Преобразование Фурье

Kalmiik-foreverГлава IПреобразование Фурье. 1. ПреобразованиеФурье отображает класс Шварца на себя. Определение. Следующеемножество комплекснозначных функций действительного переменного называетсяклассом Шварца КлассШварца иногда называют классом быстро убывающих функций. Операции обычного сложения и умноженияфункции на число превращают класс

Шварца в линейное векторное пространство j,y S R , a, b К выполнено aj by S R . Отметим несколькопростых свойств функций из класса Шварца.1 Если j x S R ,то 2 Если j x S R ,то j x ограничена наR.3 Если j x S R ,то y x xj x S.4 Если j x S R и P x многочлен,то P x j x S.5 Первые два свойства сразу следуют из неравенств.

Докажем свойство 3 . Во первых, y xj C 8734 R . Далее Свойство4 получается из 3 последовательным применением. В самом деле, если P x a0 a1x anxn, то по свойству 3 имеем xij S R , потомуфункция P x j x a0j a1 xj a2 x2j an xnj принадлежит классу Шварца ввиду его линейности. Свойство 5 доказывается аналогичносвойству 3 .

2. Одномерное преобразование Фурье. Определение. Функция 1 называетсяпреобразованием Фурье функции j x и обозначается F j . Ясно, что не для всякой функции j x интеграл 1 сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье. Если интеграл Лебега , тобудем говорить, что j принадлежит пространству L1 R . Предложение 1. ПреобразованиеФурье функции j x из

L1 R определено и ограничено по модулю на действительнойоси. Доказательствоследует из равенства и 1 Следствие. Преобразование Фурье определено для функций j S R . Доказательство. Достаточно доказать, что S R L1 R . Заметим, что если j S R , то посвойству 4 функция 1 x2 j

S R и,следовательно, ограничена, а 1 x2 -1 L1 R . Поэтому функция 1 x2 j 1 x2 -1 L1 R . 3. Свойства преобразований Фурье функций из S R . 1 Доказательствополучается дифференцированием в 1 под знаком интеграла. Это законно, так какинтеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интеграломсходимостькоторого вытекает из свойства 3 xj x S R L1 R .2 Если j S R , то

F j C yen R .Так как -ixj S, то доказательство немедленно вытекает из 1 .3 Доказательство. Очевиднотеперьможно интегрировать по частямЭтои доказывает свойство 3 . Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца естьснова функция из класса Шварца. Доказательство. Многократно применяя свойства 1 и 3 , устанавливаемПо свойствам 4 и 5 класса

Шварца функциялежитв классе Шварца S L1 , итогда, по предложению пункта 2, функция ограничена некоторойпостоянной, которую мы обозначим Cn,m. Предложение доказано. 4. Обратное преобразование Фурье. Определение. Функцияназываетсяобратным преобразованием Фурье функции j y и обозначается F-1 j . Нетрудно проверить, что обратноепреобразование Фурье функций из S R обладает свойствами, аналогичными прямому 1 2 3

Докажем, что F-1 F j j для любой функции j S. Для этого потребуетсяЛемма. Пустьнепрерывная функция h y L1 R имеет почти всюду ограниченную производную. Пустьтакойнабор точек, что на интервалах yi,yi 1 функция h класса C2, i 1,2, ,n. Тогда для всех x, отличных от yi, i 1,2, ,n 1, справедливо соотношение Доказательство. Так как h y L1 , то длявсякого e gt 0 найдется такое

А,чтопривсех t gt 0. Заметим, что 3 ТогдаВтороеслагаемое в 4 заменой z t x - y приводится к видуи,следовательно, стремится к нулю при в силу сходимостиинтеграла 3 . Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемоев 4 также стремится .ВведемобозначениеЕслиh класса C2 в окрестности точки x, то из равенстваследуетдифференцируемость функции g y в точке y x. Итак, g y кусочно-диференцируемая функция.

Интегрируя почастям, устанавливаемпри Лемма доказана. Предложение 3. F-1 F j j для любого j S R . Доказательство.Внутреннийинтеграл сходится равномерно по y -n, n , поэтому возможна замена порядка интегрирования.Теперьутверждение следует из леммы. Из доказанного предложения вытекает,что преобразование Фурье взаимно-однозначно отображает класс Шварца в себя.

