Федеральное агентство по образованию
Саратовский Государственный Университет им.Н.Г. Чернышевского
Кафедра математики и методов её преподавания
Курсовая работа
на тему: Методика изучения неравенств
Выполнила: студентка 4 курса 421группы ММФ
Юрцева Т.А.
Проверил: зав. каф. к. п. н. КондауроваИ.К.
САРАТОВ 2007
Содержание
Введение. 3
1. Методика изучения темы «Неравенства» вначальной школе. 5
2. Методика изучения неравенств в старших классах. 11
2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств всовременном школьном курсе математики. 11
2.2 Классификация преобразований неравенств и их систем… 13
2.3 Общая последовательность изучения материала линиинеравенств. 15
3. Методика изучения основных классов неравенств и их систем… 19
Заключение. 25
Список использованных источников. 27
Введение
Тема «Неравенства»занимает важное место в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам иприемам решения неравенств, по возможностям ее применения при изучении рядадругих тем школьного курса алгебры. Это объясняется тем, что уравнения инеравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важныхприкладных задач.
Анализ диссертационных работ,посвященных методике изучения темы «Неравенства» в основной школе,показал, что в настоящий момент имеется ряд исследований, раскрывающих ееразличные аспекты. Одним из первых было диссертационное исследование К.И. Нешкова,в котором сформулированы принципы отбора содержания и выделен необходимый объемматериала по теме. При этом большая роль отводилась упражнениям.
Исследования: М.В. Паюл, И.М. Степуропосвящены вопросам взаимосвязи понятий неравенства, уравнения и функции; М.П. Комова,Г.Н. Солтан — доказательствам и решению неравенств на геометрическом материале;Е.Ф. Недошивкина — внутрипредметным связям при изучении уравнений и неравенствв курсе математики 4-8-х классов; Н.Б. Мельниковой, Д.Д. Рыбдаловой — прикладнымаспектам изучения неравенств в средней школе.
Итак, можно констатировать тотфакт, что отдельные вопросы методики обучения понятию неравенства и решениюконкретных неравенств в школьном курсе математики освещены достаточно полно.
Несмотря на значительныйположительный опыт в методике преподавания темы «Неравенства», какпоказывает анализ результатов тестов, контрольных, выпускных, вступительныхэкзаменационных работ, учащиеся средней школы недостаточно полно владеютосновными знаниями и умениями по решению неравенств. В качестве аргументаприведем анализ результатов участия России в международных исследованиях TIMSS(6-ое место из 36 стран участников), который показал, что наибольшуюозабоченность по курсу алгебры вызывает качество знаний и умений учащихся потеме «Неравенства».
1. Методика изучения темы «Неравенства» вначальной школе.
Работа над неравенствами ведетсяс I класса, органически сочетаясь с изучениемарифметического материала. Программа по математике для I-III классов ставит задачу выполнять сравнение чисел, а такжесравнение выражений с целью установления отношений «больше», «меньше»,«равно»; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков />и читатьполученные неравенства.
Числовые неравенства учащиесяполучают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтомузнаками /> соединяютсяне любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которымисуществуют указанные отношения. Если одно число больше (меньше) другого илиодно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то,соединенные соответствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом,первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных неравенствах.
Однако в процессе работы надуравнениями, выражениями и неравенствами с переменной учащиеся, подставляяразличные значения переменной, накапливают наблюдения и убеждаются в том, чторавенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Такой подход краскрытию понятий определяет соответствующую методику работы над равенствами,неравенствами, уравнениями.
Ознакомление с неравенствами вначальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации иарифметических действий.
Сравнение осуществляется сначалана основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощьюустановления взаимно однозначного соответствия. Этому способу сравнения множествучат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чиселпервого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнениеполученных чисел (кружков 7, треугольников 5, кружков больше, чем треугольников,7 больше, чем 5). В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на ихместо в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, потому что при счете число 9называют перед числом 10; 5 больше, чем 4, потому что при счете число 5называют после числа 4.
Установленные отношения записываютсяс помощью знаков />, учащиеся упражняются в чтении изаписи неравенств.
Впоследствии при изучениинумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чиселсравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральномряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнениясоответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7десятков больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а единиц впервом числе больше, чем во втором).
Сравнение величин сначалавыполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потомосуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданныевеличины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение величин вызываеттрудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематическив I-III классах предлагатьразнообразные упражнения, например:
Подберите равную величину: 7 км500 м = □ м, 3080 кг= □ т □ кг.
