линейки. Также в нем рассказывается о том,что циркулем и линейкой могут быть построены не все правильные n-угольники, а только те, у которых n имеет определенное разложение. Предлагаетсярешить задачи: вписать в окружность различные правильные n-угольники. В §35 “Площадь круга”рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга.
В главе 8 “Другие методыгеометрии” в §36 “Метод координат” содержится пункт “Окружность Аполлония”, гдерешение задачи о ГМТ, отношение расстояний от которых до двух данных точек естьпостоянная величина. В §40 “Виды движений” рассматриваются “Метод параллельногопереноса”, “Метод симметрии” и “Метод поворота”. Приводятся примеры задач напостроение, решение которых основано на данных методах. В задачах длясамостоятельного решения к §40 содержатся задачи на отработку изученныхметодов, в том числе задачи на построение трапеции и треугольника по даннымэлементам. В §42 “Подобие” рассматривается “Метод подобия”. В качестве примераприводится задача на построение четвертого пропорционального отрезка. В задачахдля самостоятельного решения к §42 содержатся задачи на отработку изученного метода,в том числе задачи на построение прямоугольного треугольника по отношениюкатетов к гипотенузе и по отношению катетов к периметру. А также задачи:построить квадрат, вписанный в треугольник, ромб, сегмент; построить сегмент,вписанный в равносторонний треугольник, квадрат, окружность. Основная цельглавы 8 – познакомить учащихся с методами, отсутствовавшими в классическойэлементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль:методом координат, векторным методом, методом преобразований (см. Приложение1).
4) А.П. Кисилев, Н.А. Рыбкин[8]
Учебник содержит пятьглав и сборник задач по геометрии.
В главе 1 “Прямая линия”в §1 “Углы ” рассматривается построение перпендикулярных прямых с помощьюугольника и линейки. §3 “Треугольники” содержит пункт “Геометрическое место”,где дается определение ГМТ, и приводятся примеры: что является ГМТ серединногоперпендикуляра и биссектрисы. Далее следует § 4 “Основные задачи напостроение”, где рассматриваются задачи на построение треугольника по трем егосторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикуляра к прямой изданной точки, лежащей и не лежащей на прямой; серединного перпендикуляра;задача о делении отрезка пополам; построение треугольника по основанию, углу,прилежащему к основанию, и сумме двух боковых сторон. После рассмотренных задачприводится схема решения задач на построение: анализ, построение,доказательство, исследование. В конце §4 имеется блок задач на построение длясамостоятельного решения, который содержит задачи на построение суммы, разностиуглов; деление угла на nчастей; построение различных треугольников по различным элементам; разделениеданного отрезка на n равных частей;задачи на нахождение ГМТ, равноудаленных от двух данных точек, от трех вершинтреугольника, от трех сторон треугольника и т.д. В §5 “Параллельные прямые”рассматривается построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки. §6“Параллелограммы и трапеции” содержит пункт “Задачи на построение”, в которомрассматриваются методы параллельного переноса, симметрии и примеры задач. Такжеучащимся предлагается самостоятельно решить задачи на построение трапеций,четырехугольников и треугольников по различным данным элементам, основываясь наизученных методах. В конце главы 1 имеется ряд задач на нахождение ГМТ и блокзадач на построение.
В главе 3 “Подобныефигуры” в §4 “Подобие фигур произвольного вида” имеется пункт “Задачи напостроение”, в котором рассматривается метод подобия, но задач на применениеметода данный пункт не содержит. В §5 “Некоторые теоремы о пропорциональныхотрезках” рассматривается задача о построении четвертого пропорциональногоотрезка. В §6 “Метрические соотношения между элементами треугольника инекоторых других фигур” рассматривается задача о построении отрезка, среднегопропорционального между двумя данными отрезками. §8 “Тригонометрические функцииострого угла” содержит пункт “Построение угла по заданной величине одной из еготригонометрических функций”. В §9 “Понятие о приложении алгебры к геометрии”рассматривается задача о разделении отрезка в среднем и крайнем отношении, азатем следует пункт “Алгебраический способ решения геометрических задач”,который раскрывает алгебраический метод решения задач на построение. Следующимпунктом идет “Построение простейших формул” с помощью циркуля и линейки. Вконце главы 3 содержится ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.
В главе 4 “Правильныемногоугольники” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается задача:вписать в данный круг правильный десятиугольник и определить его сторону взависимости от радиуса. Также далее в пункте “На сколько равных частей можноделить окружность с помощью циркуля и линейки?”, в котором дается указание, какразделить окружность на определенное равное количество частей (и вписать вокружность правильные многоугольники с таким числом сторон).
В главе 5 “Измерениеплощадей” в §1 “Площади многоугольников” рассматриваются задачи на построениетреугольника (квадрата), равновеликого данному; квадрата, площадь которогоравна сумме (разности) площадей двух данных квадратов; площадь которогоотносится к площади данного квадрата, как m:n;разделить данный треугольник на m равновеликих частей прямыми, параллельными его стороне. В §2 “Площадькруга и его частей” приводится пункт, в котором рассказывается о неразрешимойзадаче о квадратуре круга. В конце главы 5 содержится блок задач на построение.
В сборнике задач такжеимеются задачи на построение.
Вывод: В учебниках для 5-6 классов задачи напостроение практически не рассматриваются как самостоятельные. Чаще всего этозадания на построение фигур по заданным размерам. Процент заданий на построениеиз всех геометрических заданий: 5 класс – 39%, 6 класс – 34%. В целом картинакажется достаточно отрадной. Однако если учесть, что сам по себе геометрическийматериал в учебниках не превышает 13-16% от всего содержания учебника, тоуказанный процент заданий на построение падает до 4-6% [3].
 Во всех учебниках погеометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются каксамостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарныепостроения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному;построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки,не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках(кроме учебника [7]) рассматривается метод геометрического места точек. Схемарешения приводится в учебниках [7], [8]. В учебнике [6] схема приводится безанализа. В учебнике [5] ее нет.
В 8-9 классах встречаютсязадания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольныетреугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольникиособых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) – по сторонам и диагоналям.Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники ичетырехугольники.
Алгебраический методрешения задач на построение приводится только в учебнике [8]. В учебнике [6]рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.
В таблице приведенколичественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках:Учебники Класс Всего задач в учебнике Из них на построение Процент от общего числа задач Александров А.Д. и др. “Геометрия 7-9” 7 33 8 24 8 643 95 15 9 556 89 16 Атанасян Л.С. и др. “Геометрия 7-9” 7 362 90 25 8 448 64 14 9 321 36 11 Погорелов А.В. “Геометрия 7-9” 7 218 42 20 8 298 35 12 9 206 10 5
Рассматривая учебники,можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение.Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает.Быть может ситуация обусловлена тем, что к 9 классу у всех школьников ужеразвито логическое и пространственное мышление, сформированы графические уменияи навыки, они легко и верно читают любой чертеж, не затрудняются с егоинтерпретацией, легко строят любой нужный чертеж по тексту задачи? Увы,ситуация совсем не такова. Так как задания на построение составляют базу дляработы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умениячитать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, тонедостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного илогического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Этинедостатки не позволяют ученику эффективно изучать те разделы математики, гдесамостоятельно сделанная и хорошо понятая графическая интерпретация являетсятем самым “лучом света в темном царстве”, которого так иногда не хватаетшкольнику при изучении математики.1.2 Анализучебно-методической литературы
 
