Педальный треугольник

Научно практическая конференция школьников Понятия и свойства педального треугольника Подготовила Собенина Татьяна МОУ СОШ 10Б класс Руководитель Мельник Г.И. Г. Когалым Ханты-Мансийский АО 2005 год Содержание 1. Вступление. 2. Педальный треугольник стр.3-1 Определение педального треугольника. 2 Свойства педального треугольника.

3 Теоремы о педальном треугольнике. 4 Вычисление площади педального треугольника. 3. Ортоцентрический треугольник 1 Определение ортоцентрического треугольника. 2 Свойства ортоцентрического треугольника. 3 Теоремы об ортоцентрическом треугольнике. 4 Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по

Л.Фейеру. 4. Практическая часть. Задачи и упражнения. 5. Список литературы. 6. Заключение. ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК План 1 Определение педального треугольника. 2 Свойства педального треугольника. 3 Теоремы о педальном треугольнике. 4 Вычисления площади педального треугольника. Педальный треугольник. Определение. рис.1 Определение.

Пусть Р - любая точка внутри данного треугольника АВС рис.1, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, АС, АВ треугольника, будут РА1 ,РВ1 и РС1. Треугольник А 1В1С1 , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки

Р. Свойства педального треугольника. Свойство1. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны ax , by , cz, где R радиус описанной окружности. 2R 2R 2R Доказательство. Около каждого из полученных четырхугольников АС1РВ1, ВА1РС1, СВ1РА1 можно описать окружность рис.1. рис.2

Прямые углы в точках С1 и В1 указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ1С1. Аналогично, точка Р лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников СА1В1, ВС1А1.Опишем окружность около четырхугольника АВ1РС1 е диаметром будет АР рис.2. Пусть В1С1а , тогда на основании теоремы синусов для треугольника

С1АВ а1sin A AP 1 Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим аsin A 2R 2 Разделив почленно равенство 1 на равенство 2 а1а АР2R а1аАР2R. Аналогично b1bBP2R с1 сСР2R , где b1C1A1 , c1 B1A1. Если АР x, ВР y, СР z, то длины сторон педального треугольника равны a1 ax2R b1by2R с1 сz2R. Таким образом, свойство доказано. Замечание. В частном случае, когда точка

Р является центром описанной окружности xyzR, рис.3, длины сторон педального треугольника равны а1а2 b1b2 с1с2. рис.3 Свойство2. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда , когда эта точка лежит на описанной окружности. Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника.

Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историкам не удалось найти е в работах учного. В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом. Доказательство. Рассмотрим случай, когда точка Р лежит на описанной окружностирис.4. рис.4 Для определения будем считать, что точка

Р лежит на дуге СА, не содержащей точку В. Все остальные случаи могут быть получены преобразованием вершин буквами А, В, С. Так как углы А1, В1 и С1 прямые, то точка Р также находится на окружностях, описанных вокруг треугольников А1ВС1, А1В1С и АВ1С1.Поэтому APC 180- B C1PA1 и, вычитая APA1, выводим, что A1PCC1PA. Но так как точки А1,С,

Р, В1 лежат на окружности , то A1PCA1B1C, и так как точки В , А, Р, С лежат на окружности, то C1PAC1B1A, Таким образом, A1B1CC1В1A Отсюда следует, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой, т. е. Педальный треугольник вырождается.Наоборот, если точка Р расположена так, что педальный треугольник АВС вырождается, то, очевидно.

Что точка Р должна лежать внутри одного из углов треугольника АВС и вне противолежащей ему стороны. Переобозначая вершины, если это необходимо, мы можем предположить, что этот один угол является углом В и что точка С1 лежит на продолжении стороны ВА за точку А рис.4. Повторяя проведенные выше рассуждения об углах в обратном порядке, мы получим, что точка Р лежит на описанной окружности. Следовательно, свойство доказано и справедливо.

