Теория вышка 1 сем.

1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свой-ства. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины. Матрицы равны между собой, если равны все их соот-ветствующие элементы. Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной. Матрица, все элементы которой, кроме элементов глав-ной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обознача-ется буквой Е. Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треуголь-ной. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называ-ется нулевой. 2. Умножение матриц. Транспонирование. Свойства. Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк

дру-гой матрицы. где 4. Матрица, полученная заменой каждой ее строки столб-цом с тем же номером, называется матрицей транспо-нированной, к данной. 3. Определители матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. 1. 2. 3. Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают про-изведение элементов на главной диагонали.

Свойства: 1. Определитель не изменится, если его строки заме-нить столбцами, и наоборот. 2. При перестановке двух параллельных рядов опре-делитель меняет знак. 3. Определитель, имеющий два одинаковых или про-порциональных ряда, равен нулю. 4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя. 5. Если элементы какого-либо ряда представляют со-бой сумму элементов, то определитель может быть разложен

на сумму двух соответствующих опреде-лителей. 6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элемен-тов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число. 7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополне-ние. 8. Сумма произведения элементов одного ряда на ал-гебраические дополнения параллельного ряда рав-на нулю. 4. Разложение определителя по элементам ряда.

Теорема замещения. Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение. Берем любые N чисел и умножим на ал-гебраическое дополнение какой-либо строки. 5. Обратная матрица. Достаточное условие суще-ствования обратной матрицы. 1. 2. 3. Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена. 6. Элементарные преобразования матриц. Ранг мат-рицы.

Вычисление ранга матрицы. 1. Перестановка местами 2 параллельных рядов мат-рицы. 2. Умножение элементов ряда матрицы на число от-личное от нуля, отличное от нуля. 3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы со-ответствующих элементов параллельного ряда, ум-ноженных на одно и тоже число. Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого поряд-ка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы.

7. Решение линейных уравнений. Решение невырож-деных систем. Метод Гаусса. Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить. Формула Крамера. Подсчитать определитель матрицы А. Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1.

То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом. 8. Решение произвольных систем. Теорема Кронеке-ра-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совмест-на тогда и только тогда, когда ранг расширенной мат-рицы системы равен рангу основной матрицы. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которых составлен базисный минор. Не-известные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а

ос-тальные называются свободными и переносятся в пра-вую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы. 9. Однородные система уравнений. Фундаменталь-ная система решений. Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвест-ных, то система имеет бесчисленное множество реше-ний.

Для того, чтобы система имела ненулевые реше-ния, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю. 10. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действи-тельных чисел. На этом множестве введем две опера-ции (сложение и умножение).

Пусть эти две операции подчиняются аксиомам: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. V; x, y, z, … V Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством. Элементы линейного пространства называются векто-рами, обозначаются , , . Существует единствен-ный нулевой элемент, для каждого элемента существу-ет единственный противоположный. Линейная зависимость и независимость системы векто-ров.

Пусть имеется n векторов. Составим линейную комбинацию: , если система n век-торов – линейно-зависима. Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой. Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой. Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая сис-тема n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называ-ется базисом линейного пространства. Рассмотрим сис-тему n+1 векторов. Такое представление называется разложение по ба-зису, а числа называют координатами вектора. Разложение любого вектора в выбранном базисе - един-ственно. 11. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразо-вание координат вектора при переходе к новому ба-зису. n – мерное пространство. Vn – базис, состоящий из n векторов.

В пространстве есть базисы Введем матрицу перехода от к . 12. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами. Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже есть 2 операции (сложение и умножение). В этом про-странстве введем еще одну операцию. Она будет удов-летворять следующим аксиомам. 1. 2. 3. 4. Указанная операция называется скалярным произведе-нием векторов.