1) И.Ф. Шарыгин“Задачи по геометрии (Планиметрия)” [28]
Книга, состоящая из двухчастей, включает более 600 задач по планиметрии. Вторая часть содержитпараграф, посвященный теме геометрических мест точек. Задач предлагаетсянемного, они достаточно сложные, предназначенные по большей мере дляспециализированных классов, для студентов. Задачи сопровождаются указаниями иподробными решениями. В некоторых других параграфах второй части, таких как,например, “Треугольник” и “Окружности и касательные”, также встречаются задачина нахождение геометрического места точек.
2) В.В. Прасолов“Задачи по планиметрии (в двух частях)” [22] [23]
В этот сборник включенынестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению сошкольными знаниями уровня. Для всех задач прилагаются решения. Книга состоит издвух частей. Первая содержит классические темы планиметрии, вторая –геометрические преобразования и задачи на олимпиадную и кружковую тематику.
Всего 29 глав. За основуклассификации задач приняты методы решения геометрических задач. Одна из главпосвящена методу ГМТ, которая содержит достаточное количество задач на построениеразного уровня сложности, в которых применяется данный метод. Применяются какосновные ГМТ, так и более сложные.
Есть глава, посвященнаягеометрическим построениям треугольников, четырехугольников, окружностей спомощью различных методов, включает в себя разнообразный набор задач напостроение. Кроме того, в этой главе рассматриваются построения с помощью однойлинейки, одной двусторонней линейки, с помощью одного прямого угла. Также здесьприводятся необычные построения (например, деление угла на n равныхчастей).
Имеются отдельные главы,посвященные методам параллельного переноса, центральной симметрии, осевойсимметрии, поворота, гомотетии, в которых также хорошо отражена суть методов исодержится хороший набор задач разного уровня на применение каждого метода.Даются основные понятия к каждой главе.
3) Я.П. Понарин“Элементарная геометрия (в двух томах)” [20] [21]
Книга предназначена дляболее углубленного изучения элементарной геометрии. Для учащихся школ, лицеев,гимназий с математической специализацией и студентов. Первый том посвященпланиметрии и преобразованиям плоскости, второй – стереометрии ипреобразованиям пространства.
В данном пособии уделеномного внимания методу геометрических преобразований, в связи с тем, что чистогеометрические методы в последнее время отходят на второй план и данный методдо сих пор не нашел своего места в школьном курсе геометрии. Как пишет автор,его пытались изучать с самого начала, растянув на всю восьмилетнюю школу.Теперь предполагается заняться им в конце изучения планиметрии. Но по-прежнемуученики не владеют им даже на начальном уровне. В книге расширен материалшкольных учебников, добавлены многие геометрические факты. Теориягеометрических построений вынесена за рамки пособия. В систематическом видеизложен теоретический и задачный материал по методу геометрическихпреобразований плоскости. Он позволяет оригинально и красиво решать многиегеометрические задачи. Большую часть пособия составляют задачи различнойстепени трудности, к большинству из них даны ответы или краткие указания.
Первый том содержит двечасти. Вторая часть посвящена преобразованиям плоскости. В частности две первыеее главы описывают движения плоскости и методы решения задач на построение(центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие).
Второй том также содержитдве части. В первой части четвертая глава посвящена ГМТ. Здесь рассматриваютсяразличные ГМТ плоскости, а также ГМТ пространства: разность квадратоврасстояний, сумма квадратов расстояний, сфера Аполлония. Применение метода ГМТдля решения стереометрических задач. Вторая часть посвящена преобразованиямпространства аналогично второй части первого тома. Две первые ее главыописывают движения пространства и методы решения задач на построение(центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие).
В книге отдельно не выделяетсяприменение метода ГМТ для планиметрических задач, а также не рассмотреналгебраический метод.
4) И.И. Александров“Сборник геометрических задач на построение с решениями” [1]
Книга насчитывает более600 задач на построение, что представляет учащимся и преподавателям огромныйвыбор. В основном книга посвящена решению задач на построение при помощициркуля и линейки, но последний раздел посвящен решению задач одним циркулем,двусторонней линейкой, прямого или острого угла, односторонней линейкой с применениемвспомогательной окружности Штейнера.
Сборник можно разделитьна три части, включающие: 1) основные построения; 2) задачи, приучающие кпостроениям; 3) задачи на различные методы решения (метод ГМТ, методгеометрических преобразований, алгебраический метод). Представлен очень хорошийнабор задач различной степени сложности, на применение различных методов, иприведены решения. Каждый метод подробно описан, приведены примеры. Также вкниге рассмотрена тема: “Применение тригонометрии к решению геометрическихзадач на построение”. Вывод:Во всех книгах достаточно хорошо рассмотрены те или иныеметоды решения задач на построение, приведены решения задач. В книге [28]представлены задачи только на метод ГМТ. Сборники [22], [23] содержат отдельныеглавы, посвященные различным методам (кроме алгебраического). Включенные в нихзадачи имеют несколько повышенный по сравнению со школьными знаниями уровень.Наиболее оптимальным из рассмотренных книг, по нашемумнению, является сборник [1], он содержит много задач на применение различныхметодов. Причем только в нем рассматривается алгебраический метод. Кроме того, достаточно хорошими книгами являются пособия [20],[21]. В них наилучшим образом представлена тема геометрических преобразований итолько здесь рассматривается ГМТ пространства.
2.Логическое мышление: основные понятия. Анализпсихолого-педагогической литературы2.1 Природа ивиды мышления
 Существуют различныеподходы к понятию “мышление”. Приведем некоторые из них.
Мышление – высшая формаактивного отражения объективной реальности, состоящая в целенаправленном,опосредованном и обобщенном познании субъектом существующих связей и отношенийпредметов и явлений в творческом созидании новых идей, в прогнозированиисобытий и явлений [27].
Мышление – социальнообусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков иоткрытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражениядействительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основепрактической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за егопределы [16].
Мышление отражает бытие в его связях и отношениях, в его многообразныхопосредованиях.
Мышление — это обобщенное отражениеобъективной действительности в ее закономерных, наиболее существенных связях иотношениях. Оно характеризуется общностью и единством с речью. Другими словами,мышление есть психический процесс познания, связанный с открытием субъективнонового знания, с решением задач, с творческим преобразованием действительности.
Мышление – психическийпроцесс обобщенного и опосредованного отражения устойчивых, закономерныхсвойств и отношений действительности, существенных для решения познавательныхпроблем, схематической ориентации в конкретной ситуациях.
Выделяют следующие виды мышления [26]:
1) Наглядно-действенное мышление. Основная характеристика этого мышления: решение задачи осуществляется спомощью реального преобразования ситуации, с помощью наблюдаемого двигательногоакта.
2) Образное (или наглядно-образное) мышление.Функции образного мышления связаны с представлениемситуаций и изменений в них, которые человек хочет получить в результате своейдеятельности, преобразующей ситуацию; с конкретизацией общих положений. Спомощью образного мышления более полно воссоздается все многообразие различныхфактических характеристик предмета. В образе может быть зафиксировано одновременноевидение предмета с нескольких точек зрения. Очень важная особенность образногомышления — установление непривычных, “невероятных” сочетаний предметов и ихсвойств. В отличие от наглядно-действенного мышления при наглядно-образном мышленииситуация преобразуется лишь в плане образа.
3) Теоретическое (или словесно-логическое) мышление.Это мышление характеризуется использованием понятий,логических конструкций, существующих, функционирующих на базе языка, языковыхсредств.Теоретическое мышление выявляет всеобщее отношение, исследует объект познания всистеме его необходимых связей. Его результат – построение теоретическихмоделей, создание теорий, обобщение опыта, раскрытие закономерности развитияразличных явлений, знание которых обеспечивает преобразовательную деятельностьчеловека. Теоретическое мышление неразрывно связано с практикой, но в своихконечных результатах имеет относительную самостоятельность.
Описанная классификация (тройка) не является единственной. В психологическойлитературе используется несколько “парных” классификаций [26]:
1) Теоретическое и практическое мышление по типу решаемыхзадач и вытекающих отсюда структурных и динамических особенностей. Теоретическое мышление — это познаниезаконов, правил. Основная задача практическогомышления — подготовка физического преобразованиядействительности: постановка цели, создание плана, проекта, схемы. Одна изважных особенностей практического мышления заключается в том, что оноразвертывается в условиях жесткого дефицита времени. В практическом мышленииочень ограниченные возможности для проверки гипотез. Все это делаетпрактическое мышление подчас еще более сложным, чем мышление теоретическое.Теоретическое мышление иногда сравнивают с мышлением эмпирическим. Здесь вкачестве критерия используется характер обобщений, с которыми имеет дело мышление:в одном случае это научные понятия, а в другом — житейские, ситуативныеобобщения.
2) Интуитивноеи аналитическое (логическое) мышление. Обычно используются трипризнака: временной (время протекания процесса), структурный (членение наэтапы), уровень протекания (осознанность или неосознанность). Аналитическое (логическое) мышление развернуто во времени, имеет четковыраженные этапы, в значительной степени представлено в сознании самогомыслящего человека. Интуитивноемышление характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженныхэтапов, является минимально осознанным.
3) Реалистическоеи артистическое мышление. Реалистическоемышление направлено в основном на внешний мир, регулируетсялогическими законами. Артистическоемышление связано с реализацией желаний человека. Иногда используетсятермин эгоцентрическое мышление, оно характеризуется,прежде всего, невозможностью принять точку зрения другого человека.
4) Продуктивное и репродуктивное мышление. Различиеосновано на степени новизны получаемого в процессе мыслительной деятельностипродукта по отношению к знаниям субъекта.
Сравнительная таблицаосновных видов мышления (см. Приложение 2).
2.2 Развитиемышления ребенка
В преддошкольном возрасте (до трех лет включительно)мышление в основном наглядно-действенное.
В возрасте четырех – семи лет возникает наглядно-образноемышление в простейшей форме преимущественно у дошкольников. Дошкольники мыслятлишь наглядными образами и еще не владеют понятиями (в строгом смысле) [17].
В школьном возрасте в процессе систематического мышление ребенка начинаетперестраиваться и развивается теоретическое мышление.
По мере формирования теоретического мышления ребенок, подросток все большеучится осознавать обобщенные закономерности явлений. Ребенок не столько всеглубже познает действительность, по мере того как развивается его мышление,сколько его мышление все более развивается, по мере того как углубляется егопознавательное проникновение в действительность.
С 11 до 14 лет резко возрастает значимость причинных связей в мышленииребенка, причем сначала сильно преобладает интерес к причинам явлений. Затемсоотношение изменяется: подростка начинает больше интересовать будущее, егомышление начинает направляться на раскрытие следствий. Вместе с тем от установленияединичных причинно-следственных зависимостей в частных наглядных ситуациях оноподнимается к пониманию общих закономерностей.
Новый уровень отвлеченной теоретической мысли сказывается также вовзаимоотношениях мышления и речи, а также мышления и наглядно-образного содержаниявосприятия, представления.
В отношении между мышлением и речью новый уровень мышления находит себевыражение в том, что: а) значительную роль в речи начинают играть термины; б) другим выражением того же сдвига вмышлении является развивающееся в этот период понимание метафорического переносногозначения слов; в) особенно заостренно сказываются особенности речевой формыотвлеченного мышления в умении оперировать формулами с буквенными обозначениями(алгебра, логика).
Развитие мышления ребенка происходит поэтапно, представляет собой некоторыеступени развития. При этом высшие ступени, развиваясь, не вытесняют низших, апреобразуют их. Когда развивается теоретическое мышление, то ни наглядно-действенное,ни наглядно-образное мышление, конечно, не исчезают, а преобразуются, совершенствуются,сами поднимаются на высшую ступень. Между ними создаются многообразнейшие,сложные, от случая к случаю индивидуально варьирующиеся взаимоотношения.
На различных этапах развития мышления разные области знания являются тойбазой, на которых формируются более высокие формы мышления, на которых онораньше всего переходит на высшую ступень. В раннем возрасте такой областьюявляется арифметика. При переходе из начальной в среднюю школу такую же роль вразвитии отвлеченного мышления может играть алгебра. В разные периоды разныенауки вносят каждая свой специфический вклад в развитие мышления и могутявиться тем плацдармом, на котором раньше формируются те или иные стороны болеевысоких ступеней мышления [24].2.3 Понятиелогического мышления
Логическоемышление как феномен изучается различными науками: философией, психологией,логикой. Каждая из них по-своему, что вполне справедливо, определяет егосущность.
Так,например, в одних источниках логическим мышлением называют процесс мышления, вкотором умозаключения строго основываются на правильных суждениях. При такоммышлении явление получает убедительное объяснение, безошибочно устанавливаютсяпричины и следствия, выявляются связи и отношения между понятиями, которыевыражаются в суждениях, верность которых нельзя опровергнуть.
В других – определяютсловесно-логическое мышление как один из видов мышления, характеризующийсяиспользованием понятий, логических конструкций.
В своюочередь, в словаре психологических понятий К.К. Платонова логическое мышлениеопределяется как “вид мышления, сущность которого в ориентировании понятиями,суждениями и умозаключениями с использованием законов логики” [19].
Отметим, чтов психолого-педагогической литературе “логическое мышление” практическиотождествляется с понятием “абстрактное”, “теоретическое”, “понятийное”,“категориальное”, “словесно-логическое (дискурсивное)” мышление, иногда онирассматриваются как синонимы.
Но при этом все сходятсяв том, что логическое мышление – есть абстрактное, аналитическое, синтетическоемышление, функционирующее на базе языковых средств, активно развивающееся учеловека, начиная с определенного возраста – с началом его обучения.
Цель развития логическогомышления (определенность, последовательность, доказательность мысли)достигается решением следующих задач: овладение основными мыслительнымиоперациями, структурой логических форм мышления, переносом приемов мыслительнойдеятельности из одной области знаний в другую. Организация логическойподготовки базируется на принципах преемственности, учета возрастныхособенностей, раскрытия общезначимости логических форм и отношений и др.; асодержание ее включает основные логические умения и соответствующие иммыслительные операции. Развитие логического мышления осуществляется посредствомизучения процесса мышления, активного использования речи, соединения ивзаимообогащения всех видов мышления.
2.4 Развитиелогического мышления школьников в процессе обучения математике
Отметим, что развитиелогического мышления непосредственно связано с процессом обучения математике. Приэтом многие исследователи отмечают, что одной из важнейших задач обучения, втом числе и математике, в школе является формирование у учащихся навыковосуществления логических операций, обучение их различным приемам логическогомышления, вооружение знаниями логики и выработки у школьников умений и навыковиспользования этих знаний в учебной и практической деятельности.
