Тригонометрия

Начнем с естественного «изначального» вопроса: откуда появились и как накапливались тригонометрические знания лю­дей? Задачи, в которых требуется измерять углы, появились так же давно и столь же настойчиво требовали своего решения, как и задачи, сводящиеся к измерению расстояний. Более того, эти две измерительные операции сосуществуют неразделимо. Роль измерения углов оказывается особенно значительной в тех случаях, когда непосредственное измерение

расстояний оказы­вается затрудненным или невозможным вследствие удален­ности или недоступности предметов. В свою очередь измерение углов может быть охарактеризовано измерением специальных отрезков прямой — тригонометрических линий. Тригонометрия начала свой путь практического и теоретического развития и про­ходит его вместе с геометрией. Все древние цивилизации вносили свой вклад в дело накоп­ления тригонометрических знаний. История математической науки дает тому немало убедительных примеров.

На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, возраст которой опре­деляют вторым тысячелетием до нашей эры, решается задача: вычислить длину хорды (s) круга, исходя из величины (d) диа­метра и высоты (а) сегмента, отсекаемого этой хордой. Описа­ние задачи и правила ее решения таковы, что в них заметно использование подобия треугольников и теоремы Пифагора. В привычной нам символике этот способ может быть выражен формулами

Руководитель одной из самых ранних научных школ Древней Греции Фалес из Милета (ок. 625—547 до н. э.) упоминал в числе научных достижений древних египтян метод определения высоты предмета по длине отбрасываемой им тени. Этот метод послужил основой гномоники — учения о солнечных часах. Как широко известно, гномон — это прямой шест, вертикально установленный на горизонтальной площадке.

Его тень в течение сол­нечного дня перемещается, «заметая» некоторую площадь. Сере­дина линии, окаймляющей эту площадь, будучи соединена с ос­нованием гномона, образует полуденную линию: север - юг. Отношение длины тени к длине шеста (или обратное отноше­ние) определяет высоту солнца над горизонтом. Деление линии дает части дня — часы. Регулярные замеры позволяют отыскать пункт солнцестояния, найти длину солнечного года и решить другие

задачи. Элементы тригонометрии содержались во многих сочинениях древнегреческих математиков. В трактате Архимеда «Измере­ние круга», например, приведена лемма: «Если вписанный в дугу окружности отрезок прямой сломан на две неравные части и если из середины дуги опустить на него перпендикуляр, то он разделит сломанную линию пополам». Это, очевидно, дает воз­можность вычислять хорды суммы и разности двух заданных дуг. В «Началах» Евклида, где автор избегает рассуждений метри­ческого (измерительного)

характера, содержится, конечно, мень­ше тригонометрических элементов, хотя их не столь уж трудно обнаружить и интерпретировать. Например, во второй книге это­го сочинения теоремы 12 и 13 по существу эквивалентны теоре­ме косинусов. Наибольшее внимание ученых тех давних времен привлекали тригонометрические соотношения на сферических поверхностях. Это было продиктовано нуждами астрономии и географии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о строении вселенной была геоцентристская.

Согласно этой гипотезе земля есть шар, распо­ложенный в центре небесной сферы, которая равномерно вра­щается вокруг своей оси. Светила расположены на этой сфере. Их движения и подвергаются изучению. При этом большое значе­ние приобретают математические задачи о расположении точек и фигур на сферах и об их движениях (перемещениях). Работы, в которых подобные задачи решаются, получили название сферики.

В сферику включались теоремы об окруж­ностях и сферах, графические приемы построения сферических треугольников, сферопея или объединение кинематических моде­лей, изображающих мир (армиллы), и др. В сферике, таким образом, сочетались элементы практической астрономии, гео­графии (определение места наблюдения, направления пути по положению небесных светил) и геометрии на сферах. Плоская тригонометрия при таких условиях отнюдь не игра­ла лишь второстепенную роль по сравнению с

тригонометрией сферической. У нее была своя область приложений. Кроме того, она являлась частью практической астрономии, так как в последней широко используются ортогональные проектирования. Фигуры, находящиеся или передвигающиеся на сфере, проек­тируются на плоскости, избранные для отсчетов: плоскости го­ризонта, меридиана или др. Тем самым многие задачи сводят­ся к плоским случаям.

