Линейная зависимость векторов

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. Пусть задана система векторов а 1 , а 2 , а 3 ,…,а л (1) одной размерности. Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a 1 а 1 + a 2 а 2 +…+ a л а л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a 1 , a 2 ,…, a л =0 и Î R Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a i ¹ 0 (i=1,…,k) Свойства 1.

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима 2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой. 3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой. 4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой. Определение: два вектора называются коллинеарными,

если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а ¹ 0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g , что b= g a. Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны. Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b= g a.

Будем считать, что а,b ¹ 0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b- g a=0. Т.к. коэфф. При b ¹ 0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. a а+ b b=0, a ¹ 0. а= -b/ a *b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Необходимость. Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то a а+ b b+ g c=0, g ¹ 0. с= - a / g *а - b / g *b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости. БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Определение: пусть задана некоторая система векторов.

Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы. В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару. В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов. 2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных

прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. (а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е

=0; u>90, пр-е отриц. Свойства: 1. (а,b)= (b,а) 2. ( a а,b)= a (а,b) 3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с) 4. (а,а)=|a| 2 – скал.квадрат. Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1. Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован. Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном

базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 /sqrt(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 )*sqrt(x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 ) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям:

1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку. Свойства: 1. [a,b]= - [b,a] 2. [ a а,b]= a [а,b] 3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c] 4. [a,a]=0 Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах. Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения. Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение

равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго. Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e a =a/|a| РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. 1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4.

Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр. 1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю. Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1). Доказательство: подставим коорд. т.

М 0 в ур-е (1) и получим Ах 0 +By 0 +C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х 0 )+B(y-y 0 )=0, n(A,B), М 0 М(х-х 0 , y-y 0 ). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M 0 M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой. Замечание: пусть ур-я

А 1 х+B 1 y+C 1 =0 и А 2 х+B 2 y+C 2 =0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А 1 =t*А 2 и т.д. Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным. 1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0) 2. С=0, А=0, By=0, значит у=0 3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0 4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ 5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY 2. x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b 3. x-x 1 /e=y-y 1 /m Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M 1 М(х-х 1 ; y-y 1 ) 4. x-x 1 /x 2 -x 1 =y-y 1 /y 2 -y 1 Пусть на прямой даны две точки М 1 (x 1 ;y 1 ) и М 2 (x 2 ;y 2 ). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ) 5. y=kb+b. u

– угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x 1 /e/e=y-y 1 /m/e. y-y 1 =k(x-x 1 ) при y 1 -kx 1 =b, y=kx+b 6. xcos q +ysin q -P=0 q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Приравняем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0 xcos q +ysin q -P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos 2 q =(A*t) 2 Sin 2 q =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 q +sin 2 q =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= ± sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 7. Система: x=et+x 1 и y=mt+y 1 НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos q +ysin q -P=0 q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1.

ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Приравняем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcos q +ysin q -P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos 2 q =(A*t) 2 Sin 2 q =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 q +sin 2 q =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= ± sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить

на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону. Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos q +ysin q -P=0 и М 1 (x 1 ;y 1 ), тогда отклонение точки М 1 = x 1 cos q +y 1 sin q -P=0 Задача: найти расстояние от точки М 0 (x 0 ;y 0 ) до прямой

Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x 0 cos q +y 0 sin q -P|. d=|Ах 0 +By 0 +C|/sqrt(A 2 +B 2 ) ГИПЕРБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная Каноническое уравнение: Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F 1

F 2 |=2c, М – произвольная точка гиперболы. r 1 , r2 – расстояния от М до фокусов; |r 2 -r 1 |=2a; a

Каноническое уравнение: Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. |DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d; r=sqrt((x-p/2) 2 +y 2 ); d=p/2+x Приравниваем и получаем: y 2 =2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ. 1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а. е=с/а е эллипсв <1 (т.к. а>c) е гиперболы >1 (т.к. с>a) Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0. Выразим эксцентриситеты через а и b: е эллипса является мерой его “вытянутости” е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами 2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу

F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е

от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы). Доказательство: для эллипса. r 1 /d 1 =e x £ |a|, xe+a>0 r 1 =xe+a d 1 – расстояние от М(x,y) до прямой D 1 xcos180+ysin180-p=0 x=-p x=-a/e б м =-x-a/e d 1 =-б м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.) Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если

<1, гиперболу, если >1, параболу, если =1. ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы. Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус. r= r d=p+ r cos j e= r /p+ r cos j - полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы. КАСАТЕЛЬНАЯ

К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М 0 (x 0 ;y 0 ) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо: у-у 0 =y’(x 0 )(x-x 0 ) Рассмотрим касательную к кривой следовательно ya 2 y 0 -a 2 y 0 2 +b 2 x 0 x-b 2 x 0 2 =0 - уравнение касательной к эллипсу. - уравнение касательной к гиперболе. - уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота. Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами: (е 1 ;е 1 ’)=cos u (е 1 ;е 2 ’)=cos (90+u)= -sin u (е 2 ;е 1 ’)=cos (90-u)=sin u (е 2 ;е 2 ’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный: (е 1 ;е 1 ’)=(е 1 , a 11 е 1 + a 12 е 2 )= a 11 (е 1 ;е 2 ’)= (е 1 , a 21 е 1 + a 22 е 2 )= a 21 (е 2 ;е 1 ’)= a 12 (е 2 ;е 2 ’)= a 22 Приравниваем: a 11 =cos u a 21 = - sin u a 12 =sin u a 22 =cos u Получаем: x=a+x’cos u – y’sin u y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u. x=a+x’ y=b+y’ - формулы параллельного переноса ИНВАРИАНТЫ

УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат. Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I 1 ; I 2 ; I 3 Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому

они характеризуют линию. Определение: I 2 >0 – элиптический тип I 2 <0 – гиперболический тип I 2 =0 – параболический тип ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задана на плоскости линия уравнением (1). Параллельный перенос: Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой

оказались равными нулю. После этого: a 11 x’ 2 +2a 12 x’y’+a 22 y’ 2 +a’ 33 =0 (2) точка О’ находится из условия: a 13 ’=0 и a 23 ’=0. Получается система a 11 x 0 +a 12 y 0 +a 13 =0 и a 12 x 0 +a 22 y 0 +a 23 =0 Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’) Но точка О’ существует если знаменатели у x 0 и y 0 отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка. Центр симметрии кривой существует если I 2 ¹ 0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа Поворот: Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не