Вопросы по курсу "МАТЕМАТИКА" для студентов 2 курса дневного отделения

Вопросы по курсу МАТЕМАТИКА для студентов 2 курса дневного отделения 1. Случайные события и их виды, понятие вероятности. Случайным естественно называть такое событие, которое при заданном комплексе условий может, как произойти так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных условиях и 0 замерзает. Невозможным является событие, которое при заданном комплексе условий никогда не произойдет. Таким образом, вероятность это шансы осуществления любого составного события, состоящего из нескольких элементарных. 2. Классическая формула подсчета вероятностей.

Комбинаторика. В общем случае, когда имеется n равновозможных элементарных событий w1 wn, вероятность любого составного события А, состоящего из m элементарных событий wi1 wim, определяется как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е. PAmn. 3. Понятие геометрической и статистической вероятностей.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством PДлина lДлина L. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры

G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством Pплощадь gплощадь G. Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, которая составляет часть фигуры V PОбъем vОбъем V.

4. Пространство элементарных событий, операции над событиями. При общем определении вероятности используется пространство элементарных событий, при этом элементарные события являются неопределяемым понятием, но относительно них предполагается, что в результате испытаний обязательно происходит одно из этих элементарных событий. Элементарные события попарно не совместны и образуют группу событий.

События, не являющиеся элементарными, отождествляются с теми элементарными событиями, которые благоприятствуют ему, следовательно, случайные события можно рассматривать как подмножество в пространстве элементарных событий, поэтому операции над случайными событиями объединение сложение, пересечение умножение, эквивалентность, отрицание полностью совпадают с соответствующими операциями над множествами. Операции объединения и пересечения множеств симметричны, т.е.

5. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностью называется числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами Аксиома 1. Для любого события A прин. S РА 0. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице Р омега1. Аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

А прин. S, В прин. S, АВ0, РАВРАРВ. Док-во Событие А является подмножеством омега, так как Аwi1 wim,то, согласно конечной схеме, РАсумме по l от 1 до m рil, 0 pil 1, l1 m, поэтому РА 0, т.е. условие аксиомы 1 выполняется. Условие аксиомы 2 выполняется, поскольку омегаw1 wnи на основании того, что РАсумме по l от 1 до m рil, то Ромегасумма по i от 1 до n pi1.

Условие аксиомы 3 также выполняется, так как оно представляет собой содержание теоремы сложения для конечной схемы. Итак, конечная схема является примером объекта, для которого выполняется система аксиом теории вероятностей. 6. Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления РАВРАРВ-РАВ.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий РАВСРАРВРС-РАВ-РАС-РВСРАВС. Если два составных события Аwi1 wimи Вwj1 wjk являются несовместными, то вероятность объединенного события САВ равна сумме вероятностей этих двух событий. 7. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

1 Условная вероятность события А при условии В равна РАBPABPB, РВ 2 Событие А не зависит от события В, если РАBPA. Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависит от А. В самом деле при РА 0 имеем РBAPABPAPABPBPAPAPBPAPB. Вытекает следующая формула умножения вероятностей

РАВРАРВA. Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей РАВРАРВ. 3 События А1,А2 Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е. АiAj0, i неj, U по i от 1 до n Аiомега. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

РАВРАРаВ. В частности для независимых событий РАВРАРВ, т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. 8. Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий гипотез В1,В2 Вn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую

условную вероятность события А РАРВ1Рb1APB2Pb2APBn1. Если события А1 Аn, PAi 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В РВсумма по i от 1 до n PAiPBAi. 9. Формула Байеса. Из формулы полной вероятности легко получить формулу

Байеса для события В с РВ 0 и для системы попарно несовместных событий Аi, PAi 0, B прин. U по i от 1 до n Аi . РАkBPAkPBAkсумма по i от 1 до n PAiPBAi. 10. Определение дискретной случайной величины. Ряд распределения. Случайной величиной называется функция ХХw, определенная на множестве элементарных событий омега, w прин. омега.

