МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математическийфакультет
Кафедратеории вероятностей
Курсовая работа
Разработка факультатива
«Оптимальный портфель ценных бумаг»
Исполнитель:
студенткагруппы H.01.01.01 М-41
АфонасьеваС.М.
Научныйруководитель:
докторфизико-математических наук,
профессоркафедры Алгебры и геометрии
МонаховВ.С.
Гомель 2004
Содержание
/>
Введение
1.План-конспект уроков
1.1Первый урок
1.1.1Введение
1.1.2Введение понятий дескретной случайной величины, вероятности с помощью задач
1.1.3Домашнее задание
1.2Второй урок
1.2.1Проверка домашнего задания
1.2.2Введение понятий математического ожидания, среднеквадратичного отклонения,ковариации
1.2.3Домашнее задание
1.3Третий урок
1.3.1Проверка домашнего задания
1.3.2Введение понятий вектор, матрица
1.3.3Умножение матриц. Свойства
1.3.4Домашнее задание
1.4Четвертый урок
1.4.1Проверка домашнего задания
1.4.2Транспонирование
1.4.3Определитель матрицы
1.4.4Домашнее задание
1.5Пятый урок
1.5.1Проверка домашнего задания
1.5.2Обратная матрица
1.5.3Домашнее задание
1.6Шестой урок
1.6.1Математическая постановка задачи
1.6.2Решение задачи
1.7Седьмой урок
Заключение
Списоклитературы
Введение
/>
Вомногих школах существуют профильные классы, и наблюдается тендениция роста ихчисла. Их цель — профориентация и качественная подготовка учащихся квступительным экзаменам в выбранные учебные заведения. Также профильные классыпозволяют сформировать теоретическую базу, необходимую для успешного обученияспециальности. Однако, некоторые классы не в полной мере выполняют эти задачи.Это может происходить из-за того, что основные дисциплины высших и средне-специальныхучебных заведений не включены в курс средней школы. Конечно, трудно, да и ненужно вводить все специальные предметы, необходимые для овладения профессией, впрограмму школьного обучения. Но некоторые краткие спецкурсы, факультативы всеже необходимы. Рассмотрим предметы десятых экономических классов: основыэкономики, основы потребительского права. Оба предмета носят развивающийхарактер и не раскрывают специфики работы экономиста. Основы экономики являетсяобязательным предметом для всех факультетов
ВУЗов,а основами потребительского права хорошо было бы владеть всем, а не толькоэкономистам. Также происходит непреднамеренное замалчивание о тесной связиэкономики и математики. В результате — у школьников может сложится упрощенноепредставление об экономике.
Целиданной работы: разработка факультатива для лицейских экономических классов потеме «Оптимальный портфель ценных бумаг». Факультатив должен показатьодин из аспектов работы экономиста, установить связь между экономикой иматематикой, способствовать профориентации учащихся, ознакомить учащихся сазами теории вероятности. Учащимся предлагается сформировать оптимальныйпортфель Тобина максимальной эффективности из нескольких ценных бумаг попредложенной формуле. Но существует разрыв между их уровнем знаний и требуемымдля вычислений. В формуле Тобина используются понятия векторной алгебры(вектор, матрица, определитель, транспонирование и др.) и ТВиМС (случайнаявеличина, математическое ожидание, дисперсия, ковариация и др.). Необходимо восполнитьданный разрыв, при этом не загружая учащихся лишней (не нужной для решенияпоставленной задачи) информацией, не растягивая общее время курса. Для этоговсе математические понятия были введены при помощи несложных задач, примеров, атолько потом сформулированны нестрогие (интуитивные) определения.
Работасодержит теоретические сведения, задачи, примеры для усвоения учащимися, атакже предлагается способ подачи информации и комментарии по проведенным урокамдля преподавателя. Поэтому она может использоваться и учителем при подготовке кзанятиям, и учениками при самостоятельном изучении темы.
1.ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКОВ
/>
1.1Первый урок
/>
1.1.1Введение
/>На финансовомрынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценныебумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Если у участникарынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты иликупить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банкотнести? Какие ц.б. купить? Малорисковые ц.б., как правило, и малодоходны,высокодоходные, как правило, более рисковые. Экономика может дать ответ на этотвопрос.
Наборценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Существуетнесколько вариантов формирования портфелей. Основные из них — портфельосторожного и портфель рискового инвесторов. В первом случае необходимоминимизировать риск, а во втором максимизировать доход (из-за этого возрастаетриск). Американский экономист Марковиц (Markovitz) в 1953г. предложилматематическую формалицацию задачи формирования оптимального портфеля, за чтопозднее получил Нобелевскую премию. Через несколько лет после исследованияМарковица другой крупнейший американский экономист Тобин (Tobin — тоже впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке естьбезрисковые бумаги (к таким с некоторой натяжкой можно отнести государственныец.б.), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается. Используяформулу, полученную Тобином, из заданных ц.б. мы сформируем оптимальныйпортфель. Но для этого нам необходимо познакомится с азами математическойстатистики и алгебры.
/>
1.1.2 Введение понятий дискретной случайной величины, вероятности спомощью задач
/>Задача1.Подбрасывают монету. Какова вероятность выпадания орла, решки?
(/>,/>)
-Какэто проверить? Необходимо подбросить монету большое число раз. Допустим 1000,подсчитать сколько раз выпал орел. И это число разделить на 1000. Получитсяоколо />. А если подкинуть монету 3раза, и все три раза может выпасть орел, получим вероятность выпадания орла 1.Поэтому необходимо выполнять как можно больше опытов.
Здесьсобытие выпадания орла равновероятно событию выпадания решки.
Отступление.Анекдот. У мужчины спросили какова вероятность того, что он встретит на улицединозавра. «Ну, не знаю. Одна миллиардная.» Тот же вопрос задалидевушке, и она ответила. «Пятьдесят на пятьдесят — или встречу или невстречу.»
— На первый взгляд логика в ответе девушки есть. А мы подойдем к вопросу снаучной точки зрения и найдем вероятность опытным путем. Проведем 1000 опытов,т.е. 1000 раз выйдем на улицу и посчитаем сколько раз встретим динозавра. Потомэто число разделим на 1000 и, скорее всего, получим ноль. А бедная девушкабудет встречать динозавра каждый второй свой поход на улицу.
Задача2.С какой вероятностью из колоды можно вытянуть туз пик с первого раза? Колода 54карты.
(/>)
Вэтом примере событие вытягивания любой одной карты равновероятно событиювытягивания любой другой карты. Т.к. карт 54, то вероятности равны /> Т.е. событияравновероятны, если вероятности того, что они произойдут равны.
Задача3.Ребенок играет с десятью буквами разрезной азбуки«М, М, А, А, А, Т, Т, Е, И, К». Найти вероятность того, что раскладывая буквы,он получит слово «математика».
Необходимопоказать как происходит выбор букв. Всего 10 букв, из них две буквы М. Нам неважно какую из них выбрать, значит вероятность, того что первой будет стоятьбуква М />. Вытаскивание буквы — этопростое событие, а нам нужно найти сложное — получени слова. Для этого намнужно, чтобы выполнились все события одновременно, т.е. их произведение.
(/>)
Задача4.Игральная кость подбрасывается три раза. /> -количество выпаданий четного числа. Какие значения принимает /> и с какой вероятностью?
/>
/>18/>38/>38/>18/>
Вызватьученика к доске. Сколько раз может выпадать четное число очков? От нуля дотрех. Нарисуем таблицу. Сколько граней на кубике с четным числом очков? Три. Асколько всего граней? Шесть. Значит с какой вероятностью при одном броскевыпадет четное число? Отношение количества четных граней к общему количествуграней. Найдем с какой вероятностью ни разу не выпадет четного числа очков. Аесли выпадет один раз четное количество очков? Это может произоти следующимобразом: при первом подбрасывании — четное, втором и третем — не четное; привтором — четное, при первом и третем — нечетное; при первом и втором — нечетное, при третем — четное. Найдем эти три вероятности и сложим их, получимвероятность того, что четное число очков выпало один раз.Очевидно, что /> - выпадаетслучайно. Будем называть ее величиной, а полученную таблицу распределения.
Заметим,что />. Это понятно, т.к. всесумма всех событий составляет полную вероятность, а она равна 1.
Задача5.Игральная кость бросается шесть раз. Найти вероятность того, что
а)единица выпала 1 раз;
б)тройка выпала два раза.
Рассказатьдля примера а). Всего у нас шесть опытов — выбрасываний кубика. Из них единицавыпадает один раз, а пять раз выпадают остальные пять цифр. Единица можетвыпасть первой, второй, третей, четвертой, пятой, шестой. Необходимо этоучесть. Делаем аналогично задаче 4.
Дляпримера б). У нас тройка выпадает 2 раза. Первой и второй, первой и третей, ит.д., пятой и шестой. Сколько этих пар? 15. а) />
б)/>
/>
Комментарий.Для эффективной работы необходимо заинтересовать учащихся, создать диалог.Можно поинтересоваться какие предметы экономического цикла они изучают,поговорить о них, рассказать какие экономические дисциплины изучают в ВУЗах.Заметить, что вся практическая экономика связана с математикой.
