методические указания

министерство образования рф орловский государственный технический университет факультет электроники и приборостроения кафедра высшая математика Т.А. Павлова методические указания к выполнению типового расчета по высшей математике дифференциальные уравнения Орел 2003 Автор ассистент кафедры высшая математика Т.А. Павлова Рецензент профессор, д.т.н. В.А. Гордон аннотация

Методические указания по выполнению типового расчета, проведению практических занятий и самостоятельной работе студентов по теме Дифференциальные уравнения , предназначены для студентов I курса ОрелГТУ всех специальностей, выполняющих во втором семестре типовой расчет Дифференциальные уравнения и контрольную работу Дифференциальные уравнения первого порядка . Автором рассмотрены уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные уравнения, уравнения

Бернулли, уравнения в полных дифференциалах и уравнения высших порядков указаны основные методы их решений. Редактор Инженер по маркетированию и верстке Подписано к печати . Формат 60х16. Печать офсетная. Усл. печ. л Тираж экз. Заказ Отпечатано с готового оригинала - макета На полиграфической базе ОрелГТУ, г. Орел, ул. Московская, 65. ОрелГТУ, 2003-02-22

Павлова Т.А. содержание уравнения с разделяющимися переменными 4 однородные уравнения 1-го порядка 4 линейные уравнения 1-го порядка 6 уравнение Бернулли 9 уравнения в полных дифференциалах 10 метод изоклин 11 геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка 12 дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13 линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 15 метод вариации произвольных постоянных метод

Лагранжа 18 литература 20 уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения вида 1 называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - только х, а затем проинтегрировать обе части по у и по х соответственно . Например, уравнение 1 надо разделить на , тогда получим .

Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл . 2 Кроме найденного общего интеграла 2 уравнению 1 могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл 2 , то они будут особыми решениями уравнения 1 . Приведем примеры решения конкретного уравнения этого типа. Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения ответ представить в виде х, у с .

1.31 . Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dx и dy Разделим обе части уравнения на , получим . Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл . В первообразных модули можно опустить, т.к. 1 х2 и 4 у2 величины всегда неотрицательные. Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим .

В нашем примере уравнение представлено в дифференциальной форме. Возможны случаи, когда уравнение разрешено относительно производной, т.е. оно имеет вид и, когда не разрешено относительно производной Например, для первого случая . В таких задачах нужно учитывать, что . Тогда Пример ко второму случаю . Уравнение можно разрешить относительно производной и, таким образом, придем к первому случаю. однородные

уравнения первого порядка Уравнение первого порядка называется однородным, если f x,y можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида . Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функции у или х новой функцией t по формуле y tx x ty , причем . Дифференциальное уравнение типа приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку

х0,у0 пересечения прямых , т.е. замена переменных Х х-х0, У у-у0. Если эти прямые не пересекаются, то , и рассматриваемое уравнение сводится к виду , которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой , тогда Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 2.31 . Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной.

Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на x2. Другими словами, сократим дробь на x2 Далее вводим новую функцию . Отсюда После подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными . Разделим переменные и, интегрируя, найдем Возвращаясь к старым переменным, получим

Ответ Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 3.31 Решение. Также как и в задаче 2 это тоже однородное дифференциальное уравнение. Докажем это, найдя точку пересечения прямых, стоящих в числителе и знаменателе и сделав соответствующую замену переменных. Из последней системы легко видеть, что . Подставим найденные х и у в исходное уравнение, получим .

Далее решаем полученное однородное уравнение путем замены. Возвращаясь к старым переменным, получим , что и является ответом. линейные уравнения первого порядка Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка линейное относительно y и y т.е. 3 1 .Если в 3 Q x 0, то 3 называется однородным Уравнение 5 является общим решением уравнения 4 . 2 .

