--PAGE_BREAK--A. Сравнение Дохода
Ожидаемый доход от аукционов может также однозначно оцениваться во многих случаях. Выберем произвольный аукцион М в F, и установим равновесие. Мы сосредотачиваемся на активных претендентах с (, v), для любого . Определим вероятность того, что произвольно выбранный претендент либо не участвует, либо предлагает ниже, чем претендент типа — (, v):
,
где по Р2 и Р3, непрерывно и строго возрастает с
Так как это единственное предложение, которое определяет ожидаемую оплату, все типы на данной кривой изобида, создают ту же самую ожидаемую оплату. Кроме того, для любого предложения, там существует тип с бюджетом , который делает то же самое предложение из-за P4. Поэтому, мы можем выражать ожидаемый доход продавца, в прелах платежей от типов с бюджетом . Определенно, мы вычисляем ожидаемый доход, объединяя платежи этих типов по связанным кривым изобидам. Пусть , будет ожидаемая оплата которую претендент типа — (w, v) делает в равновесии, и пусть. Тогда, ожидаемый доход от аукциона М будет:
(1)
Теперь вычислим Предположим, что все другие претенденты используют B (•, •). Тогда, претендент типа — (, v) выбирает (то есть, подражает стратегии типа) , чтобы увеличить до предела своё чистое активное сальдо.
(2)
Заметим, что ожидаемая стоимость его оплаты равна ожидаемой оплате, так как претендент не стеснён.[19] В равновесии, подражая этой стратегии другой тип не может оплатить, поэтому . Пусть , обозначает заключительное равновесие ожидаемой выгоды для претендента. Так как претендент с (,) должен быть безразличен к участию, . Для , Теорема огибающей и интегрирование дают нам:
(3)
Объединение (2) и (3) дают нам ожидаемую оплату типа (, v):
(4)
Заменяя (4) в (1) и интегрируя по частям, получим ожидаемый доход продавца
(5)
где — функция распределения второго порядка, статистических данных из N случайных переменных, полученных независимо от . Это выражение для ожидаемого дохода напоминает стандартный случая без финансовых ограничений (см., например, Milgrom (1989)). Фактически, ожидаемый доход — точно тот же самый как в гипотетической модели, где претенденты не стеснены, но их оценки получены от функции распределения . Важным различием, конечно, является то, что эндогенно определена выбранной здесь стратегией равновесия, вот почему неуравновесие может возникать в присутствии финансовых ограничений. Когда различные формы аукциона стимулируют различные стратегии предложения цены, то, оценки претендентов как бы получены от различных функций распределения в гипотетической модели. Следующий результат естественно, вытекает из этого.
Теорема 2.Если и для всех , то аукцион А приносит ожидаемый доход лишь немного выше, чем аукцион B. Оценка точна, если там существует интервал из v на которой.
Доказательство. Т.к. доминирует над,
Эти два равенства следуют из (5), и неравенство следует т.к. для всех .[20] Очевидно, для интервала v. ||
Т.к. более плоские кривые изобиды, указывают, что претенденты меньше затруднены финансовыми ограничениями, можно было бы ожидать, что конкуренция будет более жестокой, когда кривые изобиды более плоские. Это предположение подтверждено ниже.
Заключение. Если аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству относительно аукциона B, тогда А приносит ожидаемый доход слегка выше, чем B. Оценка точна, если единственное общее свойство строго выполняется.
Доказательство.По определению, единственное общее свойство подразумевает для любого активного типа (, v), который подразумевает что . Таким образом, результат следует из Теоремы 2. Точная оценка аналогично. ||
3. АУКЦИОНЫ С ВЫНУЖДЕННЫМИ БЮДЖЕТОМ ПРЕТЕНДЕНТАМИ
В следующих двух разделах, мы используем результаты предшествующего раздела, чтобы сравнить первичные и вторичные аукционы. В первом аукционе, лицо, предлагающее самую высокую цену выигрывает и оплачивает свое предложение; на последнем, лицо, предлагающее самую высокую цену выигрывает и платит второе – самое высокое предложение вторичной цены (или резервную цену, если никакой другой претендент не вступает в торги). Первичные аукционы часто используются, чтобы продать правительственные права, типа прав на добычу полезных ископаемых, и чтобы заключать контракты по закупке для Американского Департамента Обороны и Департамента транспорта, например. Вторичные аукционы используются в форме стратегического эквивалента — открытые устные аукционы, чтобы продать права на заготовку древесины.
