Двойной интеграл

Двойной интеграл в полярных координатах Пусть в двойном интеграле 1 при обычных предположениях мыжелаем перейти к полярным координатам r и f, полагаяx r cos j, y r sin j. 2 Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSiс помощью координатных линий r ri окружности и j ji лучи рис.1 .Введем обозначения Drj rj 1 - rj, Dji ji 1 - jiТак как окружность перпендикулярна ортогональна радиусам,

то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядкамалости относительно ихплощади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDjiи Drj поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна DSi rj Dji Drj 3 Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г областиинтегрирования S, то эти ячейки не повлияют назначение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершинуячейки DSij с полярными координатами rj и ji.Тогда декартовые координаты точки Mij равны xij rj cos ji, yij rj sin ji.И следовательно, f xij,yij f rj cos ji, rj sin ji 3 Двойной интеграл 1 представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать,что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы,являющиеся бесконечно малыми

высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы 3 и 3 , получаем 4 где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целикомсодержащиеся в области S. С другойстороны, величины jiи rjсуть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координатынекоторых точек плоскости Ojr.Таким образом, сумма 4 является интегральной суммой для функции f r cosj, r sinj r, соответствующая прямоугольной сетке с линейнымиэлементами

Djiи Dri. Следовательно 5 Сравнивая формулы 4 и 5 , получимокончательно 6 Выражение dS r dj drназывается двумернымэлементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле 1 перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить поформулам 2 , а вместо элемента площади dS подставить выражение 7 . Для вычисления двойного интеграла 6 его нужнозаменить повторным.

Пусть область интегрирования S определяется неравенствами Где r1 j , r1 j - однозначные непрерывные функции на отрезке a,b . рис 2 .Имеем 8 ГдеF r,j rf r cosj, r sinj Пример 1. Переходя к полярным координатам j и r, вычислитьдвойной интегралГде S - перваячетверть круга радиуса R 1, с центром вточке О 0,0 рис 3 .Так как то применяя формулу 6 ,получимОбласть

S определена Неравенствами Поэтому на основании формулы 8 имеемПример 2. В интеграле 9 перейти к полярнымкоординатам.Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y 0, y x, x 1 рис 4 .В полярных координатах уравненияэтих прямых записываются следующим образом j 0, j p 4, r cosj 1 и, следовательно, область Sопределяется неравенствамиОтсюда на основании формул 6 и 8 , учитывая, что имеем