И.В. Злобин, Член ФинляндскойАстрономической Ассоциации, Хельсинки, Финляндия
Время, как форма движенияматерии представляет собой детерминированную систему с жесткимипричинно-следственными связями. Эти связи характеризуются устойчивойконсеквентной сменой таких хронологических параметров, как — Прошлое, Настоящееи Будущее.
К разряду общихфундаментальных свойств Времени, принятых сегодня в физике, наиболее точноустановленными являются: гомогенность и изотропность [1] .
Здесь и везде, термины:Время, Прошлое, Настоящее и Будущее, будем записывать с заглавной буквы там, гдео них говорится, как о реальных физических факторах.
С точки зрениясуществующей реальности, разумно допустить, что Прошлое, Настоящее и Будущеемогут коррелировать с понятием -спектральных параметров Времени. На«стреле» Времени [2] эти критерии группируются следующим образом:Будущему принадлежат точки Времени лежащие над Настоящим и Прошлым, Настоящеезанимает промежуточное положение между областями Прошлого и Будущего, а Прошлоепроецируется на ту часть на «стреле» Времени, которая располагаетсяниже зоны включающей точки Времени Настоящего и тем более точки ВремениБудущего ( Рис. 1 ). Такая картина естественно непротиворечива, как в отношенииконтинууальности Времени, так и с точки зрения наших оценок хронологическихэтапов, т.е., что есть — «вчера», «сегодня»,«завтра».
С физической точки зренияцелесообразно отметить, что в данном анализе не проводится разделение Будущегои Прошлого на хронологическое и каузальное. Специфика принятия такого решениязаключается в том, что Хокинг и Эллис [2] показали: "… в физическиреалистических решениях условие причинности и хронологическое условиеэквивалентны". Таким образом, в данном исследовании оперируем модельюмаксимально приближенной к реальным макрофизическим процессам, т.е. начальныеусловия задаются базисом, основывающимся на необратимости Времени реальногоМира [3]./>
Для ясности пониманияквинтэссенции предлагаемых ниже понятий и предложений необходимо ввести рядобозначений. Необходимость этого шага продиктована тем, что в настоящее времятрудно найти достаточно координальную программу иллюстрирующую физическую концепциюВремени.
Обозначим через />Времяn-измерений, т.е. множество всевозможных наборов п чисел />с обычной топологией.Пусть /> означает«нижнюю половину»/>, т.е. область/>, в которой t означает «верхнююполовину»/>,которой t > 0 (область Будущего — F ). Тогда можно задать отображение Фнекоторого открытого множества />на открытое множество /> есликоординаты />точки/>в Q' ^ являетсяобразом координат />точки k в Q. Говоря об n-измеренииВремени Т в начале абзаца мы естественным образом однозначно ожидаем, что намакро — и мегамасштабах окружающей нас физической реальности Время имеет одноизмерение, т.е. n = 1. И как следствие будет наблюдаться свертывание координатк виду />a/>. Правда, покаоткрытым остается вопрос относительно существования многомерности у Времени напланковском уровне [4].
Зададим, так называемоеуниверсальное множество Времени /> — множество, состоящее из всехэлементов рассматриваемых в данной проблеме. В нашем случае/>тождественно Времен/>. Вместе суниверсальным множеством/>имеет место набор/>, где /> — биективное отображение Fи Р соответсвенно на такие открытые множества в Т1, что
1) F, Р образуют покрытие/>, т.е./>;
2) если/>не пусто ( заметим, чтоэто условие выполняется, потому что пересечение множества Будущего и множестваПрошлого формирует множество Настоящего — PR, т.е. />= PR), то компазиция
/>, есть отображение некоторогооткрытого подмножества Т1 на открытое подмножество Т ( Рис. 2,3).
/>/>
Здесь и всюду, примемтакие сокращенные условные обозначения для Будущего — F (future), дляНастоящего — PR (present), для Прогплого — Р (past). Следуя общепринятымматематическим принципам введения понятия топологии, сформулируем критерииобразующие конструкцию топологического Времени.
На универсальноммножестве Времени/>группируется структуратопологического Времени, если задано собрание вида { F, PR, Р } ее подмножеств,обладающее следующими свойствами:
1) собрание {F, PR, P} ипустое множество />принадлежат/>;, 2) объединение любого числамножеств собрания { F, PR, Р } и пересечение любого конечного числа множествсобрания { F, PR, Р } принадлежат {F, PR, Р } .
Собрание {F, PR, Р },удовлетворяющее условиям 1)и 2), называется топологией на универсальноммножестве Времени. А значит, дублет -/>и { F, PR, Р } образуюттопологическое Время .