Вовремя решения задач все действия необоходимо проговаривать. Если решениеостается непонятым — повторить его.
Приправильном подходе материал первого урока не вызывает сложностей у учащихся.]
1.1.3Домашнее задание
Задачарешается аналогично третей.
Задача6.Человек забыл последние три цифры телефона, но, помня что они различны, набралномер наудачу. Найти вероятность того, что был набран нужный номер.
/>
Задачарешается аналогично четвертой.
Задача7.Вероятность попадания в цель при одном выстреле — 0.8. /> - число попаданий в цельпри трех выстрелах. Постоить ряд распределения.
/>
/>
1.2Второй урок
/>
1.2.1 Проверка домашнего задания
1.2.2 Введение понятий математическогоожидания, среднеквадратичного отклонения и ковариации с.в.
/>Рассмотримзадачу 4 прошлого урока. Найдем сколько раз в среднем, выпадает четное число накубике за три опыта. Кто нибудь знает? 1,5 — это понятно интуитивно. А теперьпроверим при помощи формулы. />
Величина/> называется математическиможиданием и показывает какая с.в. в среднем выпадает.
Свойствамат.ожидания.
1)/>
2)/>
3)/>
Задача1.С.в. задана рядом распределения. Найти />.
/>
/>
/>
Мат.ожидание- это величина, которая показывает какая с.в. в среднем выпадает. Но внекоторых случаях этой информации не достаточно. Например, нам известна средняядоходность акций, но для более рационального распределения средств необходимознать на сколько может изменится эта доходность. Т.е. отклонение доходности.Для этого в МС используют среднеквадратичное отклонение /> с.в. />.
/>
/>
/>
Задача2.Найдем /> для задачи 1.
/>
/>
Внашем случае математическое ожидание — это средняя ожидаемая доходность, асреднеквадратичное отклонение — это риск ц.б.
Задача3.Я задумал три цифры. Вы должны написать их в той же последовательности. /> - это число угаданных вамицифр. Какие значения принимает /> и скакой вероятностью. Найти математическое ожидание и среднеквадратичноеотклонение.
/>
/>
Длярешения нашей задачи по формированию портфеля необходимо учитывать как влияетодна с.в. на другую. Допустим у нас акции нефтедобывающих компаний двух видов.Если цены на нефть упадут, то доходность снизится у обеих ц.б. А если у насц.б. Лукойл и МТС, то падение цен на нефть слабо отразится на доходностькомпании связи. Реже встречаются случаи, когда падение цен одной ц.б. влечет засобой рост цен другой. В экономике две ц.б. у которых происходит одновременныйрост называются ц.б. с прямой корреляционной зависимостью. Если одна ц.б.падает в цене, а другая растет, то это обратная корреляционная зависимость.Если же изменение цен одной не влечет измененение цен другой, то это бумагиназывают некоррелированными.
Очевидно,нам придется вводить еще одну численную характеристику с.в.- ковариацию. Пустьданы с.в. /> и />.
/>
/>
Ковариация/> показывает зависимостьс.в. />. Точнее, это коффициенткорреляции показывает зависимость с.в. /> -коффициент кореляции с.в./> и />. Он всегда меньше илиравен единице. Причем если />, тос.в. связаны линейной зависимостью. Если />,то с.в. независимы.
Принехватке времени о коэффициенте корреляции можно не рассказывать, т.к. прирешении поставленной задачи он не используется. Однако, он полезен длясамоконтроля (/>)
Задача4.Случайные величины заданы таблицей распределения. Наити их ковариацию икоэффициент корреляции.
/>
/>/>
Привведении дисперсии и ковариации необходимо записать основную формулу черезмат.ожидание. Вызвать ученика к доске, и направляя его получить формулы удобныедля использования на практике. При этом необходимо опираться на свойстваматематического ожидания, проговаривая или предлагая вспомнить подходящееученикам. По ходу урока приходится неоднократно проговаривать что такое с.в.,что показывает среднеквадратичное отклонение, коэффициент корелляции. Сложностивозникают с тем, что школьники не привыкли обозначать математические величиныдвумя буквами. В этом случае можно провести аналогию между функцией и математическиможиданием, показать что /> - этоаргумент, а /> - это функция, котораяпереводит набор чисел /> в число />.
Какпоказали проведенные уроки, данный урок занимает 2 академических часа. ]
/>
1.2.3Домашнее задание
Задача5.Случайные величины заданы таблицей распределения. Наити их ковариацию икоэффициент корреляции.