В результате правильноорганизованного обучения математике школьники весьма быстро приобретают навыкилогического мышления, в частности, умение обобщать, классифицировать иаргументированно обосновывать свои выводы.
Вместе с тем нет единогоподхода к решению вопроса, как организовать такое обучение математике. Однисчитают, что логические приемы являются неотъемлемой частью математики какнауки, основы которой включены в содержание образования, поэтому у учащихся приизучении математики автоматически развивается логическое мышление на основезаданных образов (В.Г. Бейлинсон, Н.Н. Поспелов, М.Н. Скаткин).
Другой подход выражаетсяво мнении части исследователей о том, что развитие логического мышления толькочерез изучение учебных предметов, в том числе и математики, являетсямалоэффективным, такой подход не обеспечивает полноценного усвоения приемовлогического мышления и поэтому необходимы специальные учебные курсы по логике(Ю.И. Веринг, Н.И. Лифинцева, В.С. Нургалиев, В.Ф. Паламарчук).
Еще одна группа ученых(Д.Д. Зуев, В.В. Краевский) считают, что развитие логического мышления учащихсядолжно осуществляться на конкретном предметном содержании учебных дисциплинчерез акцентуацию, выявление и разъяснение встречающихся в них логических операций.
Но каков бы ни был подходк решению этого вопроса, большинство исследователей сходятся в том, чторазвивать логическое мышление в процессе обучения математике это значит:развивать у учащихся умение сравнивать наблюдаемые предметы, находить в нихобщие свойства и различия; вырабатывать умение выделять существенные свойствапредметов и отвлекать (абстрагировать) их от второстепенных, несущественных;учить детей расчленять (анализировать) предмет на составные части в целяхпознания каждой составной части и соединять (синтезировать) расчлененныемысленно предметы в одно целое, познавая при этом взаимодействие частей ипредмет как единое целое; учить школьников делать правильные выводы изнаблюдений или фактов, уметь проверять эти выводы; прививать умение обобщатьфакты; развивать у учащихся умение убедительно доказывать истинность своихсуждений и опровергать ложные умозаключения; следить за тем, чтобы мыслиучащихся излагались определенно, последовательно, непротиворечиво, обоснованно.
Решение задач напостроение, несомненно, развивает логическое и активное мышление учащихся. Ниодни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности иправильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность,как геометрические (задачи) на построение.
Большое значение дляразвития логического мышления учащихся имеют и задачи на построение. Наличиеанализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задачпоказывает, что они представляют собой богатый материал для выработки уучащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач напостроение они имеют дело не с конкретной, определенной фигурой, а должнысоздать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения.Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением однихизменяются другие и даже вся фигура. Этим мы приучаем учащихся кдиалектическому методу мышления и по возможности устраняем формализм в знаниях.
Трудно переоценить рользадач на построение в математическом развитии школьников. Они по своейпостановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накоплениеконкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливопредставлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметьмысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могутспособствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрическихфигур, возможности их преобразования – все это является важной предпосылкойразвития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическоемышление, геометрическую интуицию.
Между тем заметим, чтопроцесс формирования логического мышления, общелогических умений, каккомпонента общего образования, должен быть целенаправленным, непрерывным исвязанным с процессом обучения математике на всех ее ступенях.
Вывод: Логическое мышление – естьабстрактное, аналитическое, синтетическое мышление, функционирующее на базеязыковых средств, активно развивающееся у человека, начиная с определенноговозраста – с началом его обучения. Развитие логического мышления – этоформирование у учащихся навыков осуществления логических операций, обучение ихразличным приемам логического мышления, вооружение знаниями логики и выработкаумений и навыков использования этих знаний в учебной и практическойдеятельности. Этот процесс непосредственно связан с процессом обученияматематике, правильная организация которого обеспечивает наиболее эффективноеразвитие логического мышления, в том числе и при решении геометрических задач.При этом ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательностии логического мышления, представляя в то же время для них и наибольшуюпривлекательность, как задачи на построение.
3.Методика решения задач на построение
Суть решения задачи напостроение состоит в том, что требуется построить наперед указаннымиинструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторыесоотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.
Каждая фигура,удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.
Найти решение задачи напостроение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то естьуказать конечную последовательность основных построений, после выполнениякоторых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиомконструктивной геометрии.
Одной из основных проблемметодики обучения решению задач на построение является методика введения иизучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э.древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение,которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа:анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап болееподробно.3.1 Анализ
Анализ — это важный этапрешения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи напостроение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между даннымифигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить этуискомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализуже не нужен).
Анализ –подготовительный, предварительный этап решения задачи на построение.
Чтобы облегчить себепоиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказываетсявыгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок,изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, котороепредусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз – это проектчертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.
На вспомогательномчертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы.Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не сданной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к нейданные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи.
Если вспомогательныйчертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаютсяобнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, котораяможет быть построена, и которой затем можно воспользоваться для построенияискомой фигуры.
Также надо учитыватьследующие моменты [2]:
1) если на вспомогательномчертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи междуданными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательныефигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересеченияимеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда бывает полезнопроводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;
2) если по условию задачидана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести вчертеж, то есть следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет нанем;
3) в процессе проведенияанализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которыхвстречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условиирассматриваемой задачи.
В Приложении 3 приведенанализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньшийугол при основании и разность двух других сторон”.
Из данного примера видно, что при отыскании решения задачина построение, как и для арифметических задач, применяетсяаналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какиеэлементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобыпостроить искомую фигуру.
Название этапа “анализ” не означает, что для отысканиярешения применяется только аналитический метод, подобно тому, как и придоказательстве, которое иногда называют “синтезом”, не всегда применяетсясинтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей еерешения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют ипроверяют друг друга.3.2 Построение
Второй этап решения задачна построение состоит из двух частей:
1) перечисление вопределенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить,согласно анализу, для решения задачи;
2) непосредственноевыполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов — значитуказать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов,построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет датьответ на вопрос задачи.
Данный этап вводится прирешении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача опостроении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этоголуча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в чемсостоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этогоэтапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построенияискомой фигуры.
/>
Рис. 1
Рассмотрим решение задачи:“Построить квадрат по его диагонали”.
Анализ. Проведя диагональ А1С1(рис. 1), мы видим, что построение квадрата сводится к построению равнобедренногопрямоугольного треугольника А1В1С1 поего гипотенузе A1C1, которыйзатем легко дополнить до квадрата.
Построение. Треугольник А1В1С1можно строить различными способами. Например:
1) Строим угол B1A1C1, содержащий 45°, и на одной егостороне откладываем отрезок А1С1, иравный данной диагонали. Проведя C1B1/>A1B1, получим треугольник А1В1С1,который дополняем до квадрата A1B1C1D1, что можно сделать различнымиспособами.
2) Проведем черезсередину А1С1 перпендикуляр В1О1/>А1С1и отложим B1O1=A1O1 и соединим В1 с А1и С1; получим треугольник A1B1C1.
3) На А1С1,как на диаметре, строим окружность и из точки О1 восставляемперпендикуляр О1В1/>А1С1 допересечения с окружностью в точке B1. Соединив В1 с А1 и С1,получим треугольник A1B1C1. Проведя B1D1/>A1C1, мы сразу можем получить точки B1 и D1, как и в предыдущем случае.Очевидно, что построение треугольника A1B1C1 возможно и другими способами [11].
Решение одной и той же задачинесколькими способами усиливает интерес учащихся к задачам на построение исознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построениевсе время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательностьи инициатива учащихся в нахождении различных и оригинальных способов решения иим трудно научиться самостоятельно решать конструктивные задачи. Они применяютв первую очередь знания изучаемого материала и навыки, полученные при решениизадач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенногометода, то и для предложенной задачи они изберут тот же знакомый им путьрешения, даже если он нерационален. Указаниеучителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, таккак предложенное учителем решение кажется учащимся искусственным, которого онисами не смогли бы найти.
Конечно, если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки вотыскании решений различными способами, то результаты окажутся отрицательными.Внимание учащихся каждый раз будет распыляться между всеми способами, и они ниодного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточносознательно.
Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, приповторении курса геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки врешении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы решения,лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простоерешение.3.3Доказательство
Послетого как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиямзадачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементовопределенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательствосущественно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решатьразличными способами, в зависимости от намеченного при анализе планапостроения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое. Доказательствопредставляет собой часть решения задачи, по своему логическому содержаниюобратную анализу. Если в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовлетворяющаяпоставленным условиям, может быть найдена таким-то и таким-то путем, то в этой,третьей части решения доказывается обратное положение. Это обратное положение вобщем виде может быть сформулировано так: если некоторая фигура получена изданных элементов таким-то построением, то она действительно удовлетворяетпоставленным условиям. В Приложении 3 приведено решениезадачи: “Построить трапецию по четырем сторонам”.
При решении простейшихзадач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане построения,нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким построением,является искомой. Например: “Построить треугольник по двум сторонам и углумежду ними”. Здесь доказательство сводится к простой проверке, такие ли взяли стороны,как данные, и будет ли построенный угол равен данному. В подобных задачах доказательствоявляется излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием построенияанализу и данным условия задачи.
Доказательство не простозависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь ивзаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при анализе.Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство являютсясвоеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана. Еслиплан не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказываетсянерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом идоказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выборплана решения.
Хотя доказательство прирешении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованиемаксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некотороеразличие. При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяютусловие и заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные,на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтомупри решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специальновыделять, что дано, и что требуется доказать. Например, при решении задачи: “Построитьромб по двум его диагоналям” предлагаем ученику записать, что дано (диагоналивзаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать(стороны равны). В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можноне требовать оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения.Нет надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, гдеправильность решения очевидна [11]. 3.4Исследование
При построении обычноограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается,что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачинужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выбореданных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и какпостроить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколькорешений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этихвопросов и составляет содержание исследования [2].
Таким образом,исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить числорешений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольновыбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются именно такие,а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные случаирассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимойполноты исследования, если проводить это исследование по ходу построения, чтоявляется наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность этого приемасостоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагаетсяпостроение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этомшаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.
Рассмотрим решение иисследование задачи: “Построить окружность, касающуюся данной прямой PQ и данной окружности (О; ОА)в заданной на ней точке А”.
 
