Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

Введение
 
Глава I. Вероятностно — статистическая линия вбазовом школьном курсе математики
1.1 Статистическое мышление и школьное математическое образование
1.2 Психолого-педагогические аспекты изучения теории вероятностей всредней школе
1.3 Тематическоепланирование к учебникам Федерального комплекта
Глава II. Методические рекомендации преподаванияоснов теории вероятностей в средней школе
2.1 Вероятностьслучайных событий
2.2 Дискретностьпространств элементарных событий
2.3 Классическоеи статистическое определение вероятности
2.4 Алгебрасобытий
Глава III.Факультативный курс «Элементы теории вероятностей» для 10 – 11 классов
3.1 Внекласснаяработа по математике, факультативные занятия 2. Случайные события. Урок –лекция
3.2 Классическоеопределение вероятности. Уроки-практикумы
3.2.1Лабораторная работа
3.2.2Практическая работа
3.3 Геометрическаявероятность. Урок – семинар
3.4 Основытеории вероятностей. Урок – консультация
3.5 Урок – игра«Восхождение на пик знаний»      
Заключение
Списоклитературы
Приложение

Введение
 
До недавнего времени Россияоставалась одной из немногих стран с развитой системой образования, гдевероятностно-статистические знания практически всегда оставались за пределамишкольного обучения. С наступлением 21 века мы окончательно убедились внеотвратимости пришествия в среднюю школу стохастики, изучающей случайные явления.
Идея введения в школьнуюматематику элементов теории вероятностей и статистики является привлекательнойдля наших педагогов. С другой стороны, большинство из них слабо представляютсодержательно-методические основы обучения стохастики в школе, по этой причинемногие с настороженностью и недоверием относятся к данному нововведению.
Поэтому в настоящее времяодной из наиболее актуальных проблем методики преподавания математики являетсяпроблема введения в школьный курс вероятностно – статистической линии, котораядавала бы возможность познакомить всех учащихся с миром случайного, с самыхранних лет формировать у них умение накапливать систематизировать представленияо свойствах окружающих явлений, в большинстве своем имеющих стохастическуюприроду.
 К особенностям новой линииможно отнести то, что в ней много эмпирики и рассуждений, мало формул,отсутствуют громоздкие вычисления, открыт большой простор для творческойдеятельности учащихся.
Эта линия требует своеобразныхформ, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересамучащихся: дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметнойдеятельности.
Изучение вероятностно –статистического материала должно быть направлено на развитие личностишкольника, расширять возможности его общения с современными источникамиинформации, совершенствовать коммуникативные способности и уменияориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и приниматьобоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениямио закономерностях в массе случайных фактов.
Сегодня мы имеем первыйкомплект учебников для массовой школы, содержащие разделы по теориивероятностей. В связи с этим многие учителя оказались в нелегком положении.Большинство из них не помнит даже самих «элементов», не говоря уже о какой – тоспециальной методике их преподавания в школе, направленной на развитие особоготипа мышления и формирования недетерминированных представлений.
 Поэтому остро встает проблемаметодической готовности учителей, способных к успешной реализациивероятностно-статистической линии в школьном курсе математики.
Объектом исследования является процесс обучения элементамтеории вероятностей на факультативных занятиях в средней школе.
В качестве предмета исследованиявыступает методика преподавания основ теории вероятностей в общеобразовательнойшколе.
Цель исследования – теоретически обосновать и содержательно представитьфакультативной курс «Элементы теории вероятностей» для 10-11 классов среднейшколы.
Исходя из цели исследования,были поставлены следующие задачи исследования:
1) проанализировать современные тенденции в исследованиях,посвященных вопросам введения в школьную математику элементов теориивероятностей и математической статистики;
2) представить практический материал – решение задач поданной теме, с выработанными методическими указаниями и рекомендациями;
3) разработать структуру, содержание и методику проведенияфакультативного курса «Элементы теории вероятностей» в старших классах среднейшколы;
4) провести апробацию.
В ходе решения поставленныхзадач использовались следующие методы исследования:
1) изучение и анализ учебно–методической ипсихолого-педагогической литературы по проблеме исследования;
2) теоретический анализ проблемы, определение основныхположений исследования;
3) обобщение и анализ теоретико-методического материала;
4) решение задач по данной теме;
5) экспериментальное преподавание (апробация) направленноена выявление эффективности предлагаемой методики проведения факультативногокурса «Элементы теории вероятностей» для 10-11 классов общеобразовательнойшколы.

Глава I. Вероятностно- статистическая линия в базовом школьном курсе математики
1.1 Статистическое мышление ишкольное математическое образование
 
Каждая эпоха предъявляет свои требования кматематической науке и математическому образованию. В настоящее время все болеегромкими становятся голоса методистов, которые ратуют за усиление вероятностно– статистической линии в школьном курсе математики, начиная с младших классовсредней школы. Но многие учителя математики уже долгое время не сталкивались свопросами комбинаторики, теории вероятностей, статистики, т. е. со всем тем,что входит в вероятностно – статистическое направление математики. Онинуждаются в расширении своих знаний по углубленным вопросам. Самым авторитарнымисследователем в нашей стране в области теории вероятности и математическойстатистики был Борис Владимирович Гнеденко (1912-1995). Он был автором многихстатей в журнале «Математика в школе».
Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будетпринадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже послетого, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно,потому что постоянно пополняются наши научные знания и подходы к объяснениюокружающих нас явлений. Несомненно, что содержание школьного преподаваниядолжно изменяться с прогрессом науки, несколько отставая от него и даваявозможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые впсихологическом и методическом отношении формы.
Однако считать, что содержание и характер школьногокурса той или иной науки должны полностью определяться состояниемсоответствующей научной отрасли знания и господствующими в ней представлениямио центральных ее понятиях, было бы грубейшей ошибкой. Подавляющее большинствошкольников не станут специалистами в данной области науки. Из них выйдут какпредставители иных научных интересов и практических областей деятельности, таки представители свободных профессий — писатели, артисты, художники. Именнопоэтому для всех учащихся необходимо получить в школе сведения обустановившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний, акроме того умения логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Школа должнадать представления о том, что наука и ее концепция тесно связаны с практикой,из которой она черпает постановки своих проблем, идеи, а затем возвращаетпрактике новые возможности решения основных ее проблем, создает для нее новыеметоды. Без этого образование будет неполноценным, оторванным от жизни исоздаст для воспитанников школы многочисленные трудности. Вот почему насодержание школьного образования должны оказывать широко понятые требованияпрактики наших дней и обозримого будущего.
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы,банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммысоциологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремитьсясделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуютпредставлений о вероятности. Даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что«завтра ожидается дождь с вероятностью 40%».
Полноценное существование гражданина в сложном,вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом наполучение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом наосознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выборы ипрогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивойинформации.
Мы должны научить детей жить в вероятностнойситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию,принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайнымиисходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантностьвозможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности,способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, снеизбежностью требует развития вероятностно – статистического мышления уподрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсематематики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой иэлементами математической статистики, с формированием комбинаторного ивероятностного мышления [12]. Однако не только социально – экономическаяситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностногомышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научнойкартины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология,лингвистика, философия, весь комплекс социально – экономических наук построеныи развиваются на вероятностно – статистической базе. Подросток не отделен отэтого мира глухой стеной, да и в своей жизни он постоянно сталкивается свероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизниребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий«вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшегоиз нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех,представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальныхжизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересовподростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курсшкольной математики.
Сегодня в науке фундаментальное значение приобрелопонятие случайного и уверенно пробивает себе дорогу отыскания оптимальныхрешений. Особенно назрела необходимость введения в школьное преподаваниеконцепции случайного, и это вызывается не только требованиями научного ипрактического порядка, но и чисто методическими соображениями [11]. В то жевремя классическая система российского образования основана, прежде всего, наотчетливо детерминистских принципах и подходах и в математике, и в другихпредметах. Если не снять, то хотя бы ослабить противоречие между формируемой встенах школы детерминистской картиной мира и современными научнымипредставлениями, базирующимися на вероятностно – статистических законах,невозможно без введения основ статистики и теории вероятностей в обязательноешкольное образование. Современная концепция школьного математическогообразования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, егоинтересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания,разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения втребованиях к математической подготовке ученика. Одновременно само знакомствошкольников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белымсуществует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а междуоднозначным «да» и «нет» существует еще и «быть может»(причем это «быть может» поддается строгой количественной оценке!),способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на урокематематики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью.
Согласно данным ученых-физиологов и психологов, атакже по многочисленным наблюдениям учителей математики падение интереса кпроцессу обучения в целом и к математике в частности. На уроках математики восновной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и натрадиционном материале, у ученика зачастую возникает ощущение непроницаемойстены между излагаемым абстрактно-формальными объектами и окружающим миром.Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть впоследнее время, — стохастическая линия, изучение которой невозможно без опорына процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка,способна содействовать возвращению интереса к самому предмету«математика», пропаганде его значимости и универсальности. Наконец, концепцияоткрытого общества, процессы европейской и мировой интеграции неразрывносвязанны с взаимным сближением стран и народов, в том числе и в сфереобразования. Россия, имея одну из самых мощных и признанных в мире традицийшкольного математического образования, одновременно остается едва ли ниединственной развитой страной, где в основном школьном курсе математики нетоснов статистики и теории вероятностей [7]. Наметившиеся в нашей странетенденции экономических преобразований позволяют предположить, что в самом недалекомбудущем обществом будут востребованы организаторы и участники производстванового типа, которыми должны будут стать многие выпускники школ. Стольнеобходимую для их деятельности стохастическую культуру надо воспитывать сранних лет. Не случайно в развитых странах этому уделяется большое внимание: сэлементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первыхшкольных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно –статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся вповседневной жизни.
Число примеров подходов к изучению вероятностно –статистического материала в средней школе можно было бы привести много,поскольку за последние два десятилетия практически каждая страна ввела этотматериал в школьную программу и предложила один или несколько подходов к егоизучению. Интересные работы появились в Польше, Швеции, Израиле, Франции.Проблемы, связанные с созданием системы изучения вероятностно – статистическогоматериала в средней школе, в нашей стране освещается недостаточно. Анализизвестных нам подходов к изучению элементов теории вероятностей и статистики всредних школах различных стран позволяет сделать следующие выводы:
— в подавляющем большинстве стран этот материалначинает изучаться в начальной школе;
— на протяжении всех лет обучения учащиесязнакомятся с вероятностно – статистическими подходами к анализу эмпирическихданных, причем большую роль при этом играют задачи прикладного характера,анализ реальных ситуаций;
— в процессе обучения большая роль отводитсязадачам, требующим от учащихся работы в маленьких группах, самостоятельногосбора данных, обобщение результатов работы групп, проведение самостоятельных исследований,работ практического характера, постановки экспериментов, проведение небольшихлабораторных работ, подготовки долгосрочных курсовых заданий – все этодиктуется своеобразием вероятностно – статистического материала, его теснойсвязью с практической деятельностью;
— изучение стохастики как бы распадается навероятностную и статистическую составляющие, тесно связанные между собой, вомногих странах они дополнены небольшим фрагментом комбинаторики.
В нашей стране уже предпринимались неудачные попыткивведения в школьный курс математики понятие вероятности события. В силуизолированности и инородности его по отношению к традиционному школьному курсуэтот материал был вскоре изъят из программ и учебников.
Некоторый опыт обучения элементам теориивероятностей накоплен в школах с углубленным изучением математики, но и он лишьподтверждает тот факт, что попытки решить проблему путем введения втрадиционный курс математики нового изолированного раздела обречен на провал.Изучение элементов теории вероятностей как замкнутого раздела программы,относящегося к «чистой», теоретической математике, полностью дискредитировалосебя в глазах педагогов и привело к тому, что некоторые из них вообще выражаютсомнения в том, что ее можно и нужно изучать в средней школе. В тоже времяпреподаватели физики, химии, биологии ощущают острую потребность в том, чтобывыразить основные закономерности этих наук на языке вероятностных понятий. Ведьсовременное состояние человеческих знаний о мире позволяет считать, чтослучайный характер присущ основным (базисным) явлениям микромира [9].
Появление в школьной программе вероятностно –статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностнойприродой большинства явлений окружающей действительности, будет способствоватьусилению ее общекультурного потенциала, возникновению новых, глубокообоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математическогообразования.
При отборе материала для новой лини школьного курсанеобходимо учитывать общеобразовательную значимость и мировоззренческийпотенциал предлагаемых тем. Важно правильно оценить то, какие знания нужнысовременному человеку в повседневной жизни и деятельности, что из нихпотребуется ученику для изучения других школьных предметов, для продолженияобразования, какой вклад могут внести эти знания в формирование различныхсторон интеллекта ученика. Необходимо позаботиться так же о том, чтобыпредложенное содержание обеспечивало возможности органичного сопряжения новогоучебного материала с традиционным, способствовало развитию внутрипредметныхсвязей.
Ив нашей стране сегодня проходит неизбежный процесс вхождения стохастики какравноправной составляющий в обязательное школьное математическое образование.
Всегосударственные образовательные документы последних лет содержатвероятностно-статистическую линию в курсе математики основной школы наравне стакими привычными линиями, как «Числа», «Функции»,«Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры» и т.д.
1.2 Психолого-педагогическиеаспекты изучения теории вероятностей в средней школе
 
Исследование психологов (Ж.Пиаже, Е. Фишбейн)показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, косознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. О томже говорят и эксперименты, проведенные Е. А. Бунимович (Москва, один из авторовучебников, содержащих элементы стохастики) на базе московской гимназии № 710,ярославской гимназии № 20 и калужской гимназии № 2. В экспериментальныхисследованиях вероятностные представления школьников старших профильныхклассов, приступивших к углубленному курсу математики, но еще не изучавшихвероятностные разделы. Результаты исследования недвусмысленно говорят о том,что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе необеспечивает развитие вероятностного мышления и не избавляет даже оттривиальных вероятностных предрассудков и заблуждений [7].
Приведем один пример. Учащимся задавали вопрос:
" На одной карточке спортлото (6 из 49)зачеркнуты номера
1, 2, 3, 4, 5 и 6,
а на другой
5, 12, 17, 23, 35 и 41.
Как вы думаете, выигрыш какого набора чисел болеевероятен?".
Из всех участников эксперимента 22% старшеклассниковответили, что вероятнее второй карточки. Интересен практически одинаковый ответдвух школьников разных школ (Москва и Ярославль): " Вообще – то оба случаяравновероятны, но второй случай более вероятен", выражающий очевидноепротиворечие между бытовыми и научными представлениями школьников.
Любопытно, что профильные химико-биологическиеэкономические классы, где курс математики существенно глубже базового, ноотсутствует вероятностно – статистический материал, дают почти такой жерезультат (до 30 % ответов – «выигрыш второго набора более вероятен»). Несильно отличаются от приведенных данных и результаты ответов на аналогичныйвопрос в тесте, предложенном в 1998 году учителям математики на курсах повышенияквалификации в Москве.
Отметим кстати, что известный любительматематических игр и парадоксов Мартин Гарднер по аналогичному поводу написал,что на самом деле выгодней вычеркивать комбинации 1, 2, 3, 4, 5 и 6 или другуюже «регулярную» комбинацию. Шансы на выигрыш те же, а вот сумма при выигрышеможет оказаться существенно больше, так как едва ли кому – то придет в головузачеркнут номера порядка с 1 по 6, и потому в случае удачи не придется ни с кемделить призовой фонд.
В экспериментальной гимназии № 710 Е. А. Бунимовичембыла проведена экспериментальная работа по преподаванию начальных основвероятности в разных возрастных группах: во 2 –6 классах на занятиях развитиятворческих способностей; в 5 – 6, 8- 9 и 10- 11 – на уроках математики.
Опыт показал, что в возрасте начальных классов ещемногое в представлениях учеников о мире недостаточно сформировано, не хватает иматематического аппарата (прежде всего – простых дробей) для объясненийпредставлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики,таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики, систематическийперебор возможных вариантов на небольшом множестве предметов возможно и даженеобходимо вводить в курс начальной школы [6].
Одновременно было обнаружено, что начинать изложениеоснов теории вероятностей в старших классах – малоэффективно. Наработанное кэтому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированноетрадиционным курсом математики, желание усвоить на уроке прежде всего некоторыйнабор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формированиевероятностных представлений формальным выучиванием формул комбинаторики ивычисления вероятности по классической модели Лапласа.
В тоже время, как уже было сказано, обсуждение накачественном уровне вероятностных ситуаций с учащимися старших математическихклассов, усвоившими достаточно формальный курс основ теории вероятностей,показывает, сколько мало знание формул комбинаторики и классическойвероятностной модели способствует развитию вероятностной интуиции изживаниютрадиционных вероятностных предрассудков.
Как известно, опыт преподавания основ теориивероятностей в школе в период реформы математического образования 60 – 70 гг.на абстрактно – формальном уровне, в традиционной схеме урока дал в основномнегативный результаты и привел к изъятию этого материала из школьной программы.Материал оказался сложен, формален, плохо усваивался .
Описанная ситуация во многом схожа с известнымипроблемами преподавания геометрии в школе, где сегодня можно считать ужеобщепризнанной необходимость периода «наглядной геометрии» и предварительнойработы с учащимися по формированию пространственных представлений до изучениясистематических курсов планиметрии и стереометрии [7]. Работы психологов, накоторые мы уже ссылались, также утверждают, что наиболее благоприятен дляформирования вероятностных представлений возраст 10 – 13 лет, что примерносоответствует 5- 7 классу российской школы. При этом очевидно, что связь сосложностью уже исходных понятий классической теории вероятностей, в 5- 7 классеабсолютно невозможны аксиоматический подход к понятию вероятности, а часто илокальная дедукция при изложении основ теории вероятностей.
Экспериментальная работа в 5 и 6 классах попропедевтики вероятностных представлений, проведению экспериментов сослучайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показал,что этот незакрепленный формальными «обязательными результатами» период даетхорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений ребят. Cэлементами статистического мышления необходимо начинать знакомить в школе вряде предметов, а не только в курсе математики. Нужно сделать так, чтобы науроках ботаники и зоологии, астрономии и физики, русского языка и истории времяот времени в нужном месте были сделаны разумные замечания о случайностиявлений, которые изучает данная научная дисциплина. Естественно, что математикапри этом не может оставаться в стороне. Самые первые представления о миреслучайного дети получают из наблюдений за ними в окружающей жизни. При этомважные характерные черты наблюдаемых явлений проясняются в ходе сборастатистических сведений и наглядного их представления. Умение регистрироватьстатистические сведения и представлять их в виде простейших таблиц и диаграммуже само по себе характеризует наличие у школьника некоторого статистическогоопыта. В нем находят отражение самые первые, пусть еще не до конца осознанныепредставления о неоднозначности и изменчивости реальных явлений, о случайных,достоверных и невозможных результатах наблюдений, о конкретных видахстатистической совокупности, их особенностях и общих свойствах. Эти умения даютвозможность формировать правильное представление не только о явлениях с ярковыраженной случайностью, но и о таких явлениях, случайная природа которых неочевидна,и затушевана многими осложняющими восприятие факторами.
В быту и на работе выпускник средней школы постоянносталкивается с необходимостью получения и оформление некоторых сведений. Науроках физики, химии, биологии при выполнении лабораторных и практических работученик должен уметь оформить результаты наблюдения и опытов; на урокахгеографии истории, обществоведения ему необходимо пользоваться таблицами исправочниками, воспринимать информацию, представленную в графической форме. Этиумения необходимы каждому человеку, т. к. со статистическим материалом,представленном в различной форме, он постоянно встречается во всех источникахинформации, рассчитанных на массовую аудиторию, — в газетах, журналах, книгах,по телевидению и т. п.
Понимание характера изучаемого стохастическогоявления связано с умением выделять главное, видеть особенности и тенденции прирассмотрении таблиц, диаграмм и графиков. Простейшие навыки при «чтении» таблици графиков позволяют подметить некоторые закономерности наблюдаемых явлений,увидеть за формами представления статистических данных конкретные свойстваявлений с присущими им особенностями и причинными связями.
Типические черты изучаемых явлений, их общиетенденции могут быть выявлены с помощью средних статистических характеристик.Умение пользоваться ими характеризует наличие у учащегося представлений,связанных с центральными тенденциями в мире случайного. Понимание смысла самыхпростых средних показателей, таких, как среднее арифметическое, необходимокаждому ученику.
Стохастический характер окружающих явлений не можетбыть раскрыт без понимания степени изменчивости. Поэтому возникаетнеобходимость в количественной оценке разброса статистических данных, котораяспособствует более глубокому пониманию сущности явлений и процессов, даетвозможность сравнивать статистические совокупности по степени их вариации.
Одним из важнейших компонентов стохастическогомышления является понимание устойчивого в мире случайностей, упорядоченностислучайных фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно воспринимаемые в жизниотдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всякихвзаимосвязей. Центральное место занимают здесь представления, связанные сразличными экспериментальными представлениями закона больших чисел. Самыйпростой и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности како «теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении числа наблюдений.При этом понимание взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом– частотой приводит осознанию статистической устойчивости частоты. В то жевремя важную роль играет и понимание того, что количественная оценкавозможности наступления некоторого события может быть осуществлена допроведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом,приходим к вычислению вероятностей в классической схеме.
В том случае, когда при обучении математикевероятностная интуиция не развивается, вместо верных представлений и концепцийучащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения.
Одной из важных целей изучения вероятностно –статистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции,формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь вжизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы ипредложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностяхподтверждения той или иной гипотезы и т. п. представление о вероятности,которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения,отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителемпредставлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяетнаиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.
Отметим при этом, что равно неэффективны и дажеопасны как ранняя формализация, так и другая крайность, получившая сейчасотражение в некоторых экспериментальных программах – бесконечные рассуждения овероятности вне курса математики, вне построения вероятностных моделей [6].
1.3 Тематическое планирование к учебникамФедерального комплекта
 