С.В. дискретна, если она принимает значения только из некоторого дискретного множества, или, точнее, С.В. дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел х1, х2, х3, таких, что PXxnpn 0, n1,2,3 и р1р2р31. Закон распределения Д.С.В. Х определен, если известны все хn и вероятности рnPXxn такие, что р1р2р31. Если составить таблицу, в верхней строке которой поместить значения

Д.С.В а в нижней соответствующие вер-ти, то получим ряд распределения С.В. 11. Функция распределения С.В. и ее свойства. Функция распределения Fxx C.В. Х определяется формулой FxxPwXw x. Последнее равенство обычно записывается короче в виде FxxPX x. Для простоты в тех случаях, когда это не может привести к неточности, будем писать

Fx вместо Fxx. Рассмотрим свойства функции распределения 1 Ф.Р. принимает значения из промежутка 0,1 0 Fx 1. Данное свойство вытекает из того, что Ф.Р. это вер-ть события X x, а значение вер-ти любого события неотрицательно и не превышает единицы. 2 Вер-ть того, что С.В. примет значение из полуинтервала x1,x2, равна разности Fx2 Fx1 Рx1 X x2 Fx2 Fx1. 3 Ф.Р. неубывающая функция, т.е.

Fx2 Fx1,если х2 х1. 4 РX x1 Fx. 5 Если х стремится к бесконечности, то Fx к 1. 6 Если х стремится к бесконечности, то Fx к нулю. 7 Ф.Р. непрерывна слева, т.е. lim при дельта стрем. к 0 Fx дельтаFx. 12. Математическое ожидание Д.С.В. и его свойства. Мат. Ожиданием Д.С.В. называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

МХх1р1х2р2хnpn. Если Д.С.В. принимает счетное множество возможных значений, то МХсумма по i от 1 до бесконечности xipi, причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат. ожидание обладает следующими свойствами 1 Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной МСС. 2 Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания

М СХСМ Х. 3 Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей М Х1,Х2ХnMX1MX2MXn. 4 Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых М Х1Х2Х3ХnMX1MX2MX3MXn. 13. Дисперсия Д.С.В. и ее свойства. Дисперсией С.В. Х называют мат. ожидание квадрата отклонения

С.В. от ее мат. ожидания D XMX MX2. Дисперсию удобно вычислять по формуле D XM X2 M X2. Дисперсия обладает следующими свойствами 1 Д. постоянной равна нулю DC0. 2 Постоянный множитель можно выносить за знак Д предварительно возведя его в квадрат D CXC2DX. 3 Д. суммы независимых С.В. равна сумме Д. слагаемых

D X1X2Xn DX1DX2DXn. 14. Схема опытов Бернулли. Биномиальный закон распределения. Биномиальным называют закон распределения Д.С.В. Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, вер-ть возможного значения Хk числа k появлений события вычисляют по формуле Бернулли Pn kCnk pk qn-k. 15. Закон распределения Пуассона, пуассоновское распределение как предельное для биномиального.

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Pn kлямдаk e-лямдаk, где к число появлений события в n независимых испытаниях, лямдаnp среднее число появлений события в n испытаниях, и говорят, что С.В. распределена по закону Пуассона. 16. Геометрический закон распределения Д.С.В. С.В. Х имеет геометрическое распределение, если

PmPXmqm p, m0,1,2 0 p 1, q1-p. Просуммировав бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, легко убедиться в том, что сумма по m от 0 до бесконечности Pm1 сумма по m от 0 до бесконечности Pmсумма по m от 0 до бесконечности pqmp11-q1. Геометрическое распределение имеет С.В. Х, равная числу испытаний Бернулли до первого успеха с вероятностью успеха в единичном испытании р. 17. Определение непрерывной С.В. Плотность распределения и ее свойства.

С.В. Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция рхх такая, что при любых х функцию распределения Fxx можно представить в виде Fxxинтеграл от бесконечности до х pxydy. Рассматривают только такие С.В для которых рхх непрерывна всюду, кроме, может быть, конечного числа точек. Плотностью распределения вероятностей непрерывной С.В. называют первую производную от функции распределения fxF x.

Вероятность того, что Н.С.В. Х примет значение, принадлежащее интервалу а,b, определяется равенством Pa X bинтервал от а до b fxdx. Зная плотность распределения можно найти функцию распределения Fxинтеграл от бесконечности до х fxdx. Плотность распределения обладает следующими свойствами 1 П.Р. неотрицательна, т.е. fx 0. 2 Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от бесконечности до бесконечности равен единице интеграл от бесконечности до бесконечности fxdx1. 18.

