Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок

Мнстерство освти та науки Украни Нацональний унверситет Льввська полтехнка Кафедра прикладно математики Курсова робота з дисциплни Математична статистика на тему Критерй вдношення правдоподбност для великих виброк Виконав студент гр. ПМ-42 Сулима А.Р. Кервник доц. Ружевич Н. А. Львв-2006 Дослджено критерй вдношення правдоподбност для великих виброк.

Для цього застосовано метод вдношення правдоподбност для полномального розподлу. Написана програма на мов Delphi. змст Вступ41. Основн поняття математично статистики52. Основн елементи асимптотично теор критерю вдношення правдоподбност 73. Задач104. Опис програми125. Висновки136. Список використано лтератури147. Додаток 1158. Додаток 216 вступ Задача розробки рацональних методв переврки статистичних гпотез одна

з основних задач математично статистики. Якщо для явища, яке вивчаться, сформульована певна гпотеза, то задача поляга в тому, щоб сформулювати таке правило, яке б дозволило за результатами вдповдних спостережень прийняти чи вдхилити цю гпотезу. Таким правилом статистичн критер переврки гпотез. Уданй курсовй робот розглядаться критерй вдношення правдоподбност для великих виброк. Робота складаться з вступу, чотирьох параграфв, висновкв, списку використано лтератури та двох додаткв.

Перший параграф теоретична частина, в якй викладен основн поняття, як зустрчаються у робот. Дальше описана основна частина, де викладен елементи критерю вдношення правдоподбност для великих виброк. Третй параграф мстить деклька конкретних задач та х розв язання, а четвертий опис програми. Текст програми та результати зображений у Додатку 2. У Додаток 1 зображена таблиця розподлу. У висновках розкриваються вс негативн позитивн сторони критерю

та описуться його загальне застосування. .основн поняття математично статистики Статистичною гпотезою або просто гпотезою називаться будь-яке твердження про вид або властивост розподлу випадкових величин, як спостергаються у експеримент. Важливий клас статистичних гпотез утворюють гпотези про параметричн модел. В цьому випадку клас F допустимих розподлв випадково величини, яка спостергаться, ма вигляд тобто являться

класом спецального функцонального виду. Функц цього класу знаходять вдповдно до значень числового параметра з деяко параметрично множини тому гпотези, власне кажучи, вдносяться до невдомих параметрв розподлу називаються параметричними. Прикладами параметричних гпотез являються наступн твердження 1 H0 , де - деяке фксоване значення параметру 2 H0 3 H0 де - деяка векторна функця фксоване значення. В загальному випадку параметричну гпотезу задають за

допомогою деяко пдмножини елементом яко являться невдома параметрична точка Проста гпотеза записуться так H0 Альтернативна гпотеза ма такий вигляд H1 точки називаються альтернативами. Якщо для явища, яке вивчаться, сформульована певна гпотеза, то задача поляга в тому, щоб сформулювати таке правило, яке б дозволило за результатами вдповдних спостережень прийняти чи вдхилити цю гпотезу. Правило, вдповдно до якого задана гпотеза прийматься чи вдхиляться,

називаться статистичним критерм або просто критерм переврки дано гпотези. В процес переврки гпотези H0 можна прийти до правильного ршення або зробити помилку першого роду вдхилити H0, коли вона правильна, або помилку другого роду прийняти H0, коли вона хибна. ншими словами, помилка першого роду ма мсце, якщо точка х попада в критичну область в той час як правильна нульова гпотеза H0, а помилка другого роду коли але гпотеза

H0 хибна правильна альтернатива H1. Ймоврнсть помилкового вдхилення нульово гпотези прийнято називати рвнем значущост або розмром критерю. Вибр величини рвня значущост залежить вд зставлення втрат, як ми отримамо у випадку помилкових завершень в ту чи ншу сторону чим важливш для нас втрати вд помилкового вдкидання висловлено гпотези H0, тим меншою вибираться величина Однак, оскльки таке зставлення в бльшост практичних задач досить важким, то, як правило, користуються

деякими стандартними значеннями рвня значущост. До таких стандартних значень можна вднести величини ,05 0,025 0,01 0,005 0,001. Особливо розповсюдженою являться величина Вона означа, що в середньому в п яти випадках з ста ми будемо помилково вдхиляти висловлену гпотезу при використанн даного статистичного критерю. Введемо ще одне означення, означення квантиля розподлу. Для p-квантилем випадково величини розподлу Z називаться корнь рвняння

Якщо функця Fx строго монотонна, то це рвняння ма диний корнь в протилежному випадку при деяких р рвнянню задовольняють багато значень , тод замсть беруть мнмальне з значень , яке задовольня рвняння Основн елементи асимптотично теор критерю вдношення правдоподбност Розглянемо критерй вдношення правдоподбност для великих виброк. Припустимо, що виконуються умови регулярност, як забезпечують снування, динсть асимптотичну нормальнсть

оцнки максимально правдоподбност параметра . Розглянемо випадок просто нульово гпотези. Теорема 1. Нехай, потрбно переврити просту гпотезу H0 , де - фксована внутршня точка множини . Тод для великих виброк n при виконанн вказаних умов регулярност критерй вдношення правдоподбност задаться асимптотично критичною областю , 1 тобто при n . Покажемо, що в умовах теореми , 2 звдси виплива 1.