Будем считать произвольную постоянную с неизвестной функцией с х , т.е. Полученные выражения для y и y подставим в 3 и найдем с х Решение уравнения 3 запишется в виде подставим в 5 Рассмотренный способ называется методом вариации произвольной постоянной. Уравнение 3 можно решить с помощью подстановки y UV, где

U U x , V V x . Тогда . Подставим и в 3 Во многих примерах необходимо решить задачу Коши например, в задачах 4, 5, 6, 11 .Процесс решения сводится к отысканию частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка n 1,2,3, ,удовлетворяющего n начальным условиям вида Т.е. ищут общее решение дифференциального уравнения, а затем, воспользовавшись начальными условиями, находят значения всех n произвольных постоянных c1, c2 cn, входящих в общий интеграл уравнения.

Задача 4. найти решение задачи Коши 4.31 . Решение. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его двумя способами. I-способ. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций U U X и V V X , т.е. y UV, одна из которых выбирается произвольным образом . Подставляя в исходное уравнение, получим . Исходя из того, что одну из функций ищут произвольным образом,

полученное уравнение разбивают на два следующим способом . Выпишем первое уравнение из системы и решим его Мы можем воспользоваться частным случаем функции V, например, когда c 1, V x значение для c берут таким образом, чтобы функция V не оказалась тождественно равной нулю, в противном случае невозможно будет искать функцию U . Подставим найденное значение для V во второе уравнение системы и найдем функцию

U . Следовательно, функция . Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, найдем c c 0. Т.е. решением задачи Коши, удовлетворяющем данному начальному условию является , что и будет ответом. II-способ. Метод вариации произвольной постоянной. Составим и решим соответствующее однородное уравнение .

Теперь предположим, что константа c является функцией от переменной x, т.е. c c x , тогда y xc x . Найдем и подставим в исходное уравнение . Интегрируя обе части уравнения, получим . Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения. Подставляя начальное условие, найдем, что c 0 и - частное решение. Задача 5 .Решить задачу Коши Решение. Так же как и в задаче 4 это линейное уравнение 1-го порядка,

если рассматривать x как функцию от y. Преобразуем уравнение Решим его методом вариации произвольной постоянной. 1 2 3 Подставляя 2 и 3 в исходное уравнение, получим Интегрировать уравнение удобнее, если преобразовать правую часть, воспользовавшись тригонометрическими формулами. Тогда - общее решение исходного уравнения.

Подставляя начальное условие, найдем, что c -2. Тогда решением задачи Коши будет уравнение Бернулли Уравнение вида , 6 где б - любое действительное число б?0,б ?1 называется уравнением Бернулли. Преобразование уравнения в линейное будем проводить в следующей последовательности 1. умножим обе части уравнения на 2. введем подстановку , отсюда и 3. решаем получившееся линейное уравнение 4. возвращаемся к искомой функции, заменяя на . Задача 6.

Найти решение задачи Коши 6.31 . Решение. Поделив обе части уравнения на , увидим, что это уравнение Бернулли . Введем новую переменную . Тогда, или . Наше уравнение примет вид - линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его любым способом, рассмотренным в задаче 5, получим или . Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения. Определим произвольную постоянную c используя начальное условие .

Решением задачи Коши будет являться . Замечание. В начале нашего решения мы обе части уравнения делили на x?0 и могли, таким образом, потерять решение уравнения. Подставляя x 0 в исходное уравнение, убеждаемся, что оно не является его решением. уравнения в полных дифференциалах Уравнение , в котором левая часть является полным дифференциалом функции U x,y , т.е. 7 8 называется уравнением в полных дифференциалах.

Это имеет место в том и только в том случае, когда выполняется равенство . Тогда . Интегрируем уравнение 7 по x 9 . Уравнение 9 продифференцируем по y 10 . Сравнивая 10 и 8 . Отсюда . Подставляя найденную функцию в 9 найдем U x,y . Задача 7. найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение. Сгруппируем слагаемые содержащие dx и dy .