В Министерстве образования Российской Федерации на2002/03 учебный год принят новый Федеральный комплект учебников по различнымпредметам.
Одним из таких комплектов, содержание, которогоотобрано с учетом современных тенденций развития математического школьногообразования – учебно-методический комплект по математике 5 – 6–х классов подредакцией Г. В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, для 7 – 9-х под редакцией Г. В.Дорофеева. Принципиальными особенностями курса является: усиление внимания карифметике и формировании вычислительной культуры в ее современном понимании:более позднее начало систематического изучения алгебраического материала;введение новой для отечественной школы линии «Анализа данных», включающейкомбинаторику, элементы теории вероятностей и статистики; включение в курс 5 –6-х классов наглядной геометрии. Главная особенность методического аппарата заключаетсяв том, что в этом комплекте заложена технология уровневой дифференциации, чтопозволяет работать как в сильных, так и в слабых классах, а такжеиндивидуализировать учебный процесс в рамках одного комплекта. В комплект покаждому классу входят: учебник, рабочая тетрадь, дидактические материалы,методические пособия для учителя, в настоящее время издается сборникконтрольных работ для 5– 6-х классов.
Тематическое планирование к учебникам Федеральногокомплекта, рассмотренных выше, представим в виде таблицы:УЧЕБНИК
РАЗДЕЛ
УЧЕБНИКА
КОЛЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ
«Математика 5»
Под редакцией
Г. В. Дорофеева,
И. Ф. Шарыгина.
М.: Просвещение, Дрофа, 1998-2001.
 Таблицы и диаграммы
Чтение таблиц с двумя входами.
Использование в таблицах специальных символов и обозначений.
Столбчатые диаграммы.
8 часов
 ( 5 часов в неделю, всего – 170 часов) УЧЕБНИК
РАЗДЕЛ
УЧЕБНИКА
КОЛЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ
«Математика 6»
Под редакцией
Г. В. Дорофеева,
И. Ф. Шарыгина.
М.: Просвещение,
Дрофа, 1998-2001.
Комбинаторика
Решение комбинаторных задач. Применение правила умножения в комбинаторике.
Вероятность случайных событий
Эксперименты со случайными исходами. Частота и вероятность случайного события.
6 часов
9 часов
 (5 часов в неделю, всего – 170 часов)
«Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных»
Под редакцией
Г. В. Дорофеева,
С. Б. Суворова,
Е. А. Бунимович и др.
М.: Дрофа, 1999-2001.
Частота и вероятность
Частота случайного события.
Оценка вероятности случайного события по частоте.
Вероятностная шкала.
I вариант:
6 часов;
II вариант:
7 часов
I вариант:
( 1 четверть – 5 часов в неделю;
2, 3, 4–3 часа в неделю, всего120 часов)
II вариант:
(4 часа в неделю, всего 136 часов) УЧЕБНИК
РАЗДЕЛ
УЧЕБНИКА
КОЛЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ
«Математика 8: Алгебра. Функции. Анализ данных»
Под редакцией
Г. В. Дорофеева,
С. Б. Суворова,
 Е. А. Бунимович и др.
М.: Дрофа, 2000, 2001.
Вероятность и статистика
Статистические характеристики ряда данных: мода, медиаина, среднее арифметическое, размах. Таблица частот.
Вероятность равновозможных событий.
Классическая формула вычисления вероятности события и условия ее применения.
Геометрическая вероятность.
I вариант:
5 часов;
II вариант:
7 часов
I вариант:
(3 часа в неделю, всего-102 часа)
II вариант:
(1 полугодие — 4 часа в неделю;
2 полугодие – 3 часа в неделю, всего — 119 часов)
«Математика 9: Алгебра. Функции. Анализ данных»
Под редакцией
Г. В. Дорофеева,
 С. Б. Суворова,
 Е. А. Бунимович и др.
М.: Дрофа, 2000, 2001.
Статистические исследования
Генеральная совокупность и выборка.
Ранжирование данных.
Полигон частот.
Интервальный ряд.
Гистограмма.
Выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
I вариант:
6 часов;
II вариант:
8 часов
I вариант:
(3 часа в неделю, всего-102 часа)
II вариант:
(4часа в неделю, всего-136 часов)
 

Упомянутые книги написаныживым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт учащихся.В них предусмотрена разнообразная практическая деятельность читателя. Школьникиучатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала накачественном уровне, а количественные подсчеты вероятностей происходит позднее.
Попытаемся построитьвероятностно – статистическую линию в курсе математики основной школы вследующей главе в рамках рассмотренных учебных комплектов.
методика школа факультатив теориявероятностей

Глава II.Методическиерекомендации преподавания основ теории вероятностей в средней школе
 
2.1 Вероятность случайных событий
В соответствии с упомянутыми учебниками (глава I,§ 3) в нашем курсе вводится ряд понятий теории вероятностей. Рассматриваютсяслучайные, достоверные, невозможные, более вероятные, менее вероятные,маловероятные, равновероятные события. Новые термины связываются с известнымииз жизни словами – часто, редко, всегда, никогда, «это очень возможно», «этообязательно произойдет», «это маловероятно», «это никогда не случится» идругими, определяющими частоту случайных событий.
Курс начинается с того, что вводится базовое понятиеслучайное событие. Это такое событие, которое при одних и тех жеусловиях может произойти, а может не произойти. Например, купив лотерейныйбилет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть, на очередных выборах партияможет победить, а может и не победить, завтра на уроке математики ученика могутвызвать к доске, а могут и не вызвать.
События заглавными латинскими буквами. Приведемпримеры.
А: в следующем году первый снег в Москве выпадет ввоскресенье.
В: свалившийся со стола бутерброд упадет на полмаслом вниз.
С: при бросании кубика вы получите шестерку.
D: при бросании кубикавы получите четное число очков.
Все перечисленные выше события A,B,C,D– случайные.
Невозможное событиевводится как событие, которое в данных условиях произойти не может. Таковы,например, события E и F:
Е: в следующем году первый снег в Москве вообще невыпадет.
F: при бросании кубикавы получите семерку.
Если же событие при данных условиях обязательнопроизойдет, то его называют достоверным. Ниже указаны два таких события:
G: свалившийся со столабутерброд упадет на пол.
H: при бросании кубикавы получите число меньше семерки.
Правда, достоверность события Gоказывается под вопросом в невесомости. Но там обычно не едят бутерброд смаслом. Невозможные и достоверные события встречаются в жизни сравнительноредко. Можно сказать, что мы живем в мире случайных событий.
Отметим, что события достоверные и невозможные наэтом предварительном этапе мы предлагаем не относить к случайным событиям. Опытпреподавания данного материала показал, что школьникам 10 – 12 лет трудносчитать случайными те события, которые происходят всегда, либо не происходятникогда [7]. Введение предельных случаев, удобное для построения формальнойтеории, но противоречащее бытовым представлениям, оказывается преждевременным.Понятие случайного события соответственно уточняется на более поздних ступеняхобучения.
Качественная оценка вероятности событий приводит ктому, что при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть данонесколько разных ответов, которые могут считаться верными, что непривычно науроке математики и для ученика, и для учителя.
Например, при обсуждении вероятности наступлениясобытия
«вам подарят на день рождения собаку»
ученики в зависимости от личных обстоятельств могутдать ответы:
«это маловероятное событие»,
«это очень возможное событие»,
«это достоверное событие».
При решении таких задач главное – приводимаяаргументация, понимание школьника смысла используемых понятий. Еслиаргументация вполне логична и разумна, ответ следует считать верным.
Чтобы доказать, что данное событие – случайное,предлагается привести пример такой ситуации или, как говорят математики, такогоисхода, когда событие происходит, и пример такого исхода, когда оно непроисходит.
Так, событие D– случайное, потому что оно происходит, когда на кубике выпадает, например,четверка, и не происходит, когда на кубике выпадает, допустим, пятерка.
При бросании кубика может выпасть только от одногодо шести очков, поэтому событие F– невозможное, а событие H– достоверное.
Пример 1. Бросаем два кубика.Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные?
A: на кубиках выпалоодинаковое число очков.
B: сумма очков накубиках не превосходит 12.
C: сумма очков накубиках равна 11.
D: произведение очков накубиках равно 11.
Решение. Исход любого бросанияможно описать двумя числами, выпавшими на кубиках. Например, (3,1) означает,что на первом кубике выпало число 3, а на втором – 1.
При исходе (1,1) событие Aпроисходит, а при исходе (1,2) – не происходит. Значит, событие Аслучайное.
Событие Bпроисходит при любом исходе: ведь каждое из двух чисел на кубике не превосходит6, а значит, их сумма не превосходит 12. Поэтому событие Bдостоверное.
Событие С происходит при исходе (5,6), но непроисходит при исходе (2,2). Значит, оно случайное.
Наконец, для события Dнет исхода, при котором оно происходит: число 11 нельзя представить в видепроизведения двух целых чисел от 1 до 6. значит, это событие невозможное.
Пример 2. В коробке 3 красных, 3желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событийневозможные, случайные, достоверные?
A: все вынутые шарыодного цвета.
B: все вынутые шарыразных цветов.
C: среди вынутых шаровесть разноцветные.
D: среди вынутых шаровесть шары всех трех цветов.
Решение. Событие А – невозможное:нельзя вытащить из коробки 4 одноцветных шара (их только по 3 каждого цвета).
Событие В – тоже невозможное: разных цветовтоже не может быть больше 3, а вынутых шаров 4.
Событие С – достоверное: ведь все 4 шара, какмы уже выяснили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно естьразноцветные.
Наконец, событие D– случайное. Закодируем исходы опытов первыми буквами цветов, в которыеокрашены вынутые шары. Например: КЖЖЗ означает, что вынули один красный, дважелтых и один зеленый шар; КЖЖЗ – пример исхода, при котором событие Dпроисходит, а ККЖЖ – пример исхода, при котором Dне происходит.
В ходе обсуждений различных примеров ученикиубеждаются в том, что в мире случайных событий можно обнаружить закономерностии оценить шансы наступления различных событий.
Например, при бросании игрального кубика есть тришанса из шести, что выпадет четное число очков, только один шанс из шести, чтовыпадет пять очков и никаких шансов, что выпадет семь очков.
Однако рассматривая ситуацию с кубиком, ученикинтуитивно опирается на гипотезу о «правильности» кубика, оравновероятности выпадения 1,2,3,4,5 и 6 очков при его подбрасывании.
Важно показать, что далеко не всегда можно точновычислить шансы наступления того или иного события. Часто шансы приходитсяоценивать приблизительно – на основе жизненного опыта, уже имеющихсястатистических данных или путем, проведения многократных экспериментов. Кстати,в дальнейшем, именно экспериментируя со случайными исходами, ученикиубеждаются, что и кубик совсем не всегда оказывается «правильным». Вкачестве примера «неправильного» кубика демонстрируется кубик сосбитым центром тяжести (к одной из его граней изнутри подклеен пластилин) [7].
В задачах такого типа стоит обсудить с ребятами какобщие статистические закономерности, так и индивидуальные особенности, врезультате которых для разных людей возможны различные ответы на поставленныевопросы.
Покажем теперь линию развития задач по предложеннойтеме – от простых к более сложным. Первый блок задач может быть рассмотрен вклассе со всеми учащимися, остальные – на кружке или факультативе.
Задача 1. Укажите, какие из следующихсобытий – невозможные, достоверные, случайные:
A: футбольный матч«Спартак» – «Динамо» закончится в ничью.
B: вы выиграете,участвуя в беспроигрышной лотерее.
C: в полночь выпадетснег, а через 24 часа будет светить солнце.
D: завтра будет контрольнаяпо математике.
E: 30 февраля будетдождь.
F: вас изберутпрезидентом США.
G: вас изберутпрезидентом России.
Ответ. Событие В –достоверное, C, E,F – невозможные, A,D, G– случайные. Но если вы решаете эту задачу накануне выходного дня, то событие Dможно считать невозможным.
Задача 2. Вы купили в магазинетелевизор, на который фирма — производитель дает два года гарантию. Какие изследующих событий невозможные, случайные, достоверные:
A: телевизор несломается в течение года.
B: телевизор не сломаетсяв течение двух лет.
C: в течение двух летвам не придется платить за ремонт телевизора.
D: телевизор сломаетсяна третий год.
Ответ. События A,В, D – случайные, событие С– достоверное.
Задача 3. В коробке лежат 10красных, 1 зеленая и 2 синих ручки. Из коробки наугад вынимают 2 предмета.Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:
A: будут вынуты 2-красные ручки.
B: будут вынуты 2-зеленые ручки.
C: будут вынуты 2 -синихручки.
D: будут вынуты 2-разноцветных ручки.
E: будут вынуты 2 ручки.
F: будут вынуты 2карандаша.
Ответ. События A,С, D – случайные, события B,F – невозможные, событие Е –достоверное.
Задача 4. Винни Пух, Пятачок ивсе – все – все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При какомколичестве " всех – всех – всех" событие
А: Винни и Пятачок будут сидеть рядом — являетсядостоверным событием.
Ответ. Если " всех – всех– всех" всего 1, т. е. За столом собрались всего три лица, то событие А –достоверное, если больше 1, то А – случайное событие.
Задача 5. В школе учится Nучеников. При какихN событие
А: в школе есть ученики с совпадающими днямирождения является случайным, а при каких – достоверным? Выясните, произошло лиэто событие в вашей школе. А в вашем классе?
Ответ. При N/>366 событие А –случайное, при N>366 событиеА – достоверное.
Задача 6. Среди 100 билетовшкольной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надокупить, чтобы событие
 А: вы ничего не выиграете – было невозможным?
Ответ. 81 билет.
Задача 7. В шкафу 10 пар ботинокс 36–го по 45-й размеры – по одной паре каждого размера. Какое минимальноеколичество ботинок надо наугад вынуть из шкафа, чтобы событие А: из вынутыхботинок можно составить хотя бы одну пару – было достоверным?
Ответ. 11 ботинок.
Задача 8. В классе учатся 10мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий для такого класса являетсяневозможными, случайными, достоверными?
A: есть два человека,родившихся в разных месяцах.
B: есть два человека,родившихся в одном месяце.
C: есть два мальчика,родившихся в одном месяце.
D: есть две девочки,родившихся в одном месяце.
E: все мальчики родилисьв разных месяцах.
F: все девочки родилисьв разных месяцах.
G: есть мальчик идевочка, родившиеся в одном месяце.
H: есть мальчик идевочка, родившиеся в разных месяцах.
Ответ. События A,C,E,G,H–случайные, B, D– достоверные, F – невозможное.
Задача 9. Автобусу, в которомедет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событийдля такого класса является невозможными, случайными, достоверными?
A: все пассажиры выйдутна разных остановках.
B: все пассажиры выйдутна одной остановке.
C: на каждой остановкехоть кто – то выйдет.
D: найдется остановка, накоторой никто не выйдет.
E: на всех остановкахвыйдет четное число пассажиров.
F: на всех остановкахвыйдет нечетное число пассажиров.
Ответ. События A,C,E– случайные, A,E,F– невозможные.
Задача 10. На модели координатнойпрямой в точке 0 стоит фишка. После каждого бросания монеты она сдвигается наединицу вправо, если выпал «орел», и на единицу влево, если выпала«решка». Какие из следующих событий для такого класса являетсяневозможными, случайными, достоверными?
A: после четырехбросаний фишка находится в точке 0.
B: после трех бросанийфишка находится в точке 2.
C: после пяти бросанийфишка находится в точке 5.
D: после пятидесятибросаний фишка находится в точке 25.
E: после пятидесятибросаний фишка находится в точке 26.
Ответ. События A,C,E– случайные, B,D–невозможные.
Задача 11. На остановкеостанавливаются 3 автобуса: № 1,2 и 3. Интервал движения каждого автобусаколеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Гриша и Наташа подошли костановке, от нее отошел автобус №3, а еще через 6 минут автобус №1. Послеэтого каждый из ребят высказал свое мнение о том, каким будет следующийавтобус.
Саша: «следующим обязательно будет №2».
Маша: «возможно, что следующим будет №2».
Гриша: «возможно, что следующим будет №3».
Наташа: «невозможно, что следующим будет№1».
С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объяснитесделанный выбор.
Ответ. Не прав только Саша.
 