Математическое ожидание Н.С.В. и его свойства. Мат. ожидание Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством МХинтеграл от бесконечности до бесконечности хfxdx, где fx - плотность распределения С.В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу а,b, то

МХинтеграл от а до b xfxdx. Все свойства мат. ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В. 19. Дисперсия Н.С.В. и ее свойства. Дисперсия Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством DXинтеграл от бесконечности до бесконечности x-MX2fxdx, или равносильным равенством DXинтеграл от бесконечности до бесконечности x2fxdx

MX2. В частности, если все возможные значения х принадлежат интервалу a,b,то DXинтервал от а до b x MX2fxdx,или DXинтеграл от a до b x2fxdx MX2. Все свойства дисперсии Д.С.В. сохраняются и для Н.С.В. 20. Равномерный закон распределения. Равномерным называют распределение вероятностей Н.С.В. Х, если на интервале а,b, которому принадлежат все возможные значения

Х, плотность сохраняет постоянное значение, а именно fx1b-a вне этого интервала fx0. Нетрудно убедиться, что интеграл от бесконечности до бесконечности рхdx1. Для С.В имеющей равномерное распределение , вероятность того, что С.В. примет значения из заданного интервала х,хдельта прин. a,b, не зависит от положения этого интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала дельта

Px X xдельтаинтеграл от х до хдельта 1b-adtдельтаb-a. Функция распределения Х имеет вид Fx0, при х a, x-ab-a,при a x b,1при х b. 21. Показательный закон распределения. Н.С.В. Х, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром лямда, если плотность распределения С.В. при x 0 равна рхлямдае в степени - лямдах и при x 0 рх0.

Функция распределения С.В. Х равна Fxинтеграл от бесконечности до х рtdt0, при x 0,1-е в степени лямдах при x 0. 22. Нормальный закон распределения. Н.С.В. Х имеет нормальное распределение вероятностей с параметром а и сигма 0, если ее плотность распределения имеет вид рх1корень квадратный из 2пи сигма е в степени 12x-aсигма2. Если Х имеет нормальное распределение, то будем кратко записывать это в виде

Х прибл. Na,сигма. Так как фих1корень из 2пие в степени х22 плотность нормального закона распределения с параметрами а0 и сигма1, то функция Фх1корень из 2пи интеграл от бесконечности до х е в степени t22dt, с помощью которой вычисляется вероятность Pa мюn-npкорень из npq b, является функцией распределения нормального распределения с параметрами а0, сигма1. 23. Функция Лапласа, ее свойства вероятность попадания в интервал для нормального распределения

С.В. СВ называется нормально распределенной, если ее плотность распределения имеет вид fx12e-x-a222 0. Функцией Лапласа называется функция видаZx-a ФХ . Аргумент переменная верхнего предела. Св-ва 1. Функция Фх нечетная, т.е. Ф-х-Фх 2. Функция монотонно возрастает, т.е. х2 x1 следовательно, Фх2 Фх1 Фх2 Фх2 Фх1 3.Ф0,5.Доказательство. Ф Ф-ция ФХ возрастает и стремится к 0,5. Вероятность попадания в интервал для

НРСВ. Пусть НРСВ с пар. а и 0. 24. Неравенство Чебышева. Если известна дисперсия С.В то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего мат. ожидания, причем оценка вероятности отклонения зависит лишь от дисперсии. Соответствующую оценку вероятности дает неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева является частным случаем более общего неравенства, позволяющего оценить

вероятность события, состоящего в том, что С.В. Х превзойдет по модулю произвольное число t 0. PX MX t 1t2 MX MX21t2 DX неравенство Чебышева. Оно справедливо для любых С.В имеющих дисперсию оценка вероятности в нем не зависит от закона распределения С.В. Х. 25. Теоремы Маркова и Чебышева. Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых С.В. Х1,Х2,Х3

Xn, имеет конечные мат. ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены не превышают постоянного числа С, то среднее арифметическое С.В. сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий, т.е. если эпселен любое положительное число, то lim при n стремящемся к бесконечности P1n сумма по i от 1 до n Xi 1n сумма по i от 1 до n MXi эпселен1. В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии

которых равномерно ограничены и которые имеют одно и тоже мат. ожидание а, сходится по вероятности к мат. ожиданию а, т.е. если эпселен любое положительное число, то lim при n стремящемся к бесконечности P1n сумма по i от 1 до n Xi a эпселен1. Теорема Маркова. PX t 1tMX - неравенство Маркова. Док-во 1 Для Д.С.В. Х. Пусть Х Д.С.В РXxipi, i1,2,3 сумма по i от 1 до бесконечности pi1.