В этом разделе, мы сосредоточимся на претендентах, которые стоят перед абсолютными ограничениями на то, что они могут потратить. (Мы рассмотрим более общий случай в следующем разделе.) Определенно, претендент типа – (w, v) терпит убытки стоимостью
Когда он тратит x. Полезно исследовать этот специальный случай, так как здесь мы можем характеризовать равновесие и показывать его существование в каждой форме аукциона. Кроме того, возможно сравнение и доход и социального активного сальдо. Мы предполагаем, что , что является достаточным для того чтобы Предположения 1-4, выполнялись. Второе неравенство делает присутствующее ограничение бюджета значительным.
Прежде чем продолжать дальше мы должны рассмотреть возможность, что покупатель предлагает больше чем его бюджет и затем меняет своё предложение. Мы предполагаем, что продавец не продаст объект покупателю, который меняет своё предложение, и что он также налагает на него небольшой штраф.[21] На первичном аукционе, победитель оплачивает своё предложение, поэтому предложить больше чем его бюджет не будет оптимальным, учитывая такую ответную реакцию продавца. Если предложение выигрывает, штраф делает чистое активное сальдо покупателя отрицательным, в то время как не имеется никакой выгоды, если предложение не побеждает. Теперь рассмотрим вторичный аукцион, и предположим, что претендент побеждает с предложением превышающим его бюджет. Или претендент победил бы так или иначе с той же самой оценкой (то есть вторторичное — самое высокое предложение — ниже бюджета победителя) или он побеждает с оценкой выше его бюджета, что приводит к отрицательному активному сальдо. Еще раз, это — доминирующая стратегия предлагать выше своего бюджета.
A.
Вторичные аукционы
Пусть резервная цена . Тогда, только покупатели с минимумом будут участвовать. Мы показываем, что доминирующая стратегия для участвующего покупателя, это предложить минимум. Если, то ограничение бюджета не стесняется, так что доминирующая стратегия — предложить , следуя Vickrey (1961). Если , тогда тот же самый аргумент подразумевает, что предложение цены , доминирует над предложением цены менее строго, т.к. с предложения цены выше бюджета, также доминируют, доминирующая стратегия состоит в том, чтобы предложить свой бюджет в этом случае. Графически, стратегия представлена семейством кривых изобид Леонтьева с петлями на линии 45 градусов (смотри типичную кривую изобиды на Фигуре 3). Предлагающая цену стратегия ясно удовлетворяет P1-P4.
Рассмотрим претендента с (, v), . Набор типов, которые не участвуют или которые предлагают более низкую цену:
Пусть G (w, v) обозначает вероятность того что w '
Произвольно выбранный покупатель находится в с вероятностью .
B.
Первичные аукционы
Пусть - резервная цена. Покупатель i участвует тогда и только тогда когда минимум . Мы рассматриваем функции предложения равновесия формы для некоторой непрерывной, строго возрастающей функции. (Позже мы покажем, что любое симметрическое равновесие должно выбрать эту форму, данную условием средней непрерывности). Стратегия предложения цены снова приводит к кривым изобидам Леонтьева, с добровольными претендентами, принимающими стратегию (см. Фигуру 3). Теперь мы охарактеризуем .
Рассмотрим претендента с (, v), для любого , т.к. , такой претендент должен быть добровольным. В равновесии, набор типов, которые не участвуют или которые предлагают более низкую цену предложения, чем претендент типа — (, v)
Произвольно выбранный покупатель находится в этом наборе с вероятностью Проблема, стоящая перед претендентом с (, v) такая же самая, как если бы все претенденты были добровольны, с оценками, взятыми из распределения . Стандартный результат без ограничений бюджета (например, Riley и Samuelson (1981)) тогда подразумевает, что симметрическая функция предложения равновесия должна удовлетворить условию:
для . (6)
В существование нет необходимости, однако, т.к. зависит от непосредственно. Следующее техническое предположение гарантирует существование единственной функции предложения равновесия.
Предположение 5. (N- l) w + (G (w, v)) / ( (w, v)) строго увеличивается в w для всех .[22]
Лемма 1. Согласно Предположению 5, существует единственное, симметрическое равновесие, в котором претенденты с минимумом используют функцию предложения , где удовлетворяет (6), и является непрерывной и строго возрастающей.