Замечание. Требование, чтобы точка педальная точка находилась внутри треугольника по определению, можно ослабить, запретив лишь этой точке лежать на окружности, описанной вокруг треугольника АВС рис.4. Теоремы о педальном треугольнике. Теорема1. Если из точки L внутри треугольника АВС опущены перпендикуляры la, lb, lс , соответственно на стороны a, b, c треугольника, то laha lbhb lс hc 1. Доказательство.

Соединим точку L с вершинами треугольника. Треугольник АВС разобьтся на три треугольника рис.5. рис.5 Имеем SaS la ha SbS lbhb ScSlchc. Сложив левые и правые части равенств, получим Sa Sb Sc S la ha lbhb lchc. Так как Sa Sb Sc S, то la ha lbhb lchc 1. Теорема доказана. Следствие. В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой

внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника. Доказательство. В равностороннем треугольнике высоты равны, т.е. можно записать такое равенство la h lbh lch 1 la lb lch 1 la lb lc h. Следствие доказано. Теорема2. Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме

квадратов трх других. Доказательство. Пусть OL, OM, ON- перпендикуляры , опущенные из произвольной точки О соответственно на стороны АВ, ВС, АС рис.6. рис.6 Тогда по теореме Пифагора из треугольников АОL и ВОL следует АО2 АL2 AO2 BL 2 или AL2 BL2 AO2 BO2. Аналогично, из треугольников

ВМО и СМО ВМ2 СМ2 ВО2 СО2, А из треугольников CON и AON CN2 AN2 CO2 AO2 . Сложив эти равенства, получим AL2 BL2 BM2 CM2 CN2 AN2 0 или AL2 BM2 CN2 BL2 CM2 AN2. Теорема доказана. Обратная теорема. Если на сторонах треугольника три точки определяют шесть отрезков так. Что сумма квадратов трх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трх других, то

эти три точки можно рассматривать как проекции некоторой точки на стороны треугольника. Доказательство метод от противного. Пусть данное нам утверждение не верно, т.е. если точки L, M, N не являются проекцией точки О на стороны треугольника, то AL2 BL2 BM2 CM2 CN2 AN20, что противоречит условию AL2 BM2 CN2 BL2 CM2 AN2. Теорема доказана. Следствие 1.

Перпендикуляры, восстановленные из середин сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Следствие 2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. рис.7 Из треугольников BLC и ALC , выразив сторону CL по теореме Пифагора, имеем BL2 АL2 a2 b2 . Аналогично, из треугольников ВАМ и САМ CM2 - ВМ2 b2 c2 . Из треугольников СВN и

АВN AN2 - CN2 c2 a2 . Сложив эти равенства, получим AL2 BM2 CN2 BL2 CM2 AN2. По обратной теореме 2, получим, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Перейдм к одной очень интересной задаче, с помощью которой можно доказать следующую теорему о педальных треугольниках. В ней рассматриваются педальные треугольники педальных треугольников. Данная задача в то же самое время прекрасно демонстрирует роль воображения в геометрии.

Эта задача, по-видимому, впервые появилась в 1892 году, когда она была добавлена редактором Ж. Нейбергом в шестое издание классического труда Джона Кейси Продолжение первых шести книг Начал Евклида. рис.8 На рис.8 внутренняя точка Р использована для определения треугольника А1В1С1первого педального треугольника АВС. Та же самая педальная точка

Р снова использовалась для определения педального треугольника треугольника А1В1С1, который мы обозначим через А2В2С2 и назовм вторым педальным треугольником треугольника АВС. Третья операция дат треугольник А3В3С3 педальный треугольник треугольника А2В2С2, где для третьего педального треугольника использовалась та же точка Р. В этих терминах открытие Нейберга можно выразить следующим образом.

