Содержание
Введение
Глава 1. Методы решения задач наэкстремумы
§1.История развития задач наэкстремумы.
§2.Способы решения задач наэкстремумы.
2.1 Элементарные приемы решения задач на экстремумы.
2.2 Универсальный метод решения задач на экстремум.
Глава 2.Применение уровневой дифференциации в обучении математикена примере темы «Задачи на экстремум».
§1.Дифференциация обучения.
1.1 Понятие дифференциации.
1.2 Уровневая дифференциация.
1.3 Плюсы и минусы уровневой дифференциации.
§2. Методические основы обучениярешению задач на экстремумы
2.1 Задачи наэкстремумы в школьном курсе математики (обзор учебников)
2.2 Методика обучения решению задач
Глава 3. Разработка факультативных занятий по теме «Решениезадач на экстремум».
Занятие 1 – Тема: «Геометрический подход к решению задач на экстремумы»
Занятие 2 — Тема: «Геометрический подход крешению задач на экстремумы»
Занятие 3 — Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы»
Занятие 4 — Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы»
Занятие 5 — Тема: «Универсальный метод решения задач на экстремумы».
Заключение.
Библиография
Введение
С давних времен передчеловеком возникают практические проблемы выбора оптимального значениянекоторой величины при определенных условиях.
Как правило, в задачахподобного рода достижение некоторого результата может быть осуществлено неединственным способом и приходится отыскивать наилучший способ достижениярезультата.
Однако в одной и той жезадаче в разных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения.Здесь все зависит от выбранного или заданного критерия. Например, каковы должныбыть наилучшие очертания судна? Ответы будут разными в зависимости от того, длякаких целей предназначено судно. Для разных целей различны будут и главныекритерии. Критерии могут быть следующими:
1.Необходимо, чтобы придвижении в воде судно испытывало наименьшее сопротивление (это главный критерийбыстроходного судна)
2.Необходимо, чтобы суднобыло максимально устойчивым при сильном волнении и сильном ветре.
3.Необходимо, чтобы судноимело наименьшую осадку (в случае если судно предназначается для эксплуатациина мелких водоемах).
Задачи такого характера,получившие название задачи на экстремумы или задачи на оптимизацию, возникают всамых различных областях человеческой деятельности. И их роль в жизни людейдействительно очень важна. Решением таких задач занимались крупнейшиематематики прошлых эпох — Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тарталья,Торричелли, Ньютон и многие другие. Ведь, несмотря на все разнообразие, ихобъединяет одна особенность – поиск наиболее выгодного, в определенномотношениях, наиболее экономного, наименее трудоемкого, наиболее производительного.Этот поиск кратко можно назвать поиском лучшего.
Целью дипломной работы являетсяизучение различных методов решения задач на экстремумы и адаптация их кшкольному курсу математики.
Для достижения целипоставлены следующие задачи:
- подбор и изучениесоответствующей теоретической и методической литературы;
- изучениеэлементарных (геометрических и алгебраических) методов решения задач наэкстремумы;
- изучениеприменения методов математического анализа к решению задач на экстремумы;
- отбортеоретического материала, доступного для понимания школьниками;
- разработкафакультативных занятий по изучению данной темы.
В первой главе дипломнойработы рассматриваются история задач на экстремум, и различные методы решениязадач на экстремумы.
Вторая глава дипломнойработы посвящена изучению данной темы в школе с применением дифференцированногоподхода: вводится понятие дифференциации и целесообразность использованиядифференцированного подхода в обучении. Более подробно в работе рассмотренауровневая дифференциация.
Далее вдипломной работе проведена методика обучениярешению задач на экстремумы и, вчастности, анализ изложения темы «задачи на экстремум» в школьныхучебниках различных авторов. Были рассмотрены учебники под редакцией: АлимоваШ.А., Александрова А.Д., Погорелова А.В., Колмогорова А.Н., Башмакова М.И.,Мордковича А.Г., Дорофеева Г.В., Виленкина Н.Я..
Третьяглава диплома посещена разработке циклафакультативных занятий на тему: «Решение задач на экстремум», сприменением дифференцированного подхода.
В заключенииподведены итоги проведенной работы.
Глава 1.Методы решения задач на экстремумы
§1История развития задач на экстремумы
Экстремальными задачамичеловек интересуется с античных времен. В Древней Греции уже давно (во всякомслучае до VI века до н.э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара: средиплоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (средипространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решениеизопериметрической экстремальной задачи); шар имеет максимальный объем (решениеизопифанной экстремальной задачи). История сохранила легенду о следующей самойдревней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевнаДидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегосяей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ейклочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезалишкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этихполосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. ЗадачаДидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, прикоторой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга,то решение получается немедленно: граница участка представляет частьокружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многиеантичные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.). Известна следующая задачаЕвклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник ABC вписать параллелограммADEF наибольшей площади. Нетрудно доказать, что решением этой задачи является параллелограмм,вершины D, E, F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам.
После гибели античнойцивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Задачина экстремумы оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы тоговремени. Если в античные времена задачи на экстремумы исследовались толькогеометрическими методами и каждая задача для своего решения требоваласпецифического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения задач наэкстремумы, которые привели к созданию дифференциального и интегральногоисчислений. Первые элементы математического анализа были созданы И. Кеплером(1615 год), который так описывает появление своего открытия: «Мне какхорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков.Через некоторое время пришел продавец — измерить вместимость бочонков, чтобназначить цену на вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и,не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина».После размышлений Кеплер открыл секрет такого простого способа измерения объемабочек. Оказалось, что бочары за долгую историю научились изготавливать бочкитакой формы, при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокройчасти прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяютсямало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался приобъявлении объема бочки по одному измерению.
Открытое И. Кеплеромосновное свойство экстремумов было затем оформлено в виде теоремы сначала П.Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем для произвольныхфункций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точкеэкстремума x0 непрерывной функции f (x) производная функции равна нулю:
С тех пор исследованиефункций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейшихматематических методов и привело к созданию современного математическогоанализа.
§2 Способы решения задачна экстремумы
Различны имногообразны приёмы и методы решения задач на экстремумы, как аналитические(перебора, оценки, неравенств и др.) так и геометрические (преобразованиеплоскости, оценка, перебор…). Каждый метод по-своему уникален и неповторим. Этиприёмы можно отнести к элементарным, т.к. они не предполагают примененияматематического анализа, а ограничиваются алгебраическим или геометрическимподходом к решению задачи на экстремум. Каждый их таких элементарных приемовявляется мостиком к решению не большого класса задач на экстремум, нометодически для нас важен тем, что актуализирует знания учащихся из областиалгебры или геометрии. Кроме того, применение этих методов для ряда задач будетболее рационально, чем использование инструментов математического анализа, ибонезачем «стрелять из пушки по воробьям».
В отличии отэлементарных приёмов, использование производной даёт нам метод действительноуниверсальный. Который можно применять для решения всего этого широкого спектразадач.
В этом разделе рассмотреныосновные методы решении задач на экстремумы и их применение при решенииконкретных задач.
2.1Элементарные приемы решения задач на экстремумы
Геометрическийподход к решению задач
Метод преобразованияплоскости
В качестве одного изосновных методов решения геометрических задач на экстремумы используется методпреобразования плоскости. Суть метода заключается в следующем.
Пустьтребуется найти экстремум элемента х фигуры F, однозначно определенного элементами x, аi,i = 1,2,...,n.
Методнахождения экстремума:
1) Элементу х зададим определенноезначение х = С и решим задачу на построение фигуры F по заданным элементам х и аi.
2) Решив эту задачу, считаем элемент сперемещением. Затем, применяя те или иные преобразования плоскости, замечаем теособенности, которые возникают при достижении элементом х максимального илиминимального значения.
Выделениеуказанной особенности позволяет сделать заключение об экстремуме элемента х фигурыF.
Посмотримприменение метода при решение конкретной задачи.
Пример1:
Средивсех возможных треугольников с данным основанием а и противолежащим угломα найти треугольник, имеющий медиану максимальной длины.
Решение:
1)Обозначимдлину медианы АК = х (рис.8). Пусть х = та (определенное число) и решим задачу:построить треугольник ABC поданному углу А = α, противолежащей стороне а и медиане та
/>
2) Решивэту задачу (используя методы построения), считаем длину медианы та переменной изамечаем особенности, возникающие при достижении медианой максимальногозначения.
3) Еслиточка А перемещается по окружности, то ВС и угол BAC остаются постоянными, и длина медианы изменяется в пределах: А2К
4) Значит,из всех треугольников с данным основанием и противолежащим углом равнобедренныйтреугольник имеет наибольшую медиану.
Пример 2:
/>
Наплоскости нарисован угол A
Решение:
Используемобщие рассуждения метода преобразования плоскости. Неизвестный элемент в этойзадаче представляет сумму MB +МС, т.е. х = МВ+ МС. Численное значение элемента х зависит от определения местарасположения двух точек В и С.
Но таккак граничного значения элемента х не видно, то решение задачи нужно свести копределению одной точки.
С этойцелью применим поворот плоскости вокруг точки А на угол А=α. Точка Вперейдет в точку С, точка С в С', точка М в М'. Теперь легко заметить, чточисленное значение х= МС+МВ = МС +М'С зависит только от расположения точки С,которая определит граничное значение элемента х = МС+М'С, и если C1=MM'/>AE, то M'C1 + MС1 = М M'. НоMB = М'С, поэтому min (МС + MB) = ММ1, где М'= RαА(М).
Пример3:
Дан треугольник АВС и внутри него дветочки D и Е. Как кратчайшим путем пройти изодной точки в другую, побывав на каждой стороне треугольника?
Решение:
/>
Выполним следующее построение.Построим точки D1 и Е1, симметричныеD и Е относительно АС и ВС. Построимтакже точку D2, симметричную D1 относительно АВ. Проведем отрезок D2Е1 и построим ломаную DMKLE. Длина ее равна длине отрезка D2Е1. Легко сообразить, что всякийиной путь из D в Е, с тем же порядком захода настороны данного треугольника, будет длиннее. Но можно было бы порядок захода настороны треугольника избрать иной (выполнив такие же построения). Всего такихломаных линий, как DMKLE, получитсятри. Останется выбрать из них имеющую наименьшую длину, для чего достаточносравнить три таких отрезка, как D2E1.
Методперебора.
Прирешении геометрических задач на экстремумы в школе встречаются задачи, решениекоторых представляет собой выборку на конечном множестве объектов. Методрешения этих задач не является универсальным, так как он связан с решениемзадач, в которых рассматривается конечное множество фигур или фигура сразмерами, выраженными натуральными числами. Однако роль этого метода оченьважна, он воспитывает практические навыки учащихся, развивает потребность внахождении оптимального результата оптимальной модели.
Рассмотрим задачу, вкоторой нахождения наибольшего (наименьшего) значения зависит от взаимногорасположения фигур.
Пример1: Из листов материала прямоугольнойформы размером 60x130 мм выкроить заготовки двух типов, в таком количестве:Тип заготовок Размер заготовки Число штук М 2x3 мм 150 В 4x5 мм 50
Определитеминимальный процент отходов.
Решение:
Этазадача играет важную иллюстративную роль. Она позволяет разъяснить учащимсяхарактер задачи рационального раскроя промышленных материалов и основныеметодические приемы, которые нужны при их решении.
С цельюоблегчения поисков решения данной задачи следует предложить учащимся исходныеданные листа материала и заготовок с соответствующим масштабом на рисунке.Далее нетрудно видеть, что каждый лист материала можно раскроить различнымиспособами, получая при этом большее или меньшее количество заготовок. Приведемвозможные способы раскроя листа материала
1 способ:
2 способ:
3 способ:
4 способ:
5 способ:
6 способ:
Ипосчитаем в каждом случае потери материала при каждом раскрое. Это даетвозможность рассмотреть все возможности варианты раскроя и выбрать наилучший.На этом пути приходится встречаться с методом перебора. Результаты рассужденийцелесообразно свести в таблицу, из которой легко сделать вывод обоптимизационном расходе материалаСпособ 1 2 3 4 5 6 Количество заготовок типа М 9 5 6 1 13 Количество заготовок типа В 1 2 2 3 3 Потери площади в кв. ед. 4 8 2 12 18
Оптимальныйплан раскроя состоит в том, что 25 листов материала нужно раскроить способом 3,при этом потеря материала будет минимальной, то есть 2,6 %.
Достаточноизменить число заготовок и задача станет более сложной, тогда она может бытьпредложена учащимся для индивидуальной работы.
Пример 2: (Задача о наименьшейплощади.)
Дан угол и точка внутри него. Требуетсяпровести через эту точку прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшейплощади.
Решение.
Покажем, что искомаяпрямая обладает тем свойством, что отрезок ее, лежащий внутри угла, делитсязаданной точкой пополам. Такую прямую нетрудно построить. Можно, например,соединить заданную точку М с вершиной А, на продолжении отрезка [AM] отложить отрезок [MA'], равный по длине отрезку [AM], и провести через точку А' прямуюпараллельно АС. Пусть D-точка пересечения этой прямой и стороны АВ. Тогда, как легко понять, прямая,соединяющая точку D с точкой М ипересекающая АС в точке Е, обладает тем свойством, что |DM| = |ME| (ибо треугольники
/>
MDA'и МЕА равны)
Искомая прямая построена.Возможны и другие способы построения.
Докажем теперь, что построеннаяпрямая
/>
действительно является искомой. Дляэтого проведем какую-нибудь еще прямую D'E'. Пусть дляопределенности точка Е' лежит вне Е. тогда площадь треугольника AE'D' равна площади треугольника AED минус площадь треугольника EME' и плюс площадь треугольника MDD'. Обозначим через F точку пересечения прямой DA' с прямой D'E'. Тогда треугольники EME' и MDF равны. Но второй из этих треугольников содержится втреугольнике DD'M. Из сказанного вытекает, что площадь треугольника ADE меньше площади треугольника AD'E'.