N – мерное линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения, назы-вается Евклидовым пространством. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата. Длина вектора удовлетворяет следующим условиям: 1. , если 2. 3. - неравенство Коши-Буня 4. - неравенство треугольника 13.Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению

этих векторов на косинус угла между ними. 1. 2. 3. 4. 14. Векторное произведение векторов и его свойства. Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую. Векторным произведением вектора на вектор на-зывается вектор , который: 1. Перпендикулярен векторам и . 2. Имеет длину, численно равную площади параллело-грамма, образованного

на векторах и . , где 3. Векторы , и образуют правую тройку векто-ров. Свойства: 1. 2. 3. 4. 15. Смешанное произведение векторов и его свойст-ва. Смешанное произведение записывают в виде: . Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произ-ведение представляет собой число – число.

Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами. Свойства. 1. Смешанное произведение не меняется при цикличе-ской перестановке сомножителей: 2. Смешанное произведение не изменится при переме-не местами векторного и скалярного произведения. 3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей. 4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компла-

нарны. Три вектора называются компланарными, если резуль-тат смешанного произведения равен нулю. 16. Линейные преобразования пространства. Мат-рица линейного преобразования. Связь между коор-динатами образа и прообраза. Рассмотрим линейное пространство V, в котором каж-дому элементу x, в силу некоторого закона поставлен элемент этого же пространства. - прообраз - образ Каждому прообразу соответствует единственный образ.

Каждый образ имеет единственный прообраз. Линейное преобразование пространства, при котором существует взаимнооднозначные соответствия. Блективное преобразование – называется линейным, если выполняются 2 условия. 1. 2. Рассмотрим n-мерное линейное пространство Для того, чтобы задать линейные преобразования в этом пространстве достаточно задать это преобразова-ние для базисных векторов. Матрица линейного преобразования.

Пусть F – линейное преобразование линейного про-странства, переводящая базис в базис . Т.к. - базис, то верны соотношения А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства. Связь между координатами образа и прообраза. В базисе вектор имеет координаты Линейное преобразование – матрица линейного опера-тора. Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и наоборот.

Если имеется квадратная матрица задано линейное преобразование пространства. 17. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах. Т – матрица перехода от e к e’ , то: Если линейный оператор имеет в базисе невырожден-ную матрицу Т, матрица этого оператора в любом дру-гом базисе не будет вырождена. 18. Характеристическое уравнение линейного опе-ратора.

Собственные векторы линейного оператора и их свойства. Если в базисе линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе ( ) оператор имеет матрицу В λ – произвольное число ≠0 Е – единичная матрица Если характеристически многочлен линейного опера-тора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к , получим этот же , умноженный на некоторое к. к – собственное число оператора А= Каждый собственный вектор имеет единственное соб-ственное число. 19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. Векторное уравнение прямой. Положение прямой можно задать по точке и направ-ляющему

вектору. Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направ-ляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 че-рез r и r0. Тогда уравнение прямой запишется в виде: где t – скалярный множитель (параметр). Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой. со-единяет

M0 с произвольной точкой М. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2) В качестве направляющего вектора можно задать век-тор Следовательно: , тогда Общее уравнение прямой. Уравнение прямой как линию пересечения двух плос-костей. Рассмотрим: Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то на-правляющий вектор запишется как векторное произве-дение: Угол между прямыми. ; 20. Плоскость в пространстве.

Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точ-ку, перпендикулярно данному вектору. Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором , перпендикулярной этой плоскости. Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим век-тор . При любом рас-положении точки М на плоскости Q , по-этому .

Общее уравнение плоскости. • Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0) • Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox. • Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0. • Если А=В=0 то уравнение примет вид плос-кость параллельна плоскости

Oxy. • Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy. Уравнение плоскости, проходящей через три точки К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3) Возьмем на плоскости точку P (x;y;z). Составим векторы: Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны: Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

; ; Нормальное уравнение плоскости. 21. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Прямая L: Пусть φ – угол между плоскостью и прямой. Тогда θ – угол между и . Найдем , если , т.к. Расстояние от точки до плоскости. Дано: M0 (x0;y0;z0) Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где

М1(x1;y1;z¬1) - произволь-ная точка плоскости) на направление нормального век-тора Если плоскость задана уравнением: то расстояние до плоскости находится по формуле: 22. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Уравнение с угловым коэффициентом. k= tg α – угловой коэффициент. Если b=0 то прямая проходит через начало координат.