Теорема 3. Третий педальный треугольник подобен исходному. Доказательство. Доказательство следует из чертежа рис.8, стоит лишь соединить точки Р и А. Если рассмотреть окружности, описанные вокруг треугольников АВ1С1, А2В1С2, А3В3С2, А2В2С1 и А3В2С3, то точка Р принадлежит каждой из них, поэтому C1AP C1B1P A2B1P A2C2P B3C2P B3A3P и PAB1 PC1B1 PC1A2

PB2A2 PB2C3 PA3C3. Другими словами, две части, на которые прямая АР делит угол А, имеют двойников одна- при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и, наконец, обе- при вершине А3. Следовательно, треугольник АВС и треугольник А3В3С3 имеют равные углы при вершинах

А и А .Аналогично, они имеют равные углы В и В3, т. е. по первому признаку подобия треугольники подобны. Теорема доказана. Для того, чтобы перейти к следующей теореме, рассмотрим такое понятие, как точки и углы Брокара. Брокаром в 1875 году была поставлена следующая задача. В треугольнике АВС найти точку Q так, чтобы QAB QBC QCA. Точку Q обычно называют точкой Брокара. Угол ц, равный каждому из углов

QAB, QBC, QCA, называется углом Брокара. Для построения точки Брокара приведм следующий способ Построим окружность, проходящую через точки А и С и касающуюся стороны АВ в точке А. Через А проведем АNВС. Эта прямая пересечт окружность в точке N. Точка пересечения прямой NB с окружностью есть искомая точка Q рис.9. рис.9

Доказательство. Обозначим угол QBC через ц, тогда угол ANB также равен ц. Угол QAB, как составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги AQ и поэтому равен ц. Задача доказана. Также по рис.9 можно доказать, что расстояние от точки Брокара до вершин треугольника АВС равны AQ 2Rbsinцa, BQ 2Rcsinцb, CQ 2Rasinцc. А синус угла Брокара вычисляется по следующей формуле sinц abc2Rv b2c2 c2a2

a2b2 или, т.к. abc4S R, sinц 2Svb2c2 c2a2 a2b2. Задача доказана. Теорема 4. Педальный треугольник точки Брокара подобен исходному. Доказательство. рис.10 1 способ. По свойству 1 педальных треугольников, имеем a1 aAQ b1 bBQ c1 cCQ 12R. Подставляя значения AQ,BQ,CQ рис.10 из только что доказанной задачи, имеем a1aab2Rsinц b1bb c2Rsinц c1cca2Rsinц 12R, a1b b1c c1a. Следовательно, педальный треугольник точки

Брокара подобен данному по третьему признаку. Теорема доказана. 2 способ. Доказательство данной теоремы построено на основе свойств педальных треугольников. Следствие. Педальный треугольник точки Брокара и данный треугольник имеют равные углы Брокара. Доказательство рис.10. Вычисление площади педального треугольника. Решение. Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально

n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1 медальный треугольник точки М рис.11. рис.11 Тогда SА1В1С1 SС1МВ1 SA1MB1 SA1MC. Так как данный треугольник и треугольник С1МВ1 отличается тем свойством, что A M р,то SС1МВ1 S С1М МВ1 c b SС1МВ1 SС1М МВ1 c b. Так как С1М 2Sсn-1an bn cn, МВ1 2Sbn-1an bn cn, A1M 2San-1an bn cn, то

SА1В1С1 4S3 сn-1 bn-1an bn cn2 c b 4S3 сn-2 bn-2an bn cn2 . Определив аналогично площади треугольников A1M В1 и A1M С1 и сложив полученные значения, найдм площадь педального треугольника SА1В1С1 4S3 bn-2cn-2 cn-2an-2 an-2bn-2 an bn cn2 . Задача решена. Рассмотрим три случая, когда педальная точка данного треугольника занимает определнное

место в нм, т.е. точку пересечения медиан центр тяжести, точку пересечения биссектрис центр вписанной окружности и точку пересечения высот ортоцентр. 1. Площадь педального треугольника центра тяжести. Решение. рис.12 По определению медиан АККС, следовательно АК КСс0а0, т.е. n0.Тогда SА1В1С1 4S3 b-2c-2 c-2a-2 a-2b-2 9. SА1В1С1 49S3 a2 b2 c2 a2 b2 c2.