2.2 Дискретность пространств элементарных событий
 
В начале курса вводятся следующие понятия:
испытание – любой эксперимент,наблюдение, контрольные и проверочные действия, различные соревнования,обследования и т.п.;
единичное испытание –испытание, в котором совершается одно действие с одним предметом. Например,один раз подбрасывается монета или извлекается один шар из урны и т.д.;
исходы испытаний – результатыиспытания. Например, при подбрасывании монеты выпал «орел» или из урны извлекличерный шар;
случайные исходы испытания — результаты испытания, которые нельзя заранее предсказать, поскольку они могутбыть разными и определяются случайным стечением обстоятельств в ходе испытания;
множество исходов испытания– множество всех возможных случайных исходов испытания;
примеры и задачи, используемые в курсе, касаютсяиспытаний с небольшим числом случайных исходов. Множество исходов такихиспытаний можно определить простым перебором или построить с помощью таблиц идеревьев исходов, которые рассматриваются ниже.
На начальном этапе школьники должны научитсяопределять множество исходов единичных испытаний.
Пример 1. Из урны, где лежаткрасный желтый и зеленый шары, наугад извлекли один шар. Запишите множествоисходов испытания.
Решение. В испытании три исхода:
/>-извлечен красный шар (К),
/> — извлеченжелтый шар (Ж),
/>-извлечен зеленый шар (З).
Исходы можно нумеровать произвольным образом, т.ве.Возможны и другие решения, например: /> - Ж, /> — К, />-З.
Исходы испытания благоприятствуют наступлениюслучайных событий. Понятие случайного события и благоприятствующих ему исходоввводятся через графическое изображение событий.
Пример 2. Подбрасывают игральныйкубик. Изобразите графически событие А – выпало нечетное число очков.
/>
Рис. 1.
На рис.1 точки изображают исходы испытания:
/> - выпало одноочко,
/> -выпало два очка, 
/> -выпало три очка, 
/>-выпало четыре очка,
/> -выпало пять очков,
/>-выпало шесть очков.
Исходы />,/>,/> благоприятствуютсобытию А, и от них проведены стрелки к точке, изображающей это событие.
Для одного и того же испытания можно задать разныемножества исходов. Например, если принять за событие А – выпадение нечетногочисла очков при подбрасывании игрального кубика, а за событие В – выпадениечетного числа очков, то грани с нечетным числом очков 1,3 и 5 становятсянеразличимыми, так же как не различаются грани с четным числом очков 2,4 и 6.Отказ от различимости граней приводит к сокращению числа исходов приподбрасывании игрального кубика с шести до двух: е11 — А,е21 – В.
За исходы испытания можно принять и изображенные нарис.2 события С,D и K.Тогда число исходов при подбрасывании кубика будет равно трем.
/>
Рис. 2.
Очевидно, что существует множество других вариантовзадания исходов при подбрасывании кубика. Множество исходов испытания, котороесодержит максимальное число возможных исходов, называется базовым множеством,а все остальные множества исходов, полученные из базового путем объединения егоисходов, — сокращенным. При подбрасывании игрального кубика базовоемножество насчитывает шесть элементов (е1, е2, е3, е4, е5, е6 ), а сокращенные множества могутсодержать от двух до пяти элементов.
Понятие базового и сокращенного множества исходовудобны при рассмотрении урновых испытаний. Пусть, например, из урны с тремябелыми и четырьмя черными шарами наугад извлекают шар.
Если бы все семь шаров были бы пронумерованы, т.е. различимы,то можно было бы говорить о базовом множестве исходов этого испытания,насчитывающем семь элементов. Но шары одного и того же цвета неразличимы.Поэтому в таком испытании задается сокращенное множество исходов: е1– Б(достали белый шар), е2 – Ч(достали черный шар). Указанные исходы,по сути, являются событиями. Первому событию благоприятствуют три исхода избазового множества, связанные с извлечением белых шаров, а второму – четыреисхода из базового множества, связанные с извлечением черных шаров.
С помощью графических изображений удобно объяснятьсовместность и несовместность событий, а также их противоположность. Если входе испытания совместное осуществление событий А и В невозможно, то события Аи В называются несовместными. В этом случае ни один из исходов испытанияне благоприятствует одновременному появлению события А и события В. Если же входе испытания не благоприятствует одновременному появлению событий А и Ввозможно, то события А и В называются совместными, и, по крайней мере,один из исходов испытания благоприятствует одновременному появлению этих двухсобытий [24].
Пример 3. Укажите, какие изизображенных на рис.3 событий являются совместными, а какие – несовместными.
Решение. События А и В –совместные (общий исход е3), А и С – совместные (общий исход е1и е3), В иС – несовместные ( нетобщих исходов).
/>
Рис. 3.
 
Если события А и В несовместные, и при любом исходеиспытания наступает одно из этих событий, то события А и В называются противоположнымии обозначаются как А=/> ,B=/>.
Пример 4. Из урны, где лежатшесть пронумерованных подряд шаров с номерами с 1 по 6, наугад извлекают одиншар. Изобразите графически события: А – извлекли шар с номером, кратным трем, /> - событие,противоположное А. Решение. Базовое множество содержит шесть элементов(рис. 4): е1– извлечен шар № 1, е2 – извлечен шар № 2,
е3 – извлечен шар № 3, е4–извлечен шар № 4
е5 – извлечен шар № 5, е6–извлечен шар №6.
Появлению события А благоприятствуют два исхода – е3,е6, остальные благоприятствуют />.
/>
Рис. 4.

2.3 Классическое и статистическое определениевероятности
В рассматриваемом курсе для испытаний со счетнымчислом исходов можно использовать классическое и статистическое определениевероятности. Однако трудно не согласиться с венгерским математиком А. Реньи,отметившим, что классическое определение вероятности не является определением,а дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях. Поэтому в предлагаемом курсе,сначала вводится статистическое определение вероятности, а затем для случаев,когда есть симметрия исходов испытаний, дается ее классическая формула.
В основе статистического определения вероятностилежит закон больших чисел, который в настоящем курсе приводится как факт,подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями. При введениистатистического определения вероятности рекомендуется провести лабораторнуюработу, состоящую в подбрасывании монеты или игрального кубика. В ходе этойлабораторной работы школьники самостоятельно могут убедится в действии этогозакона: с увеличением числа подбрасываний значение статистической частотывыбранного для наблюдения исхода (например, выпадение «орла» на монете, иличетырех очков на кубике) устойчиво сосредотачиваются возле некоторого числа p,которое и называется вероятностью наблюдаемого исхода или события.
Внимание учащихся следует обратить на то, что напрактике статистические испытания и наблюдения являются основным способомоценки вероятностей событий. При этом всегда возникает вопрос о точности такойоценки, поскольку не всегда возможно проведения достаточно большого числаэкспериментов и наблюдений. В случае симметрии исходов испытания (подбрасываниясимметричной монеты и игрального кубика, урновые испытания) вероятности исходовполагают равными друг другу. Тогда вероятность любого события А равна />, где m– число всех исходов испытания, l- число исходов, благоприятствующих появлению события А.
Статистическое определение вероятности удобно длявведения аксиом.
1.  Вероятностьисходов испытаний положительна.
2. Суммавероятностей всех исходов испытания равна единице e1,e2,...,emp1+p2+...+p3=1.(1)
3.  Вероятностьслучайного события равна сумме вероятностей исходов испытания,благоприятствующих этому событию, т.е. если е1,..., ек – множествовсех исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, то
P(A)=p1+...+pk.(2)
В качестве оснований для этих утверждений приводятсяочевидные факты, связанные со статистическими испытаниями.
1. Статистическаячастота исхода испытания положительна.
2. Суммастатистических частот всех исходов испытания в серии из Nповторных экспериментов равна единице:
/>
Здесь n1,n2,...,nm– число появлений исходов e1,e2,...,emв проведенной серии испытаний.
3. Статистическаячастота случайного события равна сумме статистических частот исходов испытания,благоприятствующих этому событию.
Для закрепления материала необходимо рассмотретьрешения следующих типов задач.
Пример 1. В некотором испытании возможнытри исхода e1,e2, е3.Вероятность исхода е1 равна 0,3, а исхода е3 – 0,6. Чемуравна вероятность появления исхода е2?
Решение.p2=1-p1-p3=1-0,3-0,6=0,1.
Пример 2. В некотором испытании возможнытри исхода e1,e2, е3.В 1000 повторных испытаниях исход е1 появляется 350 раз, а исход е2– в 40% испытаний. Оцените вероятность исходов испытания.
Решение./>;
/>;
p3/> 1-0,35-0,4=0,25.
Пример 3. В испытании возможнычетыре исхода: e1,e2, е3, е4.Их вероятности соответственно равны p1=0,2,p2=0,1,p3=0,4и p4=0,3.Событию А благоприятствуют исходы e1ие4, а событию В – исходы e2, е3ие4. Чему равна вероятность событий А и В и вероятность, чтособытия А и В произойдут в испытании вместе?
Решение. P(A)=p1+p4=0,2+0,3=0,5;
P(B)= p2+ p3+ p4=0,1+0,4+0,3=0,8;
P(A,B)= p4=0,3.
Пример4. Чемуравна вероятность извлечь наугад белый шар из урны, в которой лежат четыребелых и пять черных шаров?
Решение. Пусть событие А –извлечение белого шара. Тогда число всех исходов испытания m=9,число исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, равно 4 (l=4)и P(A)=/>
В курсе также рекомендуется рассказать школьникам отак называемом персоналитическом методе оценки вероятности, когда экспертыисходя из своей интуиции, дают личную оценку вероятности событий. Примерамитаких оценок являются вероятностные прогнозы исходов соревнований, публикуемыев спортивных изданиях.
Такие прогнозы, как правило, не поддаются проверке,поскольку, например, невозможно провести большое число футбольных матчей междудвумя командами в одинаковых условиях.
Обобщая все вышеизложенное, можно сказать, что вначале курса учащиеся должны:
1) познакомится с понятиями случайных исходовиспытаний, научится определять множество исходов единичных испытаний и исходы,благоприятствующие наступлению конкретных случайных событий;
2) познакомится с понятиями статистической частоты ивероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания;
3) научится вычислять вероятности исходов и событийпо формулам (1) и (2).
Далее изучаются серии из двух единичных испытаний:два подбрасывания монеты, последовательное извлечение двух шаров из урны, двавыстрела по мишени и т.д. В рассматриваемом курсе серии испытаний называютсясовместимыми испытаниями, а их результаты – исходами совместных испытаний. Совместныеиспытания разделяются нанезависимые и зависимые. Эти понятия вводятся напростых примерах урновых испытаний с возвращением и без возвращения шара вурну.
 В урне три шара с номерами 1,2 и 3. Из урныпоследовательно извлекают два шара. Эти испытания можно проводить двумяспособами.
Ι способ: извлекают первый шар (первоеиспытание), записывают его номер, шар кладут обратно в урну. Затем шарыперемешивают в урне и извлекают второй шар (второе испытание). В этом случаерезультаты испытаний никак не влияют друг на друга, и такие испытания называютсянезависимыми.
ΙΙ способ: извлекают первый шар, но в урнуего не возвращают, а сразу за ним извлекают второй шар. В этом случае исходывторого испытания зависят от того, какой исход имел место в первом испытании.Если, например, в первом испытании извлекли шар №2, то во втором испытании этотшар появится уже не может. Такие испытания называются зависимыми.
Зависимость испытаний друг от друга приводит кзависимости исходов и событий, которые могут произойти в этих испытаниях.
Если проводятся два независимых друг от другаиспытания, и в первом испытании возможно наступление события А, а во втором –события В, то события А и В – независимые. В этом случае для них справедливатеорема умножения вероятностей:
P(A,B)=P(A)*P(B).(3)
Для примера снова обратимся к урновым испытаниям,описанным выше, с возвращением шара в урну.
Пусть событие А – первым достали шар №1.Это событиесвязано с первым испытанием и его вероятность равна />
Пусть событие В – вторым достали шар №2. Это событиесвязано со вторым испытанием и его вероятность также равна />
Первое и второе испытания независимые, поэтомусобытия А и В – независимые, и вероятность, что они произойдут вместе, согласноформуле (3), равна />
Если же проводятся зависимые испытания, и второеиспытания зависит от первого испытания, то событие В зависит от события А. Вэтом случае для события В вводится условная вероятность /> и теоремаумножения вероятностей принимает вид:
P(A,B)=P(A)*/> (4)
Таким образом, в урновых испытаниях без возвращенияшара в урну событие В(вторым достали шар №2) зависит от события А(первымдостали шар №1), а вероятность /> рассчитываетсяпо формуле (4).
Формулы (3) и (4) позволяют вычислять вероятностиисходов совместных испытаний. Эти исходы представляют собой возможныекомбинации исходов единичных испытаний, записанные в определенном порядке.
Вероятность любого события, которое может произойтив совместных испытаниях, равна сумме вероятностей всех комбинаций, которыеблагоприятствуют этому событию. А это означает, что вероятностные задачи насовместные испытания можно сводить к построению множества исходов этихиспытаний и вычислению вероятностей исходов по формулам (3) и (4). Если всеисходы испытаний и их вероятности известны, то найти вероятность интересующегособытия не составляет труда. В настоящем курсе учащиеся учатся определятьмножество исходов совместных испытаний, строя таблицы исходов и вероятностныеграфы.
Таблицы исходов строятся для независимых испытаний.
Пример 5. Два стрелка независимодруг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадения дляпервого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Чему равна вероятностьпоражения мишени?
Решение. Пусть событие А –мишень поражена, а исход П – попадание в мишень, исход М – промах. Тогдамножество исходов двух совместных испытаний (выстрел по мишени каждым изстрелков) содержит четыре элемента (рис.5).
/>
Рис. 5.
Составим таблицу исходов этих испытаний.
В первый столбец таблицы записаны исходы выстрелапервого стрелка, а в первую строку – исходы выстрела второго стрелка. Остальныеклетки таблицы заполняются комбинациями исходов единичных выстрелов.Вероятность этих комбинаций (исходов совместных испытаний) подсчитывается поформуле (3). Затем определяются, какие комбинации благоприятствуют событию А, искладываются вероятности этих комбинаций:
Р(А)=р(П, М)+р(М, П)+р(П, П)=0,14+0,24+0,56=0,94.
/>      2
1
П
 (0,8)
П
 (0,2)
П
 (0,7)
П, П
(0,7*0,8=0,56)
П, М
(0,7*0,2=0,14)
 М
 (0,3)
 М, П
 (0,24)
 М, М
 (0,06)
Задачи на зависимые совместные испытания решаютсяпостроением вероятностных графов.
Пример 6. Из урны, где лежат трибелых и четыре черных шара, наугад без возвращения один за другим извлекают двашара. Какова вероятность того, что извлекут разноцветные шары?
Решение. Пусть событие А –извлечение разноцветных шаров, исход Ч – извлечение черного шара, Б –извлечение белого шара.
/>/> В урне 7 шаров.(Ч, Ч)
 Извлекают (Ч, Б) А
 Ч Б первый шар.
/>/>/>/> В урне 6 шаров.(Б, Ч)
 Извлекают второй шар. (Б, Б)
Ч Б Ч Б
/>
Рис. 6.
Р(А)=/>
Поясним приведенное решение. Стрелки вероятностногографа (рис.6) изображают возможные исходы испытаний, обозначения которыхставятся возле концов стрелок. В нашем случае – это буквы Ч и Б. Рядом со стрелкамизаписываются соответствующие безусловные или условные вероятности. Каждаяцепочка стрелок изображает один из исходов совместных испытаний – одну извозможных комбинаций извлечения из урны шаров: (Ч, Ч), (Ч, Б), (Б, Ч), (Б, Ч). Поформуле (4) вероятности этих комбинаций получаются перемножением безусловных иусловных вероятностей, записанных вдоль цепочек. Извлечению разноцветных шаровблагоприятствуют исходы (Ч, Б) и (Б, Ч). сложив их вероятности, найдем искомуювероятность Р(А).
Построением таблиц и вероятностных графов можнорешать и более сложные задачи, когда проводятся три, четыре и даже пятьсовместных испытаний. Например, до пяти раз подбрасывают монету или из урны безвозвращения извлекают три шара. Уровень таких задач достаточно высок для среднейшколы, и учащиеся, овладевшие алгоритмами построения таблиц и графов, успешно сним справляются [24].
Школьникам предлагается также решать обратные задачио нахождении вероятностей гипотез по предварительно заданной информации.Вероятность гипотезы вводится расширением понятия условной вероятности.
Напомним, что условная вероятность была введена длязависимых событий при рассмотрении совместных зависимых событий. Однако припроведении любых испытаний можно сделать предположение (выдвинуть гипотезу) овозможности наступления любого конкретного события А, если заранее известно,что в этих испытаниях наступило (или, наступит), например событие В. Тогдавероятность, что это предположение оправдается (вероятность гипотезы), естьусловная вероятность />,вычисляемая по формуле
/>=/>
В заключение хочется подчеркнуть, что учащимся 5 – 9классов вполне по силам изучение элементов теории вероятностей на примерахпростых испытаний с небольшим числом исходов. Математический аппарат, которымони должны предварительно овладеть – школьный курс арифметики. А предлагаемаяаксиоматика, алгоритмы построения таблиц исходов испытаний и вероятностныхграфов доступны для школьного понимания.
 