Докажем, что это уравнение в полных дифференциалах. Пусть , а . Т.е необходимо показать, что . и . Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти функцию U x,y c, такую чтобы ее полный дифференциал был таким же, как левая часть нашего дифференциального уравнения. Пусть 1 , а 2 . Проинтегрируем уравнение 1 по переменной x, а вместо произвольной постоянной прибавим функцию, зависящую от y, т.е. это необходимо, т.к. функция

U зависит от двух переменных, а интегрируем мы только по одной . 3 . Продифференцируем уравнение 3 по переменной y, получим 4 . Сравнивая уравнения 2 и 4 ,получим Подставим найденную функцию ц y в уравнение 3 . Т.к решение уравнения мы искали в виде U x,y c,то , что и будет являться ответом. Замечание. Уравнения в полных дифференциалах можно решать и другим способом.

Заключается он в следующем. Ищут интегралы от M x,y и от N x,y по dx и dy соответственно. Затем ко всем известным членам из первого результата дописывают недостающие члены из второго, получают функцию U x,y . метод изоклин Задача 8 для данного дифференциального уравнения построить интегральную кривую, проходящую через точку М Для решения подобной задачи можно также применить метод изоклин.

Изоклиной уравнения называется всякая кривая, определяемая уравнением f x,y k при фиксированном k, где k tgб y. Решение. Для приближенного графического решения нашего уравнения построим на плоскости изоклины для нескольких значений k. Существование и единственность заданного дифференциального уравнения следует из того, что f x,y x 2y и непрерывны всюду на плоскости XOY . Т.к. поле направлений исходного уравнения Тогда уравнения изоклин будут .

Исследуем вид правой части заданного уравнения 1. найдем линию экстремумов отсюда . Полученная прямая является линией экстремумов. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что она не является решением нашего уравнения . когда . Значит интегральные кривые убывают до пересечения с прямой . когда . Следовательно, кривые возрастают после пересечения с прямой . Значит, сама прямая является линией минимумов. 2.

Найдем линию перегибов т.е. или . Тогда . Отсюда . Но, т.к. эта прямая является решением исходного уравнения, то она не может быть линией перегибов. А из того, что если и если следует, что вогнутые интегральные кривые расположены выше этой прямой, а выпуклые - ниже. Составим таблицу. k -1 2 0 1 4 5 Изоклины 0 arctg4 arctg5 На поле направлений совпадает с самой прямой.

Точка М 1,2 принадлежит изоклине . Читателю будет полезно сравнить приближенное решение с точным, решив дифференциальное уравнение самостоятельно. геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной угловой коэффициент касательной и следующие общие формулы для определения длин отрезков

касательной t, нормали n, подкасательной St и поднормали Sn При решении таких задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий 1. выполнить чертеж и ввести обозначения 2. отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках начальных условиях 3. выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значения производной 4.

по условию задачи составить дифференциальное уравнение, для которого искомая кривая является интегральной кривой. Задача 9. Найти линию, проходящую через точку M0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор с концом на оси OY имеет проекцию на ось OY, равную a. M0 e,0 , a 1. Решение. Ищем функцию y y x .

Воспользуемся геометрическим свойством производной y представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции с положительным направлением оси OX , т.е Найдем . С другой стороны из треугольника AMN . Тогда . Решая это уравнение, найдем, что . Подставим M0 e 0 и a 1 0 -1 c, отсюда c 1. Тогда линия, проходящая через точку

M0 удовлетворяющая условиям нашей задачи, будет иметь вид . дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную Это уравнения вида . Если удается разделить их относительно , то . Общее решение последнего уравнения имеет вид . Т.е. решение получается путем n-кратного интегрирования. Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции

Такое уравнение имеет вид . Порядок его может быть понижен с помощью подстановки , где - новая искомая функция. Если уравнение имеет вид , то подстановка понижает порядок на k единиц. Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной . Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где - новая искомая функция. Частный случай. Если уравнение имеет вид , и его удается решить относительно так, что , то интегрирование

можно привести так. Умножим обе части на . Т.к. и , то . Отсюда, и . Задача 10. найти общее решение дифференциального уравнения. 10.31 Решение. Имеем неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка не содержащее искомой функции y. Порядок его может быть понижен с помощью подстановки , где - новая искомая функция. Эта подстановка приводит к уравнению . Это линейное уравнение относительно z и z .