Согласно Лемме 1, P1-P4 удовлетворены. Чтобы устанавливать идеи относительно этой стратегии предложения цены, предположим, что есть два покупателя, каждый из которых имеет (w, v) взятых однородно на [0, 1] , и не принимают никакой резервной цены. Тогда, стратегия равновесия добровольного типа предлагающего цену, определяется решением дифференциального уравнение
в . Его числовое решение графически изображено на Фигуре 2а Ла (см. кривую внизу), вместе с поверхностью, соответствующей равновесному предложению цены Фигуре 2b. Для сравнения, Фигура 2а также отображает стратегию, предлагающую равновесие, когда оценка претендента выбрана однородно на [ 0, 1 ], но ни один претендент не стоит перед обязательным ограничением . Очевидно, присутствие ограничений бюджета делает даже добровольных покупателей менее агрессивными.
C.
Доход и социальное активное сальдо
Наши результаты из раздела 2 могут быть использованы, чтобы оценить действия альтернативных аукционов. Уравнение (6) подразумевает что для всех . Это гарантирует, что первичный аукцион удовлетворяет точному единственному общему свойству относительно вторичного аукциона (см. Фигуру 3). Следующая оценка осуществляется непосредственно.
Суждение 1. Учитывая вторичный аукцион с резервной ценой , первичный аукцион с той же самой резервной ценой принесёт более высокое социальное активное сальдо, строго выше ожидаемого социального активного сальдо и строго выше ожидаемого дохода.
Фигура 2а
Фигура 2b
Доказательство. Резервная цена влечет за собой в первичном аукционе. Так как для , первичный аукцион удовлетворяет точному единственному общему свойству относительно вторичного аукциона. Таким образом, результаты следуют из Теоремы 1 и Заключения. ||
Фигура 3
Оценки доход и активного сальдо можно объяснять различиями в степени, с которой ограничения бюджета стесняют участников аукциона. На вторичном аукционе, побеждающий претендент платит меньше чем его предложение (с вероятностью один), принимая во внимание, что победитель оплачивает своё предложение на первичном аукционе. Поэтому, при отсутствии ограничений бюджета, предложение выше на вторичном аукционе чем на первичном аукционе. Это означает, что ограничение бюджета, более вероятно, стесняет участников на вторичном аукционе. В Фигуре 3, область типов с ограниченным бюджетом строго больше на вторичном аукционе, чем на первичном аукционе. (То же самое предположение приводится в примере во Введении, где набор типов с ограниченным бюджетом был меньший на первичном аукционе, учитывая ту же самую резервную цену.) Если большее количество типов финансово ограниченны, тогда менее вероятны предложения, которые отражают оценки претендентов. Таким образом, товар с меньшей вероятностью достанется претенденту, который оценивает это выше, что понижает социальное активное сальдо на вторичном аукционе. Увеличенная вероятность наличия претендентов с ограниченным бюджетом также уменьшает ожидаемый доход продавца. Так как ограничение бюджета больше ограничивает предложение на вторичном аукционе, эта форма аукциона приносит меньший ожидаемый доход.
Вышеупомянутый результат непосредственно уместен для правительственных аукционов, где и социальное активное сальдо и доход очевидно являются важными вопросами (смотри McMillan (1994)). В частности этот результат совместим с редко встречающимися устными аукционами.[23] На частных аукционах, напротив, продавец может не беспокоиться относительно социального активного сальдо, так что он может просто выбирать резервную цену, чтобы получить максимальный ожидаемый доход. Интересно, что та же самая оценка социального активного сальдо сохраняется даже в этом случае, т.к., как мы покажем ниже, продавец выбирает более низкую резервируемую цену на первичном аукционе чем на вторичном аукционе. Предположим, что в то время как увеличение запасной цены не оказывает никакого эффекта на предложения равновесия на вторичном аукционе, оно поднимает предложения равновесия добровольных типов на первичном аукционе. Последний эффект делает ограничения бюджета более плотными на первичном аукционе, так что продавец там имеет меньший стимул чтобы поднять резервную цену.
Суждение 2. Продавец, который хочет получить максимальную прибыль, выбирает резервируют цену на первичном аукционе немного ниже чем на вторичном аукционе (более точно если frs, является оптимальной на вторичном аукционе, тогда там существует которая является оптимальной на первичном аукцион). Учитывая оптимальные резервные цены, ранжирования Суждения 1 сохраняются.