Пример3.
В шар радиусаR вписан конус, осевое сечениекоторого – равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами можетизменяться разность площадей двух сечений, из которых первое (КGFD) получается в результате пересеченияшара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе(NPF) – в результате пересечения конусатой же плоскостью.
Решение.
Площадиобоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шарав точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводима плоскостьсовпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимаетпромежуточное положение между положениями рассмотренными выше, то площадисечений шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля,переходя через максимум, который мы определим.
S=/>(MK2- MN2 ); OB=R; MB=x;
MK2 = OK2 – OM2 = R2- (R — x)2 = 2Rx – x2/
Так как ∆АВС равносторонний по условию и АС || NP, то и ∆ NBPтакже равносторонний, следовательно, MN2 = />.
/>
СледовательноS= /> 2x (3R – 2x),
котороебудет максимально, когда максимально S1= 2x(3R- 2x).Так как сумма множителей 2x + 3R — 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т.е. х= ¾R. Следовательно, максимальноезначение S равно />.
Методоценки.
Сутьметода состоит в следующем. Рассматривается конкретная геометрическая фигура F, выделяется одна или нескольковеличин, которые характеризуют данную фигуру. Требуется оценить выделеннуювеличину или совокупность величин, то есть доказать, что величина Z удовлетворяет одному из неравенстввида: Zm, (1) где т и М определяются условием задачи.
Длярешения задачи требуется установить справедливость одного из неравенств (1), тоесть доказать, что для каждого Z,принадлежащего одному из неравенств (1), фигура F существует и ни для одного числа Z, не удовлетворяющего неравенству, фигура F не существует. Заключительным этапом решения задачи являетсяопределение экстремальных значений т и М.
Задачи,имеющиеся в учебниках геометрии, чаще всего решаются методом оценки.
Пример1:
Примеромможет послужить такая задача.
Расстояниеот пункта А до В 4 км, а от В до С в двое больше. Какое наибольшее и наименьшеерасстояние может быть от пункта А до пункта С.
Решение:
РасстояниеАС зависит от места расположения точки С. Так как расстояние ЕС постоянное, тоточка С принадлежит точкам окружности с
/>
R = BC, В — центр. Легко заметить какие граничные значения можетпринимать АС,4 = АС2
Отсюда,наибольшее: [АСi] = 12км;
наименьшее:[АСi ] = 4 км.
Искомымиточками Сi являются концы диаметра длиной 16 км с центром окружности в точке В.
Пример 2:
Наозере, имеющем форму круга, расположен объект длиной ОА. В каком месте наберегу должен остановиться наблюдатель, чтобы наилучшим образом рассмотретьобъект ОА (О — центр круга)?
Решение:
Пусть М- произвольная точка окружности k.Ставится задача оценить величину угла AMiO.
/>
Если M /> k, а С /> МiА и МiА /> ОС, то
0°
Задачаимеет два решения:
max(/>AMiO) =/>AM'О= />AM'iО,
где ОА /> M'M'i
Пример3:
Рассмотрим еще задачу об экономномрасходовании материалов. Попытаемся установить, для какой крыши (двускатной иличетырехскатной) потребуется больше кровельного материала.
/>
Решение:
Будем считать, что оба скатадвускатной крыши наклонены к горизонтальной плоскости под углом φ, скаты 1и 2 четырехскатной крыши – под тем же углом φ, а 3 и 4 – под углом α.При этих предположениях и указанных на чертеже размерах площадь двускатнойкрыши будет равна />, а четырехскатной — />. Длясравнения этих площадей рассмотрим разность их />. Здесь b>0, m>0,0φ S2-S1
Алгебраическийподход к решению задач
Встречаются такие задачина отыскание наибольшей и наименьшей величины, которые оптимальнее всего решатьметодами элементарной математики.
Использованиеквадратичной функции
При решении задач этимметодом мы будем опираться на следующую теорему:
Теорема 1. Функция ах2 +вх + с при а>0 имеет наименьшее значение, равное (4ас-b2)/4, и при а
Доказывается эта теоремас помощью выделения полного квадрата. Приведем примеры.
Пример:
Найти наименьшее значение функции
/>
и построить ее график.
Поиски решения.
Данную функцию можноизобразить аналитически так:
/>
Отсюда видно, что при х =-1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимаеттолько положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением можетбыть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значениенепосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-тоцеленаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции.
Решение:
Очевидно, что
/>
Обозначив дробь /> буквой u, получим:
/>
Искомое наименьшеезначение равно /> и получается оно при /> т.е. при
х = 1
Перейдем к построениюграфика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясьформулой
/>х -3 -2 -3/2 -1 -1/2 1 2 3 … у 7/4 3 7 Х 3 1 3/4 7/9 13/16 …
Если аргумент х будетприближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать.
Теперь посмотрим, какбудет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минусбесконечности. Очевидно, что
/>
Отсюда видно, что пристремлении х к бесконечности у стремится к 1.
Пример 2:
Требуется соорудить каналс поперечным сечением ABDC,где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам.
Спрашивается, какими надосделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е.площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей?
Поиски решения.
Поскольку мы еще незнаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначитьэти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и уту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сеченияканала. Эта площадь выразится произведением ху, т.е. будет зависеть от двухпеременных величин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастсявыразить площадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что вданном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р.
Решение.
Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P — 2x. Площадь сечения будет равна х (Р — 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р — 2х),которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2х2+Рх.Очевидно, что
/>
Отсюда видно, чтонаибольшая площадь получится в том случае, когда мы сделаем глубину канала х =Р/4. Тогда окажется ширина у равной Р/2, а наибольшая площадь равной Р2/8.
Пример 3:
Найти наименьшее инаибольшее значение функции y=4x+6|x-2|-x2 наотрезке [-1;3].
Решение:
y=-( x2-4x+4-4)+6|x-2|=-(x-2)2 +6|x-2|+4.Так как а2=|а|2, то
y= -|x-2|2+6|x-2|+4.Пусть t=|x-2|. Поскольку -1 ≤ х ≤ 3, то 0 ≤ t ≤ 3. При этом y=-t2+6t+4 возрастает и, следовательно,
min y(t)=y(0)=4, max y(t)=y(3)=13.
[0;3] [0;3]
Если t=0, то x=2. Если t=3,то |x-2|=3/>
Но по условию х/>[-1;3], поэтомуостается только значение х=-1.
Ответ: min y(х)=y(2)=4,max y(х)=y(-1)=13.
[-1;3] [-1;3]
Оценок и неравенств
Теорема 2.
Функция х + />, где а > 0и x > 0, имеет наименьшее значениеравное 2/>.Это наименьшее значение получается при х = />.
/>или />/>
Очевидно, что />.
Отсюда следует, чтонаименьшее значение получается при х – 2 = />, т.е. при х = 6, а самонаименьшее значение равно 10.
Теорема 3.
Если сумма двухположительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменныхимеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.
Доказательство.
Пусть х и у — положительные переменные величины и пусть х + у = с, где с — постояннаявеличина. Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднемгеометрическом, получим:
/> или, наконец, />
Отсюда очевидно, чтонаибольшее значение произведения ху равно с2/4 и получается оно при х = у.
Теорема 4.
Если сумма n положительных переменных величинпостоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда всеэти переменные принимают одинаковые значения. (Эта теорема является обобщениемтеоремы 3.)
Доказательство.
Пусть х1, х2, …, хn — положительные переменные величиныи пусть х1 + х2 + … + хn = с,где с — постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическомимеем:
/>
Отсюда х1х2…хn≤(с/n)n ( здесь знакравенства имеет место тогда и только тогда, когда х1 = х2 = …= хn). Следовательно, наибольшее значениепроизведения х1х2…хn равно (c/n)n и получается онопри х1 = х2 = …= хn. Теоремадоказана.
Пример 1:
Найти наибольшее значениефункции х4(32-х4).
Поиски решения.
Данная функция принимаетотрицательные значения при />, а при /> -положительные. Поскольку еенаибольшее значение надо искать среди значений х меньших, чем />
Если мы положим х4 = у,то задача сведется к нахождению наибольшего значения многочлена второй степени,имеющего вид:
— у2 +32у.
Однако если проявитьнаблюдательность и заметить, что сумма множителей х4 и (32 — х4) являетсявеличиной постоянной, то можно воспользоваться теоремой 3 и решить задачупроще.
/>
Пример 2:
Найти наибольшее значениефункции 3х2 — 2х3 при 0
Поиски решения.
Во-первых, выясним,почему здесь на независимую переменную х наложены ограничения. Если допустить,что х3/2, то окажется, что 3х2 — 2х3
Если мы запишем нашуфункцию в виде х2 (3 — 2х), то увидим, к сожалению, что сумма сомножителей х2 и(3 — 2х) не постоянна. И вот тут-то надо проявить изобретательность и записатьданную функцию в виде произведения трех сомножителей, а именно так: х х (3 — 2х).
Решение. Очевидно, что3х2 — 2х3 = х2(3 — 2х) = х х (3 — 2х).
При условиях нашей задачив последнем произведении все три множителя положительны и их сумма равна 3,т.е. является величиной постоянной.
По теореме 4 наша функциябудет иметь наибольшее значение при условии, что х = х = 3 — 2х, т.е. при х =1. И само наибольшее значение нашей функции будет равно тоже 1. Если мыположим, например, х = 5/4, то значение нашей функции окажется равным 25/32,т.е. окажется меньшим единицы.
Пример 3:
Найти наибольшее значениефункции />
y=4/>на интервале (-∞;/>).
Решение:
y=4/>=/>=/>=2x-1+/>.
Так как по условиюх
для случая t≤-2/>, причем знак неравенства достигается тогда и толькотогда, когда
2х-1=/>, и 2х-1
И последней системынаходим х=/>
Ответ: max y(x)=y(/>)=-2/>
(-∞;/>)
2.2 Универсальныйметод решения задач на экстремумы
Мы рассмотрели довольномного задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали этизадачи, оказались весьма разнообразными и порой, довольно искусственными. Делообстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось «изобретать»подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общегоприема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математическийанализ.
Общий прием решения задачна экстремум опирается на теорему Ферма.
Если функция у = f(х)(имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум илиминимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.
Геометрически этоозначает, что касательная к графику функции в соответствующей точке егопараллельна оси х-ов
/>
Теорема Ферма оченьнаглядна. И все же докажем ее.
Пусть х0 — точкамаксимума функции у = f(x), т.е. при х = х0 эта функция принимает наибольшеезначение. Дадим х0 достаточно малое приращение h. Новое значение аргумента х0 + h будет достаточно близким к х0, и т.к. при х = х0 даннаяфункция имеет максимум, то f(x0+h)-f(x0)≤0. Поэтому
/>
Если же дать х0отрицательное приращение (достаточно малое по абсолютной величине), то получим:
/>
Оказалось, что одно и тоже число f '(x0) не положительно и неотрицательно. Это означает, что это числоравно 0, т.е. f '(x0) = 0. Рассуждения в случае минимума аналогичны.
Чему же учит нас теоремаФерма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корнейуравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума:
Для того чтобы функция(имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобыпроизводная при этом значении х была равна 0.
Необходимо, но недостаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении хфункция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3(у' = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума неимеет (рис.2). Значит, уравнение f '(х)= 0 дает лишь «подозрительные» на экстремум значения х.
Как же из этих«подозрительных» значений выделить те, при которых рассматриваемая функциядействительно имеет экстремумы?
Как для выделенныхзначений установить вид экстремума?
По этим вопросам мыограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотримрисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значенияпринимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близкихк х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, тодля значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будетположительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная кграфику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, аво втором- тупой.
Если же при х = х0функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом,будет ли «подозрительная» точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какогоименно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточнойблизости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаиможно записать в следующей таблице. х0+Δх, Δхf '(x)
f '(x)
f '(x)
f '(x)
+
-
+
-
-
+
+
-
максимум
минимум
возрастает (экстремума нет)
убывает (экстремума нет)
Вот этой таблицей и можнопользоваться при решении задач на экстремумы.
Но можно из этой таблицысделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. Вслучае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производнаяубывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второгопорядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в«подозрительной» точке х0 производная второго порядка f ''(x0)отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение.
Чтобы проиллюстрироватьрассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример.
Пример 1: (Задача опрямоугольнике наибольшей площади)
Из куска стекла,имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластинунаибольшей площади.
Решение.
Площадь пластины S = xy. За независимую переменную примем х (0
/>
Найденное значение хвыходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарныхточек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100(мм), а тогда у = 60 (мм) и S =6000 (мм2).
Пример 2: (Задача о скорости теченияводы в трубе)
По трубе, сечение которойкруг с радиусом r, течет вода.Известно, что скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическомурадиусу профиля сечения (заполненного водой). Гидравлическим же радиусомпрофиля называется отношение площади профиля к длине смоченного (подводного) периметрапрофиля. При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменныхдругих условиях) будет наибольшей?
Решение:
Воспользуемсяобозначениями: α — центральный угол сегмента заполнения трубы водой (врадианах), F- площадь этого сечения и R- гидравлический радиус. Тогдаплощадь сегмента OABC равна½ r2α, а площадь треугольника AOB равна
/>
Поэтому
/>
Смоченный периметр равен rα, а значит,
R=/>
Эта формула будет верна ив том случае, когда α будет больше π. Вообще, α может менятьсяот 0 до 2π.
Найдем R'и составим уравнение для нахождениякритических значений α. Получаем
/>
но α ≠ 0,поэтому sin α — α cos α = 0, или tg α = α.Полученное уравнение может быть решено графически. Единственный корень егоα ≈ 4,5, или α ≈ 2580.
Нетрудно сообразить, чтопроизводная от R, равная
при переходе через α≈ 4,5, меняет знак с + на -. Значит, при α ≈ 2580 скоростьтечения будет наибольшей.