Покажем что это отображение на . Определим оператор J переводящий функцию j x в функцию j -x . Тогдаочевидно равенство F 2pJF-1, откуда,умножая справа на FJ 2p ииспользуясь равенством JJ 1, будемиметь , где 1 справа надо понимать как тождественное отображение вS R . Последнее равенство означает, что любая функция изS

R есть преобразование Фурье некоторой функции. 5. Класс Шварца в многомерном случае. Мультииндексом a a1, ,an будем называть набор из неотрицательных целых чисел.Порядком мультииндекса будем называть число Глава IIЗадача Коши для уравнения теплопроводности. 1. Постановка задачи коши для уравнениятеплопроводности. Требуется найти функцию u x,t ,непрерывную при t0 и xR и класса

C2 при t gt 0,удовлетворяющую уравнению 1 приt gt 0, xR иначальному условиюu x,0 j x . 2 Задача 1 , 2 имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно накладывают дополнительноеусловие, которому должно удовлетворять решение. Теорема Тихонова . Пусть u x,t решениезадачи 1 , 2 с функцией j x 0. Пусть e gt 0существует постоянная C gt 0 такая, что привсех x

R и t sup0. Тогда u 0. Из этой теоремы следует, что при средифункций, растущих, грубо говоря, медленнее чем при любом e gt 0, неможет найтись более одного решения задачи 1 , 2 . Эту теоремумы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности приболее сильных ограничениях. 2.Применим преобразование Фурье 3 Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь обобосновании.

Дифференцируя 3 по t, устанавливаем Кроме того, по свойству 3 преобразования Фурье Учитывая 1 , имеем 4 Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение спараметром y,находим Где g y произвольнаяфункция. Используя 2 , определяем g y 3. Решение задачи Коши сначальной функцией из класса Шварца. Теорема2. Если j S R , то формула 5 дает решение задачи 1 ,

2 , бесконечно дифференцируемоепри t sup3 0. Доказательство.Так как , то при любом t sup3 0и обратное преобразование Фурье в формуле 5 определено. Дифференцируя 5 по t, имеем 6 так как , то интеграл 6 сходится равномерно при t sup3 0, и дифференцированиезаконно. Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u x,t по t и x. Дифференцируя 5 дважды по x,устанавливаем 7

Из формул 6 , 7 вытекает, что функция u x,t удовлетворяет уравнению 1 .Справедливость условия 2 очевидна. Теорема доказана. 4. Фундаментальное решение уравнениятеплопроводности. Преобразуемформулу 5 к более удобному явному виду. Для этого запишем ее в интегралах меняем порядок интегрирования 8

В формуле 8 внутренний интеграл есть преобразованиеФурье от функции при значении аргумента x-z , поэтому из 9.2 имеем Подставляя это в 8 , получим 9 Функцию называют фундаментальным решением уравнениятеплопроводности. Легко проверяются следующие свойства этой функции 5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальнойфункцией. Теорема 3.Пусть j z ограничена и непрерывна навещественной оси.

Тогда формула 9 дает решение задачи 1 , 2 . Доказательство.Продифференцируем 9 под знаком интеграла 10 Чтобы обосновать законность такого дифференцирования,достаточно показать равномерную сходимость по x интеграла 10 , для чего произведемзамену Изограниченности функции j следует равномерная сходимость интеграла как по x R, так и по t gt e. Совершеннотак же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u x, t по x

и t при t gt 0. Из свойства 3 фундаментального решения следует, что u есть решение уравнения 1 . Длядоказательства 2 снова сделаем замену переменной интегрирования в 9 Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен предельный переход подзнаком интегралаТеорема доказана. 6. Единственность решения в классеограниченных функций. Теорема4. Пусть ограниченная функция u x, t является решением задачи 1 ,

2 с начальной функцией j 0. Тогда u x, t 0. Доказательство. Рассмотрим функциюu x, t e x2 3a2t du x, t ,где e gt 0, d -любого знака. Легко проверить, что 11 Так как функция u ограничена, то функция v x, y в области t gt 0 достигает минимума в некоторойточке x0, t0 . Покажем, что v x0, t0 sup3 0.Пусть, напротив v x0, t0 lt 0. Тогда,очевидно, t0 gt 0,так как v x, 0 0.Как необходимые условия минимума имеем соотношениякоторые противоречат 11

. Итак, v x, t sup3 0при всех x и t sup3 0.При фиксированных x и t,переходя к пределу при e 0в неравенствеe x2 3a2t du x, t sup3 0,получаем du x, y sup3 0.Ввиду произвольности знака d отсюда следует u 0.Теорема доказана