4. ПРИГОДНОСТЬ КРЕДИТА
Большинство покупателей имеет доступ к некоторой форме кредита или к другим источникам фондов. Общая функция стоимости расхода представлена в Разделе 2 соответствует ситуациям, когда претенденты, стоят перед финансовыми затратами, которые увеличиваются в процессе их оплаты. Мы покажем, что один из главных результатов Раздела 3 приводит к общим функциям стоимости: доход первичного аукциона доминирует над вторичным аукционом. Теорема 2 снова позволяет нам получать оценку без того, чтобы определить равновесие полностью.
A.
Вторичные аукционы
Предположим, что продавец назначает резервную цену . Покупатель типа — (w, v) участвует тогда и только тогда когда . Для активного претендента с (w, v), это теперь доминирующая стратегия предложить самый высокий b, который удовлетворяет .[24] Более высокое предложение могло бы привести к выигрышу по цене выше чей-либо оценки, в то время как более низкое предложение могло бы привести к выше упомянутому выигрышу по цене ниже чей-либо оценки, без уравновешивающей выгоды если это не изменяется победителя. С этой стратегией равновесия, все основные свойства в Разделе 2 все удовлетворены.
Лемма 2. Согласно Предположениям 1-4, вторичный аукцион удовлетворяет P1-P4.
Рассмотрим претендента типа — (, v*), для любого . Мы теперь охарактеризуем набор типов, которые предлагают более низкие цены или не вступают в торги. В соответствии с Предположением 4, С () = для любого , так тип (, v*) имеет доминирующую стратегию предложения цены v*. Теперь рассмотриv произвольного претендента с (w, v). Если , то он не может быть претендентом типа — (, v*) Более точно,
если . (7)
Мы используем (7) для сравнения дохода.
B.
Первичные аукционы
Решение участвовать аналогично для первичного аукциона. Если продавец назначает резервную цену , покупатель типа — (w, v) участвует тогда и только тогда когда . Предположим, что существует равновесие, при котором активные претенденты принимают непрерывную стратегию предложения цены, . Пусть , обозначает вероятность того, что предложение b побеждает в равновесии. Для всего (w, v) таких, что , функция предложения равновесия должна удовлетворить условию
(8)
Это подходит для последующего анализа, чтобы установить следующую Лемму.
Лемма 3. Если существует равновесие с непрерывной стратегией предложения цены то P3 и P4 удовлетворены. Кроме того, строго возрастает и дифференцируема внутри диапазона предложений равновесия.
Рассмотрим добровольный тип , для любого . Если он предлагает в равновесии, то, Лемма 3,
. (9)
Мы теперь охарактеризуем набор типов, которые предлагают меньше чем претендент типа — . Рассмотрим произвольного претендента типа — (w, v) с . Если он предлагает немного меньше чем b* в равновесии, тогда[25]
(10)
т.к. и p ' (b *) и p (b *) строго положительны, Лемма 3, (9) и (10) подразумевают что
(11)
Стратегии предполагающие равновесие охарактеризованы как в Подразделе 3. Неравенство в (11) определяет набор и Равновесие добровольных претендентов, предлагающих стратегию , тогда неявно определено условием (6), использующим новую функцию распределения . Предложения цены стратегий для типов с ограниченным бюджетом характеризовано условием (10), . Мы опускаем детали характеристики равновесия, так как необходимое условие (11) будет достаточно для нашего сравнения дохода.[26]
C.
Сравнение Дохода
Мы теперь готовы показать доминирование дохода первичного аукциона над вторичным аукционом. Положим . В свете Теоремы 2, это достаточно, чтобы показать, что для всех . Рассмотрим произвольно . Как показано выше, если тип предлагает , то (w, v) должен удовлетворить (11). Предположим сначала что . Тогда, выпуклость подразумевает
(12)
Вместе с (11), (12) приводит к . Теперь предположим что . По условию (9) , что подразумевает что . Любой путь , и (7) подразумевает, что , что доказывает что . Этот последний результат подразумевает отношение стохастического доминирования, требуемого в Теореме 2. Поэтому, получена следующая оценка дохода.
Суждение 3. Относительно вторичного аукцион с резервной ценой , первичный аукцион с той же самой резервной ценой принесёт более высокий ожидаемый доход, чем вторичный аукцион. Оценка точна если функция C(b, w) строго выпукла при некотором предложении равновесия, предлагают , для некоторого w.
Доказательство. Слабая оценка дохода следует немедленно из преобладания стохастической собственности как показано выше. Строгая оценка получена следующим образом. Если C (b, w) – строго выпуклое в некотором предложении равновесия , для некоторого w, тогда там существует , такое что . Это предполагает что , следуя из вышеупомянутого доказательства. Теперь из-за непрерывности функции предложения равновесия в обеих формах аукциона, существует интервал, содержащий v* в который . Строгая классификация тогда следует из Теоремы 2.