2.4 Алгебра событий
 
После того как учащиеся познакомятся с элементарнымипонятиями теории вероятностей: события, достоверные и невозможные события,противоположное событие, несовместные события, независимые события – и научатсявычислять вероятность события на основе классического определения вероятности,полезно потренировать школьников в употреблении терминов, относящихся такназываемой алгебре событий. При этом имеет смысл установить связь междуалгеброй событий и алгеброй множеств. Понятие множеств учащимся интуитивноясно. Не вызывает трудности и тренировка в операциях над множествами:включение, объединение, пересечение, дополнение. Представления об этихоперациях лежат в основе всей математики и, в частности, в основе теориивероятностей. Достаточно посвятить им одно — два занятия, и учащиеся уже хорошоориентируются в операциями над множествами. Теоретико-множественные представленияможно призвать на помощь при обучении языку алгебры событий [23].
Для того чтобы установить параллель между языкомтеории множеств и языком алгебры событий, полезно составить вместе с учащимисятаблицу, которая приведена ниже.
С помощью таблицы и рисунка целесообразно разобратьс учащимися задания по тематике, описывающей ряд однотипных испытаний. Носначала необходимо ввести обозначения, которыми будем пользоваться вдальнейшем. Представим себе три одинаковые урны, в каждой из которых лежатнеразличимые на ощупь белые и черные шары.Обозначения
Интерпретация
Теории множеств Теории вероятностей Ω  Элемент, точка  Исход, элементарное событие
/> Универсальное множество, т.е. множество всех рассматриваемых точек Достоверное событие исходов, т.е. множество всех элементарных событий Ø  Пустое множество Невозможное событие A,B  Подмножество универсального множества Случайное событие A=B Подмножества А и В равные События А и В равносильные
A/>B Объединение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих или в А, или и В Событие, состоящее в том, что произошло А или В A+B Сумма множеств, т.е. объединение непересекающихся множеств Событие, состоящее в том, что произошло одно из несовместных событий либо А, либо В
A/>B;AB Пересечение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих и в А, и в В Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события А и В
A/>B= Ø Множество А и В не пересекаются События А и В несовместны( не могут наступать одновременно) A\B Разность множеств А и В, т.е. множество точек, входящих в А, но не входящих в В Событие, состоящее в том, что произошло А, но не произошло В A∆B
A∆B=(A\B)/>(В\А) Событие, состоящее в том, что произошло одно из событий А или В, но не оба одновременно
Рассматриваются такие события (гипотезы):
/>
H1 — выбрали первую урну,
H2 — выбрали вторую урну, A- вынули из урны белый шар,
H3– выбрали третью урну, /> -вынули из урны черный шар
Задача 1. Запишите с помощьюсимволов следующие события.
1) выбралилибо первую, либо вторую урну;
2) выбраликакую – то одну урну;
3) выбралине первую урну;
4) белыйшар вынули из второй урны;
5) черныйшар вынули из третей урны;
6) белыйшар вынули не из первой урны;
7) изкакой – то урны выбрали черный шар.
Ответ. 1) H1+H2;
2) H1+H2+H3;
3)/>=H2+H3;
 4) A H2;
 5) />;
 6) A />=A(H2+H3);
7) />(H1+H2+H3).
Задача 2. Дайте словесноетолкование следующим событиям:
1. а) AH1;б) />H2;в) />/>.
2. а) AH1+AH2+AH3;б) />H1+/>H2+/>H3.
3. а) (A\H1)/>(H1\A);б)(/>\H2)/>(H2\/>).
Ответ.1. а) Белый шар вынулииз первой урны;
б) черный шар вынули из второй урны;
в) черный шар вынули не из третьей урны
2. а) Белый шар вынули либо из первой, либо извторой, либо из третьей урны;
б) черный шар вынули либо из первой, либо из второй,либо из третьей урны;
3. а) Либо вынули белый шар не из первой урны, либоиз первой урны вынули черный шар;
б) либо вынули черный шар не из второй урны, либо извторой извлекли белый шар.
Задача 3.установите, верны лиравенства:
а) H1+H2+H3=W;
б) А+ />=W;
в) А/>=Ø – и дайте им словесное толкование.
Ответ. Все равенства верны.
а) выбрали либо первую, либо вторую, либо третьюурну. По условию испытания это событие достоверное;
б) достоверное, что вынули либо черный, либо белыйшар;
в) вынутый шар не может быть одновременно и белым ичерным.
На этом этапе, когда язык алгебры событий учащимисядостаточно усвоен, вводятся теоремы сложения и умножения вероятностей, послекоторых следуют приведенные ниже упражнения.
Задача 4. Известно, что в каждойиз трех урн число белых шаров равно числу черных (например, см. рисунок).Подсчитайте указанные ниже вероятности при условии, что шар извлекается наугадиз наугад выбранной урны.
1.P(H1),P(H2), P(H3).
2.P(H1+H2+H3).
3.P(A),P(/>).
4.P(AH3),P(/>H1).
Ответ. 1. P(H1)=P(H2)=P(H3)=/> - вероятностьтого, что выбрана первая (вторая, третья) урна.
2. P(H1+H2+H3)=/>+/>=/>=1 – вероятностьтого, что выбрана одна из урн, равна вероятности достоверного события, т.е. 1.
 3.P(A)=P(/>)=/> - вероятностьтого, что будет вынут белый (черный) шар.
 4. P(AH3)=P(/>H1)=/>*/>=/> вероятностьтого, что будет извлечен белый шар из третьей урны (черный шар из первой урны).
Следующий этап — изучение условной вероятности, т.е.вероятности события А, если известно, что оно может наступить, если преждепроизошло одно из событий H1,H2,H3.
В этом месте также необходимо потренироваться вправильном употреблении терминов и символов.
Задача 5. Запишите словами, вчем состоят указанные ниже события, и вычислите их вероятность.
а) A\H1;б) />\H2;в) />\/>.
Ответ. а) выбрали первую урну,а затем из нее извлекли белый шар,
P(A\H1)=/>
б) выбрали вторую урну, а затем из нее вынули черныйшар,
P(/>\H2)=/>;
в) выбрали первую либо вторую урну, а затем из какой–то из них достали черный шар,
P(/>\/>)=/>
Изучив понятие условной вероятности, естьвозможность перейти к формуле полной вероятности.
Вероятность события А, которое может наступить приусловии появления одного из несовместных событий (гипотез) H1,H2,H3,образующихполную систему событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этихсобытий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А)=P(H1)P(A\H1)+P(H2)P(А\H2)+P(H3)P(А\H3)– формула полной вероятности. Рассмотренная проблематика позволяет связать ее сболее сложным вопросом, к которому обычно приступают много позже. Речь идет оформуле Байеса. Объединяя изучения формулы полной вероятности и формулы Байеса,преподаватель достигает настоящего укрупнения дидактических единиц и получаетвозможность лучше разъяснить ситуации, связанные с обеими формулами. В самомделе, формула полной вероятности употребляется для подсчета вероятностипредложения о том, что событие А может наступить, а формула Байеса применяетсятогда, когда событие А наступило.
Пусть известно, что:
а) событие А может наступить при условии появленияодного из событий H1,H2,H3,образующих полную систему событий;
б) известны условные вероятности P(A\H1),P(А\H2),P(А\H3)события А относительно всех событий Н1, Н2, Н3.
В результате испытание оказалось, что событие Апроизошло. Какова вероятность того, что оно наступило вместе с событием Нi,где I=1,2,3. другимисловами, найти вероятность P(H1\A),P(H2\А), P(H3\А).
Эту задачу решает формула Байеса:
P(H1\A)=/>,
где I=1,2,3.
Итак, показанная линия изучения основ теориивероятностей на базе средней школы, на этой теме завершается. Материалпараграфов 1,2,3 может быть рассмотрен в классе со всеми учащимися, а 4параграф при более углубленном изучении – на кружке или факультативе.

Глава IIIФакультативный курс «Элементы теории вероятностей» для 10 – 11 классов
 
3.1 Внеклассная работа по математике, факультативныезанятия
 
Требования, которые предъявляются программой поматематике, сложившимися методами обучения, обращены ко всем учащимся. Но какбы хорошо не был проведен урок, мы находимся в строго ограниченных временныхрамках. Внеклассная работа ставит цели: углубить и расширить математическиезнания, дать учащимся возможность оценить и развить свои способности,удовлетворить любознательность; усовершенствовать умения и навыки в решениизадач; научить работать с литературой; творчески использовать свободное время;определять перспективы дальнейшей деятельности, жизни, учебы и работы.
Внеклассная работа – это добровольныенеобязательные, систематические занятия с учащимися во внеурочное время.
Внеклассная работа для слабого ученикавыполняет роль индивидуальных дополнительных занятий. Они ликвидируют пробелы уучащихся, их цель вывести на уровень ОРО. Собирают маленькие группы (3-4человека). Проводят не чаще одного раза в неделю, сочетая с домашним заданиями.На классных занятиях и к домашним заданиям прилагать карточки по образцу. Послеобработки вопросов используют контроль. Обязательно использовать линию успеха(хвалить, поощрять, не ругать).
Внеклассная работа с сильными учениками,которыеимеют повышенный интерес к математике.
Цели:
1) пробуждениеи развитие устойчивого интереса;
2) расширениеи углубление знаний по программному материалу;
3) оптимальноеразвитие математических способностей и привитие учащимся определенных навыковнаучно-исследовательского характера;
4) воспитаниевысокой культуры математического мышления;
5) развитиеу учащихся умений самостоятельно и творчески работать с учебной литературой,компьютером;
6) расширениеи углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценностиматематики, о ее ведущей роли в мировой науке, о прикладной направленностиматематики;
7) созданиеактива, способного оказать учителю помощь;
8) установлениеболее тесного делового контакта на основе глубокого изучения математики.
Темы внеклассной работы расширяют и углубляютучебный материал. Содержание внеклассной работы зависит от форм ее проведения:математические кружки, факультативы, викторины и конкурсы, математическиевечера и олимпиады, математические школы (очные и заочные), внеклассное чтение,рефераты, доклады и сочинения.
Факультативные занятия –однаиз самых распространенных внеклассной работы. История уходит в конец 19-гоначало 20-го веков, создавались при гимназиях для успевающих учеников.
Цели:
1) углублениеи расширение знаний по математике;
2) развитиеинтереса к предмету, развитие математических способностей у учеников;
3) привитиеинтереса и навыков к исследовательской самостоятельной деятельности;
4) развитиеумения учащихся решать более сложные задачи;
5) подготовкак труду, который будет связан с математикой;
6) воспитаниеинициативы и развитие творчества.
Явное течение началось в 1966 году. Вышлопостановление о мерах дальнейшего углубления работы в школе. В течениепоследних лет в системе проведения факультативных занятий происходили различныеизменения и испытания. В 1975 году вышло новое постановление, которое касалосьпрограмм и учебных пособий. Программа привязана к учебным темам, определяетсявремя проведения, количество учащихся и оплата.
Программа состоит из двух направлений:
1. дополнительныеглавы и вопросы курса математики;
2. изучениеспециального математического курса.
 Выделяют два основных направления по содержанию ипо целям:
1) факультатив7-9 классов;
2) факультатив10-11 классов.
В 10-11 классе подготовительный курс. Цель:подготовить учащихся к продолжению образования и повышения уровняматематической культуры. Преподавание строится как углубленное изучениевопросов основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам иприемам решения математических задач, требующих логической и операционнойкультуры. Особое место занимают задачи, требующие применения нестандартныхзнаний. Это целенаправленная подготовка к выпускным школьным и вступительнымвузовским экзаменам. Программа построена на основании линии алгебры и началаанализа, геометрии, теории вероятностей и математической статистики. В даннойглаве мы рассматриваем методику преподавания факультативных занятий по теме«Элементы теории вероятностей» для 10-11 классов средней школы. Эта методикавключает в себя разработку системы уроков по данной теме. Предлагаемая системапредставляет собой такие формы организации обучения как урок-лекция,уроки-практикумы, урок-семинар, урок-консультация и уорк-игра, которые мысчитаем наиболее эффективными при проведении данного факультативного курса потеории вероятностей.
 
Поурочное планирование факультативного курса по теме«Элементы теории вероятностей» для 10-11 классовКоличество  Уроков Содержание учебного материала 1
Случайные события.
Урок-лекция 2
Классическое определение вероятности.
Лабораторная работа
Практическая работа 1
Геометрическая вероятность.
Урок-семинар 1
Основы теории вероятностей.
Урок-консультация 1 Урок-игра «Восхождение на пик знаний» Всего 6 уроков
Апробация ниже предложенного факультативного курса«Элементы теории вероятностей» была проведена в школе № 43 ст.НоводеревянковскойКаневского района среди учащихся 10 класса (10 человек),посещающих факультативные занятия. Возраст детей составлял 14-16лет. На урокахшироко применялись наглядность, различные формы беседы, дискуссии, опыты,работа с карточками.
Хорошо была организована и самостоятельная работаучащихся. Для этого использовались следующие приемы: краткий конспект лекций,работа с книгой, подготовка докладов и рефератов, работа с карточками,групповая форма работы.
В свою очередь обучаемые показали высокий уровеньзаинтересованности, а новизна содержания учебного материала помогла развить ужеимеющийся познавательный интерес учащихся к математике в процессе изученияоснов теории вероятностей.
На каждом уроке осуществлялась промежуточнаяпроверка знаний и умений обучаемых: проводился контроль выполнения домашнегозадания, фронтальный опрос по пройденному теоретическому материалу,организовывалась работа учащихся у доски.
Вывод: таким образомобобщенный и систематизированный методический материал и разработанныйфакультативный курс способствуют достаточно успешному преподаванию теориивероятностей в общеобразовательной школе.
 