Якщо справедлива гпотеза H0, то в силу спроможност оцнки максимально правдоподбност при великих n точка близька до , тому для можна записати розклад Тейлора вдносно точки , де . Звдси виплива, що . 3 Так як спроможна оцнка для , а друг похдн функц правдоподбност, за припущенням, неперервн по , тод за теоремою мамо . Змст теореми Нехай, випадков величини збгаються з ймоврнстю при n до деяких сталих вдповдно.

Тод для будь-яко неперервно функц випадкова величина На основ закону великих чисел при n величина сходиться по ймоврност по розподлу до середнього . Таким чином, матриця граничних значень коефцнтв квадратично форми в 3 спвпада з нформацйною матрицею . Дальше виплива, що випадковий вектор ма в границ такий же розподл, що нормальний випадковий вектор . Таким чином, права частина 3 ма в границ такий же розподл, як квадратична форма .

Але за теоремою , звдси слду спввдношення 2. Теорема Якщо n-вимрний вектор Y ма нормальний розподл N тод квадратична форма розподлена за законом . Приклад метод вдношення правдоподбност для полномального розподлу. Нехай, проводяться незалежн випробування, в кожному з яких реалзуться одне з N значень , тобто спостергаться випадкова величина , яка прийма значення 1

N j, якщо реалзуться значення . Позначимо через вектор ймоврностей цих значень через вектор частот реалзацй вдповдних значень в n випробуваннях . Як вдомо, розподл вектора являться полномальним розподлом M n, p. Припустимо тепер, що ймоврност значень невдом треба переврити гпотезу H0 , де - заданий вектор, який задовольня умови . Альтернативна гпотеза ма вид H1 . Тут роль параметра вдгра вектор p, але так як на значення параметрв накладено обмеження , то бажано

це обмеження вдкинути, виключивши, наприклад, таким чином, дальше припускамо так що Оцнками максимально правдоподбност для параметрв pi являються вдносн частоти реалзацй вдповдних наслдкв, тобто тому в даному випадку статистика вдношення правдоподбност ма такий вигляд Звдси 4 Запишемо рвняння для знаходження критично точки де p квантиль розподлу в даному випадку Гn2 Якщо справедлива гпотеза H0 p p0, то в границ при n ця статистика ма розподл тому при заданому рвн

значущост критичну границю вибирають рвною Останню статистику називають статистикою х-квадрат Прсона. Таким чином, для полномального розподлу метод вдношення правдоподбност метод асимптотично екввалентн. З точки зору простоти обчислення статистика простша вд статистики задач 1. При n 4040 пдкидань монети отримали v1 2048 випадань герба v2 n v1 1992 випадань решки. Перевримо, використовуючи критерй вдношення правдоподбност, чи не суперечать ц дан гпотез

H0 про те, що монета була симетричною, тобто ймоврнсть випадання герба Розв язання У данй задач N 2 тод за формулою 4 отримамо Нехай рвень значущост , тод за таблицею розподлу див. Додаток 1 знайдемо Порвнямо отримане значення з табличним 0,776 3,84 Отже, робимо висновок про те, що задан дан не суперечать гпотез, тобто гпотеза

H0 прийматься. 2. Спостергаються покази 200 навмання вибраних годинникв, виставлених на втринах годинникарв. Нехай, номер промжку вд -то години до 1 0, 1 4, а vi кльксть годинникв, покази яких належать -ому промжку. Результати спостережень отримали так i vi4134543932n 200 Переврити, чи не суперечать ц дан гпотез H0 про те, що покази годинникв рвномрно розподлен на нтервал 0,4. При якому рвн значущост гпотеза вдхиляться Розв язання

У данй задач N 5 згдно гпотези H0 . Знайдемо значення статистики, використовуючи формулу 4 Нехай рвень значущост , тод за таблицею див. Додаток 1 знайдемо Порвнямо отримане значення з табличним 3,564 9,49 Отже, задан дан при не суперечать гпотез, звдси гпотеза H0 прийматься. Але при дана гпотеза вдхиляться, бо див. Додаток 1. 3. При n 4000 незалежних випробувань под здйснилися 1905, 1015 1080 раз вдповдно.