Как было показано ранее, различия в том, как крайняя стоимость расхода победителя растёт с его предложением приводят к оценке. Это предложение может быть далее понято при сравнении со случаем с несклонными к риску претендентами (см. Holt (1980), Riley иSamuelson (1981), иMaskin иRiley (1984)). В этих документах, претендент имеет вогнутую по Ван-Ньюману-Моргенстерну полезность над его чистым активным сальдо.[27] Следовательно, риск, связанный с различием в чистом активном сальдо приводит к классификации дохода. На первичном аукционе, претендент несклонный к риску имеет стимул сгладить своё чистое активное сальдо (разница между выигрышем и проигрышем). Он выполняет это, предлагая цену более настойчиво. Напротив, предложения неподверженные принятию риска на вторичном аукционе. В нашей модели, претендент с выпуклой функцией оплаты имеет стимул сгладить свою оплату (между выигрышем и проигрышем). Таким образом, претенденты менее агрессивны в обеих формах аукциона, но более на вторичном аукционе, потому что оплата победителя случайна.[28]
5.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Мы изучили проведения первичных и вторичных аукционов, когда покупатели стоят перед финансовыми ограничениями. Наш результат таков, что вторичные аукционы приносят доход ниже ожидаемого и ниже социального активного сальдо чем первичные аукционы и предполагает, что последние не использовались, когда присутствуют ограничения. Этот результат исследований совместим с редким использованием устной формы аукционов на Американских правительственных аукционах (см. сноску 23).
Методика, которую мы развили, может применяться для широкого диапазона форм аукциона, для которых равновесие кривых изобид может быть охарактеризовано. Аукционы полной оплаты и другие мероприятия, которые требуют того, чтобы проигравшие платили, например плата за вход, могут изучаться с небольшим изменением нашей методики. Аукционы полной оплаты могут ослаблять ограничения бюджета, распространяя платежи среди претендентов, так что они имеют тенденцию проводиться лучше, чем стандартные аукционы.[29] Использование входной платы на первичных аукционах имеет подобный эффект: если резервная цена заменена соответствующей платой за вход, ограничения бюджета облегчены, т.к. многие претенденты могут сами оплачивать маленькие суммы, скорее, чем единственный выигравший претендент, оплачивает большую сумму. Таким образом, ожидаемый доход увеличивается с использованием входной платы (Che и Gale(1996b)).
Признание практической важности финансовых ограничений – ещё один вывод этой работы. Взгляды на проблемы, содержащиеся в этой работе и те новые перспективы, которые предложены, могут также пролить свет на многие важные проблемы, которые долго бросали вызов практикам, но только недавно обратили на себя академическое внимание. Представим короткий список.
(i) Размер коммерческих единиц
Продавцы часто имеют некоторый контроль над ценностью объекта(цели) для продажи. На аукционах по продаже прав на минеральные ресурсы, например, и длительность арендного договора и область охваченная им, могут быть различны, чтобы изменить его ценность. Точно так же ценность лицензии, чтобы работать на рынке, зависит критически от того, сколько лицензий продано на том же самом рынке. Продажи большего количества лицензий будут вести к более конкурентоспособной рыночной структуре и могут привести к меньшей объединенной ценности проданных лицензий. Масштаб и резервная экономика которые часто присутствуют на правительственных аукционах, благоприятствуют увеличивающемуся размеру коммерческой единицы. Присутствие финансовых ограничений благоприятствуют противоположность. Ограниченный размер и ценность объектов (целей) выставленных на аукционе может облегчать финансовые ограничения, перед которыми стоят претенденты и увеличить, предлагающее цену соревнование. Недавние дебаты по поводу размеров рыночных областей на аукционах PCS отражают это.
(ii) Совместное участие в торгах и слияния компаний
Проблема размера коммерческих единиц глубоко связана с проблемами совместного участия в торгах и слияний компаний потенциальных претендентов. При отсутствии ограничений бюджета, совместное участие в торгах и слияния компаний потенциальных претендентов просто уменьшает количество потенциальных претендентов, которые могут понизить доход. В присутствии финансовых ограничений, однако, эти меры могут увеличивать предлагающее цену соревнование, ослабляя ограничения.