Тогда вероятность события X t равна сумме вероятностей pi, для которых xi находится вне промежутка -t,t. Очевидно, для всех xi, не принадлежащих промежутку -t,t, имеет место неравенство xit 1. Учитывая это неравенство получаем PX tсумма по i xi t pi сумма по ixi t xit pi сумма по ixi t xit piсумма по ixi t xitpi 1t сумма по i от 1 до бесконечности xipi1tMX. 2 Для Н.С.В. Х. Пусть Х Н.С.В. с плотностью вероятности рх.

Вероятность того, что X t, равна сумме интегралов от плотности вероятности по промежуткам -бесконечность, -t и t,бесконечность. На этих промежутках xtt 1. Так как xtpx 0, то интеграл от t до t по xtpxdx 0. Воспользовавшись формулой MXинтеграл от бесконечности до бесконечности x px dx, в результате преобразований получаем неравенство Маркова. 26. Центральная предельная теорема, следствия теорема Муавра-Лапласа. Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом

из которых вероятность появления события равна р0 p 1, событие наступит ровно k раз безразлично, в какой последовательности, приближенно равна тем точнее, чем больше n. Pnk1корень из npqфих. Здесь Фих1корень из 2пие в степени х22, xk npкорень из npq. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р0 p 1, событие наступит не меньше k1 раз и не более k2 раз, приближенно

равна Pk1k2Фх Фх . Здесь Фх1корень из 2пи интеграл от0 до х е в степени z22dz функция Лапласа, х k1 npкорень из npq, х k2 npкорень из npq. 27. Двумерная С.В. Двумерная функция распределения и ее свойства. Двумерной называют С.В. Х,Y, возможные значения которой есть пары чисел x,y. Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух

С.В. Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны. Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны. Законом распределения Д.С.В. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Функция распределения вероятностей Д.С.В. называют функцию FX,Y, определяющую для каждой пары чисел х,y вероятность того, что

Х примет значение, меньшее х, при этом Y примет значение, меньшее y Fx,yPX x,Y y. Свойства1 Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству 0 Fx,y 1. 2 Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументуFx2,y Fx1,y, если х2 x1. Fx,y2 Fx,y1, если y2 y1. 3 Имеют место предельные соотношения 1 F-бесконечность, у0, 2 Fx бесконечность0, 3 F-бесконечность, -бесконечность0, 4

Fбесконечность, бесконечность1. 4 а при убесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х Fx,бесконечностьF1x. Б при хбесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей У Fбесконечность, уF2y. 28. Условные и безусловные законы распределения компонент двумерной С.В. Условные. 1 Для дискретной двумерной С.В. Пусть составляющие

X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения x1,x2 xn y1,y2 ym. Условным распределением составляющей Х при Yyj j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Х называют совокупность условных вероятностей px1yj, px2yj pxnyj. Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляют соответственно по формулам pxjyipxi,yjpyj, pyjxipxi,

yjpxi. 29. Корреляционный момент, коэффициент корреляции. Корреляционным моментом СВ и называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. М М М Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула М ММ Доказательство По определению М М М По свойству мат. ожидания М М ММММ ММ М М Предполагая, что и независимые СВ, тогда

М ММММ ММ0 0. Можно доказать, что если корреляционный момент0, то СВ могут быть как зависимыми, так и независимыми. Если не равен 0, то СВ и зависимы. Если СВ и зависимы, то корреляционный момент может быть равным 0 и не равным 0. Можно показать, что корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между составляющими и . При этом корреляционный момент зависит от размерности самих

СВ. Чтобы сделать характеристику линейной связи и независимой от размерностей СВ и , вводится коэффициент корреляции К Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ и и только показывает степень линейной зависимости между и , обусловленную только вероятностными свойствами и . Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат , Свойства коэффициента корреляции. 1. -1 К 1 Если К 1, то линейная зависимость между и и они не

СВ. 2. К 0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет. К 0, то с убыванием одной составляющей, вторая в среднем убывает. 3. DDD2 Доказательство. DM2 M2M222 MM2M22MM2 M22MM M2DD2M MMDD2 30. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Мат. статистика опирается на теорию вероятностей, и ее цель оценить

характеристики генеральной совокупности по выборочным данным. Генеральной совокупностью называется вероятностное пространство омега,S,P т.е. пространство элементарных событий омега с заданным на нем полем событий S и вероятностями Р и определенная на этом пространстве С.В. Х. Случайной выборкой или просто выборкой объема n называется последовательность

Х1,Х2 Xn, n независимых одинаково распределенных С.В распределение каждой из которых совпадает с распределением исследуемой С.В. Х. Иными словами, случайная выборка это результат n последовательных и независимых наблюдений над С.В. Х, представляющей генеральную совокупность. 31. Выборочное оценивание функции распределения и гистограмма.