Переврити, чи не суперечать дан при гпотез H0 де Розв язання У задач N 3, тод значення статистики буде таким Знайдемо табличне значення див. Додаток 1 порвнямо з отриманим 11,04 9,21, звдси виплива, що дан суперечать гпотез. Отже, при гпотеза вдхиляться. V. опис програми Програма написана на мов Delphi див. Додаток 2. Пдключен так бблотеки Windows,

Messages, SysUtils, Math, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Grids, Buttons. Програма мстить так функц та процедури Fx logGamma Gamma simpf integral Hi2 GenInit CheckBox1Click Button1Click Button2Click BitBtn1Click Button3Click Функця Fx присвою змннй пднтегральний вираз з рвняння критично

точки. Функця logGamma пошук наближення функц через Функця Gamma знаходження з . Функця simpf формула Смпсона наближеного знаходження нтегралу Функця integral знаходження нтегралу вд 0t з використанням формули Смпсона. Функця Hi2 знаходження критично точки при заданому квантилю р. висновки Застосовуючи метод вдношення правдоподбност та використовуючи наведен теореми, можна отримати асимптотичн

розв язки широкого класу задач. Але поряд з тим цей метод ма обмеженсть у застосуванн. Так, у випадку його використання необхдне виконання досить жорстких умов регулярност для заданих моделей, що не завжди ма мсце. Крм того, за допомогою цього методу можна проврити тльки гпотези, як належать до евклдового простору бльшсть цкавих задач до цього типу не вдносяться. Слд звернути увагу на те, що для вс теор переврки статистичних гпотез проявляться невигдний ефект досить

великого об му вибрки. Для пояснення цього ефекту використамо мркування Берксона Нхто в дйсност не вважа, що будь-яка гпотеза виконуться точно ми просто будумо абстрактну модель реальних подй, яка в певнй мр обов язково вдхиляться вд стини. Однак, як ми бачимо, велика вибрка майже напевно тобто з ймоврнстю, яка пряму до одиниц при необмеженому зростанн n вдхиля в тому випадку нашу гпотезу при будь-якому заданому рвн значущост . список використано

лтератури 1. Айвазян С. А Енюков И. С Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное пособие. М. Финансы и статистика, 1983. 471 с. 2. Ивченко Г. И Медведев Ю. И. Математическая статистика. М. Высш. шк 1984. 248 с. 3. Ружевич Н. А. Математична статистика.

Львв Льввська полтехнка, 2001. 168 с. Додаток 1 Розподл 0,10,30,50,70,90,950,9990,99991 0,0160,1480,4551,072,713,846,6310,82 0,2110,7131,392,414,615,999,2113,83 0,5841,422,373,676,257,8211,316,34 1,062,203,364,887,789,4913,318,55 1,613,004,356,069,2411,115,120,56 2,203,835,357,2310,612,616,822,57 2,834,676,358,3812,014,118,524,38 3,495,537,349,5213,415,520,126,19 4,176,398,3410,714,716,921,727,910 4,877,279,3411,816,018,323,229,611 5,588,1510,312,917,319,724,731,312 6,309,0311,314,018,521,026,232,913 7,049,9312,315,119,822,427,734,514 7,7910,0813,316,221,123,729,136,115 8,5511,714,317,322,325,030,637,716 9,3112,615,318,423,526,332,039,317 10,0913,516,319,524,827,633,440,818 10,914,417,320,626,028,934,842,319 11,715,418,321,727,230,136,243,820 12,416,319,322,828,431,437,645,321 13,217,220,323,929,632,738,946,822 14,018,121,324,930,833,940,348,323 14,819,022,326,032,035,241,649,724 15,719,923,327,133,236,443,051,225 16,520,924,328,234,337,744,352,626 17,321,825,329,235,638,945,654,127 18,122,726,330,336,740,147,055,528 18,923,627,331,437,941,348,356,929 19,824,628,332,539,142,649,658,330 20,625,529,333,540,343,850,959,7 Додаток 2 Текст програми unit Unit1 interface uses Windows, Messages, SysUtils, Math, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Grids, Buttons type TForm1 classTForm Button1 TButton GroupBox1

TGroupBox CheckBox1 TCheckBox Memo1 TMemo Label1 TLabel Edit1 TEdit Label2 TLabel Label3 TLabel Label4 TLabel Edit2 TEdit Edit3 TEdit Edit4 TEdit StringGrid1 TStringGrid OpenDialog1 TOpenDialog BitBtn1 TBitBtn Memo2 TMemo Button3 TBitBtn Button2 TBitBtn procedure CheckBox1ClickSender

