Методы решения уравнений в странах древнего мира

Методы решения уравнений в странах древнего мира История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещ в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времн и народов. В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения фальфивое правило

Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах Ь с, в котором а, Ь, с целые числа. По правилам арифметических действий ах с b, Если Ь с, то с b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке. Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного

положения. В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор. Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали хау и переводили словом куча куча или неизвестное количество единиц. Теперь читают немного менее неточно ага. bqt задача 24 сборника

Ахмеса Куча. Ее седьмая часть подразумевается дают в сумме 19. Найти кучу. Запись задачи нашими знаками Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова Делай как делается, другими словами Делай, как люди делают. Смысл решения Ахмеса легко понять. Делается предположение, что. куча есть 7 тогда ее часть есть 1.

Это записано в первом столбце. Во втором столбце записано, что при предположении х7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком у нас звездочкой результат для получения в сумме 19 первоначальное

предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19, не хватает еще 163. Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя. Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит, что и первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив и значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи 7

надо помножить на Умножение числа 7 на смешанное число Ахмес заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем столбце выписаны часть искомой кучи есть , удвоенное это число и учетверенное . Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на . Итак, куча равна . В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для кучи и его части .

В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением Будет хорошо. Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне. У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских

народов, в том числе в Арифметику Магницкого. Магницкий называет способ решения фальшивым правилом и пишет о части своей книги, излагающей этот метод Зело бо хитра есть сия часть, Яко можеши ею все класть вычислить. И. Д. Не токмо что есть во гражданстве, Но и высших наук в пространстве, Яже числятся в сфере неба, Якоже мудрым есть потреба. Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так эта часть арифметики

весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы высшие, которые встают перед мудрыми. Магницкий пользуется фальшивым правилом в форме, какую ему придали арабы, называя его арифметикой двух ошибок или методой весов. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана

потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие

отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения , В Арифметике Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач. Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96. Диофант рассуждает следующим образом из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 х, другое же меньше, т. е. 10 х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение или же Отсюда х 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения 1.

Квадратные уравнения в Индии. Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате Ариабхаттаим, составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье. В Алгебраическом трактате ал-Хорезми датся классификация линейных и квадратных уравнений. Индий учные знали решения неопределнных уравнений в целых числах в том числе и в отрицательных, чего

сам Диофант избегал. Формула решений квадратного уравнения. Греческий математик Герон I или II век нашего летоисчисления вывел формулу для решения квадратного равнения ax2 bx c умножением всех членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в школьных учебниках они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это дат Индийские математики часто давали задачи в стихах.

Задача о лотосе. Над озером тихим, с полмеры над водой, Был виден лотоса цвет. Он рос одиноко, и ветер волной Нагнул его в сторону и уж нет Цветка над водой. Нашл его глаз рыбака В двух мерах от места, где рос. Сколько озера здесь вода глубока Тебе предложу я вопрос. Ответ Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй

степени и одно линейное В древневавилонских текстах, написанных в III II тысячелетиях до н. э содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них Площади двух своих квадратов я сложил .Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5. Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид

Для решения системы 1 вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была известна, получает Подставляя это значение у в первое из системы уравнений 1, автор приходит к квадратному уравнению Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время, автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его Арифметики. Задача 21. Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов 208. Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, получает в современных

обозначениях Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого все это Диофант производит устно, получаем x 2 10 у 10 2. Далее, х2 у2 г lO2 10 г2 2z2 200. Таким образом, 2z2 200 208, откуда z 2 х 2 10 12 у 10 2 8. Диофантовы уравнения. Задача Диофанта 80 Из II книги его Арифметики Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым числом дала полный

квадрат, Решение Диофанта Пусть первое число I будет s. Чтобы квадрат его при прибавлении второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s 1, так как в таком случае выполняется требование задачи квадрат первого числа. сложенный со вторым, дает s2 2s 1, то есть полный квадрат s 12. Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то есть число 2s I2 s, равное 4s2 5s 1 t2 Положим, что t 2s 2 тогда t2 4s2 8s 4.

Это выражение должно равняться 4s2 5s 1. Итак, должно быть 4s2 8s 4 4s2 5s l откуда s Значит, задаче удовлетворяют числа . Проверка Почему Диофант делает предположение, что t2s 2, он не объясняет. Во всех своих задачах в дошедших до нас шести книгах его их 189 он делает то или другое предположение, не давая никакого обоснования. Вообще содержание 6 книг таково

В Арифметике 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими решениями. Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения входящих в нее величин и даются решения. Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает условие, чтобы дискриминант был полным квадратом.

Так, задача 30 найти таких два числа, чтобы их разность и произведение были заданными числами, приводится к системе х у а, х b. Диофант выдвигает условие формирования требуется, чтобы учетверенное произведение чисел, сложенное с квадратом разности их, было квадратом, т. е. 4b а2 с2. В книге II решаются задачи, связанные с неопределенными уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше второй.