/>
 
 
 
Рис. 2
 
Решение. Решаем эту задачу методомгеометрических мест. Проводим прямую ОА (рис. 2). В точке Астроим касательную АВ к данной окружности, а затем — биссектрисы углов РВАи ABQ. Точки пересечения прямой ОАс прямыми ВМ и BNи будут центрами искомых окружностей.
Проводя исследование попостроению, легко обнаруживаем, что наше решение не применимо, если OA/>PQ. Для такого случая рассматриваемрешение задачи отдельно. В результате получим, что если ОА неперпендикулярна PQ, то задачаимеет два решения, за исключением случая, когда окружность (О; ОА)пересекает PQ в точке А, так как тогдапрямые ВМ, ВNи ОА пересекутся в точке А, и окружности не получим. Если же OA/>PQ, но А не лежит на PQ, то получаем одну окружность сцентром на ОА и радиусом, равным половине расстояния от точки А доданной прямой PQ. Если жепри этом А лежит на PQ,то задача неопределенная.
Таким образом, для задачиимеются лишь 4 характерные конфигурации исходных данных:
1) ОА неперпендикулярна PQ и Ане принадлежит PQ — 2решения;
2) OA не перпендикулярна PQ и A принадлежит PQ — нет решений;
3) OA/>PQ, но A не принадлежит PQ — 1 решение;
4) OA/>PQи А принадлежит PQ — бесконечное множество решений [11].
В итоге таких рассужденийрешается вопрос о возможности и однозначности построения искомой фигуры даннымспособом. Но остается еще открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, еслиизменить как-либо способ построения? Иногда удается доказать, что всякоерешение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений. Если же этоне удается, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которыемогут быть найдены другими способами. В этих случаях надо тщательно проверить,нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур,которые не были предусмотрены ранее проведенным анализом.
3.5 Методические рекомендациипо обучению решению задач напостроение
Как и в каком месте курса геометрии следует знакомить учащихся с общейсхемой решения задач на построение? Здесь возникаетдва различных методических вопроса [10]. Первый из них — это вопрос о том,с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должныфактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование?Второй вопрос, отличный от первого, — это вопрос, когда учащийся должен бытьознакомлен с логической схемой решения задачи.
Обращаясь к первому вопросу, заметим, что первым по времени вводимымэлементом лучше выбрать построение в смысле перечисления и описания тех илииных операций. Здесь имеется в виду самое описание процесса употребления инструмента(“прикладываем два острия ножек циркуля к точкам М и N, затем, не изменяя расстояния между остриями, помещаем одно из них в точку О” и т. п.). На более высокой ступени отдельные операции просто называются (“описываемиз точки О окружность радиусом MN” или “опускаем из точки С перпендикуляр на прямую АВ”). Наконец, последнейступенью можно было бы считать ту, когда в качестве элементов построения могутназываться и довольно сложные по своему выполнению, но хорошо известныеучащимся задачи (“строим треугольник по гипотенузе и катету”, “проводим източки М касательную к окружности” и т. п.).
Вторым моментом по времени появления в школьном курсе лучше выбратьисследование задачи. Первый элемент исследования появляется при решении задачио построении треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том, можно лявыбрать все три стороны произвольно. К этому должно скоро прибавиться знакомствос возможностью существования нескольких решений одной задачи. Этому моментунужно придавать весьма большую принципиальную значимость. Дело в том, что слова “найти точку” обозначаюттребование “найти все точки, которые...” (а не просто “какую-либо точку, которая...”). Аналогично “решить уравнение” значит “найти все числа, которые удовлетворяют уравнению”(а не просто “какое-либо число, которое...”). “Построить окружность” – это “построить, все окружности, которые...” (а не просто “построить какую-либо окружность, которая...”) и т. д.
Задачи на геометрические построения с двумя решениями (или более) – первыйслучай, когда учащийся встречается с такого рода выражениями в математике, и чрезвычайно важно, чтобы учащийся привыкалк ним с самого начала, с 7-8 класса. Иначе совершенно неизбежно возникновение вдальнейшем вопросов такого типа, как “зачем при извлечении корня брать обазнака”. Сам термин “исследование” должен появиться многораньше, чем, скажем, термин “анализ”.
Третьим моментом, появляющимся, примерно, в одно время с элементамиисследования, является доказательство правильности выполнения построения. Уже такиезадачи в 7 классе как построение угла, равного данному, построение перпендикуляровс помощью циркуля и линейки и т. д. ставят на очередь вопрос о том, будет липостроенный угол действительно равен данному, будет ли построенная прямаяперпендикулярна к данной? Однако и на этой стадии работы и на последующих нетбольшой необходимости (только для соблюдения формального однообразия изложения) требовать проведения доказательства в тех задачах, где правильность построения усматривается непосредственно.Некоторые, даже сравнительно сложные, задачи на построение, могут, как кажется,оставляться без особого доказательства. Например, задача, решаемая методомгеометрических мест: построить треугольник по основанию, противолежащему углу имедиане, проведенной к основанию.
Наконец, последним по времениэлементом решения, на котором фиксируетсявнимание учащихся, является анализ. Началом этого вида работы следует считатьобращение к ученикам, “придумавшим” то или иное решение задачи, с вопросом: “А как ты это решение нашел?”.Потом постепенно надо подвести учащихся кмысли о том, чтобы фиксировать свое вниманиена самом процессе отыскания метода решения, этот процесс и получает названиеанализа.
Из вышесказанного следует, что в деле введенияпонятий анализа, построения, доказательстваи исследования следует соблюдать содной стороны, постепенность, а с другойстороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем жевопросам.
Перейдемтеперь ко второму вопросу – о введении в курсе геометрии схемы деления решения задач на построение на четыре части. Несомненно, что изучение этого вопроса на том месте, на котором он поставлен в учебниках, следует считать несвоевременным и не достигающим цели. Тем не менее, схема решения должна быть сообщена учащимся, но лишь значительно позднее. В течение учебногогода, с начала систематическою курса геометрии в 7 классе до середины курса 8 класса, или даже несколькодольше, должна идти та систематическая, иногда даже незаметная для учащихся работа учителя по ознакомлению учеников с элементамиобщей схемы решения, о которой говорилось выше. Лишь в 8 классе учитель напримере специально подобранной задачи полностью излагает учащимся всю схемурешения. Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допускала одиннаиболее естественный ход решения (при анализе задачи мысль учащихся должналегко пойти по вполне определенному пути), чтобы она требовала исследования, ив то же время, чтобы это исследование не было слишком сложным. Вместе с темзадача не должна быть слишком простой, так как в этом случае способ решенияможет оказаться очевидным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется имчем-то искусственным. Наиболее подходящими для этой цели являются задачи,решаемые методом геометрических мест. Хорошим примеромдля иллюстрации общей схемы решения задач на построение является задача: “Построитьтреугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них”.
Сделав чертеж произвольного треугольника, учащиеся составляют план построенияи при соответствующем выборе данных получают два решения. Они видятнеобходимость доказательства (проверки, какой из полученных треугольниковявляется искомым), а также и необходимость исследования (всегда ли получим дварешения?). Здесь естественно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность.Если учащиеся хорошо владеют основными построениями, больших затруднений воформлении решений они не испытывают.
Эта задача на построение является хорошим примером, показывающим связьмежду числом решений задачи на построение треугольника по определенным данным ипризнаками равенства треугольников.
При решении задач на построение параллелограммов хорошим примером дляповторения общей схемы будет задача: “Построить параллелограмм по стороне идвум диагоналям”.
После того как схема решения задачи на построение объяснена учащимся, этойсхемы следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.
Тем не менее, необязательно все задачи решать, строго придерживаясь схемыс подробным описанием всех этапов. Ученики проводят анализ лишь тогда, когда решениезадачи не очевидно, доказательство – когда в нем есть необходимость.
Усвоение учащимися общей схемы имеет большое значение не только длярешения задач на построение. Сметодической точки зрения и при решении арифметических задач, и при решениизадач на составление уравнений мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что ипри решении задач на построение.
Остановимся более подробно на рассмотрении этапа “исследование”. Каждая задача напостроение включает в себя требование построить геометрическую фигуру,удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаютсяразмерами или положением некоторых геометрических образов. Условия задачформулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как быпараметрами, принимающими всевозможные допустимые значения. Необходимо учитьшкольников видеть эти допустимые значения.
Они определяются наиболее естественным образом. Например, в задаче: “Построитьтреугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними” допустимымизначениями для а и b будут всевозможныеотрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, аугол С может принимать всевозможные значения от0° до 180°.
Рассмотрим задачу: “Построить окружность, касающуюся данной окружности вданной на ней точке и данной прямой”. В ней прямая может занимать любое положениена плоскости. Окружностью также может быть любая окружность на плоскости. Нотак как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, томожно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости,а радиусом – любой отрезок, длина которого 0
Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус можетбыть и неположительным числом, но подобные случаи обычно оговариваются в условиизадачи. Точка также может занимать произвольное положение, но уже не наплоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежатьей.
Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необходимыеи достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу.Значит, мы при всяком выборе данных должны устанавливать: имеет ли задача решениеи если имеет, то сколько. Например: “Построить окружность, проходящую через триданные различные точки”. Если данные точки не лежат на одной прямой, то задачаимеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, тозадача решения не имеет.
Переходим теперь к одному из самых существенных, вметодическом отношении, вопросов исследования задачи на построение. Какустановить и перечислить все те случаи, которые имеют существенное значение длярешения данной задачи? Известно, что очень часто учащиеся, решающие ту или инуюзадачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: “Ачто будет, если…”, придумывая те или иные “если” более или менее произвольно. Необходимоприучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Желая исследоватьзадачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции, изкоторых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегдали она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать.Таким путем удается сравнительно легко научиться исследованию задачи.
Исследование является составнойчастью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, еслиузнаем, сколько искомых фигур получим при определенных условиях, и, вчастности, указано, когда получим искомый геометрический образ. Но исследованиев задачах на построение, как и исследование при решении других задач поматематике, имеет и общеобразовательное значение.
В процессе исследования учащиесяупражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Онивидят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеемдело не с “закостенелыми”, а с изменяющимися геометрическими образами,изменение одних величин обусловлено изменением других.
Для правильного проведенияисследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, сдругой стороны, исследование задач на построение является хорошим материаломдля развития логического мышления учащихся.
Несмотря на необходимость ицелесообразность исследования при решении задач на построение, этому этапу и вшколе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большоевнимание уделяется обычно отысканию решения – анализу. Анализ – основной этаппри решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести нипостроения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполненияисследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибокдопускается именно при исследовании.
Вывод. Усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большоезначение. Анализ,построение, доказательство и исследование точно соответствуют этапам любогологического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с однойстороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смыслемногократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.
4.Методы решения задач на построение
К основным методамрешения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:
1) Метод геометрическихмест.
2) Методы геометрическихпреобразований:
а) метод центральнойсимметрии;
б) метод осевойсимметрии;
в) метод параллельногопереноса;
г) метод поворота;
д) метод подобия;
3) Алгебраический метод.
Перечисленные методыявляются одним из видов применения на практике соответствующих геометрическихпонятий, которые составляют основу каждого из методов. Поэтому без хорошегознания этих понятий учениками не может быть никакой речи об успешном усвоениисоответствующих методов. Но, с другой стороны, в силах учителя подобрать такуюсистему задач на построение и так построить обучение, чтобы решаемые задачиуглубляли представление и увеличивали знания школьников о данном понятии,раскрывая его с разных сторон. Задачи при изучении конкретного метода должныподбираться так, чтобы в них как можно более ярко проявлялась суть изучаемогометода, особенно на первоначальном этапе его изучения. При этом если задачарешается несколькими методами, то изучаемый метод должен позволять решитьзадачу наиболее экономно и красиво. Рассмотрим более подробно каждый метод.
4.1 Методгеометрических мест
Математическая сущность метода геометрических мест весьма проста. Онасостоит в том, что искомая точка определяется как точка пересечения некоторыхдвух геометрических мест (или иногда как точка пересечения некоторого геометрическогоместа с данной прямой или окружностью); при этомтеусловия задачи, которые определяют положение искомой точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждоеиз них дает некоторое геометрическое место, построение которого оказываетсявозможным (иногда одно из этих геометрических мест заменяется непосредственноданной прямой или окружностью) [18].
Метод геометрических мест является одним из важнейших приемов решениягеометрических задач на построение вообще и должен занимать большое место врешении задач на построение, по преимуществу в 8 классе.
При изложении этого метода в школе дело, конечно, заключается не в том, чтобы учащиеся умели описать суть метода словами, а в том, чтобы учащиеся умели сознательнопользоваться этим методом.
Основа данного метода –понятие геометрического места точек. Геометрическим местом точек (ГМТ)пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точекпространства, каждая из которых обладает этим свойством.
Все остальные точкипространства указанным свойством не обладают. ГМТ задается свойством точек,которое называется характеристическим свойством этого ГМТ (фигуры).
Каждая задача, в которойтребуется найти ГМТ по его характеристическому свойству, предполагаеттребование описать это ГМТ наглядно через известные элементарные фигуры.Решение задачи на отыскание ГМТ неизбежно приводит к доказательству двухутверждений – прямого и ему противоположного; необходимо доказать, что: 1)каждая точка предполагаемого (искомого) ГМТ обладает заданным свойством; 2)любая точка, не принадлежащая этой фигуре, заданным свойством не обладает.
Набор изучаемых ГМТ можетбыть самым разнообразным. Традиционный школьный набор – это:
а) множество всех точекплоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние;
б) множество всех точекплоскости, равноудаленных от двух данных точек;
в) множество всех точекплоскости, удаленных от данной прямой на данное расстояние;
г) множество всех точекплоскости, равноудаленных от двух данных прямых.
Кроме этого к списку повозможности могут быть добавлены следующие ГМТ:
а) множество всех точекплоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом (частный случай –множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок идеен под прямымуглом);
б) множество всех точекплоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до двух данныхточек постоянна, равна квадрату данного отрезка;
в) множество вех точекплоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точекпостоянно (окружность Аполлония).
Рассматривать эти ГМТцелесообразно только в классах с углубленным изучением математики, а также навнеклассных занятиях по математике.
Сущность методагеометрических мест заключается в следующем:
а) задача сводится кпостроению некоторой точки;
б) выясняется, какимисвойствами обладает данная точка;
в) рассматривается одноиз свойств, строится множество всех точек, обладающих этим свойством;
г) берется следующеесвойство и так далее;
д) поскольку искомаяточка должна обладать всеми этими свойствами, то она должна принадлежатькаждому из построенных множеств, то есть принадлежит пересечению этих множеств.
В Приложении 4 приведенорешение задачи: “Построить треугольник АВС по двум высотам, проведеннымиз вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А”.
Методические рекомендации по методуГМТ [10]. ПонятиеГМТ, обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ,равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признакиравенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки,равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо датьопределение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек,обладающих этим свойством.
Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бырассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача напостроение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе иего изучение должно быть отнесено к 8 классу.
В каком же месте курса 8класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно,что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этоговременем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы “Четырехугольники”ознакомились с достаточным числом геометрических мест.
Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеетидея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построениитреугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено;остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что дляопределения положения точки С в задаче остаются два условия: длинасторон АС и ВС. Проводя дугуокружности с центром в точке А и радиусом В, мы строимгеометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично длявторой дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и длярешения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:
1) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;
2) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрическихмест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своейформе и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служитьследующая задача:
3) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служитданный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [10].
В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрическихмест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачамина вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно бытьотчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где этоуместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через триточки, построение касательной к окружности из данной точки, построениевписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезнымбудет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двухпересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных отсторон данного угла).
Задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, могут бытьвесьма разнообразными. Не следует ставить себе целью дать какую-либо формальную их классификацию– она не имела бы большой ценности ни с научной, ни с методической стороны.Точно также не следует ставить цель указать некий стандартный список задачэтого рода для средней школы. Это просто помощь преподавателю в подборе, атакже и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки зрения, которыхпри этом необходимо было бы придерживаться.
Различные задачи на построение, разрешаемые методом геометрических мест,отличаются одна от другой, прежде всего, характером тех геометрических мест, с помощью которыхопределяется положение искомой точки.Отбирая задачи на построение для решения с каждымклассом, следует подумать о том, чтобы в этих задачах встречались, повозможности, разнообразные сочетания этих основных геометрических мест. Темсамым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешаемых задач по существу,по той идее, которая лежит в их основе.4.2 Методыгеометрических преобразований
Методы этой группы имеютдостаточно много общего. Каждый изучается, как правило, при рассмотрениисоответствующего преобразования, при этом решаемые задачи служат длязакрепления и более глубокого усвоения изучаемого понятия. Для повышенияэффективности обучения необходимо, чтобы, кроме первоначальных представлений осамом преобразовании, учащиеся умели выполнять построение образов фигур при этомпреобразовании, так как использование образа искомой фигуры при построении естьоснова каждого из этих методов, их основная идея и суть.
Если искомую фигуру сразупостроить затруднительно, то ее преобразуют в какую-нибудь другую фигуру,построение которой можно сделать легче или непосредственно.
При изучении этих методовцелесообразно выделить наиболее характерные признаки с тем, чтобы в будущем,анализируя задачу, ученик мог выбрать соответствующий метод.
Действующая программа погеометрии не предполагает использовать идею геометрических преобразований вкачестве руководящей идеи школьного курса геометрии, хотя использованиегеометрических преобразований при решении задач на построение имеет большоеметодическое значение [25].4.2.1Метод центральной симметрии
Симметрией относительноточки О (центральной симметрией) Zпространства называется преобразование пространства,которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображаетна такую точку М1, что точка О является серединойотрезка ММ1.
Данный метод применим ктем задачам, в условии которых в той или иной форме указана точка,являющаяся центром симметрии искомой или вспомогательной фигуры.
Рассмотрим задачу: “Черезданную точку А провестипрямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делилсяточкой пополам”.
Решение. Пусть m и α —данные прямая и окружность, CD —искомый отрезок, С/>m, D/>а (рис. 3). Тогда ZA(C) =D. Если ZA(m) =m1, то D/>m1 и, следовательно, D/>а/>m1. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m1 прямой m при симметрии ZA, точки D и Е пересечения прямой m1 с данной окружностью αопределяют вместе с точкой А искомые прямые DA и ЕА [20].
/>
Рис. 3
4.2.2Метод осевой симметрии
Симметрией пространстваотносительно данной прямой l(осевой симметрией) Slназывается преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другуюточку М пространства отображает на такую точку М1, чтопрямая l служит серединным перпендикуляром котрезку ММ1. Прямая lназывается осью симметрии.
Трудно указать общиепризнаки задач, решаемых методом осевойсимметрии. Вболее сложных задачах метод осевой симметрии, нередко спрямляющий ломаные линиив прямые, может быть применим, если в условиях содержится сумма или разностьчастей некоторой ломаной линии. Можно ограничится указанием, что методосевой симметрии применим для задач, в условии которых указана прямая, являющаясяосью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить посвойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которыелегко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторойпрямой, а остальные – по другую.
/>
Рис. 4
Рассмотрим задачу: “Построитьромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, аостальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых b и с”.
Анализ. Пусть (рис.4) ABDC — искомый ромб, AD= r. Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построениюодной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромбаточки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому приосевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется вточку С, а, следовательно, прямая b — в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом,точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.
Построение. Строим последовательно: прямую b', симметричную с прямой b относительно прямой а; точку С, общуюдля прямых с и b'; прямую ВС;точку О /> ВС/> а;точки А и D на прямой а,отстоящие от точки О на расстоянии />; ABCD — искомый ромб.
Доказательство ввиду его простоты опустим.
Исследование. Возможны следующие случаи: 1) с ||b', решений нет; 2) с /> b', решений бесконечно много; 3) прямые с и b' пересекаются вне прямой а, одно решение; 4) прямыес и b' пересекаются на прямой а,решений нет [2].4.2.3Метод параллельного переноса
Параллельным переносом на вектор /> называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка Мотображается в такую точку М1, что вектор /> равен вектору />.
Методом параллельного переноса решают задачи, при анализекоторых трудно найти зависимость между данными элементами, позволяющуюпостроить искомую фигуру (данные элементы удалены друг от друга); но если мыкакую-нибудь часть или всю фигуру перенесем параллельно в некотором направлениина определенное расстояние, то получим вспомогательную фигуру, которую легкоможно построить. Направление и величина переноса определяются так, чтобы вовспомогательную фигуру вошло большее число данных.
Рассмотрим задачу: “Построитьвыпуклый четырехугольник, зная три его угла и две противоположные стороны”.
Подробнее: даны дваотрезка а и bи три угла α, β, δ. Требуется построить четырехугольникABCD так, чтобы />А =α, />В =β,/>D=δ, AD= a, СВ =b. Предполагается, что 0° α β δ
/>
 
 
 