Измерительные операции при этом чаще всего прилагаются к хордам. Многократное применение подоб­ных операций неизбежно порождало стремление табулировать значения хорд, составлять таблицы их значений. Одно из самых первых значительных достижений в составле­нии тригонометрических таблиц относится ко II в. н. э. Оно находится в знаменитом сочинении К. Птолемея «Матема­тическое собрание в 13 книгах».

Сочинение это более известно под названием «Алмагест», что является средневековой латини­зацией арабского термина «Альмаджисти», который сам являет­ся переводом с греческого «Мегале», т. е. «Великая (книга)». В этом сочинении Птолемея собраны, систематизированы и обобщены все известные к тому времени результаты, получен­ные в астрономии и в смежных с нею науках. Великим же оно было названо потому, что существовала «Малая астрономия» - сборник сочинений, знать

содержание которых было необходимо для понимания того, что написано в «Алмагесте». В сборник входили, прежде всего, сочинения по сферике, а также те работы Архимеда, Евклида, Аристарха Самосского и других ученых, где рассматривались смежные математические задачи. Как плоская, так и сферическая тригонометрии входят в пер­вую из книг «Алмагеста». Метод составления тригонометриче­ских таблиц состоял в следующем.

В основе всех построений находится круг заданного диаметра. На нем рассматривается единственная тригонометрическая характеристика: длина хорды, стягивающей дугу, соответствующую данному центральному уг­лу. Задача состояла в составлении (вычислении) таблицы зна­чений этой функции с наибольшей по возможности точностью и высокой частотой в последовательности значений аргумента. По существу таблицы хорд являются первичной формой табли­цы синусов.

При вычислениях Птолемей пользуется 60-ричной системой счисления. Для удобства и определенности в вычислениях он делит окружность на 360 равных частей, диаметр — на 120 час­тей (соответственно радиус делится на 60 частей) с последую­щим более дробным делением градусов на минуты, секунды, терции и т. д. Для начала вычисляются длины хорд, являющихся сторонами правильных вписанных в окружность многоугольни­ков с 3, 4, 5, 6, 10 сторонами.

Чтобы из этих, «опорных» значений получать значения дру­гих (а в конечном счете любых) хорд, у Птолемея выведены соотношения, эквивалентные следующим: а) sin2 a + cos2 a = 1 —формула для вычисления длин хорд дополнительных углов; б) sin (a — в) = sin a cos в — cos a sin в — формула для вычис­ления синуса разности двух углов как частный случай теоремы Птолемея. К этим соотношениям он прибавляет способ нахождения хорд для половины заданного угла и соотношение,

эквива­лентное известному: Этих результатов оказалось для Птолемея достаточно, чтобы составить таблицу значений хорд для углов от 0 до 180° с час­тотой полградуса, что соответствует таблице синусов углов первой четверти с частотой в четверть градуса. Последующие проверки, произведенные в десятичной системе, показали, что значения оказались точными до пятого десятичного знака включительно. Таким образом, уже в самые первые века нашей эры (т. е. около

двух тысяч лет тому назад) элементы плоской тригоно­метрии сложились в единую систему и заняли определенное место в совокупности математических знаний. Они вначале су­ществовали в виде относительно элементарной части в системе неразделенных знаний, имевших своей главной целью решение задач практической астрономии. По своему значению они усту­пали основам сферической тригонометрии, так как теоремы последней непосредственно примыкали к астрономическим суж­дениям. Применения же плоской тригонометрии к измерениям не­доступных

расстояний и, следовательно, к решению треуголь­ников и других фигур стимулировали составление таблиц три­гонометрических функций и почти полностью от этого зависели. Также рано и естественно определились направления разви­тия плоской тригонометрии. Они состояли во введении других тригонометрических характеристик, кроме птолемеевских хорд; в отыскании формул, выражающих связи между этими характе­ристиками; в разработке вычислительных приемов, имеющих