Задача решена. 2. Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. Решение. рис.13 По свойству биссектрисы в треугольнике АК КСса, т.е. n1.Тогда SА1В1С1 4S3 1bc 1ca 1ab a b c2 4S3 a b c2рa b c 2 S3 р р2a b c2 S3 рa b c 4S2r2a b c Sr2R. Задача решена. 3.Площадь педального треугольника точки пересечения высот.

Решение. рис.14 По свойству высот в треугольнике АВ1В1С с2а2, Таким образом, n2. Тогда SА1В1С14S3 3 a2 b2 c22 12 S3 a2 b2 c22. Задача решена. ОРТОЦЕНТРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК План 1 Определение ортоцентрического треугольника. 2 Свойства ортоцентрического треугольника. 3 Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.

4 Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру. Ортоцентрический треугольник как частный случай педального треугольника. рис.15 Определение. Пусть Р- точка пересечения высот треугольника АВС, т.е. его ортоцентр, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки

Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА1, РВ1, РС1 соответственно. Треугольник А1В1С1, называется ортоцентричеким треугольником относительно данного треугольника АВС. Свойства ортоцентрического треугольника. Свойство1. Если высоты треугольника АВС пересекаются в точке H, то каждая из четырх точек А, В, С, H есть ортоцентр треугольника с вершинами в трх других точках.

Доказательство. рис.16 Рассмотрим в качестве примера точку А рис.16. Эта точка есть ортоцентр треугольника BHC, так как BD, HE, CF- его высоты. Прямая, соединяющая две из четырх точек А, В, С, H, перпендикулярна прямой, соединяющей две другие точки. Свойство доказано. Свойство 2. Шесть дуг описанной окружности, определяемых тремя вершинами остроугольного

треугольника и тремя точками пересечения продолжений высот с описанной окружностью, попарно равны. Доказательство. рис.17 На рис.17 видно, что треугольники ADC и AFB подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол А у них общий, поэтому ABB1ACC1. Аналогично BCC1DFF1 и CAA1CBB1. Из теоремы о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, следует,

что АВ1С B11 , 1 1 , СВ1. Свойство доказано. Свойство 3. Расстояние от ортоцентра до стороны треугольника равно отрезку от основания высоты до точки пересечения продолжений высоты с описанной окружностью. Доказательство. Треугольники AFH и AFB1, ADH и ADC1, BEA1 и BEH равны по катету и острому углу рис.17. Следовательно, HF FB1, HE EA1, HD DC1. Свойство доказано.

Свойство 4. Произведение отрезков, на которые высота остроугольного треугольника делит противоположную сторону, равно произведению высоты на отрезок е ортоцентра до основания высоты. Доказательство. Доказательство сводится к следствию из теоремы о том, что произведение отрезков хорды, проходящей через данную точку, есть величина постоянная, т.е. по рис.17 ADDBCDD C1. Так как по третьему свойству HD DC1, то

ADDBCDНD. Свойство доказано. Свойство 5. Произведение отрезков высоты от вершины до ортоцентра и от ортоцентра до основания есть величина постоянная. Доказательство. По той же теореме, на которую была ссылка в доказательстве четвртого свойства, имеем ВННВ1АННА1 СННС1. Или по третьему свойству 2ВННF2АННE 2СННС1, таким образом, ВННFАННE СННС1. Свойство доказано. Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.