Подберите числовые значениявеличин так, чтобы запись верной: □ ч
3) Вставьте наименование увеличин так, чтобы запись была верной: 16 мин>16…
Подобные упражнения помогаютдетям усвоить не только понятия равных и неравных величин, но и отношенияединиц измерения.
Переход к сравнению выраженийосуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания впределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа(числа и выражения). Первые неравенства вида 3+1>3, 3-13), значит,можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). Аналогичная работаведется над неравенством 3-1
В дальнейшем выражение и число(число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям надмножествами; находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, чтоотражается в записях:
5+3>5 2
8>5 2
После знакомства с названиямивыражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т.п.
Опираясь на операции надмножествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшиесвойства равенств и неравенств (если а>b, то b
Дети видят, что если кружков итреугольников поровну (рис.1), то можно сказать, что Кружков столько, сколькотреугольников (3+2=5), а также треугольников столько, сколько кружков (5=3+2). Еслиже Предметов не поровну (рис.2), то одних — больше (3 + 1>3), а другихменьше (3
/>
Рис.1 Рис.2
В дальнейшем при изучениидействий в пределах 100, 1000 и 1000000, упражнения на сравнение выражения ичисла даются на новом числовом материале и увеличивается количество чисел изнаков действий в выражениях.
Сравнивая неоднократноспециально подобранные выражения и числа, например: 17+0 и 17, 19-0 и 19, 7-1 и7, 0: 5 и 0, с+1 и с, с: 1 и с и т.п., учащиеся накапливают наблюдения обособых случаях действий, глубже осознают конкретный смысл действий. Упражненияна сравнение выражений и числа закрепляют умения читать выражения испособствуют выработке вычислительных навыков.
Сравнить два выражения, значит,сравнить их значения. Сравнение выражений впервые включается уже в концеизучения сложения и вычитания в пределах 10, а затем при изучении действий вовсех концентрах эти упражнения систематически предлагаются учащимся. Например,надо сравнить Суммы: 6+4 и 6+3. Ученик рассуждает так: первая сумма равна 10,вторая-9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6и 3. Это рассуждение отражается в записях:
/>
При изучении действий в другихконцентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложнымистановятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно извыражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства;проверить, верные ли равенства (неравенства) даны, неверные исправить, изменивзнак отношения или число в одном из выражений; составить из данных выраженийверные равенства или верные неравенства. Сами выражения подбираются такимобразом, чтобы, сравнивая выражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимостимежду компонентами и результатами действий. Например, после того как установилис помощью вычислений, что сумма 60+40 больше суммы 60+30, учитель предлагаетсравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первыеслагаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше,чем во второй. Много раз, подмечая эту зависимость, учащиеся приходят кобобщению и затем свои знания используют при сравнении выражений.
Таким образом, при изучении всехконцентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны,способствуют формированию понятий о равенствах я неравенствах, а с другойстороны, усвоению знаний о нумерация и арифметических действиях, а такжевыработке вычислительных навыков.
Неравенства с переменной вида: х+35, х-4>12, 72: х0, 6+4> □, 7+ □ 0 можно подставить число 1(1>□), можно 2 (2>□), можно З (3>□) и т.д. Послетого как названо несколько чисел, полезно обобщить наблюдения (например, вовтором неравенстве можно подставить любое число, которое меньше 10-от 0 до 9).
Рассматривая во II классе,например, неравенство х+3
Термины «решить неравенство»,«решение неравенства» не вводятся в начальных классах, поскольку вомногих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной,при которых получается верное неравенство.
Позднее в упражнениях снеравенствами значения переменной не даются, учащиеся сами подбирают их. Такиеупражнения, как правило, выполняются под руководством учителя.
Можно ознакомить детей с такимприемом подбора значений переменной в неравенстве. Пусть дано неравенство7×k
Упражнения с неравенствамизакрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметическихзнаний. Например, подставляя различные числовые значения компонентов, детинакапливают наблюдения об изменении результатов действий в зависимости отизменения одного из компонентов. Здесь уточняются знания детей о конкретномсмысле каждого действия (так, подставляя значения вычитаемого, дети убеждаютсяв том, что вычитаемое не больше уменьшаемого и т.п.). Подбирая значения буквы внеравенствах и равенствах вида: 5+х=5, 5-х=5; 10×х=10, 10×х
В соответствии с программой в I-III классах рассматриваютсяуравнения первой степени с одним неизвестным вида:
/>
Неизвестное число сначаланаходят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом икомпонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождениянеизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работынад уравнениями.