/>
/>/>
1.3Третий урок
/>
1.3.1Проверка домашнего задания
1.3.2Введение понятий вектор, матрица
/>Пусть дан векторна координатной плоскости. Как его можно записать? (Координатами (х, у).) А впространстве? (x,y,z)А в каком пространстве живем мы? (4, (x,y,z,t)). Пара чисел(x,y) называется двухмерным вектором, тройка чисел (x,y,z) — трехмерным,(x,y,z,t)- четырехмерным. Их вводят для краткости записей и рассматривают какодин элимент. Вектора можно обозначать, опять же для краткости. />
Вобщем виде можно вектор можно записать так />.Это n-мерный вектор. Вектора бывают и бесконечномерные, но их мы рассматриватьне будем.
Задание1.Приведите примеры векторов.
Какимобразом записывают результаты футбольных матчей? (При помощи таблиц.)
Пустьв группе В играли пять команд по круговой системе. Результаты игры отображены втаблице.
/>
Где2- победа,1- ничья,0- поражение.
Этутаблицу также можно назвать матрицей.
Опр.Таблицу вида
/>
будемназывать матрицей размерности />.
Длякраткости будем обозначать матрицы большими латинскими буквами.
Векторявляется частным случаем матрицы при m=1.
/>
1.3.3Умножение матриц. Свойства
/>Как сложить двематрицы?
Опр.Суммой матриц /> и /> размерности /> называется матрица /> размерности />.
Пример.
/>
Каксуммировать матрицы вы уже знаете. Теперь придумайте как умножить матрицу начисло.
Опр.Произведением /> матрицы /> размерности /> и числа /> называется матрица /> размерности />.
Пример.
/>
Кромевведенных операций нам понадобится умножение матриц.
Опр.Произведением матриц /> и /> называется матрица />, где />
Необходимопоказать и озвучить практический способ умножения матриц: строка умножается настолбец. Берем первую строку матрицы А, ставим ее вертикально напротив первогостолбца матрицы В, умножаем элементы этой строки и столбца, которые стоятнапротив др.др., складываем произведения. Это первый элемент матрицы С. Теперьтаким же образом умножаем эту строку на второй столбец — получаем второйэлемент первой строки матрицы С. И т.д. Получим первую строку новой матрицы.Для того, чтобы получить вторую строку, проделываем тоже самое со второйстрокой матрицы А.
Пример.
/>
/>
Задача1.Выполнить умножение.
/>
/>
1.3.4Домашнее задание
Задача2.Выполнить умножение.
/>
1.4Четвертый урок
/>
1.4.1Проверка домашнего задания
1.4.2Транспонирование
Опр.Замена строк матрицы на ее столбцы (а стольбцов на строки) называетсятранспонированием. Обозначается />.
/>
/>
Пример.
/>
/>
/>
1.4.3Определитель матрицы
Поставимкаждой матрице по определенному правилу в соответствие число и назовем егоопределителем матрицы.
Например:
/>
/>
Такимобразом вычисляют определители двхмерной и трехмерной матриц. Эта схемавычисления называется мнемоническим правилом. Для четырехмерной матрицы неудобно составлять такие схемы. Существует строгое правило нахожденияопределителя матрицы n-го порядка. Но мы будем работать только с трехмернымиматрицами.
Необходимообратить внимание на то, что матрица пишется в круглых скобках, а определительматрицы — в прямых.
Задача1.Найти определители матриц А и /> изПримера.
Обратитьвнимание, на то что определитель матрицы не совпадает с определителемтранспонированной матрицы.
Задача2.Найти определители матриц.
/>
/>
/>
1.4.4Домашнее задание
Задача3. Найтипроизведение матриц А и В из задачи 2. Вычислить определитель полученнойматрицы.
Задача4. Найтизначение выражения />. Матрицы иззадачи 2.
Необходимосказать, что последовательность выполнения операций, такая же как и для чисел,но первым выполняют транспонирование.
1.5Пятый урок
/>
1.5.1Проверка домашнего задания
1.5.2Обратная матрица
Опр.Если />, то /> обозначают /> и пишут />.
Где/> - матрица с единицами наглавной диагонали и нулями на остальных местах. Показать главную диагональ.
Длятого, чтобы найти обратную матрицу нам необходимо найти т.н. алгебраическоедополнение.
Пустьдана матрица
/>
число
/>
называетсяалгебраическим дополнением элемента />.Алгебраическое дополнение можно найти для любого элемента матрицы.
Опр.Алгебраическим дополнением элемента /> называетсяпроизведение /> на определитель матрицыпосле вычеркивания из нее i-й строки и j-го столбца.
Теперьможно найти и обратную матрицу.
/>
Задача1.Найти обратную матрицу.