целью облегчить составление таблиц тригонометрических функ­ций. По этим направлениям и происходило накопление тригоно­метрических знаний в последующие века. Процесс накопления замедлялся или ускорялся в зависимости от общего хода разви­тия математических и вообще научных знаний. Подъем и ус­корение происходили в эти времена главным образом в Индии (начиная с IV—VI вв.) и в государствах Ближнего и

Среднего Востока (начиная с VIII—IX вв.). Математики и астрономы, работавшие на территории Индостанского полуострова, восприняли греческую тригонометрию хорд и широко ее применяли. В их руках она получила многочис­ленные усовершенствования, среди которых следующие: а) замена хорды полухордой и введение таким образом ли­нии синусов; б) введение линии косинусов и синусов-версусов (т. е. обра­щенных синусов): sinvers a = R — cos a; в) выражение величины тригонометрических линий в частях

окружности и подготовка тем самым радианного измерения углов; г) фактическое введение линий тангенсов и котангенсов при решении задач об определении недоступных расстояний и высот без явной их интерпретации как новых тригонометрических объектов; д) составление таблиц значений тригонометрических функций. В науке арабоязычных стран Ближнего и Среднего Востока накопление и совершенствование тригонометрических знаний происходило гораздо энергичнее. Оно достигало такого уровня, который фактически означал происходившее

выделение триго­нометрии в отдельную, обладающую возрастающей долей само­стоятельности часть математики. Общеизвестно, что становление науки, в том числе матема­тики, в указанных государствах сопровождалось (а в ряде мест начиналось) систематическим изучением математических со­чинений, написанных в Древней Греции и в других странах. Рукописи собирались во всех местностях, куда распространя­лось влияние арабских халифатов. Свозили эти сочинения в ад­министративные центры, где их изучали, переводили на

араб­ский язык, устраняли ошибки, уточняли данные, снабжали тек­сты комментариями. Затем их дополняли результатами собствен­ных исследований. Так в те времена складывались научные школы и научная литература, опирающаяся в интересующей нас области — тригонометрии — в основном на достижения индий­ской и древнегреческой математики и астрономии. На этом пути рано, начиная, по-видимому, с VIII в стали появляться арабские зиджи.

Это были сборники астрономиче­ских и тригонометрических таблиц, сопровождаемых поясне­ниями и доказательствами соотношений между тригонометри­ческими функциями. Зиджи являлись как учебниками, так и справочниками при решении разнообразных задач: измерения времени, определения географических координат, расположение планет на небесной сфере, вычисления времени восхода и за­хода солнца, луны и их затмений. К нашему времени сохранилось свыше 100 зиджей, среди которых — знаменитый «Гургандский», составленный

в Самарканде в научной школе Улугбека (1394—1449). Зиджи более раннего времени были целиком ориентированы на составление возможно более точных тригонометрических таб­лиц. Из содержания зиджей видно, что не позднее IX в. были вве­дены и табулированы вслед за синусом, косинусом и синусом-версусом новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Сравнительно быстро они приобрели самостоя­тельные трактовки.

С течением времени становилось все труднее включать быстро разрастающийся тригонометрический материал в рамки зиджа. Поэтому, начиная с X—XI вв. стали появляться отдельные (само­стоятельные) трактаты о плоской и сферической тригономет­рии. В сочинениях такого рода тригонометрические линии начали получать свою трактовку уже без обращения к птолемеевской системе построения хорд (так делал, например, аль-Фараби). В ряде других сочинений постепенно вводились основные соотношения между тригонометрическими

функциями, которые снаб­жались доказательствами и по мере возможности систематизи­ровались. Так, в частности, поступал аль-Баттани (ок. 858— 929) в работе «Усовершенствование Алмагеста». Сочинение это впоследствии оказало большое влияние и на развитие тригоно­метрии в Европе. Такой же характер имел и не меньшее влия­ние оказал «Канон Мас’уда» аль-Бируни (973—1048). Вы­числительные трудности арабскими математиками также были успешно

преодолены. Об этом, например, говорит получение значения sin 1° с точностью до 17-го знака (в десятичной записи) в таблицах Каши, работавшего в Самарканде в научном центре, основанном Улугбеком. Сосредоточимся теперь на вопросе о том, как тригонометрия преобразовалась в самостоятельную часть математики. Как было сказано ранее, происходило накопление тригоно­метрических знаний и этот процесс обогащения привел к тому, что начиная примерно с XIII в. накопленный материал стал подвергаться систематизации,

