Теория отображений

Фирсов Дмитрий 368Решение Отображение отображает верхнюю полуплоскость с разрезами наверхнюю полуплоскость без разрезов под операцией взятия в квадратные скобки надопономать взятие целой части от числа . Докажем это Рассмотрим отображение из полосы полуплоскости сразрезами в полуплоскость без разрезов. совершенно очевидно ,что в нашем случае .То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость без действительной

оси. Рассмотрим образлуча .Подставляя в формулу значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий надействительной оси .В результате мы получили, что образом полосы 1 является .Если на полосу плоскости без разреза подействовать отображениемsin Z то в образе получим такое множество 2 .Применив отображение к полосе 1 с разрезом в образе получим множество 2 . Поэтому функция отображает полосу с разрезом в полосу без разреза.

Продолжим эту функцию на всю полуплоскостьс разрезами. Рассмотрим функцию заданную в полосе с разрезом. Функция отображает эту полосу на полосу без разреза. И тогда отображение отображает полосу без разреза. Проверим является ли функция аналитическим продолжением функции .Для этого применим теорему Теорема.Пусть функция аналитична в области и функция аналитична в области

.И области и имеют общий фрагмент граници .Если функции на совпадают то функция является аналитическим продолжением функции в область .Естественно функции и совпадают на луче .Поэтому функция является аналитическом продолжением функции на полосу .Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю верхнюю полуплоскость свырезами. И в результате получим функцию отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами наверхнюю полуплоскость

без вырезов.