(iii) Продажа корпоративного контроля, проект процедур банкротства
Финансовые ограничения важны на рынке корпоративного контроля. Shieifer и Vishny (1992) говорят, что корпоративный контроль не может накапливаться до партии с самым высоким потенциалом наличного потока, из-за дефицитов рынка капитала. Наша модель имеет ту же самую особенность. Кроме того, наш анализ говорит, что точный коммерческий формат имеет значение. Эта перспектива может пролить далее свет на то, как улучшить процедуры банкротства, особенно когда может быть желательно провести прямой аукцион,[30] и управление которым должно быть использовано, чтобы разместить активы банкрота.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство Леммы 1
Доказательство имеет три части. Первая часть показывает, что любая симметрическая функция предложения равновесия должна принимать форму для некоторый непрерывный, строго возрастающей функции . Вторая часть устанавливает существование единственной функции предложения удовлетворяющей (6) которая строго возрастает. Третья часть показывает, что функция предложения устанавливает равновесие. Здесь, мы представляем третью часть. Первая и вторая часть содержатся в Che и Gale (1995) и также имеют силу.
Мы покажем, что стратегия предложения, описанная в Лемме 1, и есть стратегия предложения равновесия. Рассмотрите произвольного претендента с . Если все остальные применяют , претендент выбирает , чтобы получить максимально:
.
( Инверсия хорошо определена, так как функция предложения строго возрастает.) Связь по Лагранжеру, с нашей проблемой:
где и — множители, связанные с этими двумя ограничениями. Заметим что:
если
Второе равенство следует из (6). Ясно, =0 т.к. . Если то . Если , тогда и дополнительное ослабление подразумевает что
Доказательство Суждения 2
На произвольном аукционе M в F, продавец для получения максимального дохода выберет резервную цену так, чтобы максимизировал (5). В первичных и вторичных аукционах, резервная цена r влечет за собой . Предложения равновесия добровольных типов независимы от резервной цены на вторичном аукционе, но они зависят от резервной цены на вторичном аукционе. С небольшим злоупотреблением примечанием, мы запишем чтобы обозначить предложение равновесия добровольного типа с , учитывая резервную цену r, в первичном аукционе (т.е. функция удовлетворяет (6) для .) Полезно установить сначала следующий результат.
Факт 1 для т.е. не уменьшающаяся
Доказательство. Установите r и . Руководствуясь (6), , т.к. непрерывно в , согласно Лемме 1 следует что для , но достаточно близко к r. Благодаря непрерывности это теперь удовлетворяет тому, чтобы показать что, всякий раз, когда для некоторого v > r, для всего. Последний факт имеет место всякий раз т.к. ,
.
Используя Факт 1, мы теперь готовы доказать Утверждение 2. Заметим сначала что для резервной цены r. Теперь, пусть и обозначают ожидаемый данный доход резервную цену r в первичном и вторичном аукционах, соответственно. Дифференцируя (5) относительно r, для и , мы получаем
или
где — распределение второго порядка, статистических данных из случайных переменных, произведенных и , обозначает его производную относительно первого аргумента, вышеупомянутое неравенство выполняется т.к. и почти для каждого согласно Факту 1. Неравенство подразумевает, что всякий раз это строго оплачивают, чтобы понизить резервную цену на вторичном аукционе, это также делается и на первичном аукционе. Тогда следует, что, учитывая максимизирущую доход резервную цену на вторичном аукционе, чуть слабее максимизирует резервную цену ожидаемый доход на первичном аукционе. С резервной ценой, которая незначительно ниже, ясно вытекает оценка Суждения 1: оценка дохода следует из Суждения 1, а показанным предпочтением продавца, и оценка социального активного сальдо следуют из Теоремы 1 для . ||
Доказательство Леммы 2
Ясно, что P1 удовлетворен по определению вторичного аукциона. Покажем, что другие свойства выполняются по порядку.
(i) P2: Мы построили доминирующую стратегию в тексте, и мы показываем её непрерывность здесь. Для любого (w, v), равновесное предложение самое высокое удовлетворяет . Мы показываем что, для любого интервала содержащей b, равновесие для типа также содержится в этом интервале, если достаточно близко к . Выберем любое , и рассмотрим , такое что. Так как , Предположение 2 подразумевает, что стремится к поскольку стремится к w. Поэтому для , достаточно близкого к (w, v). Теперь выберем любое . Если , тогда (так как C (x,w) непрерывен в х для , выпуклостью), поэтому для , достаточно близкого к (w, v). Теперь, предположим что . Предположение .2 подразумевает, что непрерывна, поэтому для достаточно близкого к w, это подразумевает, что для , достаточно близкого к (w, v). В сумме для , достаточно близкого к (w, v). Объединяя эти два доказательства, мы делаем вывод непрерывно.