Прежде чем сформулировать теоремы, введм следующие понятия Определение. Если на стороне АВ треугольника АВС или на продолжении стороны выбрать произвольную точку D рис.18 и через не провести прямую DF так, чтобы ADFC,то прямая DF антипараллельна стороне ВС. рис.18 Через произвольную точку D на стороне АВ треугольника АВС можно провести две антипараллели

DF, антипараллельную ВС, и DE, антипараллельную АС. Если на гипотенузе прямоугольного треугольника выбрать произвольную точку и из этой точки восстановить перпендикуляр к гипотенузе, то этот перпендикуляр антипараллелен катетам. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, антипараллельна катетам. Теорема 1. Окружность, проведнная через вершины треугольника, пересекает две стороны треугольника в

точках D и F так, что DF антипараллельна третьей стороны. Доказательство. рис.19 Имеем СDF В р, как сумма противолежащих углов вписанного четырхугольника рис.19. CDF FDA р. Отсюда, В FDA, тогда по определению DF и CB антипараллельны. Теорема доказана. Теорема 2. Касательная, проведнная в вершине треугольника к окружности, описанной около треугольника, антипараллельна противоположной стороне.

Доказательство. EAB измеряется половиной дуги АМВ C измеряется половиной дуги АМВ рис.20. Следовательно, C EAB. рис.20 Теорема доказана. Определение. Треугольник, стороны которого касаются окружности, описанной около данного треугольника, в вершинах этого треугольника, называется тангенциальным треугольником. Треугольник А1В1С1- тангенциальный относительно данного остроугольного треугольника

АВС рис.21. рис.21. Выразим углы тангенциального треугольника через углы данного. Угол А1 измеряется полуразностью дуг САВ и ВС А1 САВ ВС 2р- 2ВС р- ВС р- 2A. Для углов В1 и С1 получаются аналогичные выражения А1 р- 2A, В1 р- 2В, С1 р- 2A. Теорема 3. Стороны ортоцентрического треугольника антипараллельны сторонам данного. Доказательство. Углы АВ2В и АА2В прямые рис.21, следовательно, около четырхугольника

АВ2А2В можно описать окружность, т.е. по теореме 1 В2А2 антипараллельна АВ. Аналогично, стороны В2С2 и С2А2 соответственно антипараллельны ВС и СА. Теорема доказана. Теорема 4. В остроугольном треугольнике высоты треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника. Доказательство.

Треугольники А2ВА и С2ВС подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно, АВСВ А2ВС2В рис.22 таким образом, треугольники А2ВС2 и АВС подобны по второму признаку подобия треугольников рис.22. Из подобия треугольников следует, что C2A2B A, A2C2B C AA2C2 р2 - C2A2B р2 -A, CC2A2 р2 - C. Подобным же образом можно получить

BB2A2 р2 -B, CC2B2 р2 - C. AA2B2 р2 -A, BB2C2 р2 -B. Итак, высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника. Теорема доказана. Следствие. Ортоцентричекий и тангенциальный треугольники остроугольного треугольника подобны. Доказательство. Действительно, углы ортоцентрического треугольника соответственно равны углам тангенциального треугольника рис.22. A1 р-

2A, B1 р- 2B, C1 р- 2C. A2 2р2 -A р- 2A, B2 р- 2B, C2 р- 2C Теорема доказана. Рассмотрим более обобщающую теорему, т.е. более сильное утверждение. Теорема 5. Если в треугольнике АВС две прямые ВМ и СN, исходящие из вершин треугольник, пересекаются на высоте АD, то эта высота есть биссектриса угла МDN. Доказательство.

Опустим из точек M и N перпендикуляры MF и NH на сторону ВС рис.23. рис.23 ВМNH G,CNMFE. Треугольники NOG и EOM подобны, так как NOG EOM как вертикальные углы, NGO OME как внутренние накрест лежащие, т.е. по первому признаку подобию. Следовательно, NGME NOOE HDDF. Далее MEMFAOAD NGNH, т.е.