Разделим его обе части на коэффициент при z и получим . Решением этого уравнения является функция . Способы решения см. в задаче 4 . Но , а потому . Пришли к случаю, когда уравнение содержит только производную и независимую переменную, т.е Такие уравнения решаются путем интегрирования n-раз обеих частей уравнения, причем общее решение должно содержать в себе n констант. В нашем случае n 1 общее решение.

Уравнение действительных решений не имеет, поэтому нет и особых решений. Задача 11. Найти решение задачи Коши. 11.31 Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где P y - новая искомая функция. Уравнение перепишется так . Тогда . Но . Для облегчения решения этого уравнения найдем c1, воспользовавшись начальными условиями,

т.е Подставляя их в последнее уравнение, получим c1 0. Тогда - уравнение с разделяющимися переменными, решением которого будет . Подставляя начальные условия, установим, что . Ответ Существует и второй способ решения этого уравнения. Если разрешить его относительно y , т.е. и умножить обе части на , то .

Левая часть этого уравнения ,а в правой поэтому последнее уравнение перепишется так . Отсюда следует, что. Последнее уравнение допускает разделение переменных. Предварительно с помощью начальных условий можно установить, что c1 0,а . С помощью начальных условий найдем, что . Таким образом, пришли к тому же результату, что и в I способе. линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами 11 можно решить с помощью метода неопределенных коэффициентов и метода вариации произвольных постоянных. метод неопределенных коэффициентов I. Т.к. уравнение 11 неоднородное, его общее решение будет состоять из суммы общего однородного и частного неоднородного уравнений, т.е Составляем соответствующее однородное уравнение 12 Его характеристическое уравнение 13 структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней

характеристического уравнения 13 . Различают 3 случая. а . Все корни характеристического уравнения 13 различны и вещественны. Обозначим их . Фундаментальная система решений , а общее решение имеет вид . б . Все корни характеристического уравнения 13 различны, но среди них имеются комплексные. Пусть - комплексный корень уравнения 13 . Тогда - тоже является корнем этого уравнения.

Этим корням соответствуют два линейно независимых частных решения . Если и то частные решения будут иметь вид . Написав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням и составив линейную комбинацию из этих решений с произвольными постоянными коэффициентами, получим обще решение уравнения 12 . в . Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.

Пусть k1 вещественный r-кратный корень. Тогда ему соответствуют r линейно независимых частных решений вида . Если - комплексные корни уравнения 13 кратности r, то им соответствует 2r линейно независимых частных решений вида Написав линейно независимые частные решения указанного вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений. II. По виду правой части уравнения 11 подбирают частное решение

неоднородного уравнения. Возможны случаи. 1 где P x - многочлен от x степени n. а . Если число 0 не является корнем характеристического уравнения 13 , то частное решение неоднородного уравнения 11 можно найти в виде , где Q x - многочлен от x той же степени n, что и P x в общем, виде т.е. с неопределенными коэффициентами . Например, б . Если же 0-корень характеристического уравнения кратности r, то .

2 а . Если число б не является корнем характеристического уравнения 13 , то . 3 , где - многочлены степени m и n соответственно один из многочленов может быть тождественно равен нулю а если не является корнем уравнения 13 , то , где - многочлены степени . б если является корнем характеристического уравнения кратности r, то . 4 где - функции вида, рассмотренного 1 , 2 , 3 . Если являются частными решениями, которые соответствуют функциям , то .

Задача 12. найти общее решение дифференциального уравнения. 12.31 . Решение. Это неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка, которое не содержит искомой функции y. Данное уравнение может быть разрешено как минимум еще двумя способами методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим второй способ.

Составим соответствующее однородное уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни случай Iа . Частные решения однородного уравнения . Соответственно обще однородного . Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения - многочлен второй степени случай II1 . По его виду составим частное решение неоднородного уравнения . Множитель x появляется исходя из того, что x 0 является корнем характеристического уравнения.