 
Рис. 5
 
Анализ. Допустим, что ABCD (рис. 5) — искомый четырехугольник.Перенесем сторону ВС на вектор />, и пусть отрезок ВСзаймет после переноса положение АЕ. Тогда в />AEDизвестны: AD =a, AE=b, />DAE = />BAD –/>BAE == />A – (180°– />B)= α+ β – 180°. Поэтим данным />AED может быть построен.
/>
 
 
 
 
 
Рис. 6
 
Построение. 1) На произвольной прямой строимотрезок AD=а (рис. 6); 2) Через точку Апроводим луч AM под углом α+ β – 180° к лучу AD;3) Откладываем на луче AMотрезокАЕ =b;4) Строим луч EN, образующийс ЕА угол β и расположенный с точкой D по разные стороны от прямой AM; 5) Строим луч DK так, чтобы /> ADK был равен δ и чтобы луч DK располагался по ту же сторону прямойDE, что и луч EN; 6) Отмечаем точку Спересечения лучей ENи DK— третью вершину четырехугольника; 7)Четвертая вершина В получается в пересечении прямой AF, параллельной СЕ, с прямой CL, параллельной АЕ.
Доказательство. />BAD=/>ВАЕ+/>DAE=(180° – β)+ (α+ β – 180°) = α. />ABC=/>СЕА, как углы, стороны которыхсоответственно параллельны и противоположно направлены. />СЕА = βпо построению. />ADC= δ по построению. Отрезок AD = а по построению. ВС =АЕ, какотрезки параллельных между параллельными. Но АЕ =b, а значит, и ВС = b [2].4.2.4Метод поворота
Поворотом плоскостивокруг точки О на угол /> называется отображение плоскостина себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1,что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 = />.
Данный метод применяетсяк тем задачам, где либо части фигур сближаются в положение, удобное дляпостроения, либо при заданных явно или косвенно центре и угле поворотатребуется отыскать две соответственные точки, лежащие на данных или искомых фигурах.
Рассмотрим задачу: “Земельныйучасток квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились два столба напараллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата.Требуется восстановить границу участка”.
Анализ. Пусть ABCD — искомый квадрат, О — егоцентр, М и N— данные точки соответственно на сторонах АВ иCD (рис. 7). Если повернуть квадрат на180° около его центра О, то он преобразуется сам в себя. Точка Мзаймет некоторое положение М' на стороне CD, а точка N — некоторое положение N' на стороне АВ. После этого нетрудно ужепостроить прямые АВ и CDи восстановить искомый квадрат.

/>
 
 
 
Рис. 7
 
Построение. 1) Строим точку М',симметричную М относительно, и точку N', симметричную N относительно О. 2) Строимпрямые MN' и NM'. 3) Повернемпостроенные прямые около точки О на 90°. Четыре построенные прямыеограничивают искомый квадрат.
Доказательство опускаем.
Исследование. По смыслу задачи невозможен случай,когда точки М и N располагаются с точкой О на однойпрямой, но не симметричны относительно О. Если точки М и Nсимметричны относительно О, то задача становится неопределенной. Востальных случаях задача имеет единственное решение [2].4.2.5Метод подобия
Метод подобия состоитв том, что сначала строится некоторая фигура, подобная искомой, ноудовлетворяющая не всем поставленным в задаче условиям. Затем построеннуювспомогательную фигуру заменяем фигурой, ей подобной и удовлетворяющей уже всемтребуемым условиям [18].
Задача решается методом подобия, еслиее условие можно разделить на две части,одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая –размеры фигуры. При решении задач в классе или разборе задач из домашнегозадания на этот метод следует задавать учащимся вопросы: Что (какая часть) вусловии задачи определяет фигуру с точностью до подобия? Что определяет размерыискомой фигуры?
Методические рекомендации по методу подобия [10]. При разработке метода подобия целесообразно классифицировать решаемыезадачи по способу задания размеров искомой фигуры:
1)  задачи, в которых размеры искомой фигурыопределяются заданием некоторого отрезка;
2)  задачи, в которых размеры искомой фигурыопределяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков;
3)  задачи, в которых размеры искомой фигурыопределяются положением ее относительно данных фигур.
Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой изтрех групп задач способы выбора центра подобия различны.
В задачах из первой группы за центр подобия лучше всего выбирать один изконцов отрезка вспомогательной фигуры, соответствующего данному отрезку, черезкоторый проходит наибольшее число прямолинейных отрезков искомой фигуры, таккак при гомотетии лишь прямые, проходящие через центр подобия, преобразуютсясами в себя. При таком выборе легко находить одну точку (второй конец данногоотрезка) искомой фигуры, что в большинстве случаев значительно облегчает выполнениедальнейшего построения.
И для задач второй группы за центр подобия можно выбирать один из концовпостроенной суммы или разности отрезков, соответствующей данной. Целесообразнорасчленить подобное преобразование: отдельно найти один из отрезков, сумма илиразность которых дана, а затем выполнить построение искомой фигуры.
При решении задач третьей группы центр подобия уже определяется, и вбольшинстве случаев однозначно, расположением фигуры, подобной искомой, относительноданных фигур.
В Приложении 4 приведенорешение задачи на метод подобия: “Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3”.
4.3Алгебраический метод
Алгебраический методрешения задач на построении – один из важнейших методов теории конструктивныхзадач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные сразрешимостью задач тем или иным набором инструментов.
Кроме того, это один изсамых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которыхобычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует теснуювзаимосвязь алгебры и геометрии.
Но, к сожалению, в школьномкурсе геометрии алгебраическому методу практически не уделяется внимания, хотя сметодической точки зрения изучение этого метода не представляет особых сложностей.
Суть метода состоит в следующем:
а) задача сводится кпостроению некоторого отрезка;
б) используя известныегеометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение(систему уравнений), связывающее искомые и данные;
в) решая уравнение илисистему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;
г) по формуле строитсяискомый отрезок (если это возможно);
д) с помощью найденногоотрезка строится искомая фигура.
Подготовительную работусоставляет изучение основных формул и способов построения, где такжеотрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, иусваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.
В школьном курсегеометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков,заданных следующими некоторыми простейшими формулами [2]:
1) х = а + b(рис. 8).
2) х = а — b(а > b) (рис. 9).

/>
Рис. 8                                    Рис.9
3) х = nа, где n — натуральное число. Сводится к построению 1). На рис. 10 построенотрезок х, такой, что х = 6а.
/>
Рис. 10                                   Рис.11
4) х = />.
Строим луч, выходящий изкакого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом кнему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB= nb (см. рис. 11). Соединяем точку Всо вторым концом А отрезка а. Через точку В1,определяемую условием 0В1 = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаемточку A1, в которой она пересечет отрезок а.
5) х = /> а (n и m — данные натуральные числа).
Разделим отрезок ана m равных частей и увеличим полученныйотрезок в п раз.
6) х = /> (построение отрезка,четвертого пропорционального трем данным отрезкам).
Запишем условие в видепропорции с: а = b: х. Пусть(рис. 12) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношенийотложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящемиз той же точки, откладываем известный член другого отношения ОB= b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС,и отмечаем точку X еепересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х.
/>
Рис. 12                         Рис.13                         Рис. 14
7) x= />.
Можно воспользоватьсяпостроением 6), полагая b= а.
8) х = /> (построениесреднего пропорционального двух данных отрезков).
Строим отрезки АС = а,ВС = b, так что АВ= а + b. На АВ как на диаметре строимполуокружность (см. рис. 13). В точке С восставим перпендикуляр к АВи отметим точку D егопересечения с окружностью. Тогда х = CD.
9) х = /> Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольноготреугольника с катетами а и b (см. рис.14).
10) х = /> (a> b). Отрезок xстроитсякак катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b.
К рассмотреннымпостроениям можно свести построение отрезков, заданных более сложнымиформулами.
Желательно постепенноеизучение этих формул, когда каждая из них разбирается при рассмотрении теории,необходимой для осуществления соответствующего построения.
На этом местецелесообразно также введение простейших задач на алгебраический метод(например, задача о восстановлении отрезков по их сумме и разности) с тем,чтобы формулы рассматривались во взаимосвязи. В дальнейшем, перед серьезнымизучением метода, формулы следует повторить.
В Приложении 4 приведеназадача на алгебраический метод: “Из вершин данного треугольника как из центровописать три окружности, касающиеся попарно внешним образом”.
Вывод. Описанные методы рекомендуетсяиспользовать для решения геометрических задач на построение. При этомнеобходимо обращать внимание в том числе и на развитие инициативы учащихся,привитие им вкуса и навыков к решению конструктивных задач.
Было бы неправильно думать, что методы решения задач на построение могутслужить основой для классификации самих задач. Существенным, а не случайнымследует признавать то обстоятельство, что целый ряд задач на построение может одинаково успешно решатьсяразличными методами. С другой стороны, существуют задачи, которые решаютсяпросто комбинацией основных построений без явного применения какого-либометода.
С методическойточки зрения наиболее приемлемым является применениепри обучении решению задач на построение следующего принципа. Необходимоосуществлять последовательный подбор задач в соответствии с целями курса геометриии постепенное ознакомление учащихся с методами решения задач на построение.
В свою очередь, необходимоознакомить учащихся с самими методами и научить определять, каким из них можнорешить предложенную задачу. Для этого, прежде всего, учащихся необходимонаучить выделять наиболее характерные признаки задач, решаемых тем или инымметодом. Эти признаки определяются самим содержанием метода.
/>/>5. Опытное преподавание
Опытное преподаваниеприменяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременноеиспользование целого ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольныеработы, беседа и другие.
Одной из задач опытногопреподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативногокурса по решению задач на построение, как предусмотренных школьной программой,так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитан на учащихся8 классов.
Цели факультативногокурса:
1.   Сформировать у учащихся представлениео методах ГМТ и подобия, используемых при решении задач на построение, инаучить их применять.
2.   Сформировать четкое представление обэтапах решения задач на построение.
3.   Способствовать развитию логическогомышления учащихся.
4.   Сформировать настойчивость,целеустремленность, трудолюбие через решение задач.
5.   Развить математическую речь сприсущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.
Знания и умения,которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме “Задачина построение и методы их решения”:
1.   Владеть основными понятиями,относящимися к теме.
2.   Уметь пользоваться чертежнымиинструментами.
3.   Уметь выполнять основныегеометрические построения.
4.   Иметь представление об этапах решениязадач на построения.
Этапы курса:
1.   Разработка программы факультативныхзанятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся 8 класса.
2.   Проведение анкетирования средиучителей и учащихся.
3.   Проведение психологических методик наопределение уровня развития логического мышления №1.
4.   Проведение диагностирующейконтрольной работы №1.
5.   Проведение разработанной программыфакультативных занятий.
6.   Проведение диагностирующейконтрольной работы №2.
7.   Проведение психологических методик наопределение уровня развития логического мышления №2.
8.   Анализ полученных результатов опытнойработы.
Этап №1
Разработка программыфакультативных занятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся8 класса.
Факультативные занятиябыли разработаны на основе анализа математической, методической и учебнойлитературы с использованием методических рекомендаций (см. §2, стр. 31; §3,стр. 39, стр. 45).
Этап №2
В ходе опытногопреподавания было проведено анкетирование среди 6 учителей г. Кирова и г.Кирово-Чепецка. Проанализируем результаты полученных данных.
1.   Какие трудности встречаются при изучениизадач на построение?
Большинство учителей наэтот вопрос ответили, что чаще всего учащиеся не видят с чего начинать строить(поэтапно), отсюда возникает еще одна проблема – на анализ уходит многовремени.
2.   Возвращаетесь ли Вы к задачам напостроение при изучении других тем?
Учителя стараются напротяжении всего курса обучения возвращаться к задачам на построение. Но чащевсего учителя не видят в этом необходимости из-за нехватки времени.
3.   Достаточно ли внимания уделяетсязадачам на построение в школьных учебниках?
Большинство учителейсчитают, что в школьных учебниках мало уделяется внимания задачам напостроение.
4.   Считаете ли вы нужным проводить курсыили факультативные занятия, направленные на решение задач на построение? Еслида, то на сколько часов они должны быть рассчитаны и для каких классов?
Большинство учителейсчитают факультативные занятия и элективные курсы по данной теме необходимымиили по крайней мере желательными. Особенно это касается 8-9 классов.Оптимальное количество занятий составляет 17 часов.
5.   На что необходимо обращать внимание(сделать упор) при обучении решению задач на построение?
Учителя считают, что впервую очередь необходимо обращать внимание на первый этап решения задач напостроение – анализ, а также на исследование и, конечно, особенно в 7-8 классенужно обращать внимание учащихся на построение чертежа с помощью чертежныхинструментов.
Опытноепреподавание осуществлялось в восьмых классах гимназии №2 г. Кирово-Чепецка. Первоначально среди учащихся былопроведено анкетирование. Проанализируем результаты полученных данных.
1.  Какие трудности вы испытываете при решении задач на построение
Убольшинства учащихся вызывает затруднение построение чертежа, нахождение путирешения задачи.
2.  Какие этапы решения задач на построение вы используете?
Учащиесяне могут назвать конкретные этапы решения задач на построение. Чаще всего ониописывают такой алгоритм: 1) построение рисунка; 2) запись условия (что дано взадаче, что нужно найти); 3) решение задачи; или же просто описывают какстроить чертеж (построить угол, затем стороны и т.д.); некоторые учащиесяпоставили прочерк в этом пункте.
3.  Какие методы решения задач на построение вы знаете (отметить):
а)метод геометрических мест точек;
б)метод подобия;
в)метод осевой симметрии;
г)метод центральной симметрии;
д)метод поворота;
е)метод параллельного переноса;
ж)алгебраический метод.
Ванкете учащихся указывали практически все представленные методы, чтосвидетельствует о том, что они не имеют четкого представления, четкой системы вданной области.
Порезультатам данного анкетирования можно сказать, что учащиеся плохопредставляют как решать задачи на построение, не знают этапов, не имеют четкогопредставления о методах, решение подобных задач представляет для них трудность.
Этап№3
Были проведеныпсихологические методики, которые выявляют уровень развития логическогомышления учащихся (см. Приложение 5). В первую очередь нам необходимо выяснить какизменится уровень логического мышления учащихся, поэтому мы ограничимся лишьпоказателями количества правильных ответов по каждой методике. Затем данныерезультаты сравним с результатами, полученными после проведения факультативныхзанятий.
Получены следующие данные(по каждой методике указано количество правильных ответов):   