NHMF NGME. Сравнивая полученные равенства, получаем NHMF HDDF. Следовательно, треугольники NHD и MFD подобны, NDH MDF и высота АD делит угол пополам. Теорема 4 есть частный случай доказанной теоремы. Теорема доказана. Теорема 6. Площадь остроугольного треугольника равна среднему геометрическому площадей ортоцентрического и тангенциального треугольников.

Доказательство. рис.24 Обозначим площади и полупериметры основного, ортоцентрического и тангенциального треугольников соответственно через S, p, Sh, ph, St, pt.Из подобия тангенциального и ортоцентрического треугольников получаем StSh pt2ph2 1, St ptR 2. Площадь S треугольника АВС равна сумме площадей следующих трх четырхугольников АВ2ОС2, А2ОВ2С, А2ОС2В рис.24. Диагонали этих четырхугольников взаимно перпендикулярны, так как радиусы

ОА, ОВ, ОС соответственно перпендикулярны к прямым В2С2, А2С2, А2В2 эти прямые параллельны касательным в вершинах треугольника к окружности, описанной около треугольника. Поэтому S R А2С2 R А2В2 R В2С2 Rph 3. Равенства 2 и 3 дают St S ptph 4. Сравнивая равенства 1 и 4, получим St2 S2 StSh. Отсюда, S2 StSh, или Sv StSh. Из равенства 3 следует ph

SR. Теорема доказана. Доказанная нами теорема есть частный случай следующей теоремы. Теорема 7. Если в данный треугольник и около данного треугольника описать треугольник так, чтобы их стороны были параллельны, то площадь данного треугольника равна среднему геометрическому между площадями вписанного и описанного треугольников. Доказательство. Пусть в треугольник АВС вписан треугольник DEF и около треугольника

АВС описан треугольник MNP стороны треугольника DEF параллельны сторонам треугольника MNP рисю25. рис.25 Соединим точку N с точками D, E, F и M с точками D и F. SABC SAEF SEFD SECD SBFD. SAEF SENF так как ANEF SBFD SMFD так как MPFD SDCE SDNE так как NPDE SDEF SDEF SABC SENF SMFD SDNE SBFD SDNF SMDF DFNK2

DFML2 b1H2, где DF b1, H- высота треугольника MNP, проведнная из вершины N SMNP bH2, где МР b SDEF b1H12, где Н1- высота треугольника DEF. Таким образом, имеем SMNP SDEF bHb1H1 bb1 SABC SDEF HH1 bb1 следовательно, SMNP SDEF SABC SDEF. Теорема доказана. Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по

Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л. Фейеру. Теорема. Из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник АВС, ортоцентрический треугольник имеет наименьший периметр. Доказательство Г.А. Шварца. Отразим треугольник АВС от стороны ВС полученный таким образом треугольник А ВС отразим от стороны

СА результат этого второго отражения отразим от стороны А B и после этого произведм ещ три отражения последовательно от сторон B C , C A и АB рисю26. рис.26 Непосредственно видно из чертежа, что положение ABC может быть получено простым параллельным переносом. Чтобы убедиться в этом, проследим, что происходит с треугольником после двух первых отражений.

Вместо того, чтобы подвергать его двукратному отражению, можно перевести исходный треугольник в третье положение простым вращением его по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной вершины С на угол 2гб,в,г-углы, соответствующие вершинам А, В и С. Точно так же можно перевести его из этого положения в пятое вращением по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной точки B на угол 2в, и вращением на угол 2б вокруг неподвижной точки

А можно перевести его в положение седьмое, то есть в конечное положение. В сумме мы повернули бы треугольник АВС по часовой стрелке на угол 2г2в2б, то есть на угол равный 2р. В результате, треугольник АВС совершает полный оборот и принимает то же самое положение, что и вначале, оказываясь передвинутым в своей плоскости параллельно самому себе. Следовательно, ВС параллельна BC. Проследим теперь за теми изменениями, которые получит при этих последовательных