2. Методика изучения неравенств в старших классах2.1 Содержание и роль линии уравнений и неравенствв современном школьном курсе математики
Ввиду важности и обширностиматериала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методикематематики организовано в содержательно-методическую линию уравнений инеравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения инеравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравненийи неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курсаматематики.
Выделенным областямвозникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют триосновных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьномкурсе математики.
а) Прикладная направленностьлинии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изученииалгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется вшкольной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым вприложениях математики.
В настоящее время ведущееположение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используяэто понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и ихсистем определяется тем, что они являются основной частью математическихсредств, используемых в математическом моделировании.
б) Теоретико-математическаянаправленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых,в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и,во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом.Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравненийи неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важнымиматематическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяетлогически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее,что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классамуравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методыопираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство,равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты влинии уравнений и неравенств.
в) Для линии уравнений инеравенств характерна направленность на установление связей с остальнымсодержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основнаяидея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, — это идеяпоследовательного расширения числовой системы. Все числовые области,рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением областивсех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений,неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами илисистемами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выраженийсвязаны соответственно с уравнениями /> (k-натуральноечисло, большее 1) и />
Связь линии уравнений инеравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показываютвлияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратноевлияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая областьрасширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.
Линия уравнений и неравенствтесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связейприложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, кисследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определениянекоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другойстороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержаниелинии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности,функциональные представления служат основой привлечения графической наглядностик решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем. 2.2 Классификация преобразований неравенств и ихсистем
Можно выделить три типа такихпреобразований:
1) Преобразование одной изчастей неравенства.
2) Согласованное преобразованиеобеих частей неравенства.
3) Преобразование логическойструктуры.
Преобразования первого типаиспользуются при необходимости упрощения выражения, входящего в записьрешаемого неравенства. Преобразование одной из частей неравенства используютраньше всех других преобразований, это происходит еще в начальном курсематематики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большоезначение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку ониприменяются очень часто.
Преобразования второго типасостоят в согласованном изменении обеих частей неравенства в результатеприменения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразованиявторого типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала,изучаемого в линии неравенств.
Приведем примеры преобразованийэтого типа.
1) Прибавление к обеим частямнеравенства одного и того же выражения.
2а) Умножение (деление) обеихчастей неравенства на выражение, принимающее только положительные значения.
2б) Умножение (деление) обеихчастей неравенства на выражение, принимающее только отрицательные значения иизменение знака неравенства на противоположный.
3а) Переход от неравенства a>b к неравенству f(a) >f(b), где f-возрастающая функция, илиобратный переход.
3б) Переход от неравенства а
Среди преобразований второготипа преобразования неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этимв значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенствформируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинстваучащихся такого же уровня.
К третьему типу преобразованийотносятся преобразования неравенств и их систем, изменяющие логическуюструктуру заданий. Поясним использованный термин логическая структура". Вкаждом задании можно выделить элементарные предикаты — отдельные уравнения илинеравенства. Под логической структурой задания мы понимаем способ связи этихэлементарных предикатов посредством логических связок конъюнкция или дизъюнкции.
Изучение и использованиепреобразований неравенств и их систем, с одной стороны, предполагают достаточновысокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения иприменения таких преобразований имеются широкие возможности для формированиялогической культуры. Большое значение имеет выяснение вопросов, относящихся кхарактеризации производимых преобразований: являются ли они равносильными илилогическим следованием, требуется ли рассмотрение нескольких случаев, нужна липроверка? Сложности, которые приходится здесь преодолевать, связаны с тем, чтодалеко не всегда возможно привести характеризацию одного и того жепреобразования однозначно: в некоторых случаях оно может оказаться, например,равносильным, в других равносильность будет нарушена.
В итоге изучения материала линииуравнений и неравенств учащиеся должны не только овладеть применениемалгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научитьсяиспользовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда этонеобходимо. 2.3 Общая последовательность изучения материалалинии неравенств
Необходимо учитывать двапротивоположных направленных процесса, сопровождающие обучение. Первый процесс- постепенное возрастание количества классов неравенств и приемов их решения,различных преобразований применяемых в решении. За счет увеличения объемаматериал как бы дробится, изучение его новых фрагментов затрудняется наличиемуже изученных, Второй процесс установление разнообразных связей междуразличными классами уравнений, выявление все более общих классов, закреплениевсе более обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснованиярешений.