Таким образом, можносказать, что на универсальном множестве Времени/>доминируют множества: Будущего,Настоящего, Прошлого и пустое множество. В [2] мы находим определение Будущего иПрошлого, которое оценивается с точки зрения разделения их на хронологическое ипричинное. Ниже сформулируем определения, касающиеся Прошлого, Настоящего иБудущего, в которых будут содержаться более расширенные сведения об этихВременных структурах.Определение 1.
Множество Будущего (F) — это множество всех точек/>принадлежащих этому множеству илежащих на временной оси так, что они образуют открытое множество каждая точка,которого является внутренней/>(причем/>, где /> — точки множества); приэтоммножество F имеет минорант, т.е. оно ограничено снизу. Тогда данное множествосодержит минимальный элемент. В связи с этим, возможно указать нижнюю границуэтого множества:
/>, где форма />представляет собой множество всехграничных точек множества Будущего, являющихся элементами частично упорядочногомножества, КОТОРЫЕ предшествуют любому элементу данного множества, ( Рис. 1,2).
Определение 2.
Множество Прошлого ( Р )- это множество всех точек/>принадлежащих этому множеству илежащих на временной оси так, что они образуют открытое множество каждая точка,которого является внутренней />(причем
/>, где /> — точки множества); при этоммножество Р имеет мажорант, I
т.е. оно ограниченосверху. Тогда согласно лемме Цорна [5] данное множетсво содержит максимальныйэлемент. В связи с этим, возможно указать верхнюю границу этого множества:/>, где форма />представляетсобой множество всех граничных точек множества Прошлого, являющихся элементамичастично упорядочного множества, КОТОРОМУ предшествует любой элемент данногомножества, (Рис. 1,2).
Определение 3.
Множество Настоящего ( PR) — это множество всех точек С; принадлежащих тому множеству и полученных путемпересечения множеств Будущего и Прошлого,/>. Эти точки лежат на временной оситак, что образуют открытое множество каждая точка, которой является внутренней/>(причем/>, где /> — точкимножества); приэтом множество PR — есть ограниченное множество, т. е. множествоограниченное сверху и снизу. В связи с этим, возможно указать мажорант иминорант для PR, т. е. два вида границ:
верхнию />и нижнию/>, (Рис. 1,2).
На ( Рис.2 ) показанаВенна ( J. Venn ) [5] диаграмма (графический способ изображения формул алгебрымножеств), которая наглядно демонстрирует физический смысл выше указанныхдефиниций. На этой диаграмме уверенно просматривается калибровка междуграницами множеств Прошлого, Настоящего и Будущего. Эта калибровка сведена всистему тождеств
/> ( 1 )
Определение 4.
Минорант Настоящегонакладывается на мажорант Прошлого и мажорант Настоящего соединяется сминорантом Будущего. Эти границы гладко сшиваются между собой, без разрывов.
Определившись понекоторым общим ключевым вопросам топологической интерпритации конструкцииВремени [3], перейдем к анализу двух частных положений, которые тесным образомсвязаны с топологическим Временем.
Поскольку, с однойстороны, при задании топологического Времени мы руководствовались строгимипринципами топологии, как одной из основных математических структур, а с другойстороны — оперируя реальной спецификой хронологической изменчивости в сложных имасштабных системах, то в связи с этим необходимо выяснить физическую сущностьтаких составных частей Временной топологии, как пустое множество/>и множество Настоящего PR.
Запишем следующие двеформулировки.
Первая: показатьусловность существования на универсальном множестве Времени/>пустого множества/>и физическиобосновать элиминировку этой категории на/>.
Вторая: представитьаргументы в пользу существования переменного характера у Настоящего, котороевыражается в том, что при общих физических оценках PR не входит в/>в явном виде.
Наиболее полное на нашвзгляд, решение поставленных выше частных задач можно получить в том случае,если к ним применить алгоритмы алгебры Буля (G. Boole) [5], т.е. алгебрыпроизводящей теоретико-множественные операции над множествами. Эта алгебраимеет своеобразные законы действия, которые существенно отличаются от законовдействия над числами.
Сформулируем такоепредложение.
Предложение 1.
В физическиреалистических условиях на универсальном множестве Времени/>не просматриваютсяобласти индетифицирующиеся с пустым множеством/>.
Дано:/>.Доказать:/>.
Доказательство:
1) Перепишем общеевыражение для универсального множества Времени
/> ( 2 )
2) В теории множестввсякое пустое множество можно представить, как пересечение некоторого множестваи его дополнения. Под дополнением множества в алгебре Буля понимается множествовсех элементов универсального множества не принадлежащих исходному множеству.Таким образом, />легко записать тремя способами
/> (3)
Вообще — то, записьпустого множества в виде триплета ( 3 ) не лишена целесообразности, посколькумы должны, в силу существования топологии Времени, учитывать все триспектральных компаненты Времени и их дополнения.