(ii) P3- Слабая монотонность следует легко из Предположений 1, 3, и 4, которые подразумевают что C (x, w) не возрастающая в . Чтобы показать строгую монотонность, для любого (w, v), снова предположим что , самое высокое значение удовлетворяет . Рассмотрим любой . В соответствии с Предположением 3 для любого там существует , такое что
.
тогда следует, что существует такое что который подразумевает .
(iii) P4: Согласно данным P3 и Предположения 4, претендент типа делает самым высоким предложение, 6, и доброволен. Точно так же тип — претендент делает самое низкое и добровольное предложение . Если, учитывая непрерывность функции , тогда выполняется P4 . ||
Доказательство Леммы 3
Учитывая непрерывность равновесия Bayes-Nash, монотонность слабо сохраняется т.к. плата увеличивается с предложением в смысле стохастического господства первого порядка (см. сноску 16). Предложение равновесия должно возрастать строго, когда и w и v возрастают (строго монотонно), иначе существовал бы прямоугольник типов, который делал бы те же самые предложения, которые непоследовательны с равновесием, т.к. предпочтительнее возрастание подъема предложения. Таким образом, P3 выполняется. Учитывая непрерывность и монотонность предложений, P4 также выполняется, так как претенденты с делают, и максимальные и минимальные предложения равновесия, и они добровольны, в соответствии с Предположением 4
Теперь мы покажем, что строго возрастает, и дифференцируемо внутри интервала предложений равновесия. Строгая монотонность очевидна, так как никакое предложение не может быть сделано с положительной вероятностью. Если возрастает, оно дифференцируемо почти по всему этому интервалу. Выберем произвольное b внутри интервала предложений равновесия и пусть и обозначают правые и левые производные в b, соответственно. (Правые и левые пределы в b оба равный , так как непрерывна). Так как b находится внутри предложений равновесия, . Кроме того, там существует тип который предлагает b (согласно P4). В соответствии с Предположением 4, для, поэтому
. (Al)
. ( A2)
Предположим, что (А1) выполняется со строгим неравенством. Тогда, имеется открытый прямоугольник типов достаточно близких к , с , которые также предпочитают предлагать b. Следовательно, предложение b представлено с положительной вероятностью, что не может происходить в равновесии, так как тогда было бы тогда лучше предложить немного более высокую цену b. Поэтому, (А1) должно выполнятся с равенством. Но и симметричное доказательство (A2) выполняется с равенством. Мы делаем вывод что =. ||
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ:
AGHION, P., HART, 0. and MOORE, J. (1994), «Improving Bankruptcy Procedure», (Mimeo., Harvard University).
ARMSTRONG, M. (1996), «Optimal Nonlinear Pricing by a Multiproduct Firm». Econometrica,64, 51 75.
AYRES, Г. and CRAMTON, P. (1996), «Pursuing Deficit Reduction through Diversity: How Affirmative Action at the FCC Increased Auction Competition», Stanford Law Review (forthcoming).
BAIRD, D. G. (1986), «The Uneasy Case for Corporate Reorganizations», Journal of Legal Studies 15 127-147. BEROSTEN, С. F., ELLIOTT. К. A., SCHOTT, J. J. and TAKACS, W. E, (1987) Auction Quotas and United States Trade Policy (Washington: Institute for International Economics).
BLACK, J. and DE MEZA, D. (1992), «Systematic Price Differences Between Successive Auctions arc No Anomaly», Journal of Economics and Management Strategy,1, 607-628.
СНЕ, Y.-K. and GALE. 1. (1995), «Auctions with Financially-Constrained Buyers», (SSRI Working Paper No.9452R, University of Wisconsin-Madison).
СНЕ, Y.-K. and GALE, I. (1996a), «The Optima.! Mechanism for Selling to Budget-Constrained Buyers», Mimeo., University of Wisconsin-Madison).
СНЕ,V.-K. and GALE, (. (1996b), «EntryFees vs. Reserve Prices in First-Price Sealed-Bid Auctions», (Mimeo., University of Wisconsin-Madison).
CRAMTON, P. C. (1995a), «Money out of Thin Air: The Nationwide Narrowband PCS Auction», Journal of economics and Management Strategy, 4, 267-343.
