--PAGE_BREAK--
Задание 1
По исходным данным (табл. 1) необходимо выполнить следующее:
1. Построить статистический ряд распределения предприятий по товарообороту, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.
Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.
Выполнение Задания 1
Целью выполнения данного Заданияявляется изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения фирм по признаку Товарооборот.
1.
Построение интервального ряда распределения предприятий по товарообороту
Для построения интервального ряда распределения определяем величину интервала hпо формуле:
,
где
–наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k
— число групп интервального ряда.
При заданных k= 5, xmax= 795 тыс.руб. и xmin= 375тыс руб.
h= тыс.руб.
При h= 5 чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):
Таблица 2
Номер группы
Нижняя граница, тыс.руб.
Верхняя граница, тыс.руб
1
375
459
2
459
543
3
543
627
4
627
711
5
711
795
Определяем число предприятий, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому предприятия со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (459, 543, 627, и 711 тыс.руб), будем относить ко второму из смежных интервалов.
Для определения числа предприятий в каждой группе строим разработочную таблицу 3 (данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2).
Таблица 3. Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки
Группы предприятий по товарообороту, тыс.руб.
Номер
предприятия
Товарооборот,
тыс.руб.
Средние товарные запасы,
Тыс. руб.
1
2
3
4
375-459
11
375
150
19
384
158
2
396
168
12
429
2208
Всего
4
1584
684
459-543
20
492
188
10
523
213
25
528
215
8
537
169
5
540
210
Всего
5
2620
995
543-627
4
543
221
23
550
191
13
552
218
7
576
214
28
589
230
22
591
239
24
603
236
21
610
237
27
611
228
1
614
256
15
618
238
Всего
11
6457
2508
627-711
29
627
263
14
642
227
16
653
254
3
681
252
30
698
246
17
704
251
6
706
278
Всего
7
4711
1771
711-795
9
744
288
18
759
293
26
795
301
Всего
3
2298
882
Итого
30
17670
6840
На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируем итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения предприятий по товарообороту.
Таблица 4. Распределение предприятий по товарообороту
Номер
группы
Группы предприятий по товарообороту, тыс.руб. x
Число предприятий,
fj
1
375-459
4
2
459-543
5
3
543-627
11
4
627-711
7
5
711-795
3
ИТОГО
30
Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения — частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j
-1)интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле
.
Таблица 5. Структура предприятий по товарообороту
Вывод.Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по товарообороту не является равномерным: преобладают предприятия с товарооборотом от 543 тыс.руб. до 627 тыс.руб. (это 11 предприятий, доля которых составляет 36,7%); самые малочисленная группа предприятий имеет 711-795 тыс.руб… Группа включает 3 предприятия, что составляет по 10% от общего числа фирм.
2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов
Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения фирм по изучаемому признаку.
Рис. 1.Определение моды графическим методом
Расчет конкретного значения модыдля интервального ряда распределения производится по формуле:
где хМo– нижняя граница модального интервала,
h
– величина модального интервала,
fMo– частота модального интервала,
fMo-1– частота интервала, предшествующего модальному,
fMo+1– частота интервала, следующего за модальным.
Согласно табл. 4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 35 — 40 чел., т.к. он имеет наибольшую частоту (f4=10). Расчет моды:
Вывод.Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенный товарооборот характеризуется средней величиной 593,4 тыс. руб.
Для определения медианы графическим методом строим по данным табл. 5 кумуляту распределения предприятий по изучаемому признаку.
Рис. 2. Определение медианы графическим методом
Расчет конкретного значения медианы для интервального ряда распределения производится по формуле
,
где хМе– нижняя граница медианного интервала,
h– величина медианного интервала,
– сумма всех частот,
fМе– частота медианного интервала,
SMе-1– кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
Определяем медианный интервал. Медианным интервалом является интервал 543-627 тыс.руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота Sj=20 впервые превышает полусумму всех частот ().
Расчет медианы:
Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина из них имеют товарооборот не более 588,3 тыс.руб., а другая половина – не менее 588,3 тыс.руб.
3. Расчет характеристик ряда распределения
Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, Vσна основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 (
– середина интервала).
Таблица 6. Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
Группы предприятий по товарообороту, тыс.руб.
Середина интервала,
Число предприятий,
fj
1
2
3
4
5
6
7
375-459
417
4
1668
-168
28224
112896
459-543
501
5
2505
-84
7056
35280
543-627
585
11
6435
0
0
0
627-711
669
7
4683
84
7056
49392
711-795
753
3
2259
168
28224
84672
ИТОГО
30
17550
282240
Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:
Рассчитаем дисперсию:
σ2 = 972 = 9409
Рассчитаем коэффициент вариации:
Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина товарооборота составляет 585 тыс.руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 97 тыс. руб. (или 16,5%), наиболее характерный товарооборот находится в пределах от 488 до 628 тыс. руб. (диапазон ).