3) Учитывая ( 3 )перепишем ( 2 ) в виде
/>, (4.1)
/>, (4.2 )
/>, ( 4.3)
Здесь, весьма важнымявлятся тот факт, что в булевой алгебре при правилах действия над множествами,сведенных в равенства, необходимо строго соблюдать чередование, слева и справа,членов в этих выражениях.
4) Проанализируем формулу( 4.1 )
/>
Что и требовалосьдоказать, т.е./>.
5) Рассмотрим равенство(4.2 )
/>
Доказали существованиеравенства вида />
6) И, в заключении,проверим выражение (4.3 )
/>
/>
Получили финитныйрезультат типа/>.
Проведем экспликациюполученных выше результатов применительно к реальным физическим условиям. Дляэтого, сначала, обратимся к определению/>; пустое множество — это множество,не содержащее ни одного элемента. Такого рода ситуация приводит к тому, что науниверсальном множестве Времени />пустое множество — вырезано. А этозначит, что на оси Времени Т1 трудно выделить точки для подобных областей,которые имели бы конкретные координаты. Кроме этого, в алгебре множеств запустым множеством закреплена функция нуля алгебры чисел, т.е. аддитивнаяоперация />слюбым произвольно выбранным множеством не меняет этого множества. Такимобразом, для процессов связанных с концепцией физического Времени, пустоемножество выступает как нуль-момент Времени, т.е. соответствует такой точке, вкоторой отсчет Времени равен нулю. Существование такой точки можно, вероятно,прогнозировать только в системе координат коррелирующей с точкой началараздувания Вселенной. На данном же этапе развития представлений о физическихпроцессах окружающего нас Мира, начиная с уровня фундаментальных взаимодействийи кончая масштабами видимой части Вселенной, не возможно найти такую область,где бы реализовывалось выше указанное физическое явление.
Значит, достоверно иоднозначно указать в естественном Времени точку (точки) эквивалентные />не представляетсявозможным. Одноко, все же, мы должны сознавать, что условия топологическогоВремени способствуют тому, чтобы />фигурировало бы в общей топологииВремени, как составная часть общего решения. Ведь, по сути дела, пустоемножество вводится для того, чтобы мы могли говорить о множествах, как осистемах априори существующих. Сформулируем такое предложение.
Предложение 2.
Универсальное множествоВремени />адекватнодвум классам Временных множеств, которые пропорциональны только множествуБудущего F множеству Прошлого Р, а на множество Настоящего PR накладываетсяпринцип переменности.
Проведем верификациюэтого предложения.
Дано:/>.
Доказать:/>.
Доказательство:доказательство будем проводить для общего решения 1Т.
1) Поскольку />и учитываявыражение ( 3 ) представим универсальное множество Времени />в виде триады:
/>, (5.2)
/>, (5.2)
/>(5.3)
2) Исследуем вариант (5.1 )
/>
Таким образом доказано,что выражение/> — существует .
3) Анализ записи ( 5.2 )
Перед доказательством,целесообразно сделать следующее замечание. Так как, Настоящее PR образованопересечением Будущего и Прошлого, то легко представить, что дополнениемножества Настоящего />есть дополнение пересечений множествБудущего и Прошлого, т.е./>.
/>
Здесь доказанно, чтоуниверсальное множество Времени свободно от пустого множества и от множестваНастоящего. 4) Разберем случай ( 5.3 )
/>
Имеет место конечныйрезультат, в котором отражено, что только объединение Будущего и Прошлогоформирует универсальное множество Времени.
Заметим, что придоказательстве Предложений 1 и 2 сознательно приводятся полные записиалгебраических преобразований. Это необходимо делать, по-скольку нужна полнаяясность при использовании методики Булевой алгебры применительно к композициисуществующей между Прошлым, Настоящим и Будущим.
Представленная выше сериядоказательств, естественно, требует самой прямой увязки с физическойреальностью окружающего нас мира. И поэтому посмотрим каким образом можноиспользовать полученные результаты.
Для начала обратимся кРис. 3. Эта диаграмма схожа по своей форме с той, которая дается Хокингом иЭллисом в [2]. Но между ними есть принципиальное различие. Если в [2]диаграмма создается главным образом для пространства, то здесь схема стротся в ракурсеВременных отношений.
Итак, на Рис. 3, в левойчасти фигурирует универсальное множество Времени/>. В/>иньективны множества Будущего,Настоящего и Прошлого, которые являются подмножествами />При этом должен соблюдаться принципкаузальности и условие пересечения F и Р. Выберем на множестве Настоящего PRпроизвольную точку k, где/>. В связи с тем, что пересечениемножеств Будущего и Прошлого приводит к возникновению множества Настоящего, тоесли/>/>.