TObject procedure Button1ClickSender TObject procedure Button2ClickSender TObject procedure BitBtn1ClickSender TObject procedure Button3ClickSender TObject private Private declarations public Public declarations end var Form1 TForm1 F array1 35 of integer P array1 35 of double st,steo,a double pr char n,nv,i integer fin

textfile CheckBox1 TCheckBox const eps0.0001 eps20.00001 implementation R .dfm function Fxx double double begin resultPowerx, n2-1exp-x2 end function logGammax double double const A array 1 20 of double 1.012.0 1.0360.0,1.01260.0 1.01680.0,1.01188.0 691.0360360.0, 1.0156.0 3617.0122400.0,43867.0244188.0 174611.0125400.0,77683.05796.0, -236364091.01506960.0,657931.0300.0 3392780147.093960.0, 1723168255201.02492028.0 7709321041217.0505920.0,151628697551.039 6.0, -26315271553053477373.02418179400.0,1542 10205991661.0444.0 261082718496449122051.021106800.0 var z

double den, x2,tadd, res1 double i integer begin z0 if x1 or x2 then begin result0 exit end while x 7 do begin zzlnx xx1 end denx x2xx result x - 0.5 lnx - x 0. i1 repeat begin res1result tadd Ai den dendenx2 resultres1tadd inci end until i 20 or res1result resultresult-z end function Gammax double double begin resultexplogGammax end function simpfh double n integer double var res1,res2 double var i integer begin resultfx0fxnh res10 res20 for i1 to n-1 do if i mod 20 then res1res1fxih

else res2res2fxih resultresult4res22res1 resultresulth3 end function integralt double double var s0 double n integer begin n2 resultsimpftn,n s00 while absresult-s0 eps do begin s0result nn2 resultsimpftn,n end end function Hi2p double double var q0,b,z,h,t double begin t0.5 bpGamman2power2,n2 q0integralt hb-q0Fxt while absh eps2 do begin tth q0integralt z b-q0 hzFxt end resultt end procedure TForm1.CheckBox1ClickSender TObject begin if checkbox1.CaptionOae then begin checkbox1.CaptionI label2.Visibletrue

label3.Visibletrue label4.Visibletrue edit2.Visibletrue edit3.Visibletrue edit4.Visibletrue form1.Button2.Visibletrue stringgrid1.Visibletrue button1.Visibletrue end else begin checkbox1.CaptionOae stringgrid1.Visiblefalse form1.Button2.Visiblefalse label2.Visiblefalse label3.Visiblefalse label4.Visiblefalse edit2.Visiblefalse edit3.Visiblefalse edit4.Visiblefalse button2.Visiblefalse button3.Visiblefalse end end procedure TForm1.Button1ClickSender TObject var iinteger d,mreal begin for i1 to n do showmessagefloattostrfi

floattostrPi memo1.Clear nv0 st0 Memo1.Lines.AppendFORVi- Pi nmemo2.Lines.Count for i0 to n-1 do begin Memo1.Lines.Add inttostri1 inttostrFi1 FLOATtostrPi1 showmessageinttostrnv nvnvFi1 end for i0 to n-1 do stst2Fi1lnFi1Pi1nv nn-1 prY While prY do begin astrtofloatedit1.Text steoHi21-a nn1 Memo1.Lines.Addreliable interval for ninttostrn and aalpha floattostra is floattostr steo

Memo1.Lines.Addvalue of the statistics for data in file, is floattostr st if st steo then Memo1.Lines.AddHYPOTHESIS IS ACCEPTABLE else Memo1.Lines.AddHYPOTHESIS IS NOT ACCEPTABLE Memo1.Lines.AddHypothesis is acceptable for aalpha floattostr1-integralstGamman2power2,n2 prN end end procedure TForm1.Button2ClickSender TObject var m,d double i integer begin mstrtofloatform1.Edit2.Text dstrtofloatform1.Edit3.Text nstrtointform1.Edit4.Text button3.Visibletrue button2.Visiblefalse

Randomize FORM1.StringGrid1.ColCountn1 form1.StringGrid1.Cells0,1Enter Minimg for i1 to n do begin FiabsroundRandGm,d stringGrid1.Cellsi,0VinttostriinttostrFi end end procedure TForm1.BitBtn1ClickSender TObject var sstring iinteger begin if OpenDialog1.Execute then begin Memo2.Lines.LoadFromFileOpenDialog1.File Name for i0 to memo2.Lines.Count-1 do begin sMemo2.Lines.

Stringsi Fi1strtointcopys,1,pos ,s-1 deletes,1,pos ,s Pi1StrToFloats end end nmemo2.Lines.Count end procedure TForm1.Button3ClickSender TObject begin memo2.Clear for i1 to n do begin PistrtofloatstringGrid1.Cellsi,1 showmessagefloattostrfi floattostrPi Memo2.Lines.Appendinttostrfi floattostrpi end end end.

Результати виконання програми 1. При зчитуванн з файлу 2. При Введенн через форму