отражениях ортоцентрический треугольник FEG. Можно доказать, что AFGCFE. На основании этого утверждения замечаем, что отрезок EG в свом втором положении и, точно также, в последующих положениях одна из сторон треугольника будет последовательно располагаться на продолжении прямой, проходящей через FE. Поэтому, прямая EE будет состоять их шести отрезков, из которых два равны

FG, два EG и два FE следовательно, она равна удвоенному периметру треугольника WUV. Проследим точно таким же образом за положениями, которые будет последовательно принимать какой-либо другой треугольник WUV, вписанный в данный треугольник АВС. Так же убедимся, что ломаная линия UV W U VWU, равна удвоенному периметру треугольника WUV. В четырехугольнике EEUU противоположные стороны

UE и UE параллельны и равны, как соответственные отрезки в различных положениях треугольника АВС. Следовательно, EEUU параллелограмм, а значит, UU EE . Таким образом, UU также равно данному периметру треугольника FEG. Но с другой стороны, непосредственно очевидно, что UU короче проведнной между теми же конечными точками ломаной.

Следовательно, периметр треугольника FEG меньше периметра треугольника WUV, что и требовалось доказать. Теорема доказана. Доказательство Л. Фейера. Пусть в данный остроугольный треугольник АВС вписан произвольный треугольник WUV так, что его вершина U лежит на стороне ВС, V на стороне СА и W на стороне

АВ. Отобразим зеркально вершину U от двух прямых АС и АВ. Пусть е зеркальными образами будут соответственно точки U и U. В силу основных свойств зеркального отображения, отрезок UV равен отрезку U V, а отрезок UW равен отрезку UW. Поэтому периметр треугольника WUV, составленного из отрезков

UV, VW и WU, будет равен длине ломаной линии U VWU рис.27. рис.27 Если оставить точку U на прежнем месте, а точкам V и W придать другое положение, то точки U и U, положения которых определяются лишь только точкой U и данным треугольником АВС, останутся неподвижными. Это означает, что ломаная линия U VWU, длина которой всегда равна периметру треугольника

WUV, при всех возможных положениях точек V и W останется натянутой между неподвижными концами U и U. Но линия, соединяющая точки U и U, будет кратчайшей лишь в том случае, если она будет прямой. Следовательно, отрезок U U дат величину наименьшего периметра, который может иметь вписанный треугольник с фиксированной вершиной U. Обозначим две остальные вершины такого треугольника с минимальным периметром и фиксированной вершиной U через M и N. Теперь необходимо сравнить между собой все минимальные треугольники,

соответствующие различным положениям вершины U, и выбрать из них тот, периметр которого будет наименьшим периметром из всех возможных вписанных треугольников. Таким образом, вершину U требуется поместить так, чтобы отрезок U U был наименьшим. Заметим, что треугольник АU U равнобедренный, так как AUAU AU. Величина угла U AU от положения точки U не зависит и определяется заданным треугольником

АВС. Действительно, UABUAB, UACU AC следовательно, UAU2UAB и U AU2UAC, таким образом, U AUUAU2UAB2UAC или U AU2CAB. Отрезок U U, который мы должны сделать наименьшим, является основанием равнобедренного треугольника AU U. Так как U AU от положения U не зависит, то во всех треугольниках AU U, полученных при возможных положениях U, углы при вершине совпадают.

Из этих треугольников наименьшее основание имеет тот, у которого боковые стороны наименьшие. Но AUAU AU, следовательно, U U будет наименьшим, если точка U будет выбрана так, чтобы расстояние АU было наикратчайшим. Но отрезок AU соединяет точку А с прямой ВС. Известно, что кратчайшим расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр, следовательно, AU высота треугольника

АВС, опущенная из вершины А. Построим искомый вписанный треугольник EFG наименьшего периметра. рис.28 Пусть Е- основание перпендикуляра, опущенного из А на ВС. Пусть точка Е - точка, симметричная точке Е относительно АС, Е- симметричная точке Е относительно АВ. Тогда отрезок Е Е будет равен наименьшему периметру вписанного треугольника.