Пример 3:(Задача онаибольшем количестве теплоты).
Рассматривая основнойметод решения задач на экстремум, мы ограничивались функциями, имеющими во всехточках области определения производную. Но экстремум может достигаться функциейи в такой внутренней точке области определения, где производная не существует.Такими точками являются точки излома графика, угловые точки и, в частности,может быть точки, разделяющие график на части, задаваемые разными формулами.Приведем пример.
На электроплиткекипятится чайник. Установить, когда он обладает наибольшим количеством теплоты.
Для облегчения решениябудем считать коэффициент полезного действия плитки равным 100 %. Отсчетвремени проведем с момента, когда чайник был поставлен на плитку. Пусть в этотмомент чайник обладал qкалориями теплоты. Количество теплоты (в калориях), выделенное плиткой,выражается функцией Q = 0,24J2Rt, где J-сила тока в амперах, R- сопротивлениев Омах и t- время нагревания в секундах, аколичество теплоты в чайнике в момент времени t равно q +0,24J2Rt. Когда чайник закипит (в момент времени t0), вода начнет испаряться. Известно,что на образование одного грамма пара уходит 539 калорий. За одну секундуплитка выделит теплоты 0,24J2R калорий, которая идет полностью напарообразование. Поэтому за 1 секунду выкипает
/>
воды, и с ней уносится изчайника
/>
калорий (множитель 100здесь появляется потому, что температура кипящей воды 1000 С). Если t > t0, то выкипевшая вода унесет из чайника 0,041J2R(t — t0) калорий и останется q + 0,24J2Rt0 — 0,041J2R(t — t0) = -0,041J2Rt + q + 0,281J2Rt0 калорий.Значит, количество теплоты в чайнике выражается функцией
/>
График этой функциисостоит из двух прямолинейных участков. Угловой точкой его является точка А, вкоторой функция не имеет производной. По графику видно, что рассматриваемаяфункция имеет максимум при t = t0, равный 0,24J2Rt0 + q.
Подведем итог. Для разысканияэкстремальных значений функции нужно прежде всего найти все локальныеэкстремумы. С этой целью нужно найти все стационарные точки, для каждой из нихвоспользоваться достаточными условиями минимума и максимума и вычислить экстремумв этих точках. Далее нужно вычислить значение функции в точках (если функция вних определена), где не существует производная от данной функции. Из всехнайденных таким образом значений функции надо выбрать наибольшее и наименьшее.
Можно поступать и иначе.Сначала вычислить значения рассматриваемой функции во всех “подозрительных” (вотношении существования экстремумов) точках: стационарных, концевых и где несуществует производная. Наибольшее и наименьшее из этих чисел и будут искомыминаибольшим и наименьшим значениями функции.
Глава 2.Применение уровневой дифференциации в обучении математики на примере темы«Задачи на экстремумы»
§1Дифференциация обучения
1.1Понятие дифференциации
Обучение всех школьниковпо единым программам не позволяет ребенку получить образование на уровне своихвозможностей. Для кого-то оказывается непосильным даже средний уровеньтребований, а кто-то, наоборот, недополучает знаний.
Введем понятиедифференциации. Это слово происходит от латинского differentia — различие, разделение. Что жеразделяется в процессе обучения? Разделяются, а точнее, выделяются отдельныегруппы учащихся, обучение которых строится по-разному.
Для чеговыделяются эти группы? Ответив на данный вопрос, мы определим целидифференциации.
Вусловиях классно-урочной системы, без введения дифференциации процесс обучения,организуется одинаково для всех учащихся и оказывается, по-разному эффективендля них. Общие интеллектуальные способности учеников разные, разная у них иобучаемость кто-то может очень быстро усвоить новый материал, кому-то нужногораздо больше времени, большее число повторений для закрепления его, длякого-то предпочтительнее слуховое восприятие новой информации, для кого-тозрительное. Есть ученики, обладающие хорошо развитым логическим мышлением ихорошо усваивающие предметы естественно-математического цикла, но неиспытывающие склонности и интереса к гуманитарным дисциплинам. А есть ученики схорошо развитым образным мышлением, глубоко чувствующие, но… не любящиематематику, физику, химию. Конечно, можно учить столь разных индивидоводинаково, но качество образовательного процесса, естественно, снизится.
Дифференциацияобучения позволяет организовать учебный процесс на основе учета индивидуальныхособенностей личности, обеспечить усвоение всеми учениками содержанияобразования, которое может быть различным для разных учащихся, но собязательным для всех выделением инвариантной части. При этом каждая группаучеников, имеющая сходные индивидуальные особенности, идет своим путем. Процессобучения в условиях дифференциации становится максимально приближенным кпознавательным потребностям учеников, их индивидуальным особенностям.
Немаловажнойзадачей процесса обучения является развитие ученика: его интеллектуальной,эмоционально-ценностной, волевой сфер. Организуя дифференцированное обучение,мы усиливаем развивающие функции процесса обучения: например, вестественно-математических классах будет обращаться внимание на развитие такихмыслительных операций ученика, как анализ, синтез, выявление закономерностей ит.п., таких элементов творческой деятельности, как видение и формулированиепроблемы, выдвижение гипотез, их проверка и т.д. В гуманитарных классах большевнимания будет уделено развитию образного мышления, выразительности речевыхсредств и т.д. В классе коррекционно-развивающего обучения на первый планвыступят задачи развития тех школьно-значимых функций, которые не достаточноразвиты у ученика.
Такимобразом, цель дифференциации процесса обучения — обеспечить каждому ученикуусловия для максимального развития его способностей, склонностей,удовлетворения познавательных потребностей и интересов в процессе усвоения имсодержания общего образования.
Указаннаяформулировка целей дифференциации свидетельствует, что характерным для нашегопонимания дифференциации является выделение ее направленности на максимальноеразвитие каждого ученика, создание ему комфортных условий образовательногопроцесса. Дифференциация не направлена на селекцию детей и отбор самыхталантливых с предоставлением им наиболее благоприятных условий развития. Вусловиях дифференциации педагог так видоизменяет процесс обучения, чтобы именее способные дети смогли максимально развить свои способности и склонности иуспешно освоить инвариантное содержание образования.
Учитываявсе вышесказанное, в понимании дифференциации можно выделить три основныхаспекта:
1.Учетиндивидуальных особенностей учащихся.
2.Группированиеучеников на основании этих особенностей.
3.Вариативностьучебного процесса в группах.
Любые ли особенностинужно учитывать при дифференциации? Конечно же, нет, только те, которые важныдля организации процесса обучения. Например, цвет глаз или волос ребенкаучитываться не будут, тогда как скорость протекания нервных процессов,преобладающий тип памяти, сформированность интеллектуальных операций — вусловиях дифференциации учитываются.
Рассмотрим кратко теособенности, которые следует учитывать в первую очередь при дифференциацииучебной работы.
Сюда относится, преждевсего, уровень умственного развития учащегося. Это понятие включает предпосылкик учению (обучаемость — способность достигать в более короткий срок болеевыгодного уровня усвоения) и приобретенные знания (обученность).
К понятию обучаемостиблизко понятие общих умственных способностей. Под ними обычно понимаетсякомплекс способностей, требуемых для осуществления учащимися учебнойдеятельности. Сюда относится способность запоминать материал, способностьпроведения логических операций, способность творческого мышления.
С умственнымиспособностями тесно связана способность учащихся самостоятельно усваивать,знания, предполагающая наличие у них соответствующих интеллектуальных умений.
Следующей важнойособенностью является скорость усвоения — комплексное явление, существенныйпоказатель которого не столько скорость запоминания, сколько темп обобщений.
Кроме умственныхспособностей в учебной работе проявляются и специальные особенности, а также одаренностьдетей (прирожденные задатки для формирования способностей).
Школьные программыпостроены так, что все последующее опирается на уже пройденное, усвоенное. Накаждом этапе обучения приобретаются соответствующие знания, вырабатываютсяопределенные умения и навыки. Умственные способности представляют собойпотенциальные возможности для учения, полученные же знания, являются базой для реализацииспособностей. При обучении предмету следует учитывать также индивидуальныеразличия в знаниях. Эти различия могут быть вызваны тем, что кто-то из учащихсяможет владеть предметом (например, школьник дополнительно обучается вмузыкальной или художественной школе).
Кроме личностныхпсихологических факторов на учебный процесс свое влияние оказывают:
— социальные факторы(статус ученика в классе, домашняя обстановка);
— состояние здоровьяребенка. Болезни, в зависимости от их характера, оказывают на учащегосявременное или постоянное отрицательное воздействие, снижают еготрудоспособность; и многое другое.
Резюмируя сказанное,можно выделить следующие обобщенные особенности учащихся, которые в первуюочередь следует учитывать при индивидуализации учебной работы:
1) обучаемость, т.е.общие умственные способности, а также специальные способности;
2)учебные умения;
3)обученность, котораясостоит как из программных, так и внепрограммных знаний, умений и навыков;
4)познавательныеинтересы;
5)социальные факторы.
Обратимся к практикедифференциации, которая в настоящее время представлена множеством различныхпроявлений, попытаемся их систематизировать.
Конкретныепроявления дифференциации мы называем формами дифференцированного обучения,которые могут быть объединены в виды и реализовываются на различных уровнях.
Видыдифференциации определяются, исходя из тех индивидуально-типологическихособенностей учащихся, которые в данном случае учитываются.
Традиционновыделяются следующие виды дифференцированного обучения: по общим и специальнымспособностям, по интересам, склонностям, по проектируемой профессии.
Пониманиедифференциации по общим способностям предполагает учет уровня общихспособностей учащихся, т.е. низкий уровень их развития и будет являтьсяоснованием для дифференциации по неспособностям.
Ктрадиционным видам дифференциации в настоящее время добавилась дифференциацияпо национальному признаку, когда создаются специальные школы для детейразличные национальностей, например в г. Москве — это армянские, грузинские,еврейские школы (сейчас они называются школами с этнокультурным компонентом);по религиозной принадлежности — православные школы, есть школа ведическойкультуры «Гурукула»; по социальному и имущественному положению родителей — внекоторых негосударственных образовательных учреждениях могут учиться толькодети обеспеченных родителей, т.к. велика плата за образование.
Дифференциацияможет осуществляться на различных уровнях. Обычно выделяют три уровня:
I-ймикроуровень, когда различный подход осуществляется к отдельным группам детейвнутри класса. Этот уровень дифференциации иногда называется внутренней иливнутриклассной.
II-ймезоуровень – уровень школы, когда дифференциация осуществляется внутри школымежду отдельными классами, профилями, направлениями.
III-ймакроуровень — дифференциация между школами, создание различных типов школ.Второй и третий уровень представляют собой дифференциацию внешнюю.
Разновидностьювнутриклассной дифференциации по общим способностям является уровневаядифференциация. Остановимся на ней белее подробно.
1.2 Уровневая дифференциация
Очень плотно уровневойдифференциацией занимались Г.В. Дорофеев, В.В. Фисов и др. Организацию учебногопроцесса с учетом уровневой дифференциации они назвали разноуровневымобучением. Оно выражалось в том, что, обучаясь в одном классе, по однойпрограмме и учебнику, школьники могут усваивать материал на разных уровнях.Определяющем при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижениесвидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований кусвоению содержания. На его основе формируются более высокие уровни овладенияматериалом.
При такой дифференциацииучитель четко выделяет содержание учебного материала, который ученики должныусвоить, занимаясь на том или ином уровне, и перед началом изучения темы долженпознакомить учеников с результатами которых они должны достичь (т.е. спланируемыми результатами обучения).
В основе данного видадифференциации лежат не только общие способности учеников, но и их интересы.Ученик может выбрать минимальный уровень изучения предмета не потому что неспособен изучить его глубже, а потому что его интересы лежат в другойпознавательной области.
Предлагая обязательныерезультаты обучения, их авторы исходили из того, что в процессе обученияучителя всегда ориентировались на максимум содержания материала. Если ученикполностью осваивал этот максимум, его знания оценивались 5 баллами, если былнезначительные пробелы или неточности — 4 баллами и т.д. Добросовестный ученикбыл ориентирован именно на максимум знаний и изо всех сил старался его усвоить.Это вызывало у него перегрузку, так как на максимум знаний надо было усвоить повсем предметам.
Авторы идеи уровневойдифференциации предложил перейти в процессе обучения от ориентации на максимумсодержания к ориентации на его минимум. При этом необходимым является четкоеопределение того минимума, которым должен овладеть ученик и без которого он несможет двигаться дальше в изучении данного предмета. Это минимальный уровеньобщих требований, который задается в виде перечня понятий, законов,закономерностей, которые ученик должен уметь решать. Определяется такжесодержание, которое необходимо усвоить ученику на повышенных уровнях.
Каждый ученик получаетправо и возможность самостоятельно определять, на каком уровне он усвоитучебный материал. Важно, что бы этот уровень не был ниже уровня обязательнойподготовки.
Авторы концепцииуровневой дифференциации выдвинули ряд условий, выполнение которых необходимодля успешного и эффективного ее осуществления:
1) Выделенные уровни усвоения материалаи в первую очередь обязательные результаты обучения должны быть открытыми дляучащихся.
Если цели известны ипосильны ученику, а их достижения поощряется, то подросток стремится к ихвыполнению, т. е. формируются положительные мотивы учения, сознательноеотношение к учебной работе; можно привлечь самооценку ученика для организациидифференцированной работы.
2) Наличие определенных «ножниц» междууровнем требований и уровнем обучения. Уровень требования должен быть в целомсущественно выше, чем обязательный уровень усвоения материала. То естьуровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикамдают меньше, а другим больше, а в силу того, что, предлагая ученикам,одинаковый объем материала, предъявляют различные уровни требований к егоусвоению. В силу этого ученик должен иметь учебник, в котором были быпредусмотрены (и явно выделены) все уровни усвоения материала (в том числе иминимально обязательные).