составляя отдельную, во многом самостоятельную, область математики — тригонометрию. Убедительным доказательством того, что такое качественное изменение происходило, можно считать появление специальных сочинений, посвященных систематическому изложению тригоно­метрии. Впервые подобные сочинения появились, как было выше указано, среди арабских рукописей. Приведем еще один, пожа­луй, наиболее характерный пример: это «Трактат о полном че­тырехстороннике»

Насирэддина Туей (1201 — 1274). Трактат этот состоит из пяти частей (книг). Первые две книги содержат вспомогательный материал для построения тригоно­метрии: соответственно теорию составных отношений и доказа­тельство теоремы Менелая для плоского четырехсторонника. В третьей книге введены понятия синуса и косинуса, правила решения плоских треугольников и доказательство теоремы си­нусов. В четвертой и в пятой книгах излагаются основы сфериче­ской тригонометрии.

В первой из них рассмотрены доказательст­ва теоремы Менелая для полного сферического четырехсторонника. В другой собраны методы решения сферических треуголь­ников, в том числе косоугольных. Для этого доказываются тео­ремы синусов и тангенсов. Такая структура тригонометрических сочинений сделалась в арабских сочинениях стандартной.

Более подробно эта часть истории тригонометрии освещена в очень хорошо написанной брошюре Г. П. Матвиевской «Ста­новление плоской и сферической тригонометрии» (М.: Знание, 1982). В ней показано, как из вспомогательного раздела астро­номии тригонометрия превращалась в самостоятельную матема­тическую дисциплину. В Европе первое сочинение, в котором тригонометрия рас­сматривалась как самостоятельная математическая дисциплина, было написано в 1462—1464 гг.

Его автором был ИоганнМюллер (1436—1476), более известный в истории науки как Региомонтан (по месту рождения). Называлось это сочи­нение «Пять книг о треугольниках всех видов». Основное содер­жание его, по всей видимости, позаимствовано из арабских источников, главным образом из упомянутого выше сочинения Насирэддина Туей. Однако оно в значительной степени пере­работано, систематизировано, дополнено собственными резуль­татами автора и мастерски изложено.

Хотя автор при жизни не успел его издать и его напечатали лишь в 1533 г но сочинение это было известно и ранее, сыграв большую роль в дальнейшем развитии тригонометрии. До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существо­вание тригонометрии стало общепризнанным фактом. Вслед за Региомонтаном, тригонометрией много занимался

Коперник, посвятивший ей две главы своего знаменитого капитального труда «Об обращениях небесных тел» (1543). К таблице тан­генсов Региомонтана Коперник добавил таблицу секансов, что позволило заменять деление на синус и косинус умножением в целях облегчения вычислений. Знаменитый астроном Тихо-Браге (1546—1601) разработал много вычислительных прие­мов, облегчающих задачу решения треугольников как плоских, так и сферических.

Таблицы тригонометрических функций, по форме и по составу близкие к ныне употребляемым, составил в 1551 г. Ретик, ученик Коперника. К концу XVI в. устойчивый характер приобрели названия всех тригонометрических функций. Техника оперирования с тригонометрическими функциями до­стигла к этому времени высокого уровня, и математики не встре­чали в этом вопросе принципиальных трудностей. В сочине­ниях И. Кеплера, Й. Бюрги, Ф. Виета и других математиков встречаются (и нередко) сложные преобразования

с тригономет­рическими функциями, выведены многие формулы. Особенно при­мечательными для тематики, рассматриваемой в настоящей главе, представляются работы Виета. Исходя из известных уже формул для синуса и косинуса двух углов, Виет получил выражения для этих же функций в случае кратных аргументов, а также многие формулы, в том чис­ле рекуррентные. Как уже было рассказано в главе 4 настоя­щей книги, среди результатов

Виета появились и такие, в кото­рых устанавливались связи между тригонометрией и алгеброй. Существо этого открытия состояло в том, что Виету удалось свести задачу решения кубических уравнений в неприводимом случае к задаче о трисекции угла. Аналогию эту он сумел рас­ширить, установив связи между задачами о делении угла на рав­ные части и задачами выделения классов алгебраически разре­шимых уравнений. В последующем связи между алгебраиче­скими и тригонометрическими результатами не прерывались.

Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после пер­вых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригономет­рическими функциями. Эта работа, ее результаты нашли свое от­четливое выражение в трудах Л. Эйлера. Теорию тригонометри­ческих функций Эйлер изложил в 8-й главе 1-го тома своей книги «Введение

в анализ бесконечных» (1748 г на русском языке из­дана в 1961 г.). Тем самым он завершил более или менее успеш­ные попытки своих ближайших предшественников. Эйлер ввел близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безраз­мерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга».

Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что пред­шественники Эйлера неизменно связывали понимание тригоно­метрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом» (sinus totus). Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комп­лексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось

на первых порах только правильностью и полезностью достигаемых при этом резуль­татов. Вскоре, в 1770 г появилось и удержавшееся до наших дней название тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе «Аналитическая тригонометрия». В то же примерно время (т. е. во второй половине XVIII в.) построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний развивалось и в несколько ином направлении.

И. Г. Ламберт (1728—1777) в «Очерках об употреблении математики и ее приложений» (1770) провел обобщение триго­нометрии на четырехугольники, создав таким образом тетрагонометрию. Еще через несколько лет, в 1774—1776 гг в работах А. И. Лекселя (1741 —1784) было произведено дальней­шее обобщение и построена полигонометрия. Рассматривая n-угольник со сторонам а1, a2, аn и углами ф1, ф2, фn между продолжениями сторон и предыдущими

сторонами, Лексель по­лучил соотношения: Суммы в левых частях приведенных равенств эквивалентны суммам векторов, направленных по сторонам многоугольников. Из этих формул, справедливых и для невыпуклых, и для само­пересекающихся многоугольников, в работах Лекселя выведены основные формулы тригонометрии и тетрагонометрии. Затем он распространил теорию на 5, 6, 7-угольники и решил ряд задач на исследование n-угольников,

исходя из заданных диагоналей и углов этих диагоналей со сторонами. Результаты Лекселя были существенно дополнены С. Люилье (1750—1840) в книге «Полигонометрия, или об измерении прямолинейных фигур» (1789). Основную роль в ис­следованиях Люилье играло выражение для площади много­угольника, которую он вычислял так: откинув одну из n сторон, он составил все парные произведения остальных n—1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая

полученные произведений, нашел удвоенную площадь много­угольника. Исходя из этой формулы, Люилье получил все фор мулы полигонометрии, в том числе и формулы Лекселя. Свои теоремы Люилье применил к решению n-угольника: по п—1 сторонам и n — 2 углам; по всем углам и n —2 сторонам; по всем сторонам и n — 3 углам. Наконец, Люилье обобщил и эти результаты на пространст­венные случаи и, развивая работы

Эйлера о многогранниках, создал (в 1799—1805) полиэдрометрию — учение об измерении многогранников (полиэдров), описав ее в работе «Теоремы полиэдрометрии». Основной теоремой полиэдрометрии является сле­дующая: «Площадь каждой грани многогранника равна сум­ме произведений площадей остальных граней на косинусы уг­лов, образуемых ими с этой гранью». Подведем итоги. Как видно из содержания, тригоно­метрия прошла следующие стадии развития:

1.Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей, необходимостью производить измерения углов. 2.Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники главным образом с целью определения расстояний до удаленных или недоступных объектов. 3.В интересах практической астрономии и географических исследований были получены аналогичные

результаты для тре­угольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки. 4.Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости та­булировать значения вводимых тригонометрических функций. 5.По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные

объекты ис­следований, т. е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами. 6.В начале XVI в. были установлены взаимные интерпре­тации между решениями определенного класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем са­мым положено начало установлению связей между алгеброй и тригонометрией. 7.В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций.

Почти одновременно тригономет­рия получила широкие обобщения в геометрическом плане. Таким образом, к XIX в. тригонометрия приобрела разнооб­разные интерпретации, не теряя своей теоретической целостно­сти, а наращивая ее.