Наиболее полная характеристика С.В. это ее Ф.Р. Пусть х1,х2 xn выборка из генеральной совокупности, представленной С.В. Х. Рассмотрим, как оценить Ф.Р. Fx этой С.В о которой известно только, что она непрерывна. Чтобы построить оценку Fnx Ф.Р. Fx, обычно располагают наблюдения xi в порядке их возрастания, т.е. находят вначале X1minXi, затем следующее по величине наблюдаемое значение и т.д. если есть одинаковые

значения, то их расположение не играет никакой роли. Последовательность неубывающих величин Х1 X2 Xn, полученных после упорядочения выборки, называется вариационным рядом. Существует статистическое и эмпирическое распределение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению nih плотность частоты, где ni сумма частот

вариант попавших в i-ый интервал. 32. Точечные оценки числовых характеристик. Основные определения. Метод моментов. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию fX1,X2 Xn от наблюдаемых С.В. X1,X2 Xn. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом fx1,x2 xn, где х1,х2 xn результаты n наблюдений над количественным признаком

Х выборка. Несмещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней мат. ожидания служит выборочная средняя Хвсумма по i от 1 до k nixin, где xi варианта выборки, ni частота варианты xi, nсумма по i от 1 до k ni объем выборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

Dвсумма по i от 1 до k niХi-Xв2n. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия s2nn-1Dвсумма nixj Xв2n-1. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка.

Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка v1M1. Учитывая, что v1MX и М1Хв, получим МХХв. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Учитывая, что v1MX,M1Хв,мюDX,m2Dв, имеем систему МХХв,

DXDв. 33. Метод наибольшего правдоподобия. Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Д.С.В. Пусть Х Д.С.В которая в результате n опытов приняла возможные значения х1,х2 xn. Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметр , которым определяется этот закон требуется найти его точечную оценку x1,x2 xn.

Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение xi через рxi. Функцией правдоподобия Д.С.В. Х называют функцию аргумента L x1,x2 xnpx1px2pxn. Оценкой наибольшего правдоподобия параметра называют такое его значение , при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении , поэтому вместо

отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум функции lnL. Н.С.В. Пусть Х Н.С.В которая в результате n испытаний приняла значения х1,х2 xn. Допустим, что вид плотности распределения функции fx задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия Н.С.В. Х называют функцию аргумента Lx1,x2 xnfx1fx2fxn. 34. Интервальные оценки числовых характеристик.

Доверительный интервал. Основные определения. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал это интервал, который с заданной надежностью гамма покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хв при известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной

совокупности служит доверительный интервал Хв tсигмакорень из n a Хвtсигмакорень из n, где tсигмакорень из nдельта точность оценки, n объем выборки, t значение аргумента функции Лапласа Фt, при котором Фtгамма2 при неизвестном сигма и объеме выборки n 30 Хв t гамма sкорень из n a Хвt гамма sкорень из n, где s-исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. 2. Интервальной оценкой с надежностью гамма среднего квадратического отклонения сигма нормально

распределенного количественного признака Х по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал s1-q сигма s1q, при q 1 0 сигма s1q, при q 1. 3. Интервальной оценкой с надежностью гамма неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал с приближенными концами р1 и р2. 35. Доверительный интервал для мат. ожидания при известной дисперсии.

X1n сумма по i от 1 до n Xi является наилучшей несмещенной оценкой для мат. ожидания МХ нормального распределения fx,1корень из 2пи сигма в квадратее х-22сигма в квадрате по выборке объема n. Пусть дисперсия Хi Dxiсигма в квадрате известна, где сигма в квадрате некоторое конкретное число. Предполагается, что для нормально распределенного признака , дисперсия которого известна равна 2. По выборке объема n получены выборочные значения 1, 2, , n.