3) В обучении должна быть обеспеченапоследовательность в продвижении ученика по уровням. То есть не следуетпредъявлять более высоких требований тем учащимся, которые не достигли уровняобязательной подготовки, но при этом не следует необоснованно задерживатьостальных на этом этапе.
4) Содержание контроля и оценка должныотражать принятый уровневый подход. Контроль должен предусматривать проверкудостижения всеми учащимися обязательных результатов обучения какгосударственных требований, а также дополняться проверкой усвоения материала наболее высоких уровнях. При этом достижении обязательных результатовцелесообразно оценивать «зачтено» — «не зачтено», для более высоких уровней
5) целесообразно соответствующую шкалуоценивания (например, отметка «4», «5»).
6) Добровольность в выборе уровняусвоения и отчетности.
Эти идеи легли в основупроекта стандарта школьного образования, в котором требование к математическойподготовке школьников задается на двух уровнях: уровне обязательной подготовкии уровне, условно названном, уровнем возможностей. Уровень обязательнойподготовки характеризует тот минимум, который должны получить все учащиеся иопределяет нижнюю допустимую границу результатов математического образования.Уровень возможностей характеризует результаты, к которым могут стремиться идостичь учащиеся, изучающие общеобразовательный курс.
Таким образом, введениестандарта полностью соответствует концепции уровневой дифференциации,предполагая наличие хотя бы двух уровней овладения материалом: обязательного иповышенного. Однако, количество уровня овладения материалом может бытьувеличено. В работах современных авторов обычно идет речь, как минимум, о трех(и более) уровнях.
На сегодняшний день вдидактических и методических исследованиях разработаны различные подходы к выделениюосновных уровней учебного материала. Обычно методисты выделяют 3 уровняусвоения знаний по математике: — общекультурный, прикладной и творческий.
Они считают, что дляучеников, овладевших первым уровнем, математика является лишь элементом общегоразвития, и в их дальнейшей производственной деятельности будет использоватьсяв незначительном объеме. Для учащихся второго уровня математика будет важныминструментом в их профессиональной деятельности. Учащиеся третьего уровнявыберут математику(или близкие к ней области знания ) в качестве основы своейбудущей деятельности. Поэтому для учащихся первого уровня «существенноовладение общей математической культурой », для учащихся второго уровня«существенны не только знания о математических фактах, навыки логическогомышления, пространственные представления, но и прочные навыки решенияматематических задач». Учащиеся третьего уровня должны творчески овладетьосновами математики.
1.3 Плюсы и минусы уровневойдифференциации
Традиционные программы, учебные планы,учебники и дидактические средства, требования, методы и формы, являясьодинаковыми для всех школьников, отодвигают на задний план изучение и учетиндивидуальных особенностей. Сегодня во многих школах страны уже в первомклассе учащихся распределяют по классам (потокам) возрастной нормы, ускоренногообучения, повышенного индивидуального внимания, коррекции, выравнивания.Правда, такой подход, особенно ранняя дифференциация, вызывает немалонареканий. Считают, что разделение на потоки вызывает снобизм у сильныхучащихся и чувство неуверенности и собственной неполноценности у слабых.Жесткая дифференциация учащихся на способных, средних и слабых с последующимдлительным пребыванием в разных по содержанию и методам обучения классах, имеетне только плюсы, но и существенные минусы.
Смысл уровневой дифференциациизаключается в том, чтобы адаптировать учебный процесс к познавательнымвозможностям каждого ученика, предъявить соответствующие уровню его развитиятребования, программы, учебники, методы и формы обучения. Почти каждый ребенокидет в школу с большим желанием учиться, однако очень скоро у значительнойчасти школьников это желание пропадает, учеба превращается в тяжелуюповинность. Причина очевидна: им предложены такие условия обучения ипредъявлены такие требования, которые превышают уровень их развития. Этогоможно избежать, если с первых школьных лет каждый ребенок окажется в однороднойсреде, в которой он чувствует себя комфортно, а учеба сопровождается успехом.Но проведение уровневой дифференциации уже в начальной школе должно бытьобставлено одним непременным условием: потоки (группы) должны бытьдинамическими, то есть на определенном этапе обучения наиболее успевающие или,напротив, неуспевающие учащиеся должны своевременно переводиться в классы соответствующегоуровня.
§2 Методические основыобучения решению задач на экстремумы
2.1 Задачи наэкстремумы в школьном курсе математики (обзор учебников)
Задачина экстремумы в курсе алгебры 7-9 классов.
Восновном, в школьных учебниках алгебры встречаются такие задачи, в которых спомощью известных методов приходят к однозначному ответу, удовлетворяющемуусловиям задачи.
Решениезадач на экстремумы проходит в два этапа:
— напервом этапе текст задачи переводится на математический язык в виде функции,которая допускает много или бесконечно много решений;
— навтором этапе по тем или иным признакам, определяется какое из решений задачинаиболее выгодно.
Посмотримрешение задач на экстремумы на примерах учебников
А.Г.Мордковича и Ш.А.Алимова.
Сначаларассмотрим серию учебников под редакцией А.Г. Мордковича,
Т.Е.Мишустина, Е.Е. Тульчинской.
В 7классе учащиеся первый раз сталкиваются с задачами на экстремум при изучениикоординатной прямой. Здесь им приходится решать задачи на нахождениенаибольшего и наименьшего числа на взятом промежутке, нахождение наибольших инаименьших значений функций на отрезке.
В 8 и 9классах учащиеся продолжают сталкиваться с задачами на нахождение наибольшего инаименьшего значения при изучении квадратичной функции, функции у=/>, у=/>(8 класс) ипри изучении темы «Неравенства» (9 класс). Здесь ученикам приходится решатьзадачи, как на нахождение наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений,нахождение наименьшего и наибольшего значения функций вида у=/>на отрезке.
В серииучебников под редакцией Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина и др. курс алгебры 7-9классов построен иначе, в этой серии с задачами на экстремум учащиесясталкиваются только в 7 и 8 классах при изучении квадратичной функции, неравенстви систем уравнений с 2 неизвестными.
Задачина экстремумы в курсе алгебры 10-11 классов.
Фактическивсе задачи на экстремумы, с которыми учащимся приходится сталкиваться в курсеалгебры 10-11 классах, решаются основным методом — с помощью производной.
Вучебнике «Алгебра и начала анализа », под редакцией А. Н. Колмогорова,производной и ее применению уделена одна из самых больших глав. Авторы сначаладают понятие производной, рассматривают правила ее вычисления, а после этого вучебники приведены различные задачи на отыскание наибольшего и наименьшегозначения.
Вучебниках «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 классов под редакцией
Н.Я.Виленкина, производной тоже уделено много времени, но учащимся предлагаютсязадачи более высокого уровня сложности (учебник рекомендован для школ и классовс углубленным изучением математики).
Еслиговорить о серии учебников под редакцией А.Г. Мордковича, Т.Е. Мишустина, Е.Е.Тульчинской, то мы видим, что, начиная с 7 класса общеобразовательной школы,учащиеся приступают к знакомству с экстремальными задачами. Это происходит приизучении координатной прямой, задач на нахождение наибольшего и наименьшегочисла на взятом промежутке, задач на нахождение наибольших и наименьшихзначений функций на отрезке. В 8-9 классе к уже полученным знаниям, навыкам иумениям добавляются задачи на нахождение наименьшего числа удовлетворяющегосистеме уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения функций видау=/>наотрезке.
Отметим, что также есть учебный курсалгебры, выстроенный иначе. Он представлен в серии учебников под редакциейШ.А.Алимова, Ю.М. Колягина и др. Следуя этому курсу, учащиеся сталкиваются сзадачами на экстремум в 7 и 8 классах при изучении квадратичной функции,неравенств и систем уравнений с 2 неизвестными
В 10-11классах общеобразовательной школы учащиеся знакомятся с еще одним методомрешения задач на экстремумы — с помощью производной. К слову, в учебнике «Алгебраи начала анализа» под редакцией А. Н.Колмогорова, для изучения производной и ееприменения автор отводит одну из самых больших глав.
Вучебнике «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 классов под редакциейН.Я… Виленкина производной также уделяется немало времени, но предлагаютсязадачи более высокого уровня сложности, поскольку данный учебник рекомендовандля специализированных математических школ или классов.
2.2 Методикаобучения решению задач
Для того чтобы учащийся понимал, как решать задачу, он должен в первую очередь понимать, что такоезадача.
Задача — проблемная ситуация с явнозаданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей такженазывают саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, т.е. то, чтотребуется сделать.
Поиск решения задачиможно представить в виде плана, выполняя который мы прейдем к нужномурезультату:
1. Понятьпредложенную задачу.
2. Найтипуть от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи(анализ).
3. Реализоватьнайденную идею решения (синтез).
4. Проверкарешения.
Теперь давайте рассмотримкаждый из этих пунктов более подробно:
1. В первом пункте нампредстоит ответить на множество вопросов: Что гласит задача? Что дано? Чтонужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи, или они недостаточны,или же чрезмерны? Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудьзадачей с известным решением? Или задачей, решающейся проще, а может быть исразу? Ответив на эти вопросы мы сможем разобраться в деталях задачи, которыевпоследствии, вероятно, будут играть определённую роль.
2. Сформулироватьотношение (или отношения) между неизвестным и данными. Преобразоватьнеизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие кданным задачи. Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, такимобразом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным.
3. Выполнение во всехдеталях тех алгебраических или геометрических действий, которые выпредварительно сочли выполнимыми. Проверяя правильность каждого шага либо припомощи логических рассуждений, либо при помощи интуитивных рассмотрений, либо,если это возможно, обоими способами. Если задача сложная, можно разбить её на«большие» и «малые» шаги, разделяя каждый большой шаг на несколько малых. Темсамым мы сможем добиться решения, каждый шаг которого будет, без сомненияправилен.
4.Проверяя решение задачинам вновь приходится ответить на некоторые вопросы: Правдоподобен ли результат?Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату, более прямому? Какиерезультаты ещё можно получить на том же пути? Ответив на эти вопросы мывозможно сможем найти новое, лучшее решение, можем обнаружить новые интересныефакты.
Таким образом, решаязадачу мы даём ответ на вопрос этой задачи, но во время поиска этого решениянам нужно дать ответ на другие вопросы возникающие во время работы с задачей.
Итак, вернёмся к задачамна отыскание экстремальных значений функции на промежутках. Из обзора школьныхучебников учебников можно сделать вывод, что знакомство с задачами на экстремумначинается с решения задач на нахождение наименьшего и наибольшего числа навзятом промежутке, либо значения функции на отрезке. Постепенно задачаусложняется, появляются задачи на вычисление наименьшего числа удовлетворяющегосистеме уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения квадратичныхфункций. И уже в 10 – 11 классах после знакомства с производными, ученикиначинают решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения сложныхстепенных функций, решать прикладные задачи.
Требования стандартаобразования к умениям и навыкам учащихся гласят, что учащиеся должны уметь:
- вычислятьпроизводные и первообразные элементарных функций, используя справочныематериалы;
- исследовать впростейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшиезначения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функцийс использованием аппарата математического анализа;
- вычислять впростейших случаях площади с использованием первообразной;
использовать приобретенныезнания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- решенияприкладных задач, в том числе социально-экономических и физических, нанаибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;
Исходя изтребований стандарта можно сделать вывод, что учащиеся должны владетьэлементарными навыками математического моделирования и в частности, уметьприменять математический аппарат при решении задач на отыскание наибольших инаименьших значений различных величин при заданных условиях. Таким образомреализуется прикладная направленность обучения математике и осуществляютсямежпредметные связи с другими дисциплинами. В первую очередь учащиеся должнывладеть универсальным методом решения задач на оптимизацию, методом, включающимв себя построение некоторой функции и отыскание ее экстремумов с помощьюпроизводной. Алгоритм решения задач этим методом включает в себя три основныхэтапа:
Первый этап.Составление математической модели:
1. Анализ условийзадачи, выделение оптимизируемой величины, т.е. величины, о наибольшем илинаименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, R, V — взависимости от фабулы).
2. Одна изучаствующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно не трудновыразить оптимизируемую величину, принимают за неизвестную переменную иобозначают её буквой х (или какой либо другой буквой). Установка реальныхграниц изменения неизвестной переменной, в соответствии с условиями задачи.
3. Исходя из условиязадачи, выразить у через х. Математическая модель задачи представляет собойфункцию у=f(х) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции у=f(х), х/>Х находится унаим илиунаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Получение конкретного ответа на вопрос задачи,опираясь на результаты, полученные на этапе
работы с моделью.
Помимоуниверсального метода решения задач на экстремумы, полезно было бы познакомитьучащихся и с методами решения этих задач, опирающимися на сведения изэлементарной математики (метод перебора, метод преобразования плоскости, методоценок и неравенств). Эти методы предполагают алгебраический или геометрическийподход к решению задачи, тем самым актуализируя знания учащихся из курсаалгебры и геометрии и развивая их математическую интуицию.
Такимобразом, в понятие задачи на экстремумы входит очень широкий спектр задач,весьма разнообразных по уровню сложности, а значит, в этом задачном материалевозможно и весьма полезно провести уровневую дифференциацию таких задач. Т.е.распределить предъявляемые учащимся задачи по уровням сложности и использоватьэту дифференциацию при проведении практических занятий с учащимися.
Глава 3.Разработка факультативных занятий по теме: «Решение экстремальных задач»
Еще на рубеже XIX и XX вековнекоторые педагоги поняли, что преподавание в общеобразовательной школекакого-либо предмета по обязательной единой общегосударственной программестановится существенно более успешным, если его дополнить циклом необязательных для учащихся, предназначенных только для желающих, внепрограммныхгрупповых занятий.
Такие занятия должны были, преждевсего, учитывать «местные» условия, а именно: реальные и потенциальные запросыи интересы конкретного коллектива учащихся данного класса, и отдельно каждогоученика.