В правой же части схемыпоказано />Времяn= 1 -измерений. Посмотрим, каким образом трансформируется левая часть приотображении на/>.
Первый шаг: за счетсуществования оператора взаимо-однозначного отображения/>происходит выделение множества />и области/>. К тому же,теперь, координатой точки k является координата />/>. Причем/>.
Второй шаг: при действииоператора взаимно-однозначного отображения />наблюдается образование множества />и области/>;/>. При этом, координатойточки k является координата/>. Где/>.
Третий шаг: композиция />обеспечиваетпоследовательную транспозицию координаты />на координату/>, области />на область />и множества />на множество/>, где />-есть обратное отображение/>.
Мы видим, что на />преобладаюттолько два полных множества />и/>, т.е. множества Будущего иПрошлого. Множество Настоящего PR, как оно представлено на универсальноммножестве Времени в левой части Рис. 3, в явной форме на />не экстраполируется.Действительно, одна часть PR принадлежит F, т.е. область/>, а другая принадлежит Р,т.е. область/>.Другими словами, множество Настоящего распадается на две составные части. Этичасти ассоциируются, как подмножества множеств Прошлого и Будущего.Наблюдается, своего рода, переменность, т.е. реально мы можем говорить обусловно заданной Временной характеристике.
В связи с этим, весьмапроблематично однозначно указать в реальном физическом Времени областьэквивалентную Настоящему, и которая, к тому же была бы принята за точную копиюсистемы отсчета, относительно которой эвентуально было бы указать жесткодетерминированные области Прошлого и Будущего. В условиях окружающей насдействительности не представляется возможным отождествить такое решение.Хорошим примером в подтверждение выше сказанному служит принцип заданияНастоящего методом хронологической градации. Где под хронологической градациейподразумеваются известные шкалы времени, например: секундная, минутная, часоваяи т.д… В зависимости от того, какие задаются начальные условия (шкалы) для/>, где /> — шкала Времени,таким будет и выбор условия существования Р и F. Причем, выбор />для PR весьма неоднозначени зависит от масштаба физических систем.
Отметим так же, что всилу переменной аппроксимации PR, данный спектральный параметр Времени будетиметь нечеткую фиксацию границ/>и />на/>.
Таким образом,универсальное множенство Времени/>(/>, Время n-измерений) в физическиреалистических решениях должно строго оставаться в качестве формы,трансформирующйся в аддитивность двух доминирующих во Времени совокупностей — Прошлого и Будущего.
И все же, хотя Настоящееи имеет тендентность к неопределенной структуре, в нынешних условиях физикадостаточно успешно работает с этими параметром. И на уровне сегодняшнихфизических представлений мы не подходим строго к описанию этой Временнойобласти.
Основная задача данногоисследования, с одной стороны, заключается в том, чтобы хотя бы в первомприближении разобраться в физической сущности тех известных характеристик,которые однозначно связаны с хронологией; а с другой — опробывать вероятныйматематический аппарат, который мог бы быть использован в качестве инструментадля описания действительных Временных процессов.
Кратко, резюмируемполученные в работе выводы: 1) выдвинуты аргументы в пользу того, что Время,как физическая система, имеет определенный набор спектральных параметров — этоБудущее, Настоящее и Прошлое; 2) вводится понятие топологического Времени; 3)даются расширенные определения Прошлому, Настоящему и Будущему; 4) выделено, чтоВременные спектральные параметры имеют границы и устанавливается их взаимноесоответствие по отношению друг к другу; 5) используя алгоритмы алебры Буляпроизводится доказательство предложений, в которых предусматривается, что/>сводится кунитарности только Будущего и Прошлого, а Настоящее попадает под действиепринципа переменности. А так же, что/>не может существовать на универсальноммножестве Времени в явном виде.
В заключение, хотелось быотметить, что сегодня на повестку дня остро встает вопрос о необходимостисамого серьезного обращения фундаментальной физике к конструктивной разработкефизических основ Времени. В будущем, мы можем столкнуться с тем, что у нас ненайдется нужных физических наработок в отношении понимания природы Времени. Этоможет привести к определенного рода затруднениям в некоторых областяхфундаментальной физики.
Список литературы
1. Л.Д.Ландау, Е. М.Лифшиц, Механика, Изд. 3, М, Наука, 1973.
2. С. Хокинг, Дж. Эллис,Крупномасштабная структура пространства времени, Мир, М., 1977.
3. С. М. Коротаев, Земляи Вселенная, 2,1989, с. 53.
4. А.Д.Сахаров, — ЖЭТФ,1984, т. 87, с. 375.
5. Ю. Я. Каазик,Математический словарь, Валгус, Таллин, 1985 .