Требуется получить интервальную оценку неизвестного нам математического ожидания этого признака. M a заданной надежности j. Сначала рассчитываем точечную оценку математического ожидания Будем считать, что 1, 2, , n разные СВ, но распределенные по одному и тому же закону и математическое ожидание. Mi a Дi 2 - значение СВ и тогда , тогда Доказательство несмещенности точечной оценки Вывод - нормально распределенная СВ тогда чтобы найти вероятность заданного отклонения

Pa j Pa 2Ф 2Ф , где Ф По таблице для функции Лапласа по значению функции равной находим значение аргумента Вместо обозначаем . Pa P- a - P - a j - доверительный интервал. 36. Проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. В статистике рассматриваются гипотезы двух типов 1. Параметрические гипотезы о значении параметра известного распределения 2.

Непараметрические гипотезы о виде распределения. Обычно выделяют основную гипотезу нулевую H0. Пример математическое ожидание признака , который распределен по нормальному закону и дисперсия его известна, а H0 M a. Предполагаем, что известна дисперсия Конкурирующая гипотеза имеет вид H1 M a H1 M a, либо H1 M a1. Для проверки гипотез используются критерии, и они представляют собой специальным образом подобранные

СВ, k точечный или приближенный закон, который известен. Обычно предполагается, что если гипотеза Н0 выполняется, то вычисляемая по выборочным данным kнабл. Этого критерия и гипотеза Н0 принимается, если kнабл. kкритич. левостор. kкритич. правостор. Если kнабл. попадает в критическую область все остальные значения k - kкритич. лев. kкритич. прав то гипотеза Н0 отвергается и принимается конкурирующая гипотеза

Н1. При этом возможны ошибки двух типов Первого рода что гипотеза Н0 отвергается, в то время, как она верна. Вероятность этой ошибки PH1H0 - уровень значимости критерия. Критерий подбирается так, чтобы была как можно меньше. Второго рода что отвергается гипотеза Н1, в то время, как она верна. PH0H1 Мощностью критерия 1 вероятность попасть точке-выборке в критическое множество, когда верна конкурирующая

гипотеза. 1- PH1H1 37. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних при известных дисперсиях. Признак и распределены нормально с известными дисперсиями. Пусть по выборкам 1, 2, , n объема n, 1, 2, , m объема m, получены выборочные средние значения . Выдвигается гипотеза о равенстве генеральных средних H0 M M При конкурирующей гипотезе H1 M M В качестве проверки гипотезы выбираем новую

СВ - СВ ДZ- дисперсия Д MZ 0 ДZ 1. Для того, чтобы выбрать Zкр. и при заданном уровне значимости , определить принимается или не принимается основная гипотеза, найти вероятности. P0 Z Zкр. PZ Zкр. прав. ФZкр. 2 ФZкр. прав 2 Zнабл. Zнабл. Zкр.прав. Н0 Zнабл. Zкр.прав. Н0 отвергается. 38. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних при неизвестных дисперсиях.

Пусть и нормально распределенные СВ, предполагается, что неизвестны, но равны между собой дисперсии. 1, 2, , n 1, 2, , m Н0 М М Н1 М М Для проверки гипотезы Н0, вводится СВ t, которая представляет собой Теоретическое обозначение признака СВ Т распределена по закону Стъюдента, зависит от первого параметра, который называется числом степеней свободы k. k n m 2 по таблице для распределения Стъюдента при заданном значении k и уровне значимости

в зависимости от вида альтернативной и конкурирующей гипотезы, находятся либо односторонние tкр либо двухсторонние tкр Ткр. прав Ткр. лев. Тнабл. Ткр. двуст. Н0 Тнабл. Ткр. двуст. Н0 отвергается. 42. Марковские случайные процессы. Размеченный граф состояний. Предположим, что дана система S. Предп что состояние этой сис-мы хар-ся параметрами состояний.

Если состояние системы меняется во времени случайно, то говорят, что в сис-ме протекает случайный процесс. Сис-ма аудитория. Для хар-ки состояния используется параметр число студентов, тогда эта система с дискретными состояниями. Будем рассматривать системы с дискретными состояниями и непрерывным t сис-ма мгновенно в произвольные сегменты t скачками меняет состояние. Если параметр t принимает дискретные значения t1,2,3 то происходит процесс с дискретным временем случайная

последовательность, если же t изменяется на некотором интервале, то процесс с непрерывным временем. Если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывное, то с непрерывными значениями. Предположим, что рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным t. Пусть S1, S2 Sn возможные состояния сис-мы. Для описания процесса, происх. в сис-ме, надо знать вер-

ти каждого состояния на произвольный момент t. Р1t вер-ть того, что в момент t сис-ма находится в 1-ом состоянии. Процесс, протекающий в системе, наз. марковским, если для него вероятность попасть в состояние XiSi в момент ti зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния Xi-1Si, в котором процесс был в предыдущий момент времени ti-1. Графом называется совокупность вершин и дуг, соединяющих эти вершины.