3.2 Случайные события. Урок – лекция
 
Как показывает опыт преподавания применениялекционно-зачетной системы при изучении ряда тем курса математики позволяетучителю излагать учебный материал крупными порциями и на этой основевысвободить время для повторения, обобщения и систематизации теории и решениязадач.
Кроме того, такая организация занятий обеспечиваетусиление практической и прикладной направленности преподавания и приобщениеучащихся к активной работе с учебной литературой, повышения уровня ихподготовки. Применительно к процессу обучения математики возможна следующаяструктура лекционно-зачетной системы: уроки-лекции, уроки-семинары,уроки-практикумы, уроки-консультации, урок-зачет.
Уроки-лекции: как правило, этоуроки, на котором излагается значительная часть теоретического материала даннойтемы. В зависимости от дидактических задач и логики учебного материала распространенывводные, установочные, текущие и обзорные лекции. По характеру изложения идеятельности учащихся лекция может быть информационной, объяснительной,лекцией-беседой и т.д.
Лекционная форма проведения урока целесообразна вследующих случаях:
1) темаявляется мало связанной с ранее изученным материалом, то есть являетсяпрактически новой для учащихся.
2) приподачи информации крупными блоками в плане реализации теории укрупнениядидактических единиц в обучении;
3) прирассмотрении сложного для самостоятельного изучения материала;
4) когдаобъем теоретического материала велик, а задач к нему недостаточно;
5) привыполнении определенного вида заданий по одному или нескольким разделам, темам;
6) дляобобщения и систематизации знаний по данной теме, так и по темам, изучаемым вразличных главах, классах, связанных общей идеей;
7) применениематематического аппарата к решению прикладных задач.
Тип лекции, ее структура определяется темой и цельюурока. Лекция строится на сочетании этапов урока: организации, постановки целии актуализации базовых знаний, сообщение материала учителем и усвоение егоучащимися, постановка домашнего задания. Одна из особенностей школьной лекциизаключается в том, что учитель непрерывно следит за процессом усвоенияматериала непосредственно на уроке, организовывает диалог с учащимися, элементыпервичного контроля и дает оценку усвоения учащимися содержания лекции,возможен вызов учащихся к доске — привлечение учащихся к объяснению отдельныхэтапов. Лекционная форма занятий требует от учителя четкой организации учебнойдеятельности школьников, привлечение их внимания к содержанию лекции. С цельюинтенсификации учебного процесса на уроках желательно использовать техническиесредства обучения, различные таблицы, образцы решений, схемы, таблицы,подручный материал.
В отличии от вузовской практики лекционных форм этаработа проходит при активной роли учащихся.
 Во-первых, они не пассивно воспринимаютповествование учителя, а разбирают вместе с ним излагаемый материал, могутзадать вопрос, попросить повторить непонятное.
Во-вторых, учитель в случае необходимости можеторганизовать самостоятельную работу учащихся, предоставляя им возможностьразобрать тот или иной вопрос по учебнику.
В-третьих, провести первичный контроль с цельюполучения информации об усвоении.
Урок-лекция
Тема урока: Случайныесобытия.
Цель урока:
1) познакомитьучащихся с понятием случайного события;
2) развитьинтерес к теории вероятностей, математики;
3) способствоватьразвитию логического мышления, воображения.
Оборудование: доска,мел, монетка, кубик, набор задач.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели занятия.
3. Объяснение нового материала.
Учитель.В теории вероятностей (как ив любой другой науке) жизнь изучается не во всей еесложности, а только с одной определенной стороны. При этом строится некотораясхема (или модель), которая более или менее полно отражает интересующую нассторону жизни.
Эта схема и изучается. Например, вгеометрии изучаются свойства фигур: точек, прямых и т. п. В реальной жизнитаких фигур нет.
Поэтому мы имеем дело с моделями, полученными,как результат моделирования, схематизирования, абстрагирования определеннойстороны реальной жизни.
В физике рассматриваетсяматериальная точка, идеальный газ и т. п. Это тоже модельное представлениеопределенных сторон реальной жизни — в природе материальных точек и идеальногогаза нет.
В теории вероятностейрассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: делается опыт(испытание),в результате происходят случайные события(часто говорятпросто — события).
Например, бросили монету ипосмотрели, что выпало, — это опыт. В результате этого опыта может выпасть герб— это одно событие, а может выпасть цифра — это другое событие. Посколькувыпадение герба зависит от случая, то это случайное событие.
События принято обозначать большимилатинскими или русскими буквами: А, В, С и т. п.
Например, в опыте с броском монетысобытие «выпал герб» естественно обозначить буквой Г. При этом пишут: Г= «выпал герб». Аналогично событие «выпала цифра» обозначают буквой Ц.
Рассмотрим еще один опыт, несколькоболее богатый событиями, чем опыт с бросанием монеты, — бросание игральнойкости. Этот опыт состоит в следующем. Игральную кость (кубик, на сторонахкоторого указаны точки: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, соответствующие количеству очков)бросают на стол и смотрят (на верхней грани), сколько выпало очков. При этоммогут произойти следующие события:
Q1=«выпало 1 очко», Q4= «выпало 4 очка»,
Q2=«выпало2 очка», Q5= «выпало 5 очков»,
Q3=«выпало 3 очка», Q6= «выпало 6 очков».
Но можно рассматривать и другиесобытия, связанные с опытом бросания игральной кости:
Qnp-«числовыпавших очков простое»,
Q3k-«числовыпавших очков делится на 3»,
Qч — «число выпавших очков четно»,
Qн — «число выпавших очков нечетно» и другие.
Уже на этих простых опытах мы можемзаметить, что события Qчи QH не могут произойтиодновременно. Такую особую связь между событиями можно наблюдать в любом опыте,и она носит определенное название.
Определение.
Два события называются несовместными;если они в рассматриваемом опыте не могут произойти одновременно. События,которые в рассматриваемом опыте могут произойти одновременно, называются совместными.
Например, в опыте с броскомигральной кости события Q4и Qnp совместны.Действительно, пусть выпало 2 очка. Число 2 четное, следовательно, произошлособытие Q4. С другой стороны, число 2 простое, следовательно, произошло событие Qпр.Аналогично события Q3и Qпртоже совместны. Однако между совместностью пары событий Q3иQпри пары событий Qчи Qпрнаблюдается существенная разница. Для первой пары из того, что произошлособытие Q3,автоматически следует, что произошло и событие Qпр.Для второй же пары этого нет. В самом деле, предположим, что выпало 4 очка, т.е. произошло событие Qч. А событие Qпрпри этом не произошло, так как 4 не является простым числом. Таким образом, длявторой пары из того, что произошло одно из совместных событий, еще не следует,что автоматически произошло и другое.
Заметим еще одно существенно важноеобстоятельство. В опыте с броском игральной кости события Q1,Q2,..., Q6как бы играют особую роль для этого опыта. Сущность этой особой роли состоит втом, что в результате опыта одно из этих событий обязательно происходит, алюбые два из них несовместны.
Определение.Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опытаобязательно происходит, а любые два из них несовместны, называется множествомэлементарных событий (или исходов) этого опыта, а каждое событие из этогомножества называется элементарным событием рассматриваемого опыта илиего исходом.
Так, в опыте с броском игральной кости события Q1, Q2,..., Q6образуютмножество исходов этого опыта. Подчеркнем, что для одного и того же опыта можнорассматривать разные множества исходов.
Например, для опыта с броском игральной кости можнорассматривать множество из двух исходов — Qчи Qн.В самом деле, эти события несовместны, ив результате опыта (броска игральнойкости) одно из них обязательно происходит. От того, как выбрано множествоэлементарных событий опыта, зависит большая или меньшая сложность решенияпоставленной вероятностной задачи: при удачном выборе решение сильноупрощается, а при неудачном или усложняется, или вообще не может быть найдено.
Итак, мы познакомились сослучайными событиями и простейшим» видами связей между ними.
4. Первичное закрепление и осмыслениематериала. Решение задач.
Учитель: Разобраннаянами схема а проведения опыта — частный случай, привычные вам задачи, в которыхрезультат действий определен однозначно; однако в задачах по теориивероятностей возможны различные ответы на поставленные вопросы, где учитываютсяне только статистические закономерности, но и индивидуальные особенности разныхлюдей, предметов.
Задание 1.Сравните между собой на основе жизненного опыта общения по телефону шансыследующих случайных событий определите, какие из них наиболее вероятны.
A: вам никто не позвонитс 5 до 6 утра.
B: вам кто – нибудьпозвонит с 5 до 6 утра.
C: вам кто – нибудьпозвонит с 6 до 9 вечера.
D: вам никто не позвонитс 6 до 9 вечера.
Решение. Поскольку ранним утромзвонки вообще бывают очень редко, у события Bшансов крайне мало, оно маловероятное, почти невозможное. Но вот усобытия А очень много шансов, это практически достоверное событие.
Вечерние часы, наоборот, время самого активноготелефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятней, чемсобытие D. Хотя если человекувообще звонят редко, событие Dможет оказаться вероятнее события С.
Задание 2.В игре «Любовь с первого взгляда» трое юношей и три девушки случайновыбирают друг друга. Если выбор какого – нибудь юноши и девушки совпал, тообразуется пара. Какие из следующих событий невозможные, случайные,достоверные: A: не образовалось ниодной пары.
B: образовалась однапара.
C: образовалось двепары.
D: образовалось трипары.
Ответ.Всесобытия случайные.
 Задание 3.Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились подомам они уже в темноте и разобрали свои шляпы наугад. Какие из следующихсобытий невозможные, случайные, достоверные: A:каждый надел свою шляпу.
B: все надели чужиешляпы.
C: двое надели чужиешляпы, а один — свою.
D: двое надели своишляпы, а один – чужую.
Ответ. СобытияA, В, С – случайные, событие D– невозможное.
5. Итоги урока. Вопросы для повторения:
1) Какоесобытие называется случайным?
2) Какиесобытия называются достоверными, несовместными?
3) Приведитепримеры?
6. Постановка домашнего задания.
Задание.
Ученика поручается подбрасывать кубик несколько раз.Cтавятся следующие вопросы. Какие изследующих событий являются возможными (случайными), а какие достоверными:
1) кубик, упав, останется на ребре;
2) выпадет только одно из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;
3) выпадетчисло 6;
4) выпадетчисло 4;
5) выпадетчетное число;
6) выпадетнечетное число;
7) выпадетчисло, которое делится на 5;
8) выпадетчисло, которое делится на 7;
9) выпадетчисло, которое делится на 3;
10) не выпадет никакое число.
 
3.3 Классическое определение вероятности.Уроки-практикумы
 
Основная цель этих уроков – усиление практическойнаправленности обучения. Они должны быть тесно связанными с изученнымматериалом и способствовать прочному его усвоению. Основными формами ихпроведения являются практические и лабораторные занятия, на которых учащиесясамостоятельно упражняются в практическом применении усвоенных теоретическихзнаний и умений. На лабораторных работах формируются экспериментальные умения,а на практических — конструктивные. На этих уроках закрепляется и углубляетсятеоретический материал, изложенный в лекции, проводится целенаправленная работапо выработке у учащихся умений и навыков решения основных типов задач. В первуюочередь обращается внимание на отработку навыков решения задач из учебника(простейших).
С учащимися обсуждаются подходы к решению опорных(ключевых) задач, их оформление. Образцы выполнения этих задач учащиесязаписывают в свои рабочие тетради. К этим урокам подбираются упражнения,составленные по принципу внутрипредметных и межпредметных связей.
Они позволяют параллельно с изучением новогоповторить общие подходы к решению задач из ранее изученного материала. Здесьуспешно применяются групповые формы работы, используется помощь консультантовиз числа успевающих учащихся этого класса. Учащимся, проявляющих повышенныйинтерес к математике, оказывается достаточно времени для более глубокогоизучения вопросов теории. Для них подбираются специальные задания повышеннойтрудности. Таким образом на практических занятиях проводится дифференцированнаяработа с учащимися с учетом интересов как сильных учеников, так и более слабыхиз них.
На этих уроках могут быть использованы различныесредства обучения: дидактический материал, таблицы, ТСО, что помогает тому,чтобы время урока расходовалось экономно, с максимальной отдачей учащихся.
Внешне эти уроки не всегда вписываются втрадиционные схемы, могут со стороны казаться неинтересными, но они приносятбольшую пользу учащимся. Здесь идет кропотливая работа по усвоению знаний,овладению умений, ученики получают ответы на невыясненные вопросы, приобретаютнеобходимые общеучебные навыки, усваивают алгоритмы решения задач, готовятся кзачету или контрольной работе.
Полезно планировать проведение на практическихзанятиях промежуточный контроль, который позволяет своевременно обнаружитьпробелы в знаниях и принять меры по их ликвидации.
Очень важным при обучении математики являетсяпрактикум по решению задач. Эти занятия можно построить таким образом: решениезадач по изучаемой теме проводится в два этапа.
Первоначальный этап – это обучение поиску решениязадач на основе подробного разбора опорных. Особое внимание при этом уделяется(чертежу)схеме, в процессе создание которой учащиеся осваивают особенности исвязи объектов в условии. Так с подробным анализом и обоснованием каждого шагарешаются 8-10 задач. Первый этап решения задач можно закончить зачетом.
Второй этап- решение более сложных задач, при этомзначительно увеличивается роль самостоятельной работы учащихся, но и здесьучитель направляет пути поиска решения задачи. Завершить можно этот этап тожезачетом, в который включены задачи уже разобранные, другие – новые, подобныеразобранным.
На этих занятиях целенаправленна работа позакреплению умений и навыков.

3.3.1 Лабораторная работа
 
Тема урока: Классическаяи статистическая вероятности.
Цель урока:
1) вывестиформулу вероятности;
2) развитьтворческую активность учащихся;
3) воспитатьсамостоятельность, взаимопомощь.
Оборудование: доска,мел, карточки, набор монеток и канцелярских кнопок. Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели занятия.
3. Организация учащихся на проведениелабораторной работы.
Учитель. Теориявероятностей – это математическая дисциплина, изучающая закономерности,происходящие в массовых случайных явлениях.
Многолетняя практика проведения статистическихисследований показывает, что частота обладает свойством устойчивости: вразличных сериях опытов она может быть неодинакова, но при увеличении числасамих опытов она, как правило, стабилизируется.
1) Проведение опыта.Перед изучением «Классического определения вероятности» мы проведемколлективный статистический опыт: одни учащиеся (группа по 2 человека) будутподбрасывать монету, другая половина класса, проведет испытание с канцелярскойкнопкой (учащимся раздается материал для проведения опыта-карточки длявнесения результатов, монетки, кнопки).Номер группы Число испытаний  Герб Цифра Номер группы Число испытаний Вверх Вниз
 

2) Обобщение и систематизация полученныхрезультатов.
Проведя по десять испытаний каждым, объединимполученные сведения и вычислим частоту, соответствующие исходам.
 Если опыт повторен nраз, то событие произойдет приблизительно рпраз. При этом, если событиепроизошло т раз, то частота появления события — число /> и точностьэтого равенства будет тем больше, чем больше n.Иначе говоря, связь, которая существует между опытом и событием ихарактеризуется числом р — вероятностью события в рассматриваемом опыте,выявляется только при многократном повторении этого опыта.
 По полученным в результате опытаданным вычислим частоту выпадения герба и цифры, частота выпадения кнопкиострием вверх и вниз.
Учитель. Французскийученый Жорж Луи де Бюффон (1707-1788) подбрасывал монету 4040 раз (табл.2).Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) подбрасывал монету 24000 раз(табл.3).Исходы Герб Цифра
Число
Испытаний 2048 1992 Частота 0,5069 0,4931
Таблица 2.Исходы Герб Цифра
Число
Испытаний 12012 11988 Частота 0,5005 0,4995
Таблица 3.
Частота выпадения герба при увеличении числа опытов,как правило, все меньше отличается от числа 0,5. Это вполне объяснимо, еслимонета недеформированная, «правильная», т. е. ее центр тяжести совпадает сгеометрическим центром.
Иначе получается при подбрасывании канцелярскойкнопки. Пусть, например, после 10000 подбрасываний кнопки получена таблицачастот (табл.4).
Положение
острия кнопки Вверх Вниз Частота 0,595 0,405
Таблица 4.
Практика показывает, что при большом числе опытовчастота выпадения кнопки острием вверх, как правило, близко к 0,6, а вниз – к0,4.
Теоретически ожидаемое постоянное число, околокоторого группируется (за редким исключением) частоты при массовых испытаниях,называют вероятностью соответствующего исхода (результат наблюдения). Частота– есть эмпирический прообраз вероятности.
Вероятность выпадения герба при подбрасывании монетеравна 0,5. Такая же вероятность выпадения цифры, т.е. равна 0,5. Исходы(результаты наблюдений, имеющие равные вероятности, называют равновозможными).Число 0,6 можно применять за вероятность выпадения кнопки острием вверх, ачисло 0,4 – за вероятность выпадения острием вниз. Эти исходы неравновероятны.
4. Закрепление изученного материала.
Задание.
1. Являются ли равновероятнымиследующие события:
а) Опыт—бросок монеты; события:«выпал герб» и «выпала цифра».
б)  Опыт —бросок неправильноймонеты (погнутой); события: «выпал герб» и «выпала цифра».
в)  Опыт — выстрел по цели;события: «промах» и «попадание».
г)  Опыт — бросок двух монет;события: А = «выпало два герба», В= «выпало две цифры» и С =«выпали герб и цифра».
д)  Опыт — бросок игральной кости;события; А == «выпало не менее трех очков» и В = «выпало не болеечетырех очков».
е)  Опыт — вынимание косточкидомино из полного набора 28 косточек; события: А = «вынуто 6», В =«вынуто пусто».
5. Итоги урока. Вопросы для повторения:
1) Что такое вероятность события?
2) Как определяется частота?
3) Какие подходы существуют для определениявероятности?
6. Постановка домашнего задания.
Задания.
1.  Приведитепример опыта, в котором можно указать три попарно несовместных события, необразующих множество исходов опыта.
2.  Приведитепример опыта и четырех его событий, таких, чтобы эти четыре события несоставляли множество исходов опыта, но одно из них в результате опытапроисходит обязательно.
3.  Приведитепример опыта с тремя исходами.
3.3.2 Практическая работа
Тема урока: Классическоеопределение вероятности.
Цель урока:
1) закрепитьзнание формулы;
2) способствоватьразвитию навыка самостоятельного применения знаний при решении задач, внимания;
3) воспитатьусидчивость, терпение.
Оборудование: доска,мел, набор задач.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели занятия.
3. Изучение нового материала.
Учитель.Изучениепонятия вероятности события обычно начинается с самого простого частногослучая, — так называемого классического определения. Оно опирается на понятиеравновероятности событий.
Начнем с примеров. В опыте сброском монеты события Г=«выпал герб» и Ц = «выпала цифра» очевидноравновероятны. Это утверждение основано на том, что монета симметрична иоднородна. В опыте с броском игральной кости события Q1,Q2,..., Q6 тоже,очевидно, равновероятны. Это следует из однородности материала кости и ее симметричнойформы. Таким образом, равновероятность событий обычно устанавливается исходя изтого, что условия опыта симметричны относительно рассматриваемых событий. Приэтом симметрия понимается в широком смысле этого слова и геометрическаясимметрия, и физическая симметрия (например, однородность материала, изкоторого изготовлена игральная кость или монета) и так далее. То есть для тогочтобы можно было начать, решение задачи средствами теории вероятностей,необходимо, чтобы вероятности некоторых событий в задаче уже были указаны.Откуда же эти вероятности берутся?" Их дают те конкретные науки, в рамкахкоторых возникла решаемая вероятностная задача. При этом зачастую основную рольиграют соображения не математические, а той науки, в рамках которой возникла задача.Понятие равновероятности событий — это есть одна из форм указания начальныхвероятностей.
Теперь можно дать классическоеопределение вероятности случайного события.
Определение.Пустьмножество исходов опыта состоит из nравновероятных исходов. Если mиз них благоприятствуют событию А, то вероятностью события А называется число p(A)=/>
4. Решение задач.
Задание 1. Каковавероятность того, что при броске игральной кости выпадет четное число очков?
Решение.В опыте «бросок игральной кости» мы имеем 6 равновероятных исходов: события Q1, Q2,..., Q6.Нас интересует вероятность события Qч.Этому событию благоприятствуют три исхода опыта: события Q2,Q4и Q6. Следовательноn = 6, т = 3, а искомаявероятность
/>
 