Так возникла идея факультативныхзанятий в школе.
Хорошо поставленные факультативы обеспечиваютвысокое качество знаний, повышаю уровень общего развития учащихся, стимулируютучебную деятельность и повышают интерес к предмету.
Задача факультатива состоит в том,чтобы в результате посещения занятий ученик углублял знания, полученные науроках, совершенствовал умения и навыки, развивал мыслительные и творческиеспособности.
При проведении факультативанеобходимо установить оптимальное сочетание теоретической и практическойчастей.
Очень важным является проведениефакультатива в 11 классе, целью которого является подготовка учащихся к сдачеЕГЭ.
Разработка факультативныхзанятий по теме:
«Решение задач наэкстремум».
Занятие 1
Тема: «Геометрический подход к решению задач на экстремумы».
Тип: Комбинированныйурок.
Цели:
Обучающая: изучениеметода преобразования плоскости для решения экстремальных задач.
Развивающая: развитиемыслительной деятельности, создать условия для продвижения учащихся винтеллектуальном развитии.
Воспитательная:воспитание интереса к математике, воспитание эмоционально-положительнойнаправленности на практическую деятельность..
Задачи: вспомнитьпонятие «экстремальная задача», дать понятие метода преобразования плоскости,рассмотреть применения метода при решении задач.
Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.
План урокаСодержание Методы и приемы Время
1. Орг. момент
Сообщение цели урока Инструктаж учителя 3 мин
2. Изучение нового материала
1.Суть метода преобразования плоскости.
2. Пример решения задачи методом преобразованием плоскости.
Лекция
(объяснительно-иллюстра–тивный с элементами проблемного изложения)
Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 20 мин 3. Закрепление пройденного материала. Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый) 29 мин 4. Подведение итогов беседа 3 мин 5. Запись домашнего задания
Инструкция учителя
(репродуктивный) 5 мин
Ход урока:Деятельность учителя Деятельность учащихся
I. Орг. момент.
Здравствуйте, садитесь.
Откройте тетради, запишите число.
Сегодня мы с вами начинаем изучение темы «Решение задач на экстремум». На занятиях по этой теме мы рассмотрим решения задач на нахождение наибольших и наименьших величин различными методами. Начнем мы с геометрических методов, сегодня мы рассмотрим метод преобразования плоскости.
Но сначала давайте вспомним, какие задачи называют экстремальными, и где в повседневной жизни мы с ними встречаемся?
Конечно, с нахождением максимальных и минимальных значений, наиболее выгодных условий и т.д. – т.е. с нахождением (выбором) лучшего мы сталкиваемся постоянно.
И очень часто лучший вариант не очевиден. В его нахождении помогает математика. Существует много решения таких задач, начнем с преобразования плоскости.
Садятся
Выполняют инструкции учителя, слушают, задают вопросы.
Высказывают свои предположения.
Слушают учителя.
II. Лекция.
1. Суть метода преобразования плоскости.
В качестве одного из основных подходов решения геометрических экстремальных задач используется метод преобразования плоскости. Суть метода заключается в следующем.
Пусть требуется найти экстремум элемента х фигуры F, однозначно определенного элементами x, аi,i = 1,2,...,n.
Метод нахождения экстремума:
3) Элементу х зададим определенное значение х = С и решим задачу на построение фигуры F по заданным элементам х и аi.
4) Решив эту задачу, считаем элемент с перемещением. Затем, применяя те или иные преобразования плоскости, замечаем те особенности, которые возникают при достижении элементом х максимального или минимального значения.
Выделение указанной особенности позволяет сделать заключение об экстремуме элемента х фигуры F.
Посмотрим применение метода при решение конкретной задачи.
2. Пример решения задачи методом
преобразованием плоскости.
Решим следующую задачу: построить прямую, проходящую через вершину А треугольника ABC, так, чтобы сумма расстояний до нее от вершин В и С была наибольшей.
Сначала построим треугольник АВС. Через вершину А проведем произвольную прямую EF .
/>
Из точек В и С опустим перпендикуляры KB и CN на
EF. Если КВ=х, CN=y, то расстояние
KB+CN=x+y. Построим точку
B}=ZA(B) и точку K1=ZA(K), тогда
х + у = KB + GN = К1В1 + CN
Мысленно вращая прямую EF вокруг точки А так, чтобы точка М перемещалась по В 1С от точки В1 до точки C1 замечаем, что х + у ≤В1 С. Знак равенства имеет место в случае, когда EF /> В1 С.
Если прямую EF мысленно поворачивать дальше вокруг точки А, то точка М будет перемещаться по отрезку ВС от точки С до точки В, а сумма х + у ВС.
Ученики конспектируют, задают вопросы
Слушают учителя, записывают решения в тетрадь, задают возникающие вопросы.
III Закрепление пройденного материала.
Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.
Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.
Учащиеся берут карточки с задании-
ями и преступаю к решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за по-
мощью к учителю.
IV Подведение итогов
Итак, сегодня мы с вами изучили один из методов решения экстремальных задач, рассмотрели применение этого метода при решении задач.
Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными.
V Запись домашнего задания
Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать 2 задачу. Записывают.
Задачи предлагаемыеучащимся.
I уровень сложности.
Задача1.
В какомместе следует построить мост MNчерез реку, разделяющую деревни А и В, чтобы путь AMNB был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельнымипрямыми, мост перпендикулярен берегам).
Решение:
/>
Заметим,что длина отрезка MN не зависит отположения точки М на прямой а, а вектор v = MN определяется лишьпрямыми а и b. Поэтому надо найти такое положениеточки М, чтобы сумма AM+NB была наименьшей. Пока отрезки AM и NB удалены друг от друга. Поэтому переведем отрезок AM в положение A'N параллельным переносом на вектор v. Если переносить другую точку, то тогда точки А, М, В' должны принадлежать одной прямой, (рис.).
Получимломаную A'NB. Итеперь становится ясно, что длина ломаной A'NB, а значит и длина пути AMNB будет наименьшей в том случае, когдаточки А', N, В лежат на одной прямой. Итак, N — точка пересеченияотрезка А'В с прямой Ь, а М — проекция N на прямую а.
Тогда М- точка пересечения отрезка АВ' с прямой а, а N — проекция М на прямую b .
Всятрудность задачи заключается в том, чтобы заметить особенности, при которыхискомая ломаная может принять наименьшую длину.
Задача2.
Средивсех трапеций с заданной высотой 3 см и диагоналями длиной 6 см и 5 см найдите трапецию максимальной (минимальной) площади. Вычислите
площадь.
Решение:
SABCD = /> · h = /> h = S∆ACD1= const. SABCD= S∆ACD1=½ (/>) · 3
задача экстремум дифференциация математика
Нетруднозаметить, что параллельные перенос чаще всего используется в тех случаях, когдаобъектом задачи является трапеция, параллелограмм и другие четырехугольники спараллельными сторонами.
/>
Задача3.
Дведеревни А и В находятся по одну сторону от прямого шоссе а. В какой точке С нашоссе а надо установить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний АС + СВ былакратчайшей?
Решение:
Построимточку В, симметричную точке В, относительно прямой а. Для любой точки Упрямой аВХ= ВХ. Поэтому АХ+ХВ = АХ+ ХВ. Ясно, что сумма АХ + ХВ/ становится кратчайшей,когда X попадает в точку пересечения отрезка АВ!с прямой а. Эта точка С и дает решение задачи.
/> В
/>
II уровень сложности.
Задача1.
ОбъектыА, В и С расположены между двумя прямолинейными путями l1 и l2(рис.). Соединить эти объекты между собой замкнутой дорогой кратчайшей длины свыходом на прямолинейные пути.
Решение:
/>
ПостроимВ' = /> (В),С = S/>(C); AC/ пересекает 12 в точке D, а АВ' пересекает l1 в точке К (рис.).
ЛоманнаяAKBCDA имеет наименьшую длину.
Задача2.
Дан уголи две точки С и D внутри него.Найти точки А и В на сторонах угла так, чтобы сумма длин СА + АВ + BD, была наименьшей.
/>
Решение:
Выполнимследующее построение. />Построим d1 и С1 симметричные D и С относительно сторон KL и LM. Проведем отрезок D1C1 и ломаную CABD. Длина ее равна длине отрезка D1C1. Нетрудно понять, что иной путь изС в D с тем же порядком захода на стороныугла будет длиннее.
Задача3.
/>
Вквадрат, диагональ которого равна d, вписан произвольный четырехугольник ABCD. Доказать, что минимальный периметр четырехугольникаравен 2d.
Решение:
Пусть MN=d L1=SNC(L) и K1=SMD(K); CL=CL1 и KD=K1D, KD+DC+CL=K1D+DC+CL1≥MN так как /> K1MK=/>LNL1=90◦.
Пусть MN=d. L1=SNC(L) и K1=SMD(K);
CL=CL1 и KD=K1D,
KD+DC+CL=K1D+DC+CL1≥MN так
как /> K1MK=/>LNL1=90◦.
Аналогичноможно доказать, что LB + АВ + АК > MN
PABCD=AD+AB+BC+CD = (AK+AB+BL) + (LC+CD+DK) ≥ 2MN ≥ 2d
Pmjn = 2d, если ABCD — прямоугольник.
III уровень сложности.
Задача1.
Поразные стороны от полотна железной дороги АВ расположены два завода М и N. Гденужно построить на железной дороге платформу CD длиной а так, чтобы общая длина дороги MCDN была наименьшей?
А еслизаводы М и N расположены по одну cторонуот железной дороги АВ?
Решение:
ПолучимММ1 параллельным переносом на вектор CD. MCDN-min;
MCDN=MM1DN MM1DN — min M1, D, Nпринадлежат одной прямой.
Если жеМ и N расположены по одну сторону от прямой АВ. M1
симметричнаМ относительно прямой АВ.
ММ2получен параллельным переносом на вектор CD
MCDN-min
MCDN=MiM2DN
M{M2DN — min M2, D, N принадлежат одной прямой.
Задача 2
/>
Дан уголи точка С внутри него. Найти точки А и В на сторонах угла так, чтобы периметртреугольника ABC был наименьшим.
Решение:
Возьмемпроизвольный ∆СА 1В1, две вершины которого, лежат соответственно насторонах угла KL и LM, атретьей служит точка С.
Построимточки Е и Р, симметричные точке С относительно сторон угла KL и LM и соединим отрезками прямой эти точкисоответственно с вершинами А1 и В1 треугольника. Так как нас интересуеттреугольник с наименьшим периметром, а наименьшим будет периметр, равный длинеотрезка ЕР. Поэтому вершины треугольника А и В искомого треугольникаопределяются как точки пересечения прямой ЕР со сторонами данного угла.
Занятие2
Тема: «Геометрическийподход к решению задач на экстремумы».
Тип: Комбинированный урок
Цели:
Обучающая: изучениеразличных геометрических методов решения экстремальных задач, обучение решениюзадач с использованием этих методов.
Развивающая: Развитиекритичности мышления, делать выводы, обобщать; развитие навыков самостоятельнойработы.
Воспитательная:воспитание личной ответственности за результаты своей работы, активнойжизненной позиции, умения ставить и достигать цели.
Задачи: Рассмотретьразличные геометрические методы решения экстремальных задач, показать напримерах их использование при решении задач.
Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.
План урокаСодержание Методы и приемы Время
1. Орг. момент
Сообщение цели урока Инструктаж учителя 3 мин
2. Изучение нового материала
1.Обзор различных
геометрических методов
решения экстремальных
задач.
2. Пример решения задачи.
Лекция
(объяснительно-иллюстра–тивный с элементами
проблемного изложения)
Учащиеся конспектируют,
задают вопросы. 20 мин
3. Закрепление пройденного материала. (Учитель предлагает учащимся задачи для
самостоятельного решения).
Учащиеся самостоятельно
решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый) 29 мин 4. Подведение итогов беседа 3 мин 5. Запись домашнего задания
Инструкция учителя
(репродуктивный) 5 мин
Ход урока:Деятельность учителя Деятельность учащихся
I. Орг. момент.
Здравствуйте, садитесь.
Откройте тетради, запишите число.
Сегодня мы с вами продолжаем изучение темы «Решение экстремальных задач геометрическим подходом».
Но прежде чем перейти к изучению новых способов решения экстремальных задач я хотел бы узнать, возникли ли какие-нибудь вопросы при выполнении домашней работы? Может у кого-то возникли трудности при решении какой-нибудь задачи?
Слушает детей, возможно частично прорешивают какую-то задачу у доски.
Садятся
Выполняют инструкции учителя, слушают, задают вопросы.
Задают возникшие вопросы.
II. Лекция.
1.Обзор различных геометрических методов
решения экстремальных задач.
На прошлом занятии мы с вами решали различные экстремальных задач. Какой метод мы использовали при решении этих задач? В чем его суть?
Вы совершенно правы, мы решали задачи методом преобразования плоскости. Но задачи на экстремум решаются не только преобразованием плоскости. Есть еще очень много геометрических подходов к решению экстремальных задач, самые используемые из них метод перебора и оценки. Сегодня мы будем решать экстремальные задачи, используя эти методы.
Посмотрим на примере.
2. Пример решения задачи
Решим задачу:
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGJ, в котором AB=AE=12, AD=30.
Точка М расположена на грани АВFE на расстоянии 1 от середины АВ и на равных расстояниях от А и В. Точка N принадлежит грани DCGJ и расположена симметрично точки М относительно центра АВСDEFGJ. Найти длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками М и N.
Учитель с помощью детей решает задачу у доски, объясняя учащимся свои выкладки.
Решение:
Рассмотрим следующие варианты:
1. Пусть путь пересекает EF и GJ. Длина кратчайшего пути в этом случае равна 11+30+1=42.
2. Пусть путь последовательно пересекает ребра BF, FG, GJ. Сделаем развертку. Обозначим точки на развертки так же, как и на параллелепипеде. По теореме Пифагора MN=(MK2 +NK2)1|2 =(372+172)1|2=16581|2.