Табл.1 Образование простых аналогий (из 16) Логичность (из 20) Исключение понятий (из 17) 1.Балыбердина 8 11 13 2.Ворсин 15 15 17 3.Вострикова 15 16 14 4.Гаврилина 14 16 14 5.Двоеглазова 8 14 15 6.Егошин 16 15 15 7.Захаров 12 13 14 8.Ладыгина 16 18 16 9.Лысенко 16 15 15 10.Медянцев 12 15 15 11.Муралева 14 18 14 12.Садаков 16 15 15 13.Симонова 14 17 17 14.Солодянкина 3 11 16 15.Чупракова 16 17 17
 
Этап№4
Проведениедиагностирующей контрольной работы №1.
На контрольной работеучащимся было предложено 3 задания, которые было необходимо выполнить в течение1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в Приложении6.
Результатыдиагностирующей контрольной работы №1 отображены в таблице 2.
Табл.2№ задания
1
2
3 Кол-во человек, решивших задание 5 3 7 Доля человек, решивших задание в процентах 33% 20% 47%
 
Этап№5
Проведение разработаннойпрограммы факультативных занятий.
Занятия проводились 1 разв неделю по два часа. Всего было проведено 6 занятий.
Основные задачи проведенияфакультативных занятий:
1)   выявить тот материал, которыйвызывает у учащихся наибольшие затруднения;
2)   определить эффективность усвоенияматериала посредством текущей проверки;
3)   выявить заинтересованность учащихся визучении данной темы (программу факультативного курса с подробным конспектомодного из занятий см. в Приложении 6).
Этап№6
Проведениедиагностирующей контрольной работы №2.
Контрольная работа былапроведена после проведения факультативных занятий разработанной программы.Задача: выявление знаний и умений решать задачи на построение методом ГМТ иподобия.
Учащимся было предложено3 задания, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. Содержание диагностирующейконтрольной работы №2 представлено в Приложении 6.
Результаты диагностирующейконтрольной работы №2 отображены в таблице 3.
Табл.3№ задания
1
2
3 Кол-во человек, решивших задание 11 7 13 Доля человек, решивших задание в процентах 73% 47% 87%
 
Этап№7
Были проведены те жепсихологические методики, что и перед началом эксперимента.
Получены следующие данные(по каждой методике указано количество правильных ответов):

Табл.4 Образование простых аналогий (из 16) Логичность (из 20) Исключение понятий (из 17) 1.Балыбердина 11 14 15 2.Ворсин 15 17 17 3.Вострикова 16 18 16 4.Гаврилина 15 17 15 5.Двоеглазова 9 14 16 6.Егошин 16 16 16 7.Захаров 13 15 16 8.Ладыгина 16 18 17 9.Лысенко 16 16 17 10.Медянцев 14 16 15 11.Муралева 16 18 15 12.Садаков 16 17 16 13.Симонова 15 19 17 14.Солодянкина 10 15 16 15.Чупракова 16 18 17
 
Этап№8
Анализ полученныхрезультатов опытной работы.
На основании таблиц №2 и№3 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов контрольныхработ, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после ихпосещения.
/>

Как видно из диаграммы,перед проведением факультативных занятий уровень знаний учащихся был ниже, чемсредний, а после проведения занятий он значительно повысился. Положительнаятенденция заметна: учащиеся научились решать задачи на построение методом ГМТ иметодом подобия, и большинство справились с заданиями 1,3; значительноулучшилось умение решать более сложные задачи. Многие учащиеся овладели методомГМТ и методом подобия при решении задач на построение.
Кроме того, на основаниитаблиц 1,4 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатовпсихологических методик, проведенных перед посещением учащимися факультативныхзанятий и после их посещения.
1)   Методика “Образование простыханалогий”
/>
2)   Методика “Логичность”
/>

3) Методика “Исключениепонятий”
/>
Как видно из диаграмм,уровень развития логического мышления учащихся после проведения факультативныхзанятий увеличился. Таким образом, можно утверждать, что решение задач напостроение положительно влияют на развитие логического мышления учащихся.
Вывод. Опытное преподавание показало, чтоболее глубокое и объемное изучение задач на построение и методов их решениядает возможность учащимся лучше ориентироваться в данной теме, творческиподходить к каждой задаче, применять наиболее рациональный метод решения, атакже повысить уровень своего логического мышления.
Заключение
·  Выполнен анализ учебных программ,учебной и учебно-методической литературы по геометрии, в ходе которого найденысходства и различия по данной теме. Рассматривая учебники, можно отметить, чтов них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причемрассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Так какзадания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построенияфигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливатьсвязи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохоеразвитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень егографической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучатьмногие разделы математики.
·  Рассмотрено понятие логического мышления,сделан анализ психолого-педагогический литературы по теме исследования,показаны возможности развития логического мышления учеников при решении задачна построение.
·  Рассмотрены основные этапы решения задачна построение: анализ, построение, доказательство, исследование, которые точносоответствуют этапам любого логического рассуждения, каждый из которых являетсяважным и требует должного внимания при решении задач.
·  Разработаны методические рекомендациипо обучению решения задач на построение.
·  Рассмотрены основные методы решениязадач на построение. Отметим, что необходимознакомить учащихся с самими методами и учить определять, каким из них можнорешить предложенную задачу.
·  Проведено опытное преподавание.
Такимобразом, задачи данной работы были выполнены, в ходе их выполнения подтвердиласьгипотеза исследования. Цель работы была достигнута.
Кроме того, отметим, что:
1)  необходимо уделять больше вниманияизучению задач на построение, так как при грамотном использовании они являютсямощным средством развития логического мышления учащихся;
2)  геометрические задачи на построениене нужно рассматривать как что-то отдельное, независимое от остального курсагеометрии. Процессы обучения решению задач и изучение геометрии неразрывносвязаны. Причем связь эта должна быть двусторонней, то есть необходимо нетолько обучать решению задач на построение, используя ранее полученные знания,но и, наоборот, использовать конструктивные задачи при изучении геометрии.
/>/>Библиографическийсписок
1.   Александров, И.И. Сборникгеометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. – М.:Учпедгиз,1954.
2.  Аргунов, Б.И. Элементарнаягеометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.:Просвещение, 1966.
3.  Белошистая, А.В.Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая //Математика в школе. – 2002. – №9. – С. 47-50.
4.  Геометрия: доп.главык шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов суглубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. – М.:Просвещение, 1996.
5.  Геометрия: учеб.для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.:Просвещение, 2004.
6.  Геометрия: учеб.для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. –М.: Просвещение, 1992.
7.  Геометрия: учеб.для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1991.
8.  Геометрия:Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. –М.: Дрофа, 1995.
9.  Изучение личностишкольника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 1991.
10.            Коновалова, В.С.Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логическогомышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике:сборник статей. Вып.9. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – С. 59-69.
11.            Мазаник, А.А.Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе. Пособие для учителей /А.А.Мазаник. – Минск: Народная асвета, 1967.
12.            Математика: учеб.для 5 кл. общеобразовательныхучреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.:Сайтком, 2000.
13.            Математика: учеб.для 6 кл. общеобразовательныхучреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.:Сайтком, 2000.
14.            Математика: учеб.для 5 кл. общеобразовательныхучреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.:Просвещение, 1994.
15.            Математика: учеб.для 6 кл. общеобразовательныхучреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.: Дрофа,1998.
16.            Мисюркеев, И.В.Геометрические построения. Пособие для учителей / И.В.Мисюркеев. – М: Учпедгиз,1950.
17.            Общая психология:учеб. для студентов пед. ин-тов / под ред. А. В. Петровского. – М.: Просвещение,1986.
18.            Перепелкин, Д.И.Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. – М.: Издательствоакадемии педагогических наук РСФСР,1947.
19.            Платонов, К.К.Краткий словарь системы психологических понятий / К.К. Платонов. – М.: Высш.шк., 1984.
20.            Понарин, Я.П.Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П.Понарин.– М.: МЦНМО, 2004.
21.            Понарин, Я.П.Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.2: Стереометрия, преобразования пространства/ Я.П.Понарин – М.: МЦНМО, 2006.
22.            Прасолов, В.В.Задачи по планиметрии. Ч.1 / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991.
23.            Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2/ В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991.
24.            Рубинштейн, С.Л.Основы общей психологии / С.Л. Рубинштейн. – СПб.: Питер, 1989.
25.            Саранцев, Г.И.Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И. Саранцев.– М.: ВЛАДОС, 2005.
26.            Тихомиров, О.К.Психология мышления / О.К. Тихомиров. – М.: Академия, 2002.
27.            Философскийэнциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1983.
28.            Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии(Планиметрия) / И.Ф. Шарыгин. – М.: Наука, 1986.
Приложение1
Анализ программ
 