/>
3.5.3Домашнее задание
Задача1.Найти обратную матрицу.
/>
1.6Шестой урок
/>
1.6.1Математическая постановка задачи
/>Итак, имеем дверисковые ц.б., заданные таблицей роста/падения цен и одну безрисковую, заданнуюпроцентом годовых. Необходимо сформировать портфель максимальной эффективности.
/>
Доходностьбезрисковой ц.б. />.
Еслисегодня стоимость портфеля />, ачерез год она окажется равной />, то /> естественно назватьдоходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля — этодоходность на единицу стоимости.
Аналогичнодоходности всего портфеля находится доходность каждого вида акций. Т.е. намнужно составить таблицу доходностей для ц.б. первого и второго видов. Например,для ц.б. первого вида доходность за первый год будет />, за второй год — />. Таким образом находимдоходности за все 12 лет для каждого вида акций. Получаем таблицу с двумястолбцами и 11 строками.
Какправило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ееслучайной величиной. Найдем среднюю ожидаемую доходность /> и среднее квадратичноеотклонение /> И назовем ихсоответственно эффективностью и риском i-ой ценной бумаги. Эффективностьюпортфеля назовем />. Т.е.математическое ожидание доходности портфеля.А величину /> (1) (где />-ковариация i-ой и j-ойс.в.) назовем риском рисковой части портфеля портфеля.
Обозначим/> - доля безрисковой ц.б. впортфеле. /> - вектор долей первой ивторой ц.б. />. Тогда естественно, должновыполнятся равенство />. Пусть /> -ожидаемая эффективностьбумаг. V- матрица /> ковариацийценных бумаг. /> -риск портфеля.
Используявведенные обозначения, поставим математическую задачу. Как отмечалось выше: />. Если возвести обе частиравенства (1) в квадрат и записать в матричной форме, то получим />. И теперь основное:необходимо добиться максимального значения эффективности портфеля, т.е. />.
/>
/>
1.6.2Решение задачи
/>Решение задачинайдем по формуле:
/>.
Врезультате проделанных операций получим двухмерный вектор — доли рисковых акцийв портфеле. Доля безрисковой акции в портфеле найдется из равенства />.
Находитьрешение поставленной задачи удобнее разбив формулу по действиям. Если учащиесяхорошо усвоили предыдущий материал, то вычисления не вызовут ни какихзатруднений, т.к. не содержат нового материла.
1.7Седьмой урок
/>
Напомнитьрезультаты постановку математической задачи. Записать результ, к которомупришли на прошлом уроке. Продолжить решение.
Долиакций могут оказаться больше 1, или даже отрицательными. Если доля акцииотрицательная — необходимо пройзвести операцию short sale. Суть этой операциисостоит в следующем: инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-товремя поставить бумаги i-го вида (вместе с доходом, который они принесли бывладельцу за это время). За это он сейчас получает их денежный эквивалент. Этиденьги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальнымрешением ц.б. Т.к. ценные бумаги других видов более эффективны, то инвестороказывается в выигрыше. Можно обойтись и без операции short sale, еслиинвестору доступны займы денежных средств по безрисковой ставке. Тогда налагаютдополнительное условие />
Заключение
/>
Врезультате проделанной работы был составлен факультативный курс по теме«Оптимальный портфель ценных бумаг». Он позволяет учащимся профильныхэкономических классов глубже понять суть работы экономистов, увидеть теснуюсвязь между математикой и экономикой, сделать профессиональный выбор. В ходефакультативных занятий школьники знакомятся с основными понятиями ТВиМС.
Факультативсодержит только необходимые для решения поставленной задачи (формированиеоптимального портфеля Тобина максимальной эффективности из предложенных ценныхбумаг) понятия. Однако, изученный материал позволяет сформировать у учащихсяпредставление о ТВиМС.
Факультативрасчитан на 10, 11 профильные математические и экономические классы с высокимуровнем успеваимости. Проведенные в 10 экономическом классе МПГ №56 г.Гомелязанятия показали, что школьники способны усаваивать данный материал. Однаковремя уроков 2-6 необходимо увеличить до 2 академических часов.
Литература
/>
1.Малыхин В.Н. «Оптимальный портфель и пакеты» м.: ОЛМА-ПРЕСС. 2000
2.Малыхин В.Н. «Финансовая математика» М.: ИНФРА-М, 1999
3.Маршалл Дж. «Финансовая инженерия» М.: ИНФРА-М, 1998
4.Малинковский Ю.В. Лекции по ТВиМС
5.Бузланов А.В. Лекции по алгебре и теории чисел
6.Журнал «Математика в школе», 1975-1985