Находя и подставляя найденное в исходное уравнение, получим . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему , из которой A 1 3, B 1, C 1 2. Подставляя эти значения в общий вид частного решения, получим . Учитывая, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего однородного и частного неоднородного, имеем . Задача 13. найти общее решение дифференциального уравнения.

13.31 . Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет корни случай Iа . Поэтому . По виду правой части составим общий вид частного решения неоднородного уравнения, учитывая, что 2 - является корнем характеристического уравнения случай II2б . Дифференцируя последнее 3 раза и подставляя в исходное уравнение, найдем, что

A 1, B 0. Тогда частным решением исходного уравнения будет функция . Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения . Задача 14. найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет двукратный корень k 2

Iв . Поэтому . По виду правой части легко составить в общем виде частное решение исходного уравнения , т.к. 2-6i не является корнем характеристического уравнения II3а . Для этой функции ищут y и y и подставляют в данное нам уравнение. Таким образом, определяют, что B 0 и A -1 36. Тогда частное решение нашего неоднородного уравнения, а искомое решение имеет вид . Задача 15. найти общее решение дифференциального уравнения.

15.31 . Решение. Т.к. корни характеристического уравнения , то - общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Функция составлена по виду правой части, с учетом того, что x 0 является корнем характеристического уравнения, а 10i - нет. Подставляя эту функцию в исходное уравнение, найдем, что Тогда, общим решением дифференциального уравнения будет являться функция . метод вариации произвольных

постоянных метод Лагранжа 1. Для уравнения 11 составляют соответствующее однородное уравнение 12 и находят его общее решение yо.о 14 2. В уравнении 14 полагают константы функциями от x, т.е Эти функции находят из системы Решают эту систему методом Крамера. Определитель этой системы - определитель Вронского он будет отличен от нуля для линейно независимых функций Тогда . Отсюда . Подставляя эти значения в 14 , получим общее решение уравнения 11 .

Задача 16. Найти решение задачи Коши . Решение. Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Следует иметь в виду, что метод имеет место, когда коэффициент при старшей производной равен единице! Найдем общее решение уравнения т.к. корнями характеристического уравнения являются числа , то . Предполагая, что с1 и с2 - есть функции от x, будем искать решение исходного уравнения в виде , где c1 x и c2 x найдем из системы Составим определитель этой системы - определитель

Вронского . Т.к. определитель отличен от нуля, система имеет решение и при том единственное Тогда . Отсюда, интегрированием находим . Таким образом, общее решение исходного уравнения будет выглядеть так . Для решения задачи Коши найдем y . Подставляя начальные условия в у и у найдем, что с1 1, с2 0. Тогда - частное решение. литература Учебники 1. Шипачев В.С. Высшая математика М. Высшая школа, 1990. 2. Берман

А.Ф Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов М. Изд. Наука . Гл.ред. физ мат. лит 1967. Пособия по решению задач 1. Данко П.Е Попов А.Г Кожевников Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах - М. Высшая школа, 1986. 2. Запорожец Г.И. руководство по решению задач по математическому анализу - М. Высшая школа, 1964. 3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике -

Харьков Изд. ХГУ им. М.Горького, 1965. Методическая литература 1.Скорик А.И Шевердинская В.П. Методические указания по выполнению ТР - 2 и контрольной работы Дифференциальные уравнения . Часть I Орел, 1990. 2.Скорик А.И Шевердинская В.П. Методические указания к выполнению ТР и для индивидуальной работы студентов.

Дифференциальные уравнения высших порядков Орел, 1992. Задачники 1. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные разделы математического анализа. Под. ред. Ефимова А.В Демидовича Б.П М Наука , Гл.ред. физ мат. лит 1986. 2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике типовые расчеты -

М. Высшая школа, 1983. Справочники 1.Бронштейн И.Н Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов М. Наука, Гл.ред. физ мат. лит 1986.