Учебники “Геометрия 7-9”
1)   Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]
а) 7 класс. Глава 2“Треугольники” (14 ч): Треугольник. Признаки равенства треугольников.Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.Равнобедренный треугольник и его свойства. Основные задачи на построение спомощью циркуля и линейки. Основная цель – отработать навыки решения простейшихзадач на построение с помощью циркуля и линейки. На начальном этапе изучениятемы полезно больше внимания уделять использованию средств наглядности, решениюзадач по готовым чертежам.
Глава 4 “Соотношениямежду сторонами и углами треугольника” (16 ч): Сумма углов треугольника.Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника.Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Признаки равенствапрямоугольных треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние междупараллельными прямыми. Задачи на построение. Основная цель – расширить знанияучащихся о треугольниках. При решении задач на построение в 7 классерекомендуется ограничиваться только выполнением построения искомой фигурыциркулем и линейкой. В отдельных случаях можно проводить устно анализ идоказательство, а элементы исследования могут присутствовать лишь тогда, когдаэто оговорено условием задачи.
б) 8 класс. Глава 7“Подобные треугольники” (19 ч): подобные треугольники. Признаки подобиятреугольников. Применение подобия к доказательствам теорем и решению задач.Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Основная цель– сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применятьпризнаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольныхтреугольников. Решение задач на построение методом подобия можно рассмотреть сучащимися, интересующимся математикой.
В главе 8 “Окружность”(17 ч): Касательная к окружности и ее свойства. Центральные и вписанные углы.Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности. Основнаяцель – дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах,вписанной и описанной окружностях. В этой же теме имеется ряд задач напостроение вписанных и описанных окружностей с помощью циркуля.
в) 9 класс. Глава 12“Длина окружности и площадь круга” (16 ч): Правильные многогранники. Длинаокружности и площадь круга. Основная цель – расширить и систематизироватьзнания учащихся об окружностях и многоугольниках. Построение правильныхмногоугольников с помощью циркуля и линейки ограничивается построениемквадрата, правильных треугольника, шестиугольника и 2n-угольника.
Глава 13 “Движение” (12ч): Понятие движения. Параллельный перенос и поворот. Основная цель –познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельнымпереносом, поворотом. При изучении темы основное внимание следует уделитьвыработке навыков построения образов точек, отрезков, треугольников присимметриях, параллельном переносе, повороте.
2)   А.В. Погорелов [5]
а) 7 класс. §5“Геометрические построения”. Основная цель – решать простейшие задачи напостроение с помощью циркуля и линейки. Решение задач на построение с помощьюциркуля и линейки: треугольника по трем сторонам; угла, равного данному;биссектрисы угла; перпендикулярной прямой; деление отрезка пополам.
б) 8 класс. §6“Четырехугольники (20 ч): Определение четырехугольника. Параллелограмм, егопризнаки и свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Основная цель– дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и ихсвойствах.
§9 “Движение” (8 ч):Движение и его свойства. Симметрия относительно точки и прямой поворот.Параллельный перенос и его свойства. Понятие о равенстве фигур. Основная цель –познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований. Симметрияотносительно точки и прямой, параллельный перенос учащиеся должны усвоить науровне практических применений.
§11 “Подобие фигур” (17ч): Понятие о гомотетии и подобии фигур. Подобие треугольников. Признакиподобия треугольников. Подобие прямоугольных треугольников. Центральные ивписанные углы и их свойства. Основная цель – усвоить признаки подобия треугольникови отработать навыки их применения.
§13 “Многоугольники” (12ч): Ломаная. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника.Правильные многоугольники. Окружность, вписанная в правильный многоугольник.Окружность, описанная около правильного многоугольника. Длина окружности. Длинадуги окружности. Радианная мера угла. Основная цель – расширить исистематизировать сведения о многоугольниках и окружностях.
3) А.Д. Александров,А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]
а) 7 класс. Глава 1“Начала геометрии” (15 ч): Геометрические фигуры. Первые задачи геометрии.Построения. Отрезки. Луч и прямая. Действия над отрезками. Длина отрезка.Расстояние. Окружность и круг. Угол. Действия над углами. Величина угла. Основнаяцель – рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основудля его построения. Особую роль в 7 классе играют геометрические построения.Первые аксиомы появляются как утверждения о возможности выполнения простейшихпостроений, а первые доказательства дают обоснование того, что построенныефигуры обладают требуемыми свойствами. Изложение как этой темы, так ипоследующих должно сочетать наглядность и логичность, а также быть связано спрактическими применениями.
Глава 2 “Треугольники”(20 ч): Треугольник и его элементы. Равенство треугольников. Два признакаравенства треугольников. Деление отрезка пополам и построение перпендикуляра.Серединный перпендикуляр отрезка. Построение биссектрис, высот и медиантреугольника. Свойства равнобедренного треугольника. Понятие об осевой симметрии.Признак равнобедренного треугольника. Основная цель – развить навыки решениязадач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство ссимметриями фигур.
б) 8 класс. Глава 5“Метрические соотношения в треугольнике” (34 ч): Теорема Пифагора. Применениетеоремы Пифагора: равенство прямоугольных треугольников, сравнениеперпендикуляра и наклонной, неравенство треугольника, характерное свойствобиссектрисы угла. Синус. Свойства синуса и его график. Применения синуса:решение прямоугольных треугольников, вычисление площади треугольника, теоремасинусов, решение треугольников. Косинус, его свойства и график. Применениякосинуса: теорем косинусов, решение треугольников, средняя линия треугольника,сравнение сторон и углов треугольника. Тангенс и его свойства. Основная цель –изучить основы тригонометрии, доказать три важнейшие теоремы ипродемонстрировать богатство возможных применений этих теорем в теории и впрактике, в частности при решении треугольников.
в) 9 класс. Глава 7“Многоугольники и окружности” (18 ч): Хорды и касательные. Градусная мера дугиокружности. Вписанные углы. Вписанные и описанные окружности. Правильныемногоугольники. Центр правильного многоугольника. Длина окружности площадькруга. Основная цель – измерение длины окружности и площади круга. Остальныерезультаты этой темы имеют второстепенный характер.
Глава 8 “Другие методыгеометрии” (34 ч): Метод координат: расстояние между точками, понятие обуравнении фигуры, уравнение окружности. Векторы и координаты: разложение векторапо осям координат, координаты векторов и их связь с координатами точек,уравнение прямой. Скалярное умножение и его свойства. Преобразование фигур.Движение фигур и его свойства. Преобразования фигур. Движение фигур и егосвойства. Виды движений: перенос, симметрии, поворот. Симметрия фигур. Подобие.Гомотетия. Свойства подобия. Подобие треугольников. Основная цель – познакомитьучащихся с методами. Отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, ноиграющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторнымметодом, методом преобразований.
Основная цель всехучебников при введении задач на построение – это развить и отработать навыкирешения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Приложение2
Сравнительная таблицаосновных видов мышления
Практическое мышление
Теоретическое мышление
— совершается в ходе практической деятельности и направлено на решение практических задач;
— начинается с возникновения проблемной ситуации, которую нужно решить;
— протекает в условиях дефицита времени, опасности или высокой ответственности за принимаемое решение;
— направлено на преобразование реальной действительности
— направлено на познание и объяснение явлений действительности;
— процесс мышления предполагает создание гипотезы, новой идеи или образа, а также проверку гипотезы на соответствие реальности
 
Интуитивное мышление
Логическое мышление
— при интуитивном мышлении переход к новому знанию происходит через озарение;
— процесс мышления неосознаваем и слит с самим действием;
— объектами мышления являются объекты — оригиналы, с которыми взаимодействует человек;
— интуитивное мышление выполняет функцию получения нового знания
— при логическом мышлении происходит плавный логический переход от данного к новому;
— процесс мышления осознан, отделен от своего продукта, а способы действия выделены и превращены в операции, применимые ко многим подобным объектам;
— объектами логического мышления выступают знаковые системы;
— логическое мышление выполняет функцию трансляции уже полученного знания другому
Приложение3
Задачи к §3 “Методикарешения задач на построение”
 
3.1. Анализ
Анализ задачи напостроение: “Построитьтреугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух другихсторон”.
/>
Рис. 1
Чтобы найти решение,нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомоготреугольника даны. Для этого начертим произвольный треугольникA1B1C1 (рис.1) и отметим элементы, соответствующиеданным по условию. Пусть это будет сторона A1C1 и угол C1A1B1. Но на чертеже нет разности двухдругих сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, тонужно показать и разность. Это можно сделать четырьмя способами: на меньшейстороне отложить большую от точки C1 или от точки B1 либона большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки B1, так и от точки A1. Если разность будет около точки В1,то тогда данные не связаны между собой, и нельзя наметить план решения. Если жеВ1А1 отложим от точки В1 на В1С1,то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон — будутсвязаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план решения,она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру D2C1A1B1. Лучше всего ввести разность,откладывая B1D1=B1C1, таккак в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру C1A1D1. Конкретизировав таким образом данныезадачи, приступаем к составлению плана решения.
Построив на произвольнойпрямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А1и С1. Зная угол С1А1В1,мы можем найти и положение точки D1, где D1A1=B1A1—В1С1.Остается рассмотреть, как построить точку В1, зная положениеточки D1. Так как C1B1 = B1D1, то точка B1 равноудалена от точек C1 и D1, поэтому она должна лежать наперпендикуляре P1Q1, проведенном к отрезку C1D1 через его середину. Точкапересечения прямой P1Q1 и луча A1D1и будет точкой В1. Следовательно,приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок,равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которогосодержит построенный отрезок, а вершина совпадает с концом этого отрезка. Навторой стороне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторонтреугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных отсоответствующих концов основания и построенного отрезка. Точку пересеченияэтого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем сконцом основания и получаем, искомый треугольник [11].
3.3. Доказательство
Задача.Построить трапецию по четырем сторонам (рис. 2).
Решение. Проведя CK||BA,решение задачи сводим к построению треугольника KCD по трем сторонам: две равны боковым сторонам трапеции(АВ =КС), a KD = AD— BC.Построим треугольник КCD,и, считая сторону ADпостроенной, дополним его до трапеции различными способами:
1) Проведем BC||AD и, отложив меньшее основание, соединим полученнуюточку В с А.
Доказательство сведется кустановлению равенства: АВ = КС.
2) Если провести АВ||КСи BC||AD, то тогда уже надо доказать, что АВ = КСи ВС =АК.       

/>
Рис. 2
3) Если провести прямую CB||DA и на ней найти точки В и В1отстоящие от А на расстоянии, равном боковой стороне, то в этом случаеточка В1 будет посторонней и лишь точка В будетискомой, причем доказательство (ВС = АК) уже усложняется.
4) Если отыскивать точку В,как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ),то из двух точек В и В2 (рис. 2) только точка Вбудет искомой.
Третий и четвертый случаиподчеркивают необходимость доказательства. В анализе мы находим необходимыеусловия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру.Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и достаточными,то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи [11].
Приложение4
Задачи к §4 “Методырешения задач на построение”
 
4.1 Методгеометрических мест точек
Задача. Построить треугольник АВС подвум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане,проведенной из вершины А.
 
/>
 
 
 
 
 
Рис. 3
 
Решение.
Предположим, чтотреугольник АВС построен.
Опустим из середины А1стороны ВС перпендикуляры А1В' и А1С'на прямые АС и АВ соответственно.
Ясно, что АА1= ma, А1В' = hb/2 и А1С' =hс/2. Из этоговытекает следующее построение.
Строим отрезок АА1 длиной ma. Затем строим прямоугольные треугольники АА1В' и АА1С' по известным катетам и гипотенузе так,чтобы они лежали по разные стороны от прямой АА1. Остается построить точки В и С на сторонах АС' и АВ' угла С'АВ' так, чтобы отрезок ВС делился точкой А1 пополам.
Для этого отложим на луче АА1 отрезок AD= 2АА1, а затем проведем через точку D прямые, параллельные сторонам угла С'АВ'.
Точки пересечения этих прямых со сторонами угла С'АВ' являются вершинами искомого треугольника (рис.3) [22].
4.2 Методгеометрических преобразований
4.2.5 Метод подобия
Задача. Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3.
/>
 
 
 
Рис. 4
 
/>
 
Рис. 5
 
Решение. Задачу надо понимать так: даныугол hk и отрезок PQ (рис. 4). Требуетсяпостроить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой />A=/>hk, BC=PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой />А = />hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1(рис. 5). После этого черезточку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1,с центром в точке D1,. Эта окружностьпересекает прямую l в двух точках С1 и C1'.
Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых />A = />hk и стороны АВ1,ВС1(В1С1') и C1Dl(С1'D1) относятся как1:2:3.
Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1,и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В1АС1,который параллелен B1C1 и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую,параллельную AB1. Она пересекаетсяс прямой АС1 в точке С (рис. 6). Через точку С проводим прямую,параллельную B1C1, и получаем точкуВ. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку Спрямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самомделе, />А = />hk, BC = PQ и /> (это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюдаполучаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.
/>
Рис. 6
Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всемусловиям задачи. Если вместо трапеции AB1C1Dl взять трапецию АВ1С1'D1 и проделать такие же построения, тополучим второе решение задачи (рис. 7). Итак, данная задача имеет два решения [4].

/>
Рис. 7
 
4.3. Алгебраическийметод
Пример. Из вершин данноготреугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешнимобразом.
Пусть ABC (рис. 8) — данный треугольник, а,b, с — его стороны, х, у и z — радиусы искомых окружностей.
/>
Рис. 8
Выразим длины отрезков х,у, z через длины известных отрезков а,b, с. Тогда х+у=с, y+z=a, z+x=b. Поэтому 2х+2у+2z= a+b+c, x+y+z=/>(a+b+c), откуда />.
Строим теперь один изнайденных отрезков, например х, по формуле /> и проводим окружность (A, х). Две другие окружности проводим из центров Ви С радиусами соответственно с — х и b— х.
Для доказательствадостаточно заметить теперь, что две последние окружности касаются между собой,так как сумма их радиусов (с — х)+ (b— х) = с + b— 2х = (с + b)—(с + b—а) =а = ВС, тоесть равна расстоянию между их центрами.
Задача всегда однозначноразрешима, так как:
1) в треугольнике ABCb+c>a, и поэтому отрезок x может быть построен;
2) с>х,потому что с — х = />(так как а+с>b);
3) b>х, потому что b– х = />>0 [2].
Приложение5
Психологическиеметодики
МЕТОДИКА “ОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АНАЛОГИЙ” [9]
Под №1 слева написано два слова: сверху лошадь, внизу жеребенок. Какая между ними связь? Жеребенок – детенышлошади. А справа под №1 тоже одно слово корова,а снизу 5 слов на выбор. Из них нужно выбрать только одно, которое будет так жеотноситься к слову корова, как жеребенок к лошади, т.е. чтобы оно обозначало детеныша коровы. Это будеттеленок. Подчеркиваем слово теленок.Итак, нужно сначала установить, как связаны между собой слова, написанныеслева, и затем установить такую же связь справа. Так же решаются все задачи.1. Лошадь Корова
 