Значение Vσ= 16,5% не превышает 33%, следовательно, вариация товарооборота в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=585 тыс. руб., Мо=593,4 тыс. руб., Ме=588,3 чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности фирм. Таким образом, найденное среднее значение среднесписочной численности менеджеров (585тыс.руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.
4. Вычисление средней арифметической по исходным данным о среднесписочной численности менеджеров фирм
Для расчета применяется формула средней арифметической простой:
,
Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (17550 тыс. руб.) и по интервальному ряду распределения (17670 тыс. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти фирм, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов
и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают, что говорит о достаточно равномерном распределении товарооборота внутри каждой группы интервального ряда.
Задание 2
По исходным данным (табл. 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:
1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками товарооборотисредние товарные запасы, образовав шесть групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы:
а) аналитической группировки;
б) корреляционной таблицы.
2. Измерить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.
Выполнение задания 2
Целью выполнения данного заданияявляется выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.
По условию Задания 2 факторным является признак товарооборот, результативным – признак средние товарные запасы.
1. Установление наличия и характера корреляционной связи между признаками товарооборотом исредними товарными запасами методами аналитической группировки и корреляционных таблиц
1а. Применение метода аналитической группировки
Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.
Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х — товарооборот и результативным признаком Y– средние товарные запасы. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):
Таблица 7. Зависимость объема продаж от среднесписочной численности менеджеров
Номер группы
Группы предприятий по
товарообороту, тыс. руб.
x
Число предприятий,
fj
Средние товарные запасы, тыс. руб.
всего
в среднем на одно предприятие,
1
2
3
4
5=4:3
1
2
3
4
5
6
ИТОГО
Групповые средние значения получаем из таблицы 3, основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8:
Таблица 8. Зависимость объема продаж от среднесписочной численности менеджеров
Номер группы
Группы предприятий по
товарообороту, тыс. руб.
x
Число предприятий,
fj
Средние товарные запасы, тыс. руб.
всего
в среднем на одно предприятие,
1
2
3
4
5=4:3
1
375-459
4
684
171
2
459-543
5
995
199
3
543-627
11
1508
228
4
627-711
7
1771
253
1
2
3
4
5
5
711-795
3
882
294
ИТОГО
30
6840
1145
Вывод.Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением товарооборота от группы к группе систематически возрастает и средний товарный запас по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.
1б.Применение метода корреляционных таблиц
Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку Xи в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками — прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная — по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.
Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Для факторного признака Х – Товарооборотэти величиныизвестны из табл. 4 Определяем величину интервала для результативного признака Y – средние товарные запасы при k
= 5, у
max= 301 тыс. руб., у
min= 150 тыс. руб.:
Границы интервалов ряда распределения результативного признака Yимеют вид:
Таблица 9
Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее фирм с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).
Таблица 10. Интервальный ряд распределения фирм по объёму продаж
Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).
Таблица 11. Корреляционная таблицазависимости объема продаж от среднесписочной численности менеджеров
Группы предприятий по товарообороту, тыс. руб.
Группы предприятий по среднему товарному запасу, тыс. руб.
ИТОГО
150-180,2
180,2-210,4
210,4-240,6
240,6-270,8
270,8-301
375-459
2
1
3
459-543
1
2
2
5
543-627
1
1
9
1
12
627-711
1
5
1
7
711-795
3
3
ИТОГО
4
4
12
6
4
30
Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между среднесписочной численностью менеджеров и объемом продаж фирмами.
2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации
и эмпирического корреляционного отношения
Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Yи рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Yв его общей дисперсии:
где – общая дисперсия признака Y,
– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих наYфакторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле
,
где y
i– индивидуальные значения результативного признака;
– общая средняя значений результативного признака;
n– число единиц совокупности.
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле
,
где –групповые средние,
– общая средняя,
–число единиц в j-ой группе,
k– число групп.
Для расчета показателей и необходимо знать величинуобщей средней, которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:
Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 8. Используя эти данные, получаем общую среднюю :
= =228 тыс. руб.
Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.
Таблица 12. Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
Номер
предприятия
Средние товарные запасы, тыс.руб.
1
2
3
4
1
256
28
784
2
168
-60
3600
3
252
24
576
4
221
7
49
5
210
-18
324
6
278
50
2500
7
214
-14
196
8
169
-59
3481
9
288
60
3600
10
213
-15
225
11
150
-78
6084
12
208
-20
400
13
218
-10
100
14
227
-1
1
15
238
10
100
16
254
26
676
17
251
23
529
18
293
65
4225
19
158
-70
4900
20
188
-40
1600
21
237
9
81
22
239
11
121
23
191
-37
1369
24
236
2
64
25
215
-13
169
26
301
73
5329
27
228
28
230
2
4
29
263
35
1225
30
246
18
324
Итого
6840
14
42636
Рассчитаем общую дисперсию:
=
Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13, При этом используются групповые средние значения из табл.
продолжение
--PAGE_BREAK--