В результате взаимодействия этихпроцессов изученный материал должен представляться учащимся в сравнительнокомпактном виде, не затрудняющем, а, наоборот, облегчающем усвоение нового. Необходимостьустановления такого взаимодействия обусловливает применяемые в линии уравненийи неравенств методические приемы, в частности распределение материала обученияпо ступеням.
Можно выделить четыре основныеступени: независимое изучение основных типов неравенств и их систем; постепенноерасширение количества изученных классов неравенств и их систем; формированиеприемов решения и анализа неравенств и их систем, имеющих широкую областьприменимости; синтез материала линии уравнений и неравенств. Дадимхарактеристику этих ступеней.
Изучение основных типовнеравенств и их систем.
Среди всех изучаемых в курсематематики типов неравенств и систем выделяется сравнительно ограниченноеколичество основных типов, к их числу можно отнести: линейные неравенства содним неизвестным, квадратные неравенства, простейшие иррациональные итрансцендентные неравенства.
Эти классы изучаются с большойтщательностью, для них указывается и доводится до автоматизма выполнениеалгоритмов решения, указывается форма, в которой должен быть записан ответ.
Введение каждого новогоосновного класса неравенств сопровождается введением новой области числовыхвыражений, входящих в стандартную форму записи ответа. Вместе с тем, когдаматериал усвоен, целесообразно изредка предлагать и такие задания, в которыхмогут возникать нестандартные для данного класса неравенств ответы.
Каждый из основных классовнеравенств и их систем требует проведения исследования зависимости результатаот коэффициентов, поскольку множества решений у заданий, входящих в один и тотже класс, могут существенно различаться. Для неравенств и их систем в качествемеры различия обычно берутся простейшие особенности геометрических фигур,изображающих их множества решений на координатной прямой или плоскости. Изредкатребуется выяснить положительность или отрицательность корней (если неизвестноеодно), принадлежность решений уравнений с двумя неизвестными одной изкоординатных четвертей.
Формирование общих приемоврешения и исследования неравенств
В ходе изучения неравенствстановится все более заметной роль общих, универсальных средств решения иисследования. Такие обобщенные средства, приемы можно разделить на три группы.
Первая группа состоит излогических методов обоснования решения. Используя эти методы (например,равносильные преобразования или логическое следование), переходят от исходныхнеравенств к новым. Такие переходы делаются до тех пор, пока не получаютсязадания, относящиеся к известным классам.
Вторая группа состоит извычислительных приемов, посредством которых производятся упрощения одной изчастей данного неравенства, проверка найденных корней при помощи подстановкивместо неизвестного, различные промежуточные подсчеты в т.д. Возможностипроведения численных расчетов резко возрастают при использовании вычислительнойтехники.
В третью группу входятнаглядно-графические приемы. Большинство этих приемов используют в качествеосновы координатную прямую либо координатную плоскость.
Использование координатнойпрямой позволяет решать некоторые неравенства и системы неравенств с однимнеизвестным, а также неравенства с модулями. Например, прием решения системлинейных неравенств с одним неизвестным состоит в том, что на координатнуюпрямую наносятся множества решений каждого неравенства, а потом выделяется ихобщая часть. Решение уравнений и неравенств с модулями связывается сгеометрической интерпретацией модуля разности чисел.
Использование координатнойплоскости позволяет применить графические методы к решению и исследованиюнеравенств и их систем как с одним, так и с двумя неизвестными. Графическиеприемы эффективно применяются для изображения результатов исследования там, гдечисто аналитическая запись громоздка. Характерным примером служит схема, накоторой приведены различные случаи решения неравенства ax²+bx+c>0, помещенная на рис.3. Врезультате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такойсхемой, а затем ее мысленным образом.
/>
3. Методика изучения основных классов неравенств иих систем
Эти классы можно разбить на двегруппы. Первая группа рациональные неравенства и системы. Наиболее важнымиклассами соответствующие классы неравенств. Вторая группа — иррациональные итрансцендентные неравенства и системы. В состав этой группы входятиррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства.
Первая группа получаетдостаточное развертывание, вплоть до формирования прочных навыков решения, ужев курсе алгебры неполной средней школы. Вторая же группа в этом курсе тольконачинает изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, аокончательное изучение происходит в курсе алгебры и начал анализа. При изучениивторой группы приходится опираться на общие понятия и методы, относящиеся клинии неравенств. Указанное различие, однако, не является единственным, котороепротивопоставляет эти две группы. Более существенным является учетособенностей, связанных с развертыванием материала каждой из этих групп. Посравнению с первой группой неравенства, входящие в состав второй, в процессе ихизучения обнаруживают значительно более сложные связи с другими линиями курсаматематики — числовой, функциональной, тождественных преобразований и др.