3. Путь последовательно пресекает ребра АВ, ВС,FG,GJ. Сделаем развертку. Длина кратчайшего пути в этом случае: MN= (MK2+NK2)1|2=(242+322)1|2=40. Этот путь и оказывается кратчайшим, т.к. его длина равна 40.
/>/>
/>
Ученики слушают, отвечают на вопросы.
Конспектируют, задают вопросы.
Слушают учителя, записывают решения в тетрадь, задают возникающие вопросы.
III Закрепление пройденного материала.
Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.
Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.
Учащиеся берут карточки с
заданиями и
преступаю к
решению задач.
Если возникают
трудности, они
обращаются за
помощью к
учителю.
IV Подведение итогов
Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их приминение..
Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными.
V Запись домашнего задания
Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачки своей карточки. Записывают.
Задачи предлагаемыеучащимся.
I уровень сложности.
Задача1.
/>
На стороне ВС треугольника ABC найти точку D так, чтобы отрезок AD имел:
а) наибольшую длину;
б) наименьшую длину.
Решение:
а) Пусть di — произвольная внутренняя точка ВС
и АВ > АС. Так как />AD1B> />C>/>B, то AB>ADl.
Следовательно, отрезок AD имеет наибольшую длину, если онсовпадает со стороной АВ. Если АВ = АС, то имеем два решения: стороны АВ и АС.
б) Пусть в треугольнике ABC ни один из углов В и С не тупой.Тогда основание высоты, проведенной из вершины А находится на стороне ВС иотрезок AD имеет наименьшую длину, если AD/>BC.
Пусть теперь угол С тупой. В этомслучае основание Н высоты АН треугольника лежит на продолжении стороны ВС заточку С. Так как наклонная А С меньше всякой другой наклонной AD1 с основанием на ВС, то отрезок AD имеет наименьшую длину, если онсовпадает со стороной АС треугольника.
/>
Задача 2.
Прямая MN отсекает от данного угла А треугольник данной площади Q (М и N — точки на сторонах угла А).При каком условии отрезок MNимеет наименьшую длину, и какова эта длина?
Решение:
Обозначив отрезки AM и AN соответственно через х и у, по теореме косинусов получим:
/>
MN2 = x2 + y2 — 2xycosA =(x-y)2 + 2xy (1-cosA) = (x-y)2 + 4 Q tg/>
так как ½ xy sin А = Q.
Следовательно, при х= у (AM = AN) отрезок имеет наименьшую длину, равную />.
Задача 3.
Под каким углом к берегу нужнонаправить лодку, что бы за время ее переправки лодку как можно меньше снеслотечением, если скорость течения 6 км/ч, а собственная скорость лодки – 3 км/ч.
Решение.
/>
Необходимо направить лодку так, чтобыее абсолютная скорость (относительно берегов) составляла, возможно, большийугол с берегом.
Пусть вектор /> - скорость лодки относительноводы. Сумма />+/> = /> даетабсолютную скорость лодки (относительно берегов). Длина вектора
/>=3 и его можно направить в любуюсторону. Множество возможных положений точки М – окружность радиуса 3 с центромв точке А.
Из всех векторов /> наибольший угол сберегом составляет />, направленный по касательной кокружности. Получаем прямоугольный треугольник, у которого катет вдвое меньшегипотенузы. У такого треугольника угол равен 600.
II уровень сложности.
Задача 1.
Какой из всех параллелограммов сзаданными диагоналями а и bимеет наибольшую площадь?
Решение:
/>
Граничное значение переменной площадиS параллелограмма ABCD непосредственно заметить трудно, ноесли эту переменную площадь выразить формулой
S = АС• DK= ah, то легкозаметить, что S = ah ≤ ab,так как h ≤ />.
Если использовать формулу S = abs'ma, тонаибольшую площадь S нетрудно найти,граничное значение sin а хорошоизвестно.
/>
Задача 2.
Расстояние от пункта А до пункта В 4 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Какое наибольшее и наименьшее расстояние может быть отпункта А до пункта С?
Решение:
Расстояние АС зависит от местарасположения
точки С. Так как расстояние ВСпостоянное, то точка С
принадлежит точкам окружности с R = ВС, В — центр. Легко заметить,какие граничные значения может принимать АС, т.е.
4 = АСг
Отсюда, max [AСi] = 12 km
min [ACi] = 4 km
Искомыми точками Ci являются концы диаметра длиной 16 км с центром окружности в пункте В.
Задача 3.
Данный треугольник ABC разделить отрезком наименьшей длинына две равновеликие части.
/>
Решение:
Пусть а . Отрезок MN и является искомым, так как онменьше наименьших отрезков, отсекающих треугольники с углами В и С:
Таким образом, на сторонахнаименьшего угла А треугольника ABC
нужно построить точки М и N так,чтобы АМ= AN=/>.
III уровень сложности.
Задача 1.
На сторонах АВ и АС треугольника ABC найти соответственно точки М и Nтак, чтобы треугольник ABCделился отрезком MN на дверавновеликие части и чтобы отрезок MN имел наименьшую длину.
Решение:
Пусть MN — искомый отрезок. Обозначим площадь треугольника ABC через S,
/>
тогда площадь треугольника AMN равна />S.
AM = AN и MN = />
Выразим отрезок AM через стороны b и с треугольника ABC. Так как площадь треугольника AMN составляет половину площадитреугольника
ABC, то АМ2 sin А=/>b c sin A, откуда AM = />.
По условию точки M и N должны лежать на сторонах АВ и АС треугольника. Значит,полученное выражение для AMявляется решением задачи
лишь при условии, что /> не больше каждой изсторон b и с треугольника.
Пусть b ≤ с, тогда/>≤ b в том и только в том случае, если с ≤ 2b.
Итак, если b
точки М и N такие, что AM=AN = />.
Нетрудно показать, что если с > 2b, то искомым отрезком являетсямедиана треугольника, проведенная к стороне с, причем длина этой медианы
более />.
Задача 2.
На какое наименьшее число треугольныхпирамид (тетраэдров) можно разбить куб?
Решение.
/>
Куб ABCDA1B1C1D1 можно разбить на 5 тетраэдров: если отсечь от неготетраэдры BACВ1 и DACD1, A1B1D1А и C1B1D1С, то останется еще пятый тетраэдр ACB1D1. Онправильный. Попробуем установить, что меньше чем на 5 тетраэдров куб разбитьнельзя. Допустим, что куб ABCDA1B1C1D1 разбит нанекоторое число тетраэдров.
При этом грань АВСD куба разбивается на части,являющиеся гранями не менее чем двух тетраэдров (квадрат АВСD может быть разбит на 2 или большеечисло треугольников ), причем сумма площадей оснований этих тетраэдров равна a2, а высота каждого из них не большеа, поэтому объемов примыкающих к грани АВСD тетраэдров разбиения не превосходит /> а2 а=/>.
Аналогично этому к грани A1B1C1D1 куба примыкает не менее двухтетраэдров, причем общий объем этих тетраэдров также не превосходит />.
Так как ни один тетраэдр не можетодновременно иметь граней, являющихся частью квадрата АВСD и частью квадрата A1B1C1D1 (ведь никакой тетраэдр не имеетпараллельных граней!), то мы уже имеем не менее 4 тетраэдров, причем общеечисло тетраэдров не превышает 2/>, то есть меньше объема а3. Отсюдаи вытекает, что число тетраэдров не может быть меньше пяти.
/>
Задача 3.
В шар радиуса R вписан конус, осевое сечениекоторого – равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами можетизменяться разность площадей двух сечений, из которых первое (КGFD) получается в результате пересеченияшара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе(NPF) – в результате пересечения конусатой же плоскостью.
Решение.
/>
Площади обоих сечений равны нулю втом случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершинаконуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводима плоскость совпадаетс плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточноеположение между положениями рассмотренными выше, то площади сечений шара иконуса не равны. Итак, разность Sплощадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя черезмаксимум, который мы определим.
S=/>( MK2- MN2 ); OB=R; MB=x;
MK2 = OK2 – OM2 = R2- (R — x)2 = 2Rx – x2/
Так как ∆ АВС равносторонний поусловию и АС || NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно,MN2 = />.
Следовательно S= /> 2x (3R – 2x),
которое будет максимально, когдамаксимально S1= 2x(3R- 2x). Так как сумма множителей 2x + 3R — 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т.е.
х= ¾R. Следовательно, максимальное значение S равно />.
Занятие 3
Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы».
Тип: Комбинированный урок.
Цели:
Обучающая: Отработка исовершенствование навыков решения экстремальных задач аналитическими методами.
Развивающая: Развитие мышления впроцессе перевода словесной информации в математические символы, развитиеответственности и добросовестности во время индивидуальной работы.
Воспитательная: воспитаниеобъективного отношения к результатам своей работы, эстетическое восптание..
Задачи: обзор методов решенияэкстремальных задач – геометрических и аналитических, рассмотренияаналитического метода решения задач с использованием квадратичной функции.Рассмотрение конкретных задач, решаемых этим методом.
Оборудование: доска, мел, карточки сзаданиями.
План урокаСодержание Методы и приемы Время
1. Орг. момент
Сообщение цели урока Инструктаж учителя 3 мин
2. Изучение нового материала
1.Суть метода.
2.Пример решения задачи
методом перебора.
3.Решение задачи с использованием квадратичной функции.
Лекция
(объяснительно-иллюстра–тивный с элементами
проблемного изложения)
Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 29 мин 3.Закрепление пройденного материала.
Учитель предлагает
учащимся задачи для
самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый) 23 мин 4.Подведение итогов беседа 2 мин 5.Запись домашнего задания
Инструкция учителя
(репродуктивный) 3 мин
Ход урока:Деятельность учителя
Деятельность
учащихся
I. Орг. момент.
Добрый день.
На протяжении последних двух занятий мы с вами решали задачи на нахождение наибольших и наименьших величин геометрическим подходом.
Какие методы мы использовали?
Сегодня мы рассмотрим алгебраические подходы к решения экстремальных задач.
Садятся
Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
II.Лекция.
1.Суть метода.
Как и геометрических, алгебраических подходов очень много, сегодня мы рассмотрим два из них: метод перебора и использование квадратичной функции.
В практике часто встречаются экстремальные задачи, при решении которых получается одно уравнение с несколькими переменными, заданными на множестве целых неотрицательных чисел. Решение таких задач сводится к исследованию линейной функции.
2.Пример решения задачи методом перебора.
Примером может послужить такая задача:
Содержание витамина С в 1 кг фруктов и стоимость 1 кг заданы следующей таблицей: Фрукты Витамин С (кг) Стоимость(у.е.)
Вишни
Абрикосы
150
75
0,3
0,4
Обозначим количество килограммов вишни через х, а количество килограммов абрикосов – через у. Тогда решение задачи сводится к нахождению min(0,3 x + 0,4y), если 150 х + 75у =75, где х
min (0,3 x + 0,4 – 0,8 x ) = min (- 0,5x + 0,4) = 0,275.
В дневной рацион следует включать 0,25 кг. Вишни и 0,5 кг. Абрикосов.
При решении задач квадратичной функции мы будем опираться на следующую теорему:
Теорема:
Функция ах2 + вх + с при а>0 имеет наименьшее значение, равное (4ас-b2)/4, и при а
3.Решение задачи с использованием квадратичной функции.
Найти наименьшее значение функции
/>
/> />
и построить ее график.
Поиски решения. Данную функцию можно изобразить аналитически так:
/>
Отсюда видно, что при х = -1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимает только положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением может быть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значение непосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-то целенаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции.
Решение:
Очевидно, что
/>
Обозначив дробь /> буквой u, получим:
/>
Искомое наименьшее значение равно /> и получается оно при /> т.е. при
х = 1
Перейдем к построению графика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой
/> х -3 -2 -3/2 -1 -1/2 1 2 3 … у 7/4 3 7 Х 3 1 3/4 7/9 13/16 …
Если аргумент х будет приближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать.
Теперь посмотрим, как будет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минус бесконечности. Очевидно, что
/>
Отсюда видно, что при стремлении х к бесконечности у стремится к
Ученики конспектируют, задают вопросы
Слушают учителя,
записывают решение в тетрадь, задают
возникающие вопросы.
IIIЗакрепление пройденного материала.
Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и
решите предложенные там задачи.
Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске. Учащиеся берут карточки с заданиями и преступаю к решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю.
IVПодведение итогов
Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.
Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными.
VЗапись домашнего задания
Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачки своей карточки. Записывают.
Задачи предлагаемые учащимся.
I уровень сложности.
Задача 1.
В швейном цехе имеется 164 м ткани. На шитье одного халата требуется 4 м. ткани, а одной пижамы – 3 м. Сколько следует изготовить халатов и пижам для получения наибольшей прибыли от реализации продукции,если халат стоит 7 руб., а пижама – 6 руб.? Известно, что халатов требуетсяизготовить не менее 14 шт.
Решение.
Пусть в швейном цехе изготовлено ххалатов и у пижам. Тогда решение задачи сводится к нахождению max(7x + 6y),если 4х + 3у =1 64.
max(7x + 6y) = max (328- x) = 314, где x≥14.
Для получения наибольшей прибылиследует изготовить 14 халатов и 36 пижам.
Задача 2.
Требуется соорудить канал споперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам.
Спрашивается, какими надо сделатьширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадьпрямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей?
Поиски решения. Поскольку мы еще незнаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначитьэти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и уту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сечения канала.Эта площадь выразится произведением ху, т.е. будет зависеть от двух переменныхвеличин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразитьплощадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что в данном случаеэто сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р.
Решение.
Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P — 2x. Площадь сечения будет равна х (Р — 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р — 2х),которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2х2+Рх.Очевидно, что
/>
Отсюда видно, что наибольшая площадьполучится в том случае, когда мы сделаем глубину канала х = Р/4. Тогда окажетсяширина у равной Р/2, а наибольшая площадь равной Р2/8.