Задание 2.Бросали две монета. Какова вероятность того, что на каждой монете выпал герб?
Решение.Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из трех событий (здесь опыт —фосок двух монет): «на обеих монетах выпал герб» = Г, «на обеих монетахвыпала цифра» = Ц и «на одной монете выпал герб, а на другой монетевыпала цифра» = А. Но интуитивно ясно, что это не равновероятные события— событие А имеет больше шансов появиться. Чтобы получать равновероятныеисходы, внесем в этот опыт некоторое дополнение, которое не изменитвероятностной структуры задачи. Именно, возьмем одну монету медную, а другуюсеребряную. Это добавление позволит выделить равновероятные исходы испытания.Ими будут события Г, Ц, А1= «на серебряной монете выпал герб, намедной монете выпала цифра» и А2 = «на серебряной монете выпалацифра, на медной монете выпал герб». Эти четыре события уже равновероятны,поскольку условия опыта относительно них симметричны. Они также образуют множествоисходов рассматриваемого опыта. Теперь все подготовлено для того, чтобы можнобыло обратиться к теории вероятностен {до сих пор мы пользовались условиямизадачи для выяснения некоторых основных, исходных вероятностей: в нашем случаеэто сводилось к выявлению равновероятных исходов испытания). Равновероятныхисходов испытания 4, т. е. п= 4. Нас интересует вероятность события Г.Ему благоприятствует только один исход, т. е. т =1. Следовательно,искомая вероятность
/>
 
Задание 3. Изсеми одинаковых билетов один выигрышный. Семь человек по очереди и наугад берут(и не возвращают обратно) по одному билету. Зависит ли вероятность взятьвыигрышный билет от номера в очереди?
 Решение.Опишем математическую модель этого примера. Перенумеруем все билеты, начиная свыигрышного. В результате опыта билеты оказываются распределенными междулюдьми, которые занимали определенные места в очереди. Этим упорядочиваетсямножество из семи билетов: на первом месте оказывается билет, взятый человеком,стоявшим в очереди первым; на втором месте оказывается билет, взятый человеком,стоявшим в очереди вторым, и т. д. Таким образом, исходом опыта являетсяполучение некоторой перестановки из 7 билетов, их число n=7!.Поскольку билеты берутся наугад, то все эти. исходы равновероятны. Насинтересует вероятность события А= «человек, стоявший в очереди на k-мместе,взял выигрышный билет». Этому событию благоприятствуют исходы, при которых получаютсяперестановки, имеющие на k-мместевыигрышный билет, а остальные 6 мест заняты произвольной перестановкой изоставшихся шести невыигрышных билетов, их число т= 6! Следовательно,
/>
Видим, что вероятность взятьвыигрышный билет не зависит от номера очереди.
Задание 4.Напяти одинаковых на ощупь карточках написаны буквы: на двух карточках—буква Л ина трех карточках— буква И… Выкладываем наугад эти карточки подряд. Каковавероятность того, что выложится слово ЛИЛИИ?
Решение. Опыт в этой задаче состоитв получении наугад некоторого «слова» из имеющихся пяти букв. Нас интересуетвероятность события С = «получено слово ЛИЛИИ». Для выявленияравновероятных исходов перенумеруем буквы так: Л1, Л2, И1,И2, И3. Теперь в результате опыта мы будем получатьслово из нумерованных букв. События «получено слово Л1И1Л2И2И3»и«получено слово Л2И1Л1И3И2»разные, хотя и в том и в другом случае получено слово ЛИЛИИ, т. е. произошлоинтересующее нас событие С. Выписанные события благоприятствуют событию С.Ясно, что события, выписанные выше, и все возможные аналогичные естьравновероятные исходы нашего опыта. Число их равно числу перестановок вмножестве из пяти элементов, т. е. п= 5!=120. Подсчитаем при помощипринципа произведения число исходов, благоприятствующих событию С.
Рассмотрим множество В= {(Л1Л2);(Л2Л1)}, состоящее из двух возможных перестановокнумерованных букв Л, и множество А, состоящее из шести перестановокнумерованных букв И1И2И3. Каждый исход,благоприятствующий событию С, можно получить так: берем элемент множества В иставим буквы Л (сохраняя их порядок) на первое и третье места в слове.Оставшиеся места занимаем каким-нибудь элементом множества А (не изменяяпорядка нумерованных букв И). Таким образом, каждый исход получается как пара:элемент из В и элемент из А. В силу принципа произведения число таких исходов т= 2 • 6 =12. Вероятность же интересующего нас события />
5. Итоги урока. Вопросы для повторения:
1) Чтотакое вероятность, частота события?
2) Сформулируйтеклассическое определение вероятности?
6. Постановка домашнего задания.
Задание 1.Бросили две игральные кости и сосчитали сумму выпавших очков. Что вероятнееполучить в сумме: 7 или 8?
 Решение.В этой задаче опыт состоит в том, что бросают две игральные кости и берут суммувыпавших очков. Исходы этого опыта таковы: «в сумме выпало 2», «в сумме выпало3» и т. д., «в сумме выпало 12». Но это не равновероятные исходы.Действительно, в сумме может получиться 2 только одним способом: 2 = 1 + 1, а всумме может получиться 4 двумя способами: 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2, т. е. шансовна то, что в сумме получится 4, больше. Теперь попробуем уточнить выбор исходовопыта и рассмотрим такие события: «на одной кости выпало kочков,а на другой — р»: k=1, 2, 3, 4, 5, 6 и р = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но это тоже не равновероятныеисходы опыта: интуиция подсказывает, что выпадение одинакового числа очковменее вероятно, чем разного. Чтобы получить равновероятные исходы, внесем в этузадачу некоторый дополнительный элемент, который не меняет вероятностнуюсторону задачи. Именно, окрасим кости в разные цвета— красный и синий. Но этотэлемент позволит нам, наконец, выявить равновероятные исходы рассматриваемогоопыта. Это будут следующие события: «на красной кости выпало kочков,а на синей — рочков» = (k;p). Посколькукости отличаются только цветом, то ясно, что указанные события равновероятны и,кроме того, они образуют множество исходов нашего опыта. Остается подсчитатьчисло всех исходов. Их 36, поскольку каждое из 6 очков, которые могут выпастьна красной кости; может быть в паре с любым из 6 очков, которые могут выпастьна синей. Теперь подсчитаем число исходов, благоприятствующих рассматриваемымсобытиям. Событию «сумма выпавших очков равна семи» = А благоприятствуютследующие 6 исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2) и (6;1). Следовательно,
/>

Событию «сумма выпавших очков равна8» = В благоприятствуют следующие 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5;3), (6; 2). Следовательно,
/>
Мы видим, что сумма очков 7 естьболее вероятное событие, чем сумма очков 8. Интересно отметить, что этот фактбыл замечен игроками в кости. Попытки его объяснить (и решение ряда задач пострахованию и т. п.) привели к созданию математической теории — начал теориивероятностей.
Задание 2. Вящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугадвынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? (Точныйсмысл выражения «наугад вынимается шар» будет выяснен в процессе решения.)
Решение.В этой задаче рассматривается следующий опыт: из ящика наугад вынимают шар исмотрят его цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двухсобытий: Ч= «вынутый шар черный» и Б = «вынутый шар белый». Ноэти исходы неравновероятны, так как белых шаров больше и шансов вынуть белыйшар больше. Для выявления в этом опыте множества равновероятных исходов внесемв опыт дополнительный элемент, не нарушающий вероятностной структуры задачи, аименно, перенумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1по 12, а черным — номера с 13 по 20. События «вынут шар с номером k»=АKужеравновероятны, так как шары на ощупь неотличимы и вынимаются наугад. Крометого, эти 20 событий образуют множество исходов нашего опыта. Следовательно, п= 20, а интересующему нас событию В благоприятствуют первые 12исходов, т. е. т =12. Следовательно,
/>

Точный смысл выражения «наугадвынимается шар» состоит в том, что введенные события Akравновероятны.
3.4 Геометрическая вероятность. Урок – семинар
 
Семинарыхарактеризуются, прежде всего, двумя взаимосвязанными признаками:самостоятельным изучением учащимися программного материала и обсуждением науроке результатов их познавательной деятельности. На них ребята учатсявыступать с самостоятельными сообщениями, дискутировать, описывать своисуждения. Различают уроки – семинары по учебным задачам, источникам получениязнаний, формами их проведения и т.д. наибольшее распространение получилисеминары, посвященные повторению, углублению и обобщению пройденного материала.Это семинары – развернутые беседы, семинары-доклады, рефераты, творческиеписьменные работы, поименованное чтение, семинар-диспут, решение задач,конференции. Укажем основные случаи, когда предпочтительно организовать уроки ввиде семинаров:
1) приизучении нового материала, если ученики могут его освоить самостоятельно;
2) послепроведения вводных, установочных и текущих лекций. На этих семинарахрассматривается дополнительный материал, приобретаются новые знания,рассматриваются исторические сведения и практические приложения изучаемогоматериала;
3) послеобобщения и систематизации знаний и умений учащихся по изучаемой теме;
4) припроведении урока, посвященного различным методам решения задач, выполнениезаданий и упражнений.
Цель проведениесеминаров состоит в том, чтобы сделать теоретические обобщения,систематизировать изученный материал, отобрать основные методы и способырешения, показать связь математики (теории вероятностей) с жизнью. Проведениесеминарских занятий активизирует процесс обучения, учит учащихся выступать,формирует у них познавательные и исследовательские умения, повышаютматематическую культуру, развивают речь и уровень общения.
Эффективность семинарских занятий в значительноймере зависит от организации его подготовки. На подготовку к семинару необходимовыделить не менее двух недель. Учащимся сообщается тема семинара, основныевопросы теории, по которым будет проведен опрос, указываются задачи, приемамирешения которых должны овладеть все учащиеся, дается некоторый наборнестандартных упражнений, в процессе решения которых необходимо проявитьэлементы творчества. Можно предложить учащимся самим подобрать такие упражненияи показать на семинаре рациональные способы их решения. Распределяютсяиндивидуальные и групповые задания по подготовке сообщений по историирассматриваемого вопроса, его практических и межпредметных приложений. Впроцессе подготовки к семинару ученики по рекомендации учителя изучаютдополнительную литературу, читают научно-популярные книги. Подготовка ксеминару является для учащихся одновременно подготовкой к очередной проверочнойработе и к зачету по теме.
Семинар проводится со всеми учащимися класса.Учитель-координатор подготовки и проведения семинара. Он заблаговременноопределяет тему, цель и задачи семинара, планирует его проведение, формируетосновные и дополнительные вопросы темы, распределяет задания между учащимися сучетом их индивидуальных возможностей, подбирает литературу, проводитконсультации, проверяет конспекты. Семинарское занятие начинается вступительнымсловом учителя, в котором он сообщает тему, план, цель и задачи его проведения,рекомендует на что необходимо обратить внимание, что следует записать, даетдругие советы. Далее обсуждаются вопросы семинара – по каждому вопросу учителюнеобходимо дать комментарии, акцентировать внимание учащихся на главной мысли иматематической идее сообщения, делает дополнения и обобщения, отвечает навопросы учеников. Подводятся итоги, учитель отмечает положительное, анализируетсодержание, форму выступлений учеников, указывает на недостатки и пути ихпреодоления.
Урок – семинар
Тема урока:Геометрическая вероятность.
Цель урока:
1) ввестипонятие геометрической вероятности;
2) способствоватьразвитию логического и пространственного воображения учащихся;
3) воспитатьсамостоятельность, терпение, усидчивость.
Оборудование: доска,мел, чертежи, набор задач.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели занятия.
3. Изучение нового материала.
1) Учитель. Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась изпотребностей практики.
До конца XVII века наука так ине подошла к введению классического определения вероятности, а продолжалаоперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному событию.В 30 – е годы XVIII столетия классическое понятие вероятности сталообщеупотребимым. Так в трактовке Я. Бернулли “ Искусство предположений “присутствуют обе концепции вероятности – классическая и статистическая, обе ониизложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотренияи использования.
Однако уже в первой половинеXVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченнуюобласть применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потомунеобходимо его расширение. Таким толчком послужили работы французскогоестествоиспытателя Ж. Бюффона (1707 – 1788), в которой он сформулировалзнаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил еерешение.
Классического определениявероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных»исходов. К описанию такой ситуации приспособлено геометрическое определениевероятности. Т. о. геометрические вероятности—вероятности попаданияточки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).
Пусть отрезок l составляет частьотрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнениеследующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точкеотрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональнадлине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Вэтих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяетсяравенством
Р== Длина l/Длина L. (5)
Для иллюстрации схемыгеометрических вероятностей рассмотрим следующие задачи.
2) Ученик. ПарадоксБертрана. Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность, что еедлина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника?
Решение 1. По соображениям симметрии можно заранее задатьнаправление хорды. Проведем диаметр, перпендикулярный к этому направлению.Очевидно, что только хорды, пересекающие диаметр в промежутке от четверти дотрех четвертей его длины, будут превосходит стороны правильного треугольника.Таким образом, искомая вероятность равна />
Решение 2.По соображениям симметрии можно заранее закрепить одиниз концов хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и двестороны правильного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по600. Условию задачи благоприятствуют только хорды, попадающие всредний угол. Таким образом, при этом способе вычисления искомая вероятностьоказывается равной />
Решение 3.Чтобы определить положение хорды, достаточно задать еесередину. Чтобы хорда удовлетворяла условию задачи, необходимо, чтобы еесередина находилась внутри круга, концентрического данному, но половинногорадиуса. Площадь этого круга равна одной четверти площади данного; такимобразом, искомая вероятность равна />
Причина неоднозначностирешения нашей задачи заключается в том, что за решение одной и той же задачи,пользуясь тем, что в условии задачи не определенно понятие проведения хорды наудачу, выдаются решения трех различных задач.
В самом деле, в первом решениивдоль одного из диаметров заставляют катится круглый цилиндрический стержень(рис. 7, а). Множество всех возможных мест остановки этого стержня естьмножество точек отрезка AB длины, равной диаметру. Равновероятными считаютсясобытия, состоящие в том, что остановка произойдет в интервале длины h, где бы внутридиаметра ни был расположен этот отрезок.
Во втором решении стержень,закрепленный на шарнире, расположенном в одной из точек окружности, заставляютсовершать колебания размером не более 1800(рис. 7, б). При этомпредполагается, что остановка стержня внутри дуги окружности длины h зависит только отдлины дуги, но не от ее положения. Таким образом, равновероятным событиямсчитаются остановки стержня в любых дугах окружности одинаковой длины.Несогласованность определений вероятности в первом и во втором решенияхстановится совершенно очевидным после такого простого расчета. Вероятностьтого, что стержень остановится в промежутке от A до x, согласно первомурешению равна /> Вероятность того, что проекция точки пересечениястержня с окружностью во втором решении попадет в тот же интервал, какпоказывают элементарно – геометрические подсчеты, равна
/> при />
и
/> при />
/>
а) б) в)
Рис. 7.
Наконец, в третьемрешении мы бросаем на удачу точку внутрь круга и спрашиваем себя о вероятностипопадания внутрь некоторого меньшего концентрического круга (рис. 7, в).
Различие постановок задач во всехтрех случаях совершенно очевидно.
3) Ученик.Задача Бюффона.Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а.На плоскость наудачу брошена игла длины 2l (l
Решение. Обозначим через x расстояние отцентра до ближайшей параллели и через – /> угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины x и /> полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглыопределяются точками прямоугольника со сторонами a и />. Из рис. 8 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо идостаточно, чтобы
/>
Искомая вероятность в силусделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 9области к площади прямоугольника
/>
Заметим, что задача Бюффонаявляется исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы,учитывающих размеры наряда.
/>
Рис. 8. Рис. 9.
Полученная формула былаиспользована для опытного определения приближенного значения числа />. Таких опытов с бросанием иглы было проведено довольно много. Мыприведем результаты лишь некоторых из них:Экспериментатор  Год Число бросаний иглы Экспериментательное число Вольф 1850 5000 3,1596 Смит 1855 3204 3, 1553 Фокс 1894 1120 3, 1419 Лаццарини 1901 3408 3, 1415929
/>Так как из полученной нами формулы следует равенство
/>
то при большом числе бросаний n приближенно
/>
где m – числопроисшедших при этом пересечений.
Заметим, что в результатеФокса и Лаццарини заслуживают малого доверия. Действительно, в опыте Лаццаринизначение />получилось с шестью точными знаками после запятой.Изменение числа пересечений ( числа m ) на единицу меняет по меньшей мере четвертыйдесятичный знак, если n меньше 5000. В самом деле ( /> ).
/>
4) Учитель.В XX веке интерес к геометрической вероятности не ослабел, а вырос,поскольку, помимо чисто математического интереса, они приобрели и серьезноеприкладное значение. Схема геометрических вероятностей успешноприменяется в астрономии, атомной физике, биологии, кристаллографии.
Современное развитие теориивероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширениемкруга ее практических применений. За последние десятилетия теория вероятностейпревратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, теснейшим образомсвязанную с потребностями практики и техники.
 5. Итоги урока. Учитель обобщаетизученный материал:
Замечание 1. Приведенные определения для вычисления геометрическойвероятности в начале урока (формула (5)) являются частными случаями общегоопределения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь,объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (вуказанном выше смысле) в область g—часть области G, равна
Р = mesg/mesG.
Замечание 2. В случае классического определения вероятностьдостоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы иобратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событиеневозможно). В случае геометрического определения вероятности обратныеутверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки водну определенную точку области G равна нулю, однако это событие можетпроизойти, и, следовательно, не является невозможным.
 6. Постановка домашнего задания.
 Задание. На плоскости начерчены две концентрические окружности,радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка,брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построеннымиокружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигурупропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположенияотносительно большого круга.
Решение. Площадь кольца (фигуры g) Sg=/>
Площадь большого круга (фигурыG) />
Искомая вероятность Р=/>
 