Для описания процесса, протекающего в системе, удобно использовать размеченный граф состояний, в котором в кач-ве вершин исп-ся различные состояния системы, а в кач-ве дуг стрелки, показ. возможные переходы за 1 шаг из состояния в состояние. При этом над каждой стрелкой указ. Плотность вероятности соответствующего перехода. 43. Система дифф. уравнений Колмогорова для вероятностей состояний.

Пусть дан марковский случайный процесс. Рit вер-ти состояний i1,nвсе с чертой, тогда для Рit выполняется следующее дифференциальное уравнение d Рitdt от i k,k1 до n ki Рit от j 1,ji до n ijPit i1,nвсе с чертой 1 Система из n уравнений , т.к. для любого момента t от i1 до n Pit, то в системе 1 одно любое уравнение м-но отбросить.

И, задав начальное условие на момент tt0, P1t01, Pit00, i1,n все с чертой. В итоге м-но решить сис-му дифф. ур-ний и найти все вер-ти состояний Pit, i1,nвсе с чертой. 44. Предельные вероятности состояний. Нахождение предельных вероятностей. Предположим, что дан марковский случайный процесс, тогда, используя уравнение Колмогорова, можно найти Рit i Предельными или финальными вероятностями называют пределы ,

если эти вероятности существуют, т.е. Рi. Если эти предельные вероятности существуют, то в системе устанавливается стационарный режим, при котором состояние системы меняется случайным образом, но вероятность каждого состояния остается неизменной. Предельная вероятность в марковском случайном процессе существует, если этот процесс удовлетворяет свойству транзитивности. Процесс в протекающей системе называется транзитивным, если существует интервал времени , в течение

которого система может перейти из любого состояния Si в любое другое состояние Sj. Алгебраические уравнения для предельной вероятности состояний Пусть марковский случайный процесс удовлетворяет свойству транзитивности, тогда для него при t существуют предельные вероятности состояний Piconst в этом случае вместо дифференциального уравнения Колмогорова получили систему линейных уравнений относительно вероятности состояний

Одно уравнение отбрасывается, остается n уравнений, решая эту систему получаем Р1, Р2, , Рn. 45. Процессы гибели и размножения. Формулы для нахождения предельных вероятностей. Мы предполагаем, что все потоки, переводящие систему из любого Si в Si1 и из Si в Si-1 являются простейшими. i, i1 i, i-1 Процессы такого типа называются процессами гибели и размножения.

Составим систему уравнений для нахождения предельной вероятности состояний S0 01P0 10P1 S1 10P1 12P1 01P0 21P2 S2 21P2 23P2 12P1 32P3 Sn n, n-1 Pn n-1, n Pn-1 P0 P1 P2 Pn 1 Из первого уравнения выражаем P1 01P0 12P1 01P0 21P2 P2 P3 Pn P0 1 46. Потоки событий. Простейший поток и его свойства. Потоком событий называется последовательность каких-то однородных

событий, следующих друг за другом через случайные интервалы времени, т.е. в произвольные моменты времени. Потоки избираются на числовой оси, представляющей ось времени, точками, соответствующими моменту наступления событий. Например - поток вызовов, поступающих на станцию скорой помощи - поток автомобилей, пересекающих перекресток. Среднее число событий, происходящих в единицу времени называется интенсивностью потока среднее число событий в потоке, происходящее за единицу времени.

Свойства потока 1. Поток называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за интервал времени длины а зависит от длины этого интервала и не зависит от того, в какой момент времени начинается отсчет этого интервала. t2 t1 a 2. Поток событий называется потоком без последействия без последствия, если для любых непересекающихся интервалов времени длины 1 и 2. Вероятность появления того или иного числа событий в интервале 2 не

зависит от того, какое число событий произошло в интервале 1. Иначе, отсутствие последствия означает независимость наступления событий во времени. 3. Поток называется ординарным, если вероятность наступления двух и более событий за некоторый достаточно малый интервал времени t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот интервал. Поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами называется простейшим.

47. Закон распределения числа событий за фиксированный промежуток времени и закон распределения интервала времени между событиями в простейшем потоке. Пусть рассматривается какой-то поток событий. С ним всегда можно связать дискретную СВ число событий, происходящих за интервал длины . Эта СВ дискретна. С этим же потоком можно связать НСВ интервал времени между событиями. Т интервал времени между событиями в потоке.