Задача 3.
Найти наибольшее и наименьшеезначения функции y = 9x – 2∙3 x на отрезке [-1; 2].
Решение.
Пусть t= 3x. Таккак -1 ≤ x ≤ 2, то />, у= t2 – 2t. Таким образом, решение задачи сводится к вычислениюнаибольшего и наименьшего значений квадратичной функции
у = t2 – 2t наотрезке [/>;9]. Абсцисса t0 вершины параболы, являющейсяграфиком э той функции, равна 1, ветви параболы направлены вверх. Так как t0 є [/>; 9], то min y(t) =y (1) = — 1, а максимальное значениедостигается на том конце отрезка, который наиболее удален от t0, т.е. max y(t) = y(9) = 63. Если t = 1, то х = 0, если t= 9, то х =2. Поэтому max y(x) = y(2) = 63, min y(x) = y(0) = — 1.
II уровень сложности.
Задача 1.
Предполагается, что рационсоставляется из двух видов кормов — сена и концентратов. В таблице приведенычисловые данные о суточной потребности одного животного в питательных веществахи о себестоимости кормов в данном хозяйстве:Виды кормов Содержание в 1 кг. Кормов кормовых единиц Себестоимость 1 кг(в руб.) Сено 0,5 1,5 Концентраты 1,0 2,5 Суточная потребность на одного животного 20 -
Требуется найти самый дешевый рацион,если ежедневный рацион кормления сельскохозяйственных животных должен включатьне менее 16 кг. сена.
Решение.
Пусть ежедневный рацион кормлениясостоит из х кг. сена и у кг. концентратов. Тогда ежедневный рацион содержит(0,5 х + у) кормовых единиц, себестоимость которого равна (1,5 х + 2,5 у).
Решение задачи сводится к нахождению min (1,5 х + 2,5 у), если 0,5 х + у =20.
min (1,5 х + 2,5(20 – 0, 5х )) = min (0,25 х + 50) = 54.
Задача 2.
Найти наибольшее значение функции f = х4 (32-х4).
Решение:
Поиски решения.
Данная функция принимаетотрицательные значения
при />, а при /> - положительные. Поскольку еенаибольшее значение надо искать среди значений х меньших, чем />.
Если мы положим х4 = у, то задачасведется к нахождению наибольшего значения многочлена второй степени, имеющеговид:
— у2 +32у.
Однако если проявить наблюдательностьи заметить, что сумма множителей х4 и (32 — х4) является величиной постоянной,то можно воспользоваться теоремой 3 и решить задачу проще.
/>
Задача 3.
Найти наибольшее и наименьшеезначения функции у=6 /> - 2х на отрезке [2; 8] .
Решение.
Пусть t = />. Так как 2 ≤ х ≤ 8,то 1 ≤ t ≤ /> . При этом 2х = t2 + 3, откуда
y=6 t — t2 –3.Таким образом, решение задачи сводится к вычислению наибольшего и наименьшегозначений квадратичной функции на отрезке.
Графиком этой функции являетсяпарабола, ветви которой направлены вниз, абсцисса t0 вершины параболы, равна 3. Так как t0 є [1; />], то max y(t) =y (3) =6, а наименьшее значениедостигается в том из концов отрезка который наиболее удален от t0, т.е.
min y(t) =y (1) = 2.
Если t = 3, то х = 6, если t= 1, то х =2. Поэтому max y(x) = y(6) = 6, min y(x) = y(2) = 2.
III уровень сложности.
Задача 1.
Завод должен переслать заказчику 1100деталей. Детали упаковывают в ящики трех видов.6 по 70, 40 и 25 деталей вкаждый. Стоимость пересылки одного ящика каждого вида соответственно равна 20руб., 10 руб. и 7 руб. Сколько ящиков и какого вида должен использовать завод,чтобы стоимость пересылки была наименьшей.
Решение.
Оценим, в каком из ящиков пересылкаодной детали будет наиболее дешевой: в первом /> руб., во втором /> руб., в третьем /> руб. Поскольку/> , то выгоднее пересылать детали в ящиках по 40 штук,менее выгодно- по 25 штук, наименее выгодно – по 70 штук.
Но 1100 деталей в ящики по 40 штукполностью вместить нельзя. Следовательно, необходимо найти максимальноеколичество деталей, которые можно переслать в ящиках по 40 деталей.
Максимальное количество стоит искатьсреди чисел, близких к 1100 и кратных 40, т.е. среди чисел, 1080, 1040, 1000 ит.д. Первые два числа не подходят, т.к. останется в первом случае 20, а вовтором -60 деталей; в третьем случае останется 100 деталей, которыми можнозагрузить 4 ящика по 25 деталей.
Можно подсчитать, что в этом случаезатраты на пересылку составят 10 ∙ 25 + 4 ∙ 7 =278 руб. А если,например, отправить 10 ящиков по 70 деталей и 16 ящиков по 25 деталей, тозатраты составят 312 руб..
Задача 2.
Найти наименьшее и наибольшеезначение функции y=4x+6|x-2|-x2 наотрезке
[-1;3].
Решение:
y=-( x2-4x+4-4)+6|x-2|=-(x-2)2 +6|x-2|+4.Так как а2=|а|2, то y=
-|x-2|2+6|x-2|+4.Пусть t=|x-2|. Поскольку -1 ≤ х ≤ 3, то 0 ≤ t ≤ 3. При этом y=-t2+6t+4 возрастает и, следовательно,
min y(t)=y(0)=4, max y(t)=y(3)=13.
[0;3] [0;3]
Если t=0, то x=2.Если t=3, то |x-2|=3/>
Но по условию х/>[-1;3], поэтому остаетсятолько значение х=-1.
Ответ: min y(х)=y(2)=4,max y(х)=y(-1)=13.
[-1;3] [-1;3]
Задача 3.
Найти наименьшее и наибольшеезначения функции у=2sin x – cos 2x +cos2 x.
Решение.
Так как
cos 2x = 1 -2 sin2 x, cos2x = 1- sin2 x, то y= sin2 x+ 2 sin x.Пусть t =sin x, -1 ≤t ≤ 1.
Тогда, решение задачи сводится квычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на отрезке.
Графиком этой функции являетсяпарабола, ветви которой направлены вверх, абсцисса t0 вершины параболы, равна — 1. Так как t0 є [- 1;1], то max y(t) =y (1) =3, min y(t) =y (-1) = -1.
Если t = 1, то sin x = 1/>x = /> . Если t= — 1, то
sin х = -1/>n, n/>Z. Поэтому max y(x) = 3, min y(x) = — 1.
Занятие 4
Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы».
Тип: Комбинированный урок.
Цели:
Обучающая: Обучить способу решенияэкстремальных задач различными аналитическими методами, совершенствованиенавыков решения экстремальных задач аналитическими методами.
Развивающая: дать возможностьучащимся убедится в том, на сколько развиты их возможности и над чем нужнопоработать.
Воспитательная: воспитаниепотребности и умения работать в коллективе для решения совместных задач,активной жизненной позиции, умения ставить и достигать цели.
Задачи: Рассмотреть различныеаналитические методы решения экстремальных задач, и их применение при решенииконкретных задач; закрепление умений и навыков решения экстремальных задачаналитическими методами.
Оборудование: доска, мел, карточки сзаданиями.
План урокаСодержание Методы и приемы Время
1.Орг. момент
Сообщение цели урока Инструктаж учителя 3 мин
2.Изучение нового
материала
1.Суть метода.
2.Пример решения
задачи c
использованием
неравенств.
Лекция
(объяснительно-иллюстра–тивный с элементами
проблемного изложения)
Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 20 мин 3.Закрепление пройденного материала.
Учитель предлагает
учащимся задачи для
самостоятельного решения.
Учащиеся самостоятельно
решают задачи своего
уровня сложности
(репродуктивный, частично-поисковый) 31 мин 4.Подведение итогов беседа 2 мин 5.Запись домашнего задания
Инструкция учителя
(репродуктивный) 4 мин
Ход урока:Деятельность учителя Деятельность учащихся
I.Орг. момент.
Добрый день.
На прошлом занятии мы в вами начали изучать алгебраические подходы к решению задач на экстремумы. Сегодня мы рассмотрим еще один подход — использование стандартных неравенств.
Садятся.
Слушают учителя,
отвечают на его
вопросы.
II. Лекция.
1.Суть метода.
Напомним, что для любых двух неотрицательных чисел а и в справедливо неравенство, называемое неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел (неравенство Коши):
/>.
Важным следствием неравенства Коши является следующее: для любых двух положительных чисел а и в и любого отличного от нуля действительного числа t
/> ≥ 2/>. Причем знак неравенства достигается в том и только том случае, когда at=b/t, т.е. t2=b/a.
2.Пример решения задачи.
Найти наибольшее значение функции />
y=4/>на интервале (-∞;/>).
Решение:
y=4/>=/>=/>=2x-1+/>. Так как по условию х
для случая t≤-2/>, причем знак неравенства достигается тогда и только тогда, когда
/>2х-1=/>, и 2х-1
И последней системы находим х=/>
Ответ: max y(x)=y(/>)=-2/>
(-∞;/>)
Ученики конспектируют, задают вопросы
Слушают учителя, записывают решение в тетрадь, задают
возникающие вопросы.
III Закрепление пройденного материала.
Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.
Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.
Учащиеся берут
карточки с
заданиями и
преступают к
решению задач.
Если возникают
трудности, они
обращаются за
помощью к
учителю.
IVПодведение итогов
Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.
Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными.
VЗапись домашнего задания
Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачи своей карточки. Записывают. /> /> />
Задачи предлагаемые учащимся.
I уровень сложности.
Задача 1.
Найдите прямоугольник наименьшегопериметра, ограничивающий заданную площадь.
Решение.
В данном случае площадь S= xy постоянна. Следовательно, p= x+y достигает наименьшего значения, еслих + у = 2/>.Таким прямоугольником является квадрат со стороной />, периметр его 4/>.
Задача 2.
Найти наименьшее значение функции у =х + />, прих > 2.
Решение.
Очевидно, что
/>
Отсюда следует, что искомоенаименьшее значение получается при х-2 />при
х = 6, а само искомое значение равно />
Задача 3.
Найти наибольшее значение функции
y=/>.
Решение.
Заметим, что D(y) = [0; />]. При х /> [0; />] выполнены, очевидно, неравенства х3 ≥ 0, 2 –х3 ≥0.
Применим неравенство Коши:
y=/>≤ />=1.
Поэтому у ≤ 1, причем знакравенства достигается, лишь если
/> />х =1.
max y(x) = y(1) = 1.
II уровень сложности.
Задача 1.
Требуется сделать коробку, объемкоторой должен равняться 108 см3. Коробка открыта сверху и имеет квадратноедно. Каковы должны быть размеры ее, чтобы на ее изготовление пошло наименьшееколичество материала?
Решение.
Длину стороны основания обозначимчерез х см., а высоту коробки – у см.(х>0, y>0). Тогда ее объем V= x2y. Учитывая, что V= 108 см3, имеем x2y = 108 => у=/>.
Пусть S-площадь поверхности коробки:
S= x2+4xy = x2+4x /> = x2+ />.
Представим выражение для S следующим образом:
S = x2 + /> + />.
Произведение x2 + /> + /> равно 2162. Следовательно, S достигает наименьшего значения, если х2= />, т.е. х3 = 216 => х =6 => y = 3.
Тогда = 108 (см 2).
Задача 2.
Найти наименьшее значение функции y =32х – 1 + 4∙33 – 2х.
Решение.
Так как 3t и 4∙ 3zположительные при любых действительных значениях t и z, то,применив неравенство Коши, получим
У=32х – 1 + 4∙33 – 2х ≥ 2/>=2/>=12.
Таким образом, у(х) ≤ 12 прилюбом действительном х, причем знак равенства достигается, лишь, если
32х – 1=4∙33 – 2х />34х – 4 =4 />х= />.
min y(x) = y(/>) =12.
Задача3.
Найти наибольшее значение функции у=4/> наинтервале (-∞ ;/>) .
Решение.
у=4 />=/>
Так как по условию х, то 2х – 1
max y(x) = y(/>) = -2/>.
III уровень сложности.
Задача 1.
При небрежной транспортировке рулоновтипографской бумаги на их поверхности появляются трещины, в результате чегообразуется так называемый бумажный срыв, идущий в отходы. Очевидно, что этиотходы тем меньше, чем меньше полная поверхность рулона при данном его объеме.Необходимо исследовать, при каком соотношении между диаметром и длиной(т.е.образующей) рулона срыв бумаги будет наименьшим.
Решение.
Задача сводится к нахождению такогосоотношения между радиусом Rоснования и высоты Н цилиндра, чтобы при данном объеме цилиндра его полнаяповерхность имела наименьшее значение.
Имеем: S= 2π RH + 2π R2, H=/>.
Поэтому
S = />+2πR2= />+/>+ 2πR2.
Надо найти наименьшее значение суммытрех положительных слагаемых />+/>+ 2πR2,произведение которых />∙/>2πR2=2πV2 неизменно при данном постоянномзначении V. Поэтому S достигает тогда и только тогда, когда />=2πR2,т.е. когда />=2πR3.
H= />=/>=2R.
Задача 2.
Найти наименьшее значение функции у =/>на интервале(13/6 π; 17/6 π).
Решение.
у =/>=2sin x + 1+/>=2 sin x – 1+ /> +2.
По условию, 13/6 π + 2π + 2π, откуда
sin x > ½.
Y = 2sin x — 1 + /> +2 ≥ 2/>+2 =4.
Таким образом, у ≥ 4, причемзнак равенства достигается тогда и только тогда, когда
/>
C учетом того, что 13/6 π
min y= 4.
Задача 3.
Найти наименьшее значение функции
y =| x2 – x| + |x + 1|.