Диофант применяет различные приемы. Пусть необходимо решить неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 х, у 0. Если у него есть рациональное решение x0, y0, то Диофант вводит подстановку x x0 t, y y0 kt, в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в квадратное относительно t, у которого свободный член f2 x0, у0 0. Из уравнения получается t1 0 это значение

Диофант отбрасывает, t2 рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у. В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 ax2 bx с, очевидно рациональное решение x0 О,y0C. Подстановка Диофанта выглядит так x t, y kt c Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они приводили к уравнению у2 a2x2 bx с. Он делал подстановку x t, y at k, после чего х и у выражались рационально через параметр k

Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том, что если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких решений будет бесчисленное множество, причем значения х и у могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра В книге II есть задачи, решаемые с помощью двойного неравенства, т. е. системы ах b и2, сх d v2. Диофант рассматривает случай а с, но впоследствии пишет, что метод можно применить и при а с т2,

Когда а с, Диофант почленным вычитанием одного равенства из другого получает и2 и2 b d. Затем разность b d раскладывается на множители b d п1 и приравнивает и v I, и v п, после чего находит и I п2, v I - n2, х - l2 п24a - b d2a. Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй степени, то Диофант находит такие рациональные выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры, при которых

все уравнения, кроме одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные. Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения задач проводит исследования и находит условия, которым должны

удовлетворять параметры, чтобы решения существовали. В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональные функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные точки кубической кривой fз х, у 0, то можно найти и другие точки.

Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы Книга V содержит наиболее сложные задачи некоторые из них решаются с помощью уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более неизвестных. Есть и такие, в которых требуется разложить данное целое число на сумму двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадраты должны удовлетворить определенным неравенствам При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение

Пелля ax2 1 у2. Задачи книги VI касаются прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. К условию х2 у2 z2 в них добавляются еще условия относительно площадей, периметров, сторон треугольников. В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 b у2 имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им способы.

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле Прах Диофанта гробница покоит дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения откуда х 84 вот сколько лет жил Диофант. Неопределнное уравнение x2 y2 z2 Такое неопределнное уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения которого поэтому называют пифагоровыми

тройками, они нашли бесконечно много таких троек, имеющих вид Кубические уравнения Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении О шаре и цилиндре книга II, предложение 4 свел задачу о рассечении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение т п т п, к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции 1

где а радиус шара. Архимед обобщает задачу рассечь заданный отрезок а на две части х и а х так, чтобы а х с S х2, 2 где с и S заданные отрезок и площадь. Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима имеются в виду только положительные действительные решения, Архимед приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он говорит, что изложит полное решение задачи в конце, однако соответствующее место не сохранилось.

Жившие на столетие позже Архимеда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел провести анализ общего случая. Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений

Параболы 3 и гиперболы 4 здесь положено S pb. Оба уравнения легко получить из пропорции 2. Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции 2 к кубическому уравнению x2a-x Sc 5 которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что уравнение 5 может иметь положительные корни, если Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 а х.

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия существования положительных вещественных корней уравнения 5, а именно 1 если Sc 4327, то на участке 0, а имеются два таких корня 2 если Sc 4aз27, то имеется один корень как сказали бы мы, двукратный 3 если

Sc 4aз27, то корня нет. Здесь 4а327 есть максимум х2 а х, достигаемый при х 2а3. В конце письма, предпосланного книге О коноидах и сфероидах греки называли сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными коноидами параболоиды вращения, а тупоугольными коноидами полости двуполостных гиперболоидов вращения, Архимед пишет, что с помощью доказанных в книге теорем можно решить ряд задач, как, например от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, проведенной параллельно заданной, так, чтобы

отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару. Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид x2a xSc Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравнения вида х3 ax b 0 при различных значениях a и b

и дал метод их решения. Однако исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог справиться. Решение отдельных задач, эквивалентных кубическим уравнениям, греческие математики получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку провести полный

анализ всех уравнений третьей степени. Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан новый решительный шаг в развитии алгебры геометрическая оболочка была сброшена, и началось построение буквенной алгебры на основе арифметики. Это произошло в первые века нашей эры. Литература 1. История математики в древности Э. Кольман. 2. Решение уравнений в целых числах Гельфонд. 3. В мире уравнений

В.А.Никифоровский. 4. История математики в школе Г.И.Глейзер. 5. Рассказы о старой и новой алгебре И.Депман. 6. Пифагор рассказы о математике Чистаков. 7. Краткий очерк истории математики Стройк Д.Я. 8. Очерки по истории математики Болгарский Б.В. 9. История математики энциклопедия под редакцией

Юшкевича. 10. Энциклопедический словарь юного математика под редакцией Гнеденко.