Последовательность изученияразличных классов неравенств и систем различна в разных учебниках. Однакоколичество возможных вариантов для последовательности их введения не слишкомвелико — классы находятся в определенной логической зависимости друг от друга,которая предписывает порядок их появления в курсе.
Наличие такого разнообразияподходов затрудняет методическое описание, поскольку принятие того или иногопути требует различных приемов изучения материала.
Отметим ряд особенностей визучении неравенств:
1) Как правило, навыки решениянеравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чемуравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теориянеравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное обстоятельство отчастисмягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можносчитать, что содержательная сторона неравенств, возможности их приложений отэтого не страдают.
2) Большинство приемов решениянеравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующемпереходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходногонеравенства. Пожалуй, такого перехода не производится лишь при рассмотрениилинейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процессарешения таких неравенств. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, стем? чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основнойметод решения неравенств; в старших классах он формализуется в виде «методаинтервалов».
3) В изучении неравенств большуюроль играют наглядно-графические средства.
Указанные особенности могут бытьиспользованы для обоснования расположения материала, относящегося кнеравенствам, количества заданий, необходимых для усвоения программногоминимума.
Приведем примеры. Перваяособенность может быть истолкована так: при выполнении одного и того же числаупражнений техника решения неравенств какого-либо класcабудет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеетсянеобходимость формирования прочных навыков решения неравенств, то для этоготребуется большее число заданий. Вторая особенность объясняет то, что темы,относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся ксоответствующим классам уравнений. В соответствии с третьей особенностьюизучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьногокурса (построение графиков и графическое исследование функций).
Перечисленные особенностипоказывают, что изучение предшествующего материала сильно влияет на изучениенеравенств. Поэтому роль этапа синтеза в изучении неравенств особенновозрастает.
Проиллюстрируем указанныеособенности на материале квадратных неравенств. Изучение этого раздела курсаследует за изучением квадратного уравнения и квадратного трехчлена. К моментуего изучения учащиеся умеют строить графики квадратичной функции, причем на нихотмечаются нули функции, если они существуют. Поэтому переход к рассмотрениюквадратных неравенств можно осуществить как переход от неравенства ах²+bх+с>0 к построению и изучению графика функции у=ах²+bх+с. Поскольку возможны различные случаи расположенияграфика относительно оси абсцисс, лучше начать с рассмотрения конкретногозадания, для которого соответствующий квадратный трехчлен имеет различные корни.На этом примере устанавливается соответствие между двумя задачами: «Решитьнеравенство ах²+bх+с>0»; «Найтизначения аргумента, для которых значения функции у=ах²+bх+сположительны». Посредством этой связи производится переход к построению графикафункции. Нули этой функции разбивают ось абсцисс на три промежутка, в каждом изкоторых она сохраняет знак, поэтому ответ считывается прямо с чертежа. Другиеслучаи решения квадратных неравенств (у квадратного трехчлена ах²+bх+с не больше одного корня) требуют дополнительногорассмотрения, но опираются на то же соответствие.
В процессе дальнейшего изученияустанавливается, что нет нужды в точно вычерченном графике квадратного трехчлена,достаточно наметить только положение корней, если они есть, и учесть на эскизенужные особенности графика (направление ветвей параболы).
В школьном курсе математикиограничиваются изучением только неравенств основных классов; задания, которыетребуют сведения к основным классам, встречаются сравнительно редко. Например,не изучаются биквадратные неравенства.
Из числа типов заданий, вкоторых проявляется прикладная роль неравенств в курсе алгебры, отметимнахождение области определения функции и исследование корней уравнений взависимости от параметров.
Иррациональные и трансцендентныенеравенства
Определения различных классовиррациональных и трансцендентных неравенств, которые приводятся в школьныхучебниках, обычно имеют вид: «Неравенство называется иррациональным(показательным в т.д.), если оно содержит неизвестное под знаком корня (впоказателе степени и т.д.)». Несмотря на формальную расплывчатость,определения такого типа достаточны для того, чтобы указать некоторую область,уравнения или неравенства из которой решаются способами, изучаемыми припрохождении соответствующей темы. В каждом из таких классов можно указатьподклассы простейших уравнений или неравенств, к которым и сводится решениеболее сложных заданий.