3.5 Основы теории вероятностей. Урок – консультация
 
На уроках данного типа проводится целенаправленнаяработа по ликвидации пробелов в знаниях учащихся, концентрируется вниманиеучащихся на главных и существенных моментах изучаемой темы, вырабатываютсяумения учиться, обобщается и систематизируется материал. Учитель на такихзанятиях анализирует подробно ответы всех учеников, такой анализ повышаетинтерес школьников к работе, подводит каждого из них к пониманию пробелов илидостижений, к необходимости работать над преодолением недостатков. Взависимости от содержания и назначения выделяют тематические и целевыеуроки-консультации. Тематические проводятся либо по каждой теме, либо понаиболее значимым, сложным вопросам программного материала. Целевыеконсультации входят в систему подготовки, подведения итогов самостоятельных иконтрольных работ, зачетов, экзаменов. Это могут быть уроки работы надошибками, уроки анализа какой-то творческой деятельности или подготовкиучащихся к семинару. На консультациях сочетаются различные формы работы сучащимися: коллективные, групповые и индивидуальные.
Готовится к урокам-консультациям необходимо какучащимся, так и учителю. Учитель систематизирует затруднения, недочеты, ошибкив устных и письменных ответах учеников. Делает логико-дидактический анализтемы, на этой основе уточняет перечень возможных вопросов, которые будутрассмотрены на консультации. Ребята приучаются в свою очередь готовиться кконсультациям — сроки, вопросы и задания которых заранее объявляются.
На первых уроках-консультациях учащиеся затрудняютсязадавать вопросы, поэтому их нужно заранее приучать к этому. Можно наканунедать задание каждому составить карточки неясных вопросов, поработать с учебником,заново прочитать текст и записать непонятное. Самому же учителю к первымурокам-консультациям необходимо готовить вопросы, прогнозируя на нихзатруднение у учащихся, ошибки в ответах. Учителю необходимо уточнить переченьвозможных вопросов, которые будут рассмотрены на уроке, обобщить в единые блокипо сходственным идеям, отобрать наиболее значимые и существенные, перенесяостальные на другие формы дополнительных занятий с учащимися. Хорошо когдавместо предложенных заданий учитель решает более общую задачу, когда идет поискответа на поставленный вопрос и он становится общим делом в деятельностиучителя и учеников.
В ходе урока-консультации учитель получаетвозможность узнать учеников с лучшей стороны, пополнить сведения о желании ихпродвижения, выявить наиболее любознательных и пассивных, поддержать и помочьтем, кто испытывает затруднения.
Урок-консультация
Тема урока:Основы теории вероятностей.
Цель урока:
1) способствоватьустранению пробелов в знаниях учащихся;
2) обобщитьи систематизировать изученный материал;
3) способствоватьразвитию творческой активности, мышления, памяти.
Оборудование: доска,мел, набор задач.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели занятия.
3. Актуализация базовых знаний. Фронтальныйопрос.
1. Всясовокупность событий условно может быть разделена на 3 вида (группы) – какие?
а) случайные, которые могут произойтилибо не произойти;
б) невозможные, которые заведомо немогут произойти;
в) достоверные, которые заведомопроизойдут при выполнении определенного комплекса условий.
2. Что такое вероятность, частота события?
Теоретически ожидаемое постоянное число, околокоторого группируется (за редким исключением) частоты при массовых испытаниях,называют вероятностью соответствующего исхода (результат наблюдения). Частота– есть эмпирический прообраз вероятности.
3. Сколько подходов (один или несколько) существуетдля определения вероятности события?
Классический, статистический игеометрический.
4. Дайте классическое определение вероятности?
Вероятность события Aопределяетсяформулой P(A)= />
где m — число элементарныхисходов, благоприятствующих А;
n— число всех возможных элементарных исходов испытания.
4. Решение задач.
Задание 1. Вкоробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскивают наугад nшаров. Рассмотрим событие С: среди nвынутых шаров окажутся шары ровно mцветов.
Для каждого nот 1 до 9 и каждого m от 1 до 4 определите,какое это событие — невозможное, случайное или достоверное, и заполнитетаблицу.  Характеристика события С в зависимости от n и m
/> Число
 расцветок
 (m)
 Число
шаров (n)  1  2  3  4  1  Д  Н  Н  Н  2  С  С  Н  Н  3  С  С  С  Н  4  Н  С  С  Н  5  Н  С  С  Н  6  Н  С  С  Н  7  Н  Н  Д  Н  8  Н  Н  Д  Н  9  Н  Н  Д  Н
 
Задание 2.Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру инабрал се наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение. Обозначим через А событие—набрана нужная цифра.Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможныхэлементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуютполную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишьодна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующихсобытию, к числу всех элементарных исходов:
Р (A) ==1/10.
 
Задание 3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние двецифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найтивероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение. Обозначим через В событие—набраны две нужные цифры.Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составленоразмещений из десяти цифр по две, т. е. />. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Этиисходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствуетсобытию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов,благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
Р(B)=1/90.

Задание 4. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставленаточка B (х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОB и ВА имеет длину,большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки наотрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения начисловой оси. Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равныечасти. Требование задачи будет выполнено, если точка В (х) попадет на отрезок CD длины L/3.Искомая вероятность
P==(L/3)/L=1/3.
Пусть плоская фигура g составляет частьплоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнениеследующих предположений: брошенная точка, может оказаться в любой точке фигурыG, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площадиэтой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. Вэтих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяетсяравенством
Р = Площадь g/ Площадь G.
5. Итоги урока. Вопросы для повторения:
1) Накакие 3 группы может быть условно разделена вся совокупность событий?
2) Сколькои какие подходы существует для определения вероятности события?
3) Сформулируйтеклассическое и геометрическое определения вероятности?
 6. Постановка домашнего задания: подготовитсяк уроку-игре»Восхождение на пик знаний» ( повторитьтеоретический материал и решение задач по изученной теме).

3.6 Урок – игра «Восхождение на пик знаний»
 
Игра «Восхождение на пик знаний» являетсямногоцелевой, поскольку позволяет решить комплекс дидактических задач. Устныеупражнения дают возможность повторить основные понятия, факты, законы,развивают логическое мышление, речь учащихся. Письменные задания представленына карточках и каждый ученик может выбрать оптимальный путь решения, продемонстрировавумение точно излагать математическую мысль и показать владение материалом.
В конце игры учитель подводит итоги, выставляяоценки отдельным учащимся, награждает призами выигрышную команду.
Урок – игра
Тема урока:Основы теории вероятностей.
Цель урока:
1) повторитьизученный материал;
2) расширитькругозор учащихся.
Цель игры:
1) повыситьинтерес к математике;
2) способствоватьразвитию внимания, взаимопомощи, чувства товарищества
Оборудование:плакат с указанными маршрутами, набор карточек.
Структура урока.
1.Сообщение темы и цели занятия.
2. Организация учащихся на проведенияигры.
Учитель сообщает правила игры:игровое поле представляет собой рисунок с горным пейзажем и 2 маршрутамивосхождения, на которых отмечены привалы, пронумерованные от 1 до 3. Передначалом игры формируется 2 команды, выбираются капитаны. Команды находятся наисходных позициях –«базах». В начале игры капитаны команд получают карточки сустными логическими упражнениями, которые решаются коллективно. Выполнив первоезадание команда может начать двигаться по маршруту, выбрав себе номер маршрута.
Письменные задания выполняются у доски. Правильноерешение задачи у доски одним из членов команды дает возможность продвинутся к«пику знаний». В противном случае она должна оставаться на привале, пока непридут «спасатели» (члены другой команды).
В случае, если команда быстро и успешно продвигаетсяпо маршруту от привала к привалу, то учитель может объявить «спуск снежнойлавины», предложив команде коллективно решить еще одну задачу.
Выигрывает команда, которая правильно выполнит всезадания и достигнет «пика знаний».
3. Организация учащихся на выполнение работы.
Учитель помогает сформироватькоманды, раздает карточки с заданиями и следит за ходом игры.
Устные логические упражнения
Задание 1 команде. Натетрадный лист бумаги в линейку бросают иглу (расстояние между линейками 1 см).При какой длине иглы событие А: игла пересекла 5 линий
Будет: а) невозможным; б) случайным; в) достоверным?
Ответ. а) меньше 4см;
б) больше 4 см;
в) ни при какой.
Задание 2 команде. Издома до школы ученик идет пешком от 10 до 15 минут, а едет на троллейбусе – от2 до 3 минут. При каких интервалах движения троллейбусов событие
А: по пути в школу ученик обгонит хотя бы одинтроллейбус
Будет: а) невозможным; б) случайным; в) достоверным?
Ответ. а) ни при какой;
б) больше 7 минут;
в) меньше 7 минут.
Задачи для решения на привалах
Привал 1
Задание 1 команде. Вкоробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскивают наугад nшаров. Рассмотрим событие А: среди вынутых шаров окажутся шары ровно трехцветов. Для каждого n от 1 до 5определите, какое это событие — невозможное, случайное или достоверное, изаполните таблицу.
Решение.Число вынутых шаров (n) 1 2 3 4 5 Характеристика События А Н Н С С С
 
 
Задание 2 команде. Вкоробке снова 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскивают наугад 4 шара.Рассмотрим событие В: среди вынутых шаров окажутся шары ровно mрасцветок. Для каждого mот 1 до 4 определите, какое это событие — невозможное, случайное или достоверное,и заполните таблицу.
 
Решение.
 Число расцветок (m) 1 2 3 4 Характеристика события В Н С С С
 
 
 
Привал 2
Задание 1 команде. Приперевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартныхдеталей утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная(после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятностьтого, что была утеряна стандартная деталь.
Решение.
Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не моглабыть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21+10-1=30),причем среди них было 20 стандартных (21-1=20). Вероятность того, что былапотеряна стандартная деталь,
P=/>
 
Задание 2 команде. Приперевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартныхдеталей утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная(после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятностьтого, что была утеряна нестандартная деталь.
Решение.
Среди 30 деталей, каждая из которых могла бытьутеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартнаядеталь,
P=/>
 
Привал 3
Задание 1 команде. Внутрькруга радиуса R наудачу брошена точка.Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональнаплощади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.
Решение.
Введем обозначения: R-радиус круга, а – сторона вписанного квадрата, А – попадание точки в квадрат, S– площадь круга, S1– площадь вписанного квадрата. Как известно площадь круга S=pR2.Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражаетсяформулой />,поэтому площадь квадрата S1=2R2.Полагая в формуле Sg=S1,SG=S,находим искомую вероятность
/>
 
Задание 2 команде. Внутрькруга радиуса R наудачу брошена точка.Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильныйтреугольник. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть кругапропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительнокруга.
Решение.
Введем обозначения: R-радиус круга, а – сторона вписанного равностороннего треугольника, А –попадание точки в треугольник, S– площадь круга, S1– площадь вписанного равностороннего треугольника. Как известно площадь круга S=pR2.Сторона вписанного равностороннего треугольника через радиус описаннойокружности выражается формулой />,поэтому площадь треугольника S1=/>. Полагая вформуле Sg=S1,SG=S,находим искомую вероятность
/>
 
4. Итоги урока:
1) объявляется команда победителей;
2) вручаются похвальных грамоты наиболее активнымучастникам игры;
3) коллективноразбираются нерешенные задачи или предлагаются другие способы решения задач.

Заключение
В процессе выполнения выпускной квалификационнойработы было проведено исследование по совершенствованию методическипреподавания школьной стохастики. Исходя из психолого-педагогических иметодических особенностей разработан и апробирован факультативный курс«Элементы теории вероятностей» для 10-11 классов общеобразовательной школы,рассчитанный на 6 уроков.
Экспериментальное преподавание проводилось в школе №43 ст. НоводеревянковскойКаневского района среди учащихся 10 классов, посещавшихфакультативный курс. Достаточно высокий уровень усвоения знаний учащихся позволяетсудить об эффективности факультативных занятий при обучении теории вероятностейв старших классах общеобразовательной школы.
Таким образом в результате выполнения выпускнойквалификационной работы поставленная цель достигнута, задачи выполнены.
Перспектива дальнейшего применения материалавыпускной квалификационной работы состоит в том, что она может бытьиспользована в качестве дополнительного пособия при ознакомлении с методикойпреподавания основ теорией вероятностей в средней школе как студентами ипреподавателями вузов, так и учителями общеобразовательных школ при обучениитеории вероятностей.
Так как ведущее место средифакторов, определяющих продуктивность дидактического процесса, занимаютмотивация учения и интерес к учебному труду, то использование материалаприложений (исторической справки, внеклассного мероприятия «По страницамистории») при введении основ теории вероятностей в изучение, поможет учителю нетолько побудить интерес к теории вероятностей, но и раскроет непосредственнуюблизость теории вероятностей с жизнью, с практикой и другими науками.

Список литературы
 
1. Абрамова Г.С.Возрастная психология. – М.: Академия, 1999.-235с.
2. АверьяновД.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. Математика: Большой справочник для школьников ипоступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1998.-864с.: ил.
3. Антипов И.Н.,Виленкин Н.Я., Иващев–Мусатов О.С. Избранные вопросы математики: Факультативныйкурс 9 класс. – М.: Просвещение,1979.-191с.: ил.
4. АфанасьевВ.В. Теория вероятностей в примерах и задачах. – Ярославль: ЯГПУ, 1994.-127с.
5. Баврин И. И.,Фрибус Е.А. Старинные задачи. – М.: Просвещение, 1994.
6. БунимовичЕ.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика для школьников. – М.: Дрофа,2001.-204с.
7. БунимовичЕ.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики.-//Математика в школе.-2002.- № 4.-с.52 –58.
8. Буренок И.И.,Туйбаева Л.И., Цедринский А.Д. Психолого-педагогические и методические аспектыурока математики. – Славянск – на – Кубани, 2000.- 72с.
9. Бычкова Л.О.,Селютин В.Д. Об изучении вероятностей и статистики в школе. — //Математика вшколе. –1991.-№6.-с. 9-12.
10. ГнеденкоБ.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1965.-453с.: ил.
11. Гнеденко Б.В.Статистическое мышление и школьное математическое образование. — //Математика вшколе.- 1999.-№ 6.-с.2 – 6.
12. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа,2000.-479с.: ил.
13. Гмурман В.Е.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высшая школа, 2001.-400с.: ил.
14. Министерствообразования РФ. Программы для общеобразовательных школ, гимназий,лицеев: Математика 5-11 классов. – М.: Дрофа, 2002.
15. Мотикас В.С.Школьнику о теории вероятностей: Учебное пособие по факультативному курсу дляучащихся 8-10 класса. – М.: Просвещение, 1976.-104с.
16. ПодласыйИ.П. Педагогика: Книга 1. – М.: Владос, 2000.-576с.
17. ПодласыйИ.П. Педагогика: Книга 2. – М.: Владос, 2000.-256с.
18. Рослова Л.О.О новых книгах издательства «Дрофа». — //Математика.-1999.- № 21.- с. 38-40.
19. СоловейчикИ.Л. Я иду на урок математики: 6 класс. – М.: Первое сентября, 2001.-320с.: ил.
20. СтепашевВ.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе. – М.:Просвещение, 1991.-97с.
21. СтоляренкоЛ.Д. Основы психологии. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1999.-672с.
22. Тарасов Л.В.Мир, построенный на вероятности: книга для учащихся. – М.: Просвещение,1984.-153с.
23. ТокмазовГ.В. Укрупнение дидактических единиц в задачах по теории вероятностей. — //Математика в школе.-1999.- № 4.- с.81 – 84.
24. ФедосеевВ.Н. Элементы теории вероятностей для VII – VIII классов средней школы. — //Математика в школе. -2002.- № 4.-с.58 – 64.
25. ФедосеевВ.Н. Элементы теории вероятностей для IX классов средней школы. — //Математикав школе.-2002.- № 5.- с.34 – 40.