Две другие вершины искомого треугольника определяются точками пересечения F и G прямой Е Е со сторонами АС и АВ. Задача всегда имеет одно решение, так как точка Е определнная Е- основание высоты АЕ и точки G и F при найденной точке Е также являются определнными. Точка Е получена как основание высоты, опущенной из вершины А. Вершины G и F получены другим способом. Но можно было бы начать решение задачи с отыскания вершины

G, а не Е тогда для е отыскания пришлось бы провести высоту СG. Так как задача допускает единственное решение, то точки G и F также служат основаниями высот и, следовательно, треугольник наименьшего периметра есть ортоцентрический треугольник. Теорема доказана. Замечание. В доказательстве Шварца требование, чтобы треугольник был остроугольный необходимо, так как только в таком треугольнике

его ортоцентрический треугольник целиком лежит внутри исходного треугольника. Это требование выражается в том, что ортоцентрический треугольник уже предполагается вписанным. Если же треугольник является прямоугольным или тупоугольным, то наименьший по периметру вписанный треугольник является вырожденным- он представляет собой дважды взятую высоту треугольника, опущенную из наибольшего угла рис.29, периметр любого вписанного а АВС треугольника больше дважды взятой высоты рис.29

В доказательстве Фейера остроугольность треугольника связана с тем, что угол U AU меньше р, и точки пересечения M и N прямой U U с АС и АВ лежат на самих этих сторонах. Точно так же основание высоты АЕ лежит на стороне ВС, а не на е продолжении. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ. Задачи и упражнения. 1.

Тема Педальный треугольник. Задача 1. Определить стороны педального треугольника точки J центра вписанной окружности относительно треугольника АВС. Решение. рис.30 Пусть А1В1С1 педальный треугольник рис.30, тогда по теореме 1 В1С1 а1 Из прямоугольного треугольника АВ1J имеем АJ2 p-a2 r, так как АВ1 р-а, и В1Jr, где р . Следовательно, АJ2p-a2 p2 app2 cpb2 .

Значит, АJ и В1С1 а1 . Итак, В1С1 2p-a . Аналогично С1А1 2 p-b . A1B1 2p-c . Задача решена. Задача 2. Определить стороны педального треугольника точки G центра тяжести треугольника относительно треугольника АВС. Решение. рис.31 Пусть А1В1С1 педальный треугольник. Пусть стороны педального треугольника равны а1, b1, c1рис.31.

По тереме1 a1 b1 c1 . Так как AG , то а1 a1 . Аналогично, b1 , c1 . Задача решена. Задача 3. Две касательные к окружности, касающиеся е в точках В и С, пересекаются в точке А. Пусть А1В1С1 педальный треугольник равнобедренного треугольника АВС для произвольной точки Р на этой окружности. Показать, что РА12 РВ1РС1. Решение. рис.32 Проведм отрезки РВ, РС,

С1А1, А1В1 рис32. Вписанные четырхугольники А1РВ1С и А1ВС1Р дают A1B1P A1CP BCP C1BP C1A1P, PA1B1 PCB1 PCB PBA1 PC1A1. Тогда треугольники РА1В1и РС1А1 подобны по первому признаку подобия, то есть по определению РА12 РВ1РС1. Задача решена. Задача 4. Площадь треугольника со сторонами а, b, c равна S. Найдите площадь педального треугольника точки Брокара.

Решение. По теореме 4, педальный треугольник точки Брокара относительно данного треугольника подобен последнему, причм a1b b1c c1a sin ц. Следовательно, отношение площади педального треугольника S1 точки Брокара к площади данного треугольника S равно S1S sin2ц. Так как sin2ц , то S1S , откуда S1 . Задача решена.