Каждый простейший класс тесносвязан с классом соответствующих функций; по существу, формулы решений иисследование простейших неравенств здесь опираются на свойства функций. Вначале изучения каждого простейшего класса учащимся приходится преодолеватьтрудности, связанные с освоением специфической символики, в частности узнаватьновые формы записи чисел и числовых областей, в которых должен быть полученответ к заданию. При решении заданий часто используются наряду с известнымиспецифические для соответствующего класса функций тождества. Значительно чаще,чем в предшествующей части курса, в решении неравенств используются неравносильныепреобразования, широко используются подстановки. Поэтому весь этот материалтребует достаточной логической грамотности учащихся.
Специфика трансцендентныхнеравенств. При рассмотрении различных классов трансцендентных неравенствнеобходимо уделять достаточное внимание формированию навыка применения тождествдля преобразования данных неравенств. Особенно ярко это проявляется втригонометрии, поэтому при изучении тригонометрических неравенств большоезначение приобретают задания и системы вопросов, связанные с распознаваниемприменимости того или иного тождества, возможности приведения уравнения илинеравенства к определенному виду.
Здесь значительные трудностисвязаны с тем, что некоторые тождества, используемые в преобразованиях,приводят к изменению области определения. К числу таких тождеств относятся,например, такие:
/>
/>
/>
/>
Использование этих тождествслева направо может привести к потере корней, а справа налево — к появлениюпосторонних корней. Рассмотрим примеры.
/>
Здесь учет ограничений прииспользовании тождества для логарифма произведения выполнен при втором переходе,в результате чего неравенство преобразовалось в систему неравенств, из которыхдва последних позволяют сохранить исходную область определения неизменной.
В результате выполненияаналогичных заданий можно сделать вывод: если приходится пользоваться преобразованиями,расширяющими область определения, то для сохранения равносильности необходимодополнительно ввести ограничения, сохраняющие исходную область определениянеизменной.
Заключение
В данной курсовой работе мырассмотрели методику преподавания темы «Неравенства» в начальных истарших классах средней школы.
Неравенство числовое — высказываниевида а b, где
Неравенство с переменной — высказывательнаяформа вида А≤ В, где А или В — высказывательная форма.
Множество значений переменной х(или нескольких переменных), при которых высказывательная форма А
Иногда неравенство с переменнойопределяют менее формально, но более, может быть, доступно: два выражения,соединенные знаком неравенства (/> — знаки неравенства).
Неравенство, содержащее знак> или b, то bа.
К обеим частям истинного (верного)числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, в результате получимистинное неравенство. Умножая обе части истинного числового неравенства аbс.
Содержание линии неравенствразвертывается на протяжении всего школьного курса математики. Учитываяважность и обширность материала этой линии, еще раз отметим целесообразность назаключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и сложныезадания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонентов этойлинии, основных понятий и основных приемов решения, исследования и обоснованиязаданий.
Список использованных источников
1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики вначальных классах: Уч. пос. для уч-ся школ. отд-й пед. уч-щ / Под ред. М.А. Бантовой.-3-е изд., испр. — М.: Просвещение, 1984 г. — 335 с. — ил.
2. Бантова М.А. Методическое пособие к учебнику математики/М.А. Бантова, Т.В.Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001 – 64 с.
3. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. «Задачи по математике. Уравненияи неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г.
4. Давыдов В.В., С.Ф. Горбов и др. Обучение математике. – М.: Мирос, 1994. –192 с.
5. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Академия,2000. – 288 с.
6. Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений и неравенств: Пос. дляучит-й. — М.: Просвещение, 1980 г. -68 с.
7. Левитас Г.Г. Современный урок математики. Методика преподавания. ПТУ-М.:Высшая школа, 1989. -88 с. — ил.
8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Уч. пос.для студ. пед. инст-в по спец.2104 «Математика» и 2105 «Физика»/А. Блох, Е.С. Канин и др. Сост.Е.С. Черкасов, А.А. Столяр. — М.: Просвещение,1985. -336 с.
9. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пос.для студ. пед. инст-в по физ-мат. спец-м/ А. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев идр. Сост.В.И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987. -416 с.: ил.
10. Методика преподавания математики в средней школе. /В.А. Ованесян и др. –М: Просвещение, 1980. – 368 с.
11. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решенияуравнений и неравенств. — М.: МГУ, 1991 г.
12. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системынеравенств. М.: Аквариум, 1997 г.