Жеребенок
2. Школа
Пастбище, рога, молоко, теленок, бык
Больница
Обучение
3. Яйцо
Доктор, ученик, учреждение, лечение, больной
Картофель
Скорлупа
4. Ложка
Курица, огород, капуста, суп, шелуха
Вилка
Каша
5. Коньки
Масло, нож, тарелка, мясо, посуда
Лодка
Зима
6. Ухо
Лед, каток, весна, лето, река
Зубы
Слышать
7. Собака
Видеть, лечить, рот, щетка, жевать
Щука
Шерсть
8. Пробка
Овца, ловкость, рыба, удочки, чешуя
Камень
Плавать
9. Чай
Пловец, тонуть, гранит, возить, каменщик
Суп
Сахар
10. Дерево
Вода, тарелка, крупа, соль, ложка
Рука
Сук
11 Дождь
Топор, перчатка, нога, палец, работа
Мороз
Зонтик
12. Песня
Палка, холод, сани, зима, шуба
Картина
Глухой
13. Нож
Хромой, слепой, художник, рисунок, больной
Стол
Сталь
14. Рыба
Вилка, дерево, стул, пища, скатерть
Муха
Сеть
15. Утро
Решето, комар комната, жужжать, паутина
Зима
Ночь
16. Птица
Мороз, день, январь, осень, сани
Человек Гнездо Люди, птенец, рабочий, зверь, дом
КЛЮЧ К МЕТОДИКЕ “ОБРАЗОВАНИЕПРОСТЫХ АНАЛОГИИ”
1.  Теленок2. Лечение 3. Шелуха 4. Мясо 5. Лето 6. Жевать 7. Чешуя 8. Тонуть 9 Соль 10.Палец 11. Шуба 12. Слепой 13. Дерево 14. Паутина 15. Осень 16. Дом.
МЕТОДИКА “ЛОГИЧНОСТЬ” [9]
Вы получили бланк с 20-ю заданиями. Каждое из заданийпредставляет собой умозаключение, состоящее из 2-х взаимосвязанных суждений ивытекающего из них вывода. Требуется определить, какие выводы правильные, акакие ошибочные.
БЛАНК ЗАДАНИЙ К МЕТОДИКЕ “ЛОГИЧНОСТЬ”
1.  Всеметаллы проводят электричество. Ртуть – металл. Следовательно, ртуть проводитэлектричество.
2.  Всеарабы смуглы. Ахмед смугл. Следовательно, Ахмед – араб.
3.  Некоторыекапиталистические страны – члены НАТО. Япония – капиталистическая страна.Следовательно, Япония – член НАТО.
4.  ВсеГерои России награждаются Золотой звездой Героя. Иванов награжден Золотойзвездой Героя. Следовательно, Иванов – Герой России.
5.  Всесочинения Пушкина нельзя прочесть за одну ночь. “Медный всадник” — сочинениеПушкина. Следовательно, “Медный всадник” нельзя прочесть за одну ночь.
6.  Лица,занимающиеся мошенничеством, привлекаются к уголовной ответственности. Л.мошенничеством не занимался. Следовательно, Л. не привлечен к уголовнойответственности.
7.  Всестуденты высшей школы изучают логику. Смирнова изучает логику. Следовательно,Смирнова – слушатель высшей школы.
8.  Некоторыестуденты МГУ – бывшие военнослужащие. Петров – студент МГУ. Следовательно,Петров – бывший военнослужащий.
9.  Всехлебопекарни г. Кирова выполнили дневной план производства. Хлебопекарня ЧПСидорова не является хлебопекарней г. Кирова. Следовательно, хлебопекарня ЧПСидорова не выполнила дневной план производства.
10.Некоторые работники 2-го управления – юристы. Фомин –юрист. Следовательно, он работник 2-го управления.
11.Все граждане России имеют право на труд. Иванов –гражданин России. Следовательно, Иванов имеет право на труд.
12.Все металлы куются. Золото – металл. Следовательно,золото куется.
13.Все коренные жители Конго – негры. Мухаммед – негр.Следовательно, Мухаммед – житель Конго.
14.Все студенты Ленинградского университета изучаютисторию России. Н. Изучает историю России. Следовательно, Н. – студентЛенинградского университета.
15.Когда идет дождь, крыши домов мокрые. Крыши домовмокрые. Следовательно, идет дождь.
16.Некоторые капиталисты стремятся к развязыванию войны.Рассел – капиталист. Следовательно, Рассел стремится к развязыванию войны.
17.Все студенты 3-го курса написали курсовые работы поспециальности. В. написал курсовую работу по специальности. Следовательно, В. –студент 3-го курса.
18.Комитет солдатских матерей выступает против войны.Джонс выступает против войны. Следовательно, Джонс входит в комитет солдатскихматерей.
19.Некоторые капиталистические страны входят в составОбщего рынка. Австрия – капиталистическая страна. Следовательно, Австрия входитв состав Общего рынка.
20.Все ученики 3 “б” класса отличники. Петя Смирнов –отличник. Следовательно, Петя Смирнов – ученик 3 “б” класса.
КЛЮЧ К МЕТОДИКЕ “ЛОГИЧНОСТЬ”
Ответы “верно”: 1,11,12.
Ответы “неверно”: все остальные.
МЕТОДИКА “ИСКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ” [9]
Вы получили бланк, на котором написаны серии слов.Каждая серия состоит из пяти слов. Четыре из них являются в некоторой степениоднородными понятиями и могут быть объединены по общему для них признаку, аодно слово не соответствует этим требованиям и должно быть исключено. Вы должныпросмотреть каждую серию, найти слово, подлежащее исключению и выписать его налисточке под соответствующим номером. Например, даны пять слов: “кирпич, глина,известь, камень, дом”. Первые четыре слова можно объединить одном понятием “строительныематериалы”, а последнее слово лишнее. Нужно записать “1.дом”. И так по порядкунужно решить все 17 серий.
БЛАНК ЗАДАНИЙ К МЕТОДИКЕ “ИСКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ”
1. дряхлый, старый, изношенный, маленький, ветхий
2. смелый, храбрый, отважный, злой, решительный
3. Василий, Федор, Семен, Иванов, Порфирий
3. молоко, сливки, сыр, сало, сметана
4. скоро, быстро, поспешно, постепенно, торопливо
5. глубокий, высокий, светлый, низкий, мелкий
6. лист, почка, кора, дерево, сук
7. дом, сарай, изба, хижина, здание
8. береза, сосна, дерево, дуб, ель
9. ненавидеть, презирать, негодовать, возмущаться,наказывать
10. темный, светлый, голубой, яркий, тусклый
11. гнездо, нора, курятник, берлога, сторожка
12. неудача, крах, провал, поражение, волнение
13. молоток, клещи, топор, гвоздь, долото
14. минута, секунда, час, вечер, сутки
15. грабеж, кража, землетрясение, поджог, нападение
16. успех, победа, удача, спокойствие, выигрыш.
 
КЛЮЧ К МЕТОДИКЕ “ИСКЛЮЧЕНИЕПОНЯТИЙ”1.  маленький 2.  злой 3.  Иванов 4.  сало 5.  постепенно 6.  светлый 7.  дерево 8.  сарай 9.  дерево 10.         наказывать 11.         голубой 12.         сторожка 13.         волнение 14.         гвоздь 15.         вечер 16.         землетрясение 17.         спокойствие
Приложение6
Диагностирующая контрольнаяработа №1
1.   Найти точку, равноудаленную от трехданных точек.
2.   Построить треугольник по данномуоснованию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
3.   Построить треугольник по двум углам имедиане.
Диагностирующаяконтрольная работа №2
1.   Даны 3 точки: А, В, С.Постройте точку Х, которая равноудалена от точек А и В инаходится на данном расстоянии от точки С.
2.   Построить параллелограмм, зная однуиз сторон, опущенную на эту сторону высоту и одну из диагоналей.
3.   Построить треугольник, зная отношениетрех его сторон и биссектрису угла
Программафакультативного курса занятий для 8 класса по теме “Задачи на построение иметоды их решения”
Программа рассчитана на 6часов. Занятия проводятся по 1 часу.
Занятие №1
Тема: ГМТ. Метод ГМТ.
Тип: урок изучения нового материала
Цели:
1) образовательные:повторить ранее изученный геометрический материал по теме решение задач напостроение, сформировать у учащихся понятие геометрического места точек,сформировать представление о методе ГМТ, научить применять метод ГМТ прирешении задач на построение, сформировать четкое представление об этапахрешения задач на построение;
2)воспитательные: воспитать умение проводить анализ, исследование задачи, умениевидеть решение, формировать грамотность речи;
3) развивающие:развить умение применять метод ГМТ для других задач.
Этапы:
1. Организационный момент
2. Актуализация знаний
3. Изучение новогоматериала
4. Решение задач
5. Подведение итогов.
Ход факультативногозанятия:
1.   Организационный момент
Как вы уже поняли изанкеты, задачи на построение можно решать различными методами: методом геометрических местточек, подобия, осевой симметрии, центральной симметрии, поворота,параллельного переноса, алгебраическим методом. Сегодня на уроке мы введемпонятие ГМТ и рассмотрим в чем заключается метод ГМТ. Запишите тему урока: “ГМТ. МетодГМТ”.
2.  Актуализациязнаний
Выизучали геометрические построения на протяжении 7 и 8 классов. Вспомните, какиепостроения вы выполняли? Таким образом, вы знаете как выполнить построение:
1)  отрезка, равного данному;
2)  угла, равного данному;
3)  биссектрисы угла;
4)  перпендикулярных прямых;
5)  середины отрезка;
6)  треугольника по трем сторонам;
7)  деление отрезка на n равныхчастей.
3. Изучениенового материала
Такжевы строили серединный перпендикуляр к данному отрезку. Как вы это делали?(чертеж на доске)
Навернякавы говорили о том, что на серединном перпендикуляре к данному отрезку находятсявсе точки, которые равноудалены от концов отрезка.
Говорят,что серединный перпендикуляр – это геометрическое место точек, равноудаленныхот двух данных точек.
Геометрическимместом точек плоскости, обладающих данным свойством, называется множество всехточек плоскости, каждая из которых обладает этим свойством (запись определенияв тетради).
Рассмотримеще некоторые основные геометрические построения (раздаточный материал):
I. Геометрическое место точек, одинаково удаленныхот данной точки(окружность).
II. Геометрическое место точек, одинаковоудаленных от данной прямой(пара параллельныхпрямых).
III. Геометрическое место точек, равноудаленныхот двух данных точек(серединныйперпендикуляр к отрезку)
IV. Геометрическое место точек, равноудаленныхот двух данных а) пересекающихся, б) параллельных прямых(пара перпендикулярных прямых в первом случае, прямая линия — во втором).
Существуют также более сложные ГМТ, которые используются при решении задач(раздаточный материал):
1) Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.
2) Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная коснованию, равна данному отрезку.
3) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящихчерез данную точку.
4) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихсяданной окружности (внешним образом, внутренним образом).
5) Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которыхвысота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.
6) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихсяданной прямой.
7) Геометрическое место центровокружностей данного радиуса, отсекающих на данной прямой хорду данной длины.
8) Геометрическое место серединотрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой.
9) Геометрическое место вершин равнобедренныхтреугольников с общим основанием.
10) Геометрическое место центровокружностей, проходящих через две данные точки.
11) Геометрическое место центровокружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.
12) Геометрическое место центровокружностей, касающихся внешним образом (внутренним образом) двух равныхокружностей.
13) Геометрическоеместо центров окружностей, касающихся двух данных (пересекающихся,параллельных) прямых.
14) Геометрическое место вершинпрямоугольных треугольников с общей гипотенузой.
Теперь вспомните, как выстроили треугольник по трем сторонам (чертеж на доске).
Какие ГМТ здесьиспользуются? Их пересечение дает нам третью вершину искомого треугольника.Оказывается, что при решении данной задачи вы использовали метод ГМТ.
Суть метода ГМТзаключается в следующем: сводят задачу к нахождению некоторой точки, котораяопределяется двумя условиями, вытекающими из требования задачи.
Допустим, геометрическимместом точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура F1, а геометрическим местом точек,удовлетворяющих второму условию, есть фигура F2. Тогда каждая точка пересечения этихдвух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи. Например, построениетреугольника по трем сторонам.
Таким образом, задача небудет иметь решений, если эти ГМТ не пересекаются. И будет иметь столькорешений, сколько имеющихся точек пересечения указанных мест (показать на том жепримере).
4. Решение задач
1) Построить треугольникпо основанию, боковой стороне и медиане, проведенной к основанию (пересечениеГМТ №1 и №2).
2) Постройтеравнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности(пересечение ГМТ №9 и описанной окружности, центр которой – ГМТ №11).
3) Построить окружностьданного радиуса, проходящую через две данные точки (пересечение ГМТ №3 и №3).
5. Подведение итогов
Итак, что вы узнали насегодняшнем занятии? Сформулируйте понятие ГМТ. В чем заключается метод ГМТ?Какие существуют этапы решения задач на построение? Раскройте суть каждого изэтапов.
Домашнее задание: 1)Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. 2) Постройтеромб так, чтобы две противолежащие его вершины были в двух данных точках Аи В и третья на данной окружности О. 3) Постройте окружность,которая касается сторон данного угла, причем одной из них – в данной точке.
Рекомендуемая литература:[11], [16], [18], [22].
Занятие №2
Тема: Применение метода ГМТ к решениюзадач на построение.
Цели: Научить применять метод ГМТ крешению задач на построение.
Краткое содержание: Повторение изученного материала,решение задач на построение, в которых используется более сложныегеометрические места точек.
Рекомендуемаялитература: [11], [16],[18], [22].
Занятие №3
Тема: Подобие. Метод подобия.
Цели: Повторить тему подобия фигур, сформироватьпонятие о методе подобия при решении задач на построение.
Краткое содержание: рассмотрение случаев, когда задачана построение решается методом подобия, суть метода подобия, решение задач, вкоторых размеры фигуры определяются заданием некоторого отрезка, различныеслучаи выбора центра подобия.
Рекомендуемаялитература: [4], [11],[16].
Занятие №4
Тема: Применение метода подобия к решениюзадач на построение.
Цели: Научить применять метод подобия крешению задач на построение.
Краткое содержание: Повторение изученного материала,решение задач на построение, в которых размеры фигуры определяются заданиемнекоторого отрезка, суммы или разности отрезков.
Рекомендуемаялитература: [4], [11],[16].
Занятие №5
Тема: Решение задач на построение методамиГМТ и подобия.
Цели: Научить видеть какой из методовследует применять к той или иной задаче.
Краткое содержание: Решение задач на применениеразличных методов: ГМТ и подобия.
Рекомендуемаялитература: [4],[11], [16], [18], [20], [21], [22].
Занятие№6
Тема: Решение задач на построение методамиГМТ и подобия.
Цели: Научить применять методы ГМТ иподобия к решению более сложных задач на построение, научить видеть какой изметодов следует применять к той или иной задаче.
Краткое содержание: Решение более сложных задач напостроение на применение различных методов: ГМТ и подобия.
Рекомендуемаялитература: [4],[11], [16], [18], [20], [21], [22].