Решение.
y=| x2 – x| + |x + 1|≥ |x2 – x + x +1|=|x2 + 1| = x2 + 1≥ 1.
Таким образом, у≥1, причем знакравенства достигается только в том случае, когда одновременно выполненыравенства
| x2 – x| + |x + 1| = |x2 + 1| и x2 +1=1, откуда x=0.
min y(x) = y(0) =1.
Занятие 5
Тема: «Универсальный метод решениязадач на экстремумы».
Тип: Комбинированный урок.
Цели:
Обучающая: отработка исовершенствование навыков решения экстремальных задач с помощью производной,обобщить материал по теме «Решение экстремальных задач».
Развивающая: развитие волевыхкачеств, воспитание желание самосовершенствования, развитие навыков самостоятельнойработы.
Воспитательная:воспитание интереса к математике, воспитание эмоционально-положительнойнаправленности на практическую деятельность.
Задачи: повторить методику решениязадач на максимум и минимум с помощью производной, прорешать основные типызадач на использование этого метода.
Оборудование: доска, мел, карточки сзаданиями.
План урокаСодержание Методы и приемы Время
1. Орг. момент
Сообщение цели урока Инструктаж учителя 7 мин
2. Изучение нового материала
1.Суть метода.
2. Пример решения
задачи с помощью
дифференцирования.
Лекция
(объяснительно-иллюстра–тивный с элементами
проблемного изложения)
Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 16 мин 3.Закрепление пройденного материала. Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый) 31 мин 4. Подведение итогов беседа 2 мин 5. Запись домашнего задания
Инструкция учителя
(репродуктивный) 4 мин
Ход урока:Деятельность учителя Деятельность учащихся
I. Орг. момент.
Здравствуйте, садитесь.
На протяжении нескольких занятий мы с вами решаем экстремальные задачи. Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось «изобретать» подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ.
Садятся.
Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
II. Лекция.
1. Суть метода.
Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма.
Если функция у = f(х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.
Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов.
Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума:
Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0.
Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у' = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.2). Значит, уравнение f '(х) = 0 дает лишь «подозрительные» на экстремум значения х.
Как же из этих «подозрительных» значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы?
Как для выделенных значений установить вид экстремума?
По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во втором- тупой.
Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли «подозрительная» точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице. х0+Δх, Δхf '(x)
f '(x)
f '(x)
f '(x)
+
-
+
-
-
+
+
-
максимум
минимум
возрастает (экстремума нет)
убывает (экстремума нет)
Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы.
Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в «подозрительной» точке х0 производная второго порядка f ''(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение.
Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример.
2. Пример решения задачи.
Пример: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади)
Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.
Площадь пластины S = xy. За независимое переменное примем х(0
/>Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).
Ученики конспектируют, задают вопросы
Слушают учителя, записывают решение в
тетрадь, задают возникающие вопросы.
III Закрепление пройденного материала.
Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.
Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.
Учащиеся берут карточки с заданиями и
Преступают к
решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю.
IV Подведение итогов
Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.
Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными
V Запись домашнего задания
Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачи своей карточки. Записы-вают.
Задачи предлагаемые учащимся.
I уровень сложности.
Задача 1.
Требуется огородить заборомпрямоугольный участок земли площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всегозабора будет наименьшей?
Решение:
Пусть х и у – линейные размерыучастка в метрах, тогда площадь участка есть />, откуда /> . длина всего забора выразитсяфункцией
/>причем по смыслу задачи x>0.
Далее имеем /> откуда /> при /> (поскольку x>0). Если 0; если же x>14, то />; поэтому x=14 есть точка минимума функции /> . в результате получаем, что x=14, у=21.
Ответ: x=14, у=21.
Задача2.
Число 81 разбить на 3 положительныхсомножителя так, чтобы два из них относились как два к одном у, а сумма трехсомножителей была наименьшей.
Решение:
Обозначим первое слагаемое за х.Тогда второе слагаемое выразится как 2х, а третье 81/2х2. Найдем суммуслагаемых S. S=3х+81/2х2. Найдем наименьшее значение функции S. Для этого найдем производную S'=3-81/х3=0 => х=3- минимальноезначение функции. Тогда второе число 6, третье число 4,5.
Задача3.
Из квадратного листа железа состороной а, надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по угламквадратики и загнув образовавшиеся кромки, чтобы ее объем был максимальным.
Решение:
Обозначим через х длину стороныоснования коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны S (а -х), а объем коробки равен S (а –х)х2 на интервале (0, а). Такимобразом задачу мы свели к следующей задачи: найти наибольшее значение функции V(x)=1/2(a — x)x2 на интервале (0, а). Находим критические точки функции: V/ (x) = ax –3/2 x2, ax – 3/2 x2=0,т.е. х=0 или х=2/3 а V(2/3а)=1/2(a -2/3a)(2/3a)2=2/27 a3. Т.к. V(0)=0 и V(a) =0, своего наибольшего значения наотрезке функция достигает при х =2/3а, т.е. max V(x) =2/27 a3.
Полученный результат означает, чтомаксимальный объем имеет коробка со стороной основания 2/3 а.
II уровень сложности
Задача 1.
В прямоугольный треугольник сгипотенузой 24 см и углом /> вписан прямоугольник, основаниекоторого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника,чтобы его площадь была наибольшей?
Решение:
По условию, АВ=24см, />, откуда />. Пусть /> и /> - линейные размерыпрямоугольника MNKL (всантиметрах). Выразим /> через />.
Из />: />; из />: />; тогда />.
Площадь прямоугольника MNKL выразится функцией
/>.
Далее имеем />, откуда /> при />. Если />, то />, а если />, то />, т.е. /> – точка максимума функции />. Итак, длинысторон искомого прямоугольника равны />см и />см.
Ответ: /> и 12 см.
Задача 2.
Из пункта А на прогулку вышел пешеходсо скоростью /> км/ч. После того как он отошел отА на 6 км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад ивозвратились вместе в А со скоростью 4 км/ч. При каком значении /> время прогулки окажетсянаименьшим?
Решение:
Время, за которое велосипедистдогонит пешехода, составит /> . До встречи пешеход находился впути /> ипрошел />. Этотже путь они преодолели обратно с одинаковой скоростью 4 км /ч и затратили время /> Тогдавремя, затраченное пешеходом на всю прогулку, выразится функцией
/>
где />>0.
Находим />
откуда /> при />=6. Легко установить, что />=6 – точкаминимума функции />.
Итак, пешеход затратит на прогулкунаименьшее время, если первоначально будет идти со скоростью 6 км/ч.
Ответ: 6 км/ч
Задача 3.
Площадь прямоугольного треугольника16 см2 какими должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадейквадратов построенных на его сторонах была наименьшей?
Решение:
Обозначим один из катетовтреугольника за х, тогда второй равен /> из теоремы Пифагора находимтретью сторону — />. Тогда искомая функция:
у =х2+ />+ х2+ />,
исследуя эту функцию находим min y=4/>. Откуда получаем искомые сторонытреугольника: 4/>; 4/>; 8.
III уровень сложности.
Задача 1.
Каков должен быть радиус основанияоткрытого цилиндрического бака, имеющего приданном объеме V наименьшую площадь основания?
Решение:
S=2πRH+ πR2, V= πR2H,/> H= />
S=2πR/>+ 2πR2 =/>+ πR2, S/=-/> +πR;
S/=0; 2πR=/>, V = πR3 />/> R =/>
Задача 2.
Найти длину боковой стороны трапецииимеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданнойплощадью, углом между боковой стороной и нижним основанием.
Решение:
Пусть высота трапеции – х.
Тогда: />
Из />: />
По условию />;
/>
Покажем, что при этих условияхпериметр минимальный />
а) пусть />, тогда />
б) пусть />,
тогда />
Т.к. />
Ответ: />.
Задача 3.
Лодка М находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки В, находящейся на берегу нарасстоянии 5 км. от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может пройти в час 5 км. К какому пункту берега должна прибытьлодка, чтобы пассажир достиг В в кратчайшее время?
Решение:
t= />
Пусть АО = х. Тогда ОВ = 5 – х и t=/>
t/(x) =/> — />, /> = />, x =4.
Ответ: 4км, 1км.
Анализ.
Часть занятий факультатива былаопробированна на учащихся 11 класса общеобразовательной школы.
Проведенные занятия показали, чтонаиболее легким для учащихся является основной метод решения экстремальныхзадач, но наибольший интерес вызывают задачи прикладного характера. Ребята судовольствием решали предложенные задачи, а дифференцированный подход позволилкаждому, самостоятельно, находить решения задач, используя различные методы иприемы.
Данный факультатив стимулируетинтерес учащихся к математике, дает возможность ребятам убедиться в том,насколько развиты их возможности и над чем необходимо поработать, формируеткультуру, интеллектуальное развитие и совершенствование.
Заключение
Задачи на максимум и минимум частовстречаются как в науке, так и в повседневной жизни человека. Своейраспространенностью они обязаны тому, что при решении задач мы находим наиболеевыгодный из имеющихся вариантов.
При подготовки дипломной работы былаизучена литература по данной теме, исторические задачи и их решения.
Также были рассмотрены алгебраическиеи геометрические подходы к решению задач на экстремум.
Во второй главе дипломнойработы рассмотрены проблемы дифференцированного обучения на уроках и приведенаразработка факультатива на тему «Решение задач на экстремум».
Целью дипломной работыявлялось изучение различных методов решения экстремальных задач и адаптация ихк школьному курсу математики. Считаю, что задачи выполнены, цель достигнута.
Библиография
1. Александров, А.Д.Геометрия 7 — 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А.Д.Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.– М.: Просвещение, 2003.
2. Александров, А.Д.Геометрия: 10 — 11 кл. [Текст] / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.–М.: Просвещение, 1998.
3. Александров, А.Д.Геометрия: 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А.Д.Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.– М.: Просвещение, 1998.
4. Александров, А.Д.Геометрия: 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А.Д.Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.– М.: Просвещение, 2003.
5. Алексеев, Н.А. Психолого-педагогические проблемы развивающегодифференцированного обучения: Монография. [Текст] / Н.А. Алексеев.– Челябинск:Факел, 1995.
6. Алимов, Ш.А.Алгебра: 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Ш.А. Алимов,Ю.М. Колягин и др.– М.: Просвещение, 2002.
7. Алимов, Ш.А.Алгебра: 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Ш.А. Алимов,Ю.М. Колягин и др.– М.: Просвещение, 2001.
8. Алимов, Ш.А.Алгебра: 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Ш.А. Алимов,Ю.М. Колягин и др.– М.: Просвещение, 2002.
9. Давыдов, В.В.Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы построения учебныхпредметов). [Текст] / В.В. Давыдов.– М.: Педагогика, 1972.
10. Иванова, Л.М.Дифференцированный подход при обучении. [Текст] / Л.М. Иванова.– М., 1998.
11. Методикапреподавания математики в средней школе. Частные методики [Текст] / Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др.– М.: Просвещение, 1977.
12. Методикапреподавания математики в средней школе: Учебное пособие [Текст] / Ю.М.Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин.– М., 1975..
13. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 — 11 кл.:Методическое пособие для учителя. [Текст] / А.Г. Мордкович.– М.: Мнемозина,2002.
14. Мордкович, А.Г.Алгебра: 7 кл.: задачник для общеобразоват. учеб. заведений. [Текст] / А.Г. Мордкович,Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская – М.: Мнемозина, 2003.
15. Мордкович, А.Г.Алгебра: 8 кл.: задачник для общеобразоват. учеб. заведений. [Текст] / А.Г. Мордкович,Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская – М.: Мнемозина, 2003.
16. Мордкович, А.Г.Алгебра: 9 кл.: задачник для общеобразоват. учеб. заведений. [Текст] / А.Г. Мордкович,Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.– М.: Мнемозина, 2003.
17. Окунев, А.Л.Развитие у учащихся способности наблюдать и анализировать [Текст] / А.Л. Окунев// Математика в шк.– 1982.– № 5.– 23С.
18. Осмоловская, И.М.Организация дифференцированного обучения в современной общеобразовательнойшколе [Текст] / И.М. Осмоловская.– М.: Ин-т практич. психологии, 1998.
19. Осмоловская, И.М.Организация дифференцированного обучения в современной общеобразовательнойшколе.: пособие для учителей [Текст] / И.М. Осмоловская.– М.: Просвещение,1997.
20. Письменный,Д.Т. Математика для старшеклассников [Текст] / Д.Т. Письменный.– М.: Айрис, 1996.
21. Погорелов, А.В.Геометрия 10-11класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А.В.Погорелов.– М.: Просвещение,1993.
22. Пойа, Д. Какрешать задачу: пособие для учителей [Текст]: пер. с англ. / под редакцией Ю.М.Гайдука.– М.: Гос. учеб. – пед. изд-во МП РСФСР, 1959.
23. Потапов, А.С.Дифференциация обучения с учетом психологических особенностей [Текст] / А.С.Потапов.– М.: Просвещение, 1989.
24. Потапов, А.С.Дифференциация обучения с учетом психологических особенностей.: пособие дляучителей [Текст] / А.С. Потапов.– М. Просвещение, 1989.
25. Саранцев, Г.И.Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студ.математических спец. пед вузов и ун-тов. [Текст] / Г.И. Саранцев.– М.: Просвещение, 2002.
26. Учебные стандартышкол России: в 2 кн. Кн.2: Математика. Естественно — научные дисциплины [Текст] / Под ред. В.С. Леднева, Н.Д.Никандрова, М.Н. Лазутовой.– М.: Сфера:Прометей, 1998.
27. Шарыгин, И.Ф.Факультативный курс по математике – 10 кл.: пособие для учителей [Текст] / И.Ф.Шарыгин.– М.: Просвещение, 1989.
28. Шарыгин, И.Ф.Факультативный курс по математике — 11 кл.: пособие для учителей [Текст] / И.Ф.Шарыгин.– М.: Просвещение, 1992.