CRAMTON, P. C. (l995b), «The PCS Spectrum Auctions; An Early Assessment» (Miroeo., University of Maryland).
FAZZARI, S. M., HUBBARD, R. G.,and PETERSEN, B. C. (1988a), «Financing Constraints and Corporate Investment», Broolcings Paper м
Economic Activity,1,141-95.
FAZZARI, S. M., HUBBARD, R. G„ and PETERSEN, B. C, (1988b), «Investment, Financing Decisions, and Tax Policy», American Economic Review, 78, 200-205.
FUDENBERG,D, and TIROLE, J. (1991) Game Theory (Cambridge: The МГГpress).
GALE, I., and HAUSCH, D. (1994), «Bottom-Fishing and Declining Prices in Sequential Auctions», Games and Economic Behavior, ^, 318-331.
GENESOVE, D. (1993), «Adverse Selection in the Wholesale Used Car Market», Journal of Political Economy, 102, 53-75.
GERTLER, M., and GILCHRIST, S. (1994), «Monetary Policy, Business Cycles and the Behavior of Small Manufacturing Firms», Quarterly Journal of Economics,109, 309-340.
HART, 0. (1991), «Theories of Optimal Capital Structure: A Principal-Agent Perspective», Paper prepared for the Brookings Conference on Takeovers, LBO's, and Changing Corporate Forms.
HENDRICKS, K. and PORTER, R. (1992), «Joint Bidding in Federal OCS Auctions», American Economic Review, Sl, 506-511
HOLT, C. A., Jr. (1980), «Competitive Bidding for Contracts under Alternative Auction Procedures», Journal of Political Economy,88, 433-445.
HOLTZ-EAKIN, D„ JOULFAIAN, D. and ROSEN, H. S. (1994a), «Sticking It Out: Entrepreneurial Decisions and Liquidity Constraints», Journal of Political Economy,102, 53-75.
HOLTZ-EAKIN, D., JOULFAIAN, D. and ROSEN, H. S. (1994b), «Entrepreneurial Decisions and Liquidity Constraints», Rand Journal of Economics, 25, 334-347.
MASK.IN, E. (1992), «Auctions and Privatization», in H. Siebcrt, (ed.), Privatization (Kiel: Institut fur Weltwirt-scha.ft an der Universitat Kiel).
MASKIN, E. and RILEY, J. (1984), «Optimal Auctions with Risk Averse Buyers», Ecmometrica., 52, 1473-1518.
MATTHEWS, S. A. (1983), «Selling to Risk Averse Buyers with Unobservable Tastes», Journal of Economic Theory,30, 370-400,
MCMILLAN, J. (1994), «Selling Spectrum Rights», Journal of Economic Perspectives, 8, 145-162.
MEAD, W., SCHNIEPP, M., and WATSON, R. (1981), «The Effectiveness of Competition and Appraisals in the Auction Markets for National Forest Timber in the Pacific Northwest», prepared for the U.S. ForestService, September 30.
MILGROM, P. R. (1989), «Auctions and Bidding: A Primer», Journal of Economic Perspectives, 3, 3-22.
MILGROM, P. R. and WEBER, R. (1982), «A Theory of Auctions and Competitive Bidding», Ecwomelrica, 50, 1089-1122.
PALFREY, Т. R. (1980), «Multiple-Object, Discriminatory Auctions with Bidding Constraints: A Game-Theoretic Analysis», Management Science,26, 935-946.
PALFREY, Т. R. (1983), «Bundling Decisions by a Multiproduct Monopolist with Incomplete Information», Economeinca, 51, 463-483.
PITCHIK, C. (1994), «Budget-Constrained Sequential Auctions with Incomplete Information», (Mimeo.)
PITCHIK, C. and SCHOTTER, A. (1988), «Perfect Equilibria in Budget-Constrained Sequential Auctions: An Experimental Study», Rand Journal of Economics,19, 363-388
RILEY, J. and SAMUELSON, W. (1981), «Optimal Auctions», American Economic Review, 71, 381-392.
RILEY, J. and ZECKHAUSER, R. (1983), «Optimal Selling Strategics; When to Haggle, When lo Hold Firm», Quarterly Journal of Economics, 98, 267-289.
ROCHET, J. C. and CHONE, P. (1997), «Ironing, Sweeping and Multidimensional Screening», (Mimeo., University de Toulouse).
ROTHKOPF, M. H. (1977), «Bidding in Simultaneous Auctions with a Constraint in Exposure», Operations Research, 25, 620-629.
--PAGE_BREAK--