Уравнение примет вид Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллель-но оси ох. Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу. Общее уравнение прямой. A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. • Если В=0, то уравнение имеет вид или .

Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку • Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффи-циентом . • Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох. • Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0). Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении. т М (х0;у0). Уравнение прямой записывается в виде .

Подставим в это уравнение точку М Решим систему: Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. К (х1;у1) М (х2;у2) Уравнение прямой в отрезках. К (а;0); М (0;b) Подставим точки в уравнение прямой: Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. М0 (х0;у0). Возьмем произвольную точку М (х;у). Т.к. , то Нормальное уравнение прямой. Уравнение прямой можно записать в виде:

Т.к. ; , то: Угол между прямыми. Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами Требуется найти угол между прямыми: 23. Эллипс. Определение. Вывод канонического урав-нения. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Т.к. MF1 + MF2 = 2a Т.к. То получаем Или 24. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения. Гиперболой называется множество всех точек плоско-сти, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная. Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 –

MF2|=2a или MF1 – MF2=±2a, 25. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения. Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директри-сы. Расстояние между фокусом и директрисой называ-ется параметром параболы и обозначается через р>0. Пусть M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе.

Согласно определению MF=MN. 26. Поверхности вращения. Поверхность, образованная вращением некоторой пло-ской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, назы-вается поверхностью вращения. Пусть некоторая кри-вая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде: Найдем уравнение поверхности, образованной враще-нием кривой

L вокруг оси Oz. Возьмем на поверхности точку M (x;y;z). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси oz, и обозначим точки пересечения ее с осью oz и кривой L соответственно O1 и N. Обозначим координаты точки N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N являются радиусами одной и той же окружности. По-этому O1M = O1N. Но O1M = (x2+y2)0.5, O1N=|y1|.

Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме того, очевидно, z1=z. Следовательно – искомое урав-нение поверхности вращения, ему удовлетворяют ко-ординаты любой точка М этой поверхности и не удов-летворяет координаты точек, не лежащих на поверхно-сти вращения. 27. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, Гипербо-лоид. Эллипсоид. Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, па-раллельными xOy.

Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, оп-ределяется двумя уравнениями: Если |h|>c, c>0, то точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет. Если |h|=c, т.е. h=±c, то . Линия пересече-ния вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоско-сти z=c и z=–c касаются поверхности. Если |h|

Линия пересечения есть эллипс с полуосями. Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все они различны, то эллипсоид назы-вается трехосным. Если какие-либо две полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело называется сферой x2+y2+z2=R2 Однополостный гиперболоид. Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим ли-нию пересечения, уравнения которой имеют вид. Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a1=a, b1=b.

При возрастании |h| полуоси будут уве-личиваться. Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пере-сечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение ко-торой x=0. Эта линия пересечения описывается уравне-ниями: Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом.

Двуполостный гиперболоид. Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями Если |h|c, то уравнения можно переписать в виде: Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|. У обеих гипербол действительной осью является ось oz.

Метод сечения позволяет изобразить поверхность, со-стоящую из двух полостей, имеющих форму двух неог-раниченных чаш. Поверхность называется двуполост-ным гиперболоидом. 28. Поверхности 2-го порядка. Параболоиды. Эллиптический. При пересечении поверхности координатами плоско-стями Oxz и Oyz получается соответственно параболы и . Таким образом, поверхность, оп-ределяемая уравнением,

имеет вид выпуклой, беско-нечно расширяющейся чаши. Гиперболический. Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кри-вую которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия пересечения рас-падается на пару пересекающихся прямых:

При пересечении поверхности плоскостями, парал-лельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться пара-болы, ветви которых направлены вверх. 29. Поверхности 2-го порядка. Конусы и цилиндры. Конус. Поверхность, образованная прямыми линиями, прохо-дящими через данную точку Р и пересекающими дан-ную плоскую линию L (не проходящую через

Р) назы-вается конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей. - уравнение конуса Цилиндр. Поверхность, образованная движением прямой L, кото-рая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую

кри-вую К, называется цилиндром. При этом кривая К на-зывается направляющей цилиндра, а прямая L – обра-зующая. - уравнение цилиндра 30. Исследование кривой второго порядка по ее урав-нению без произведения координат. Уравнение вида Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 всегда опреде-ляет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А*С>0), либо гиперболу (при А*С<0), либо параболу (при А*С=0), при этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)

– в точку или мнимый эл-липс (окружность), для гиперболы – в пару пересекаю-щихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых. Общее уравнение второй степени с двумя неизвестны-ми: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 Коэффициент В с произведением координат преобразо-вывает уравнение путем поворота координатных осей. 31. Определение предела числовой функции. Одно-сторонние пределы. Свойства пределов. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если

для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n€N (xn≠x0), сходящейся к х0 (т.е. ), последовательность соответствую-щих значений функции f(xn), n€N, сходится к числу А, т.е. . Геометрический смысл предела этой функции, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличается от числа А. Односторонние пределы. Считается, что х стремится к х0 любым способом: оста-ваясь меньшим, чем х0

(слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0. Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого ε<0 существует число σ=σ(ε)>0 такое, что при х€(x0-σ;x0), выполняется нера-венство |f(x)-A1|<ε Пределом функции справа называется Свойства пределов. 1) если предел функ-ция равна этому числу плюс б.м. ε – сколь угодно малое

число |f(x)-a|=α; f(x)=a+ α 2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число 3) предел произведения равен произведению пределов 4) константы можно выносить за знак предела 5) 32. Замечательные пределы. 1 замечательный предел. Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через Х. Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x.

Тогда Разделим все на и получим: Т.к. , то по признаку существования пре-делов следует . 2 замечательный предел. Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между дву-мя положительными целыми числами: Если x→∞, то n→∞, тогда По признаку о существовании пределов: 33. Непрерывные функции и их свойства.

Точка раз-рыва функций и их классификация. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некото-рой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функ-ции в этой точке и он равен значению функции в этой точке: Это означает: - функция определена в точке х0 и в ее окрестности; - функция имеет предел при х→х0 - предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерыв-ной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0 Точки разрыва функции – это точки в которых нару-шается непрерывность функции. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конеч-ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы) и

При этом, если: - А1=А2 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва; - А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного раз-рыва. |A1 – A2| называется скачком функции. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односто-ронних пределов (слева или справа) не существует, ли-бо равен бесконечности. 34. Производная от функции. Дифференцируемость функции.

Дифференциал. Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю. Производная функции f(x) есть некоторая функция f ’(x), произведенная из данной функции. Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной называется диффе-ренцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обо-значается dy (или df(x) ). Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал незави-симой переменной. 35. Правила дифференцирования суммы, произведе-ния, частного функции. Производные сложных функ-ций. Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции

по промежуточному ар-гументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Производная обратной функции равна обратной вели-чине производной данной функции. 36. Логарифмическое дифференцирование. Логарифмическое дифференцирование - в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологариф-мировать, а результат продифференцировать. Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.

Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции, при усло-вии V=const. 37. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных. Правило Лопиталя, при 0 / 0. Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности

точки x0 и обращается в нуль в этой точке: . Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0 Если существует предел , то Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда , где с лежит между x0 и х. При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу: Так как , то . Поэтому (предел отношения двух бесконечно малых равен преде-лу отношения их производных,

если последний сущест-вует) Правило Лопиталя, при ∞ / ∞. Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности Если существует предел , то Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1∞ ; ∞0 ; 00 сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞ Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0 38. Дифференциалы высших порядков. Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′(x)dx есть также функция х, можно найти дифференци-ал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал. Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответ-ствующей

степени дифференциала независимой пере-менной. Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее диф-ференциала соответствующего порядка к соответст-вующей степени дифференциала независимой пере-менной. 39. Исследование условий и построение графиков. - найти область определения функции - найти точки пересечения графика с осями координат - найти интервалы знака постоянства - исследовать на четность, нечетность

- найти асимптоты графика функции - найти интервалы монотонности функции - найти экстремумы функции - найти интервалы выпуклости и точки перегиба