Для простейшего потока доказано, что число событий, попадающих на интервал длины является ДСВ, распределенной по закону Пуассона. Вероятность того, что за время произойдет ровно k событий. a 0 a интенсивность простейшего потока при 1 Найдем закон распределения интервала времени между событиями простейшего потока. Выведем закон распределения интервала времени между событиями в потоке. Ft Fтt PT t 1 PT t 1 Ptk0 1 - 1 e-t, t 0 Fтt e-t Всякий простейший поток можно задать интенсивностью,

либо задать среднее значение времени между событиями в потоке Т. Средняя продолжительность интервала времени МТ 48. Многоканальная СМО с отказами. СМО система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-

ки среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени одно и то же для всех каналов. Пусть СМО имеет n каналов обслуживания и на вход в систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Будем считать, что среднее время обслуживания одной заявки одним каналом Тоб1 продолж. Обслуж. Тоб СВ, распределенная по показательному закону с параметром . Тогда при непрерывной работе канала он может обслужить заявок в единицу времени технич профес.

Хар-ка каналов. Пусть в случае, когда заявка, поступившая в систему, застает свободный хотя бы один канал, то она поступает сразу под обслуживание каким-то одним каналом. Если же заявка поступает в момент занятости всех каналов, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему необслуженной. Нарисуем граф состояний таких СМО, при этом нумерацию состояний будем вести по числу заявок, находящихся в системе

S0 заявок нет S1 одна заявка, один канал занят, n-1 каналов свободно Sn n заявок, n каналов занято, нет свободных. S0 S1 S2 Sn-1 Sn m 2 3 n-1 n Вероятности состояний Р01 -1 P1 P2222P0 РrkkkP0 1. РотказаРn все каналы заняты. 2. Относительная пропускная способность системы вер-ть обслуживания q1

Pотказа1 Рn 3. Абсолютная пропускная способностьср. число заявок, обслуж. за единицу времени Aq 4. Среднее число занятых каналов Aq Можно найти двумя способами 5. кзан число занятых каанлов СВ . занМкзан 6. занA 5. незанn зан 7. Степень загруженности каналов занn 49. Многоканальная СМО с ограниченным числом мест в очереди. СМО система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок.

Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени одно и то же для всех каналов. Пусть дана сис-ма с простейшим потоком, инт-ть которого , один канал в среднем может обслужить заявок в единицу времени. Пусть в сис-ме имеется m мест для постановки заявок в очередь.

Предположим, что заявка, заставшая в момент своего поступления один канал свободным, тут же обслуж. Если же в момент поступления заявки все каналы заняты, но имеется хотя бы одно свободное место в очереди, то заявка становится в очередь на обслуживание, при этом как только один из каналов освобождается, одна заявка из очереди поступает на обслуживание. Если заявка, поступившая в систему, застает занятыми все каналы и места в очереди, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему.

Возможные состояния системы S0 заявок нет S1 одна заявка, n-1 канал свободен, все места в очереди свободны Sn n заявок, все каналы заняты, все места в очереди свободны Sn1 все каналы заняты, 1 заявка в очереди, m-1 мест в очереди свободны Snm все каналы заняты, m мест все в очереди заняты. Предельные вероятности состояний Р01 1.РотказаРnm 2.Относительная пропускная сп-ть q1

Pnm 3.Абсолютная пропускная сп-ть Aq 4.Среднее число заявок в очереди 5 6. 50. Многоканальная СМО с неограниченным числом мест в очереди. 51. Многоканальная СМО с отказами. СМО система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-

ки среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени одно и то же для всех каналов. Пусть число мест в очереди не ограничено. Хар-ки этой СМО получим из характеристик СМО с ограниченным количеством мест в очереди, предполагая, что m . Тогда в выражении для Р0 имеем Р0 При m 2 m-1 сходится только в том случае, если 0 1 если 1 сумма расходится, т.е. для этой СМО процесс не является транзитивным.

Следовательно, предельные вер-ти состояний не существенны. Будем считать, что при m , 1 . Следовательно предельн. вер-ти сост-й сущ. и хар-ки СМО след. 1. 2. Ротказа0 3. q1 каждая заявка будет обслужена 4 5. Среднее время ожидания . 6.Aq. 7.