Приложение 1
 
Внеклассное мероприятие по математике для старшихклассов на тему: «По страницам истории»
Тема: Постраницам истории.
Девизы урока:
О, сколько нам открытий чудных…
Пушкин А.С.
Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – самый благородный,
Путь подражания – самый легкий
И путь опыта – это путь самый горький…
Конфуций
Цель урока:
1) Развить творческую активность;
2) показать нестандартные способы решения задач потеории вероятностей;
3) побудить интерес к теории вероятностей,математике.
Учитель объявляет тему урока, зачитывает девизы,подчеркнув лаконичность, целенаправленность, точность народной мудрости исоответствие выбранных изречений задачам урока.
Обращает внимание учеников на то, что математикамного дает для умственного развития человека – заставляет думать, соображать,искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление,умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует память, внимание,формирует многие учебные навыки и умения, закаляет характер. Учитель знакомитучащихся со старинными задачами науки о случайном – показывает связь прошлого ссовременностью.
Учитель:Ещев глубокой древности появились различные игры. В Древней Греции и Риме широкоераспространение получили игры в астрагалы (то есть бросание костей изконечностей животных) и игральные кости (кубики с нанесенными на граняхточками). В настоящее время игральные кости иногда изготовляют в виде додекаэдрови икосаэдров. В одной из азартных (слово «азартный» происходит от арабского«азарт» — трудный, то есть редко выпадающие комбинации костей) игр бросалиодновременно четыре астрагала и фиксировался результат.
Худший бросок, при котором выпадает более однойединицы, назывался «собакой». Лучшим броском считался бросок «Венера», когда начетырех астрагалах выпадали различные грани. Позднее азартные игрыраспространились в Средневековой Европе.
В частности, в XIVвеке появились игральные карты. В XVIIвеке азартные игры способствовали зарождению и становлению комбинаторики инауки о случайном (теории вероятностей). Ученые XV-XVIIвеков много внимания уделяли решению задач о дележе ставки, об игре в кости,лотереях и т. п.
Задачи о дележе ставки.
До середины XVIIне было правильных задач о справедливом разделении ставки. В 1654 году междуфранцузским математиком Блезом Паскалем и Пьером Ферма возникла переписка поповоду ряда задач. Из переписки Паскаля и Ферма сохранилось лишь 3 письмаПаскаля и 4 письма Ферма.
Эти письма впервые были опубликованы в Тулузе. Вэтой переписки оба ученых, хотя и несколько разными путями, приходят к верномурешению, деля ставку пропорционально вероятности выиграть всю ставку, если играбудет продолжена.
Совпадение результатов великих ученых при решениизадач о дележе ставки послужило для Паскаля поводом шутливо заметить в первомписьме к Ферма от 29 июля 1654 года: «Как я вижу, истина одна: и Тулузе, и вПариже ». Ферма со своей стороны нашел решение и для более сложного случая,когда игра происходит между произвольным числом игроков.
Задачи Блеза Паскаля. Какразделить ставку при игре трех выигрышных партий, если один игрок выиграл двепартии, а другой – одну и каждым вложено в игру по 32 пистоля?
Решение.
Свое решение задачи Паскаль наиболее полно изложил вписьме к Ферма от 29 июля 1654 года: « Вот примерно, что я делаю дляопределения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на трипартии и каждым вложено в игру по 32 пистоля.
Предположим, что один выиграл две партии, а другой –одну. Они играют еще одну партию, если ее выигрывает первый, то он получает всюсумму в 64 пистоля…; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрокбудет иметь две выигранные партии, и, следовательно, если они намерены произвестираздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.
Примите же во внимание, монсеньер, что если первыйвыиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32. Еслиже игроки не намерены рисковать… и хотят произвести раздел, то первый долженсказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получилбы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами.Случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, крометого, бесспорную сумму в 32 пистоля». Как видно из рассуждений Паскаля, первыйигрок должен получить 48 пистолей, а второй — 16».
Как разделить ставку при игре трех выигрышныхпартий, если один игрок выиграл две партии, а другой – ни одной и каждымвложено в игру по 32 пистоля?
Решение.
Ответы, предложенные паскалем, таковы: первый игрокдолжен получить 56 пистолей, а второй – 8. рассуждения при решении подобны тем,которые были проведены при решении предыдущей задачи: если бы первый игроквыиграл еще одну партию, то ему причиталось бы 64 пистоля, если бы проиграл –48 пистоля, а остаток 16 делится поровну.
Как разделить ставку при игре трех выигрышныхпартий, если первый игрок выиграл одну партию, а второй- ни одной и каждымвложено в игру по 32 пистоля?
Решение.
Пусть игроки сыграют еще одну партию. Если еевыиграет первый, то он будет иметь, как и в предыдущем случае, 56 пистолей.Если он ее проиграет, то у обоих окажется по одной выигрышной партии и первомуследует получить 32 пистоля. Первый игрок может сказать: «Если вы не хотитеиграть эту партию, дайте мне мой бесспорный выигрыш в 32 пистоля, а остаток от56 пистоля разделим поровну…то есть возьмем каждый по 12 пистолей, что с 32пистолей составит 44 пистоля». Значит, первый игрок должен получить 44 пистоля,а второй – 20 пистолей.
Для случая, когда первый игрок выиграл одну партию,а второй – ни одной, Паскаль приводит формулу W=A+A*(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...2n),где А – ставка каждого игрока, а W– ожидание выигрыша первого игрока.
Как видно, во всех случаях Паскаль делит ставкупропорционально вероятности выигрыша при продолжении игры. Оригинальный методПаскаля трудно применить к более сложным случаям.
Задачи Пьеро Ферма. Пустьдо выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В – трех. Каксправедливо разделить ставку, если игра прервана?
Решение. Письмо Ферма, вкотором он излагает свой метод решения, не сохранилось, но его можновосстановить из ответного письма Паскаля от 24 августа 1654 года. РассуждениеФерма сводится к следующему. Игра может быть продолжена максимум еще 4 партии.Для перебора всех возможных случаев Ферма составляет таблицу, где выигрышипартий игроками А и В обозначены соответственно буквами а и в. Из 16 возможныхисходов первые 11 благоприятны для выигрыша игроком А всей встречи, а остальные5 исходов благоприятны для игрока В. следовательно, 11/16 ставки долженполучить игрок А, а игрок В – 5/16. Как видно, Ферма предлагает разделитьставку пропорционально вероятностям выигрыша всей встречи.
 Паскаль решает эту задачу на основе изучениясвойств арифметического треугольника, приведенного в его «Трактате обарифметическом треугольнике», опубликованном посмертно в Париже в 1665 году. Онскладывает количество партий, недостающих игрокам А (2) и В (3) берет ту строкутреугольника (рис. 1), в котором количество членов равно найденной сумме, тоесть пятую.
1
11
12 1
13 3 1
14 6 4 1
Рис.1.
Тогда доля игрока А будет равна сумме членовнайденной строки, начиная от единицы, причем количество слагаемых равно числупартий, недостающих игроку В (3), а доля игрока В равна такой же сумме, но сколичеством слагаемых, равном числу партий, недостающих игроку А (2).Выписываем строку, в котором находятся пять чисел. Это будет 1, 4, 6, 4, 1. следовательно,ставку нужно разделить в отношении 11:5. при таком решении ставка делитсяпропорционально вероятностям выиграть всю ставку для игроков А и В.
То есть, правило Паскаля состоит в следующем: пустьигроку А до выигрыша всей игры не хватает mпартий, а игроку В – n партий, тогдаставка должна делиться между игроками в отношении />.
Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостаетодного очка, а двум другим (В и С) недостает по два очка. Как справедливоразделить ставки?
Решение. Перебор всех возможныхслучаев можно представить таблицей.
При рассмотрении такой таблицы Паскаль допустилнеточность в рассуждениях, считая, что из 27 возможных исходов бесспорноблагоприятствуют игроку А лишь 13, а исходы пятого, одиннадцатого,девятнадцатого столбцов благоприятствуют сразу и игроку А и игроку В(аналогичные исходы девятого, пятнадцатого, двадцать четвертого столбцовблагоприятствуют игроку А и игроку С). Поэтому доли игроков в этих случаях следуетбрать с половинным весом. В результате Паскаль ошибочно предлагал делить ставкув отношении 16: /> вместо17:5:5.
Задачи о гаданиях.
По преданию, когда – то в сельских местностях Россиисреди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке шестьтравинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая связывалаэти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинококазывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушкав текущем году выйдет замуж.
Задача (для самостоятельного решения).
Какова вероятность того, что травинки призавязывании наудачу образуют кольцо?
Ответ. 8/15.

Приложение 2
 
История развития теориивероятностей
Начало систематическогоисследования задач, относящимся к массовым случайным явлениям, и появлениесоответствующего математического аппарата относятся к XVII веку. В начале XVIIвека знаменитыйфизик Галилей уже пытался подвергнуть научномуисследований ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные иоценивая их вероятности. К этому же времени относятся первые попытки созданияобщей теории страхования, основанной на анализе закономерностей в таких массовыхслучайных явлениях, как заболеваемость, смертность, статистика несчастныхслучаев и т. д. Необходимость создания математического аппарата, специальноприспособленного для анализа случайных величин, вытекала и из потребностейобработки и обобщения обширного статистического материала во всех областяхнауки.
Однако теориявероятностей как математическая наука сформировалась, в основном, не наматериале указанных выше задач: эти задачи слишком сложны; в них законы,управляющими случайными явлениями, проступают недостаточно отчетливо изатушеваны многими осложняющими факторами. Необходимо было сначала изучитьзакономерности случайных явлений на более простом материале. Таким материаломисторически оказались «азартные игры». Эти игры с незапамятных временсоздавались рядом поколений именно так, чтобы в них исход опыта был независимот поддающихся наблюдению условий опыта, был чисто случайным. Само слово«азарт» (фр. «lehasard»)означает «случай». Схемы азартных игр дают исключительные по простотеи прозрачности моделей случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливойформе наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы; а возможностьнеограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальнуюпроверку этих законов в условии действительной массовости явлений. Вплоть донастоящего времени примеры из области азартных игр и аналогичные им задачи на«схему урн» широко употребляются при изучении теории вероятностей какупрощенной модели случайных явлений, иллюстрирующие в наиболее простом и наглядномвиде основные законы и правила теории вероятностей.
Возникновение теориивероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века исвязано с исследованиями Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Гюйгенса(1629-1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенносформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание;были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Непосредственноепрактическое применение вероятностные методы нашли прежде всего в задачахстрахования. Уже с конца XVII векастрахование стало производится на научнойматематической основе. С тех пор теория вероятностей находит все более широкоеприменение в различных областях.
До конца XVII века наука так ине подошла к введению классического определения вероятности, а продолжалаоперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному событию.В 30 – е годы XVIII столетия классическое понятие вероятности сталообщеупотребимым.
Крупный шаг вперед в развитиитеории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного изважнейших положений теории вероятностей – так называемый закон большихчисел, а также в трактовке Бернулли “Искусств предположений “ присутствуют уже обе концепции вероятности –классическая и статистическая, обе они изложены не очень четко, но существенното, что они уже введены в рассмотрения и использования.
Еще до Якова Бернулли многиеотмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую можноназвать " свойством устойчивости частот при большом числе опытов".Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого изкоторых является случайным, относительная частота появлений каждого данногоисхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому специальномучислу – вероятности этого исхода. Например, если много разбросать монету,относительная частота появления герба приближается к/>; при многократном бросании игральной кости частота появления грани спятью очками приближается к /> и т. д. Яков Бернулли — простейшая форма закона больших чисел –устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; придостаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидатьсколь угодно близкого совпадения частот с вероятностью.
Однако уже в первой половинеXVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченнуюобласть применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимоего расширение. Таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж.Бюффона ( 1707 – 1788 ), в которой он сформулировал знаменитую задачу обросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение.
В XX веке интерес кгеометрической вероятности не ослабел, а вырос, поскольку, помимо чистоматематического интереса, они приобрели и серьезное прикладное значение вфизике, биологии, медицине, инженерном деле и др.
Другой важный этап вразвитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667-1754). Этотученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновалсвоеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: такназываемый нормальный закон (иначе – закон Гаусса). Нормальный закон, как мыувидим далее, играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы,обосновавшие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностейобщее название «центральной предельной теоремы».
Выдающаяся роль вразвитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику Лапласу(1749-1827). Он впервые дал стройное и систематическое изложение основтеории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельнойтеоремы (теорема Моавра — Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теориивероятностей к вопросам практики, в частности к анализу ошибок наблюдений иизмерений.
Значительный шаг впередв развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777-1855),который дал еще более общее обоснование нормальному закону и и разработал методобработки экспериментальных данных, известный под названием " методанаименьших квадратов". Следует также отметить работы Пуассона(1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму законабольших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачамстрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющийбольшую роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Для всего XVIII иначала XIX века характерны бурное развитие теории вероятностей и повсеместноеувлечение ею. Теории вероятностей становится «модной» наукой. Ееначинают применять не только там, где это применение правомерно, но и там, гдеоно ничем не оправдано. Для этого периода характерны многочисленные попыткиприменить теории вероятностей к изучению общественных явлений, к так называемым«моральным» и «нравственным» наукам. Во множестве появилисьработы, посвященные работам судопроизводства, истории, политики, дажебогословия, в которых применялся аппарат теории вероятностей. Для всех этихпсевдонаучных исследований характерен чрезвычайно упрощенный, механическийподход к рассматриваемых в них общественным явлениям. В основу рассужденияполагаются некоторые произвольно заданные вероятности ( например, прирассмотрении вопросов судопроизводства склонность каждого человека к правде илилжи оценивается некоторой постоянной, одинаковой для всех людей вероятностью),и далее общественная проблема решается как простая арифметическая задача.Естественно, что все подобные попытки были обречены на неудачу и не могли сыгратьположительную роль в развитии науки. Напротив, их косвенным результатомоказалось то, что примерно в 20-х – 30-х годах XIX века в Западной Европеповсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием искептицизмом. На теории вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную,второсортную, род математического развлечения, вряд ли достойную серьезногоизучения.
Замечательно, чтоименно в это время в Росси создается та знаменитая Петербургская математическаяшкола, трудами которой теории вероятностей была поставлена на прочнуюлогическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективнымметодом познания. Со времени появления этой школы развитие теории вероятностейуже теснейшим образом связано с работами русских, а в дальнейшем – советскихученых.
Среди ученыхПетербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского(1804-1889) – автора первого курса теории вероятностей на русском языке,создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальныхисследований в области статистики и демографии.
Учеником В. Я.Буняковского был великий русский математик П. Л. Чебышев (1821-1894).Среди обширных и разнообразных математических трудов П. Л. Чебышев заметноеместо занимают его труды по теории вероятностей. П. Л. Чебышеву принадлежитдальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П. Л.Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов.
Учеником П. Л. Чебышевабыл А. А. Марков (1856-1922), также обогативший теорию вероятностейоткрытиями и методами большой важности. А. А. Марков существенно расширилобласть применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы,распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшейзаслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветвитеории вероятностей – теории случайных, или «стохастических»,процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей,современной теории вероятностей.
Учеником П. Л. Чебышевабыл А. М. Ляпунов (1857-1918), с именем которого связано первоедоказательство центральной предельной теоремы при чрезвычайно общих условиях.Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный методхарактеристических функций, широко применяемых в современной теориивероятностей.
Характернойособенностью работ Петербургской математической школы была исключительнаячеткость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методови наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требовании практики.Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей былавыведена с задворок науки и поставлена как полноправный член в ряд точныхматематических наук. Условия применения ее методов были строго определены, асамые методы доведены до высокой степени совершенства.
Современное развитиетеории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резкимрасширением круга ее практических применений. За последние десятилетия теориявероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук,теснейшим образом связанную с потребностями практики и техники. Советская школатеории вероятностей, унаследовала традиции Петербургской математической школы,занимает в мировой науке ведущее место.
Здесь мы назовем тольконекоторых крупнейших советских ученых, труды которых сыграли решающую роль вразвитии современной теории вероятностей и ее практических приложений.
А. Я. Хинчин(1893-1959) известен своими исследованиями вобласти дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главнымобразом своими исследованиями в области так называемых стационарных случайныхпроцессов.
До недавнего временитеория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку,в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Естественно, чтоприложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованыи встречали порой резкую критику. Однако эти обстоятельства мало смущалиестествоиспытателей, и их наивных теоретико-вероятностных подходов в различныхобластях науки приводило к крупным успехам. Развитие естествознания в началепрошлого столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования.Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теориивероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование еерезультатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. Приэтом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положеныпредпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта.
В современнойматематике принято аксиомами называть те предположения, которые принимаются заистинные и в пределах данной теории не доказываются. Все остальные положенияэтой теории должны выводится чисто логическим путем из принятых аксиом.Формулировка аксиом, т.е. тех фундаментальных положений, на базе которыхстроится обширная теория, представляет собой не начальную стадию развитияматематической науки, а является результатом длительного накопления фактов илогического анализа полученных результатов с целью выявления действительноосновных первичных фактов. Именно так складывались аксиомы геометрии,первоначальное знакомство с которыми дается в курсе элементарной математики.Подобный же путь прошла и теория вероятностей, в которой аксиоматическоепостроение ее основ явилось делом сравнительно недавнего прошлого. Впервыезадача аксиоматического построения теории вероятностей как логическисовершенной науки была поставлена и решена в 1917 году известнымматематиком С.Н. Бернштейном, а также он существенно расширил областьприменения предельных теорем… При этом С.Н. Бернштейн исходил из качественногосравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.
Имеется иной подход,предложенный А.Н.Колмогоровым. этот подход тесно связывает теориювероятностей с современной метрической теорией функций, а также теориеймножеств. Аксиоматическое построение теории вероятностей отправляется изосновных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического истатистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, такимобразом, как частные случаи включает и классическое и статистическоеопределения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалосьпостроить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в тоже время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.
А.Н. Колмогоров дал наиболеесовершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с однимиз важнейших разделов современной математики – метрической теории функций.Особое значение имеют работы А. Н. Колмогорова в области теории случайныхфункций (стохастических процессов), которые в настоящее время основой всехисследований в данной области. Работы А. Н. Колмогорова, относящиеся к оценкеэффективности легли в основу целого нового научного направления в теориистрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий.
В. И. Романовский (1879-1954) и Н. В. Смирнов известны своими работами вобласти математической статистики, Е. Е. Слуцкий (1880-1948) – в теориислучайных процессов, Б. В. Гнеденко – в области теории массовогообслуживания, Е. Б. Дынкин – в области марковских случайных процессов, В.С. Пугачев – в области случайных процессов в применении к задачамавтоматического управления.
Развитие зарубежной теориивероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи снастоятельными требовании практики. Преимущественным вниманием пользуются, каки нас, вопросы, относящиеся к случайным процессам. Значительные работы в этойобласти принадлежат, например, Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу. Важныеработы по теории вероятностей и математической статистики принадлежат Р.Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.
За последние годы мы стали свидетелями рожденияновых и своеобразных методов прикладной теориивероятностей, появление которых связано со спецификой исследуемых техническихпроблем. Речь идет, в частности, о таких дисциплинах, как «теорияинформации» и «теория массового обслуживания». Возникшие изнепосредственных потребностей практики, эти разделы теории вероятностейприобретают общее теоретическое значение, а круг их приложения постоянноувеличивается
Связь теориивероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено, былаосновной причиной бурного развития ее в последние десятилетия. Многие ееразделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков. Здеськстати вспомнить слова основателя отечественной школы теории вероятностей П. Л.Чебышева
«Сближение теориис практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика отэтого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает имновые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных…если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новыхразвитий ее, то она еще более приобретает открытием новых методов, и в этомслучае наука находит себе верного руководителя в практике».