Билеты по геометрии

Билеты по геометрии БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей. А2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. А3 Если две различные прямые имеют общую точку, то чз них можно провести плоскость, и притом только одну. БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой,

проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Док-во проведем чз а и М плоскость , а чз М в плоскости прямую b a. Докажем, что b a единственна. Допустим, что существует другая прямая b2 a, и проходящая чз т.М. Через b2 и а можно провести плоскость 2, которая проходит чз М и а, след-но, по Т.14.1ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ.

НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ она совпадает с . По аксиоме о параллельных прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д. БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Док-во Пусть -плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая

в плоскости ,параллельная прямой а. Проведем плоскость 1 чз прямые а и а1. Она отлична от , т.к. прямая а не лежит в плоскости . Плоскости и 1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости .

Ч.Т.Д. БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Док-во Рассмотрим две плоскости и . В плоскости лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в - прямые а1 и b1, причем а а1 и b b1. Докажем, что плоскоскоти и не параллельны. Тогда они перес. по прямой с.

Мы получили, что плоскость проходит чз прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что а с. Но плоскость проходит также чз прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b с. Таким обр. чз т.М проходят две прямые а и b, с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых чз т. М проходит только БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения

параллельны. Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости и пересекаются с плоскостью . Докажем, что а b. Эти прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. и имели бы общ. точку, что невозможно, т.к Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а b. 2. Vпирамиды 13Sосн.H БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные му параллельными плоскостями,

равны. Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные му параллельными плоскостями и . Докажем, АВСD. Плоскость , проходящая чз параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями и по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл т.е. ABDC-параллел-м Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит

ABCD. Sп.п.2RHR БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L. 10 Проекция прямой есть прямая. 20 Проекция отрезка есть отрезок. 30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж. одной прямой. 40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам. Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина

проекции отрезка. БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. ТЕОРЕМА Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА Прямая, проведенная в плоскости чз основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Док-во AH - перпенд. к плоскости , AM - наклонная, а прямая проведенная в плоск. чз точку M перпенд к проекцииHM наклонной. Рассмотрим плоск. AMH. Прямая аэтой плоскости, т.к. она к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след. что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности аAM. Ч.Т.Д. БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна

к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Док-во Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость , такую, что а. Докажем, что и а1. Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости . Так как а, то ах. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а1. Ч.Т.Д. Vпаралл-даabcSосн.H БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол му ними равен 900. ТЕОРЕМА Если одна из двух плоскостей проходит чз прямую,перпендикулярную к др. плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Док-во Рассмотрим плоскости и такие, что плоскость проходит чз прямую АВ, перпендикулярную к плоскости и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что . Плоскости и пересекаются по прямой

АС, причем АВАС, Т.к. по усл. АВ, и, значит, прямая АВ к любой прямой, лежащей в плоскости . Проведем в плоскости прямую АD,АС. Тогда BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей и . Но BAD900 т.к. AB. След-но, угол му плоскостями и равен 900, т.е Ч.Т.Д. SбокPa а - бок. ребро, Р-периметр БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны. Док-во Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости . Докажем, что аb. Через какую-нибудь точку М прямой проведем прямую 1, параллельную прямой . Докажем, что прямая 1 совпадает с прямой . Тем самым будет доказано, что . Допустим, что прямые и 1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые и 1, чз точку

М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой , по которой пересекаются плоскости и . Но это невозможно, след-но Ч.Т.Д. БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Расстояние му одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей чз другую прямую параллельно первой, называется расстоянием му скрещивающимися прямыми. SполнSбок2Sосн SбокPHребро БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям,

то призма называется прямой, в противном случае наклонной. ТЕОРЕМА Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Док-во Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h.

Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, SбокPh. Ч.Т.Д. БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и DD1 параллельны. Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается

ABCDA1 D1. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда. ТЕОРЕМА Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Док-во Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1 D1. Т.к. A1D1 BC и A1D1BC, то A1D1CB - параллелограмм.

Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам. БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны. Док-во Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1 D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то ABDC и AA1DD1. Таким обр две пересекающиеся прямые

AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны. Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то ABDC и AA1DD1. По той же причине стороны углов A1AB и

D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр две смежные стороны и му ними паралл-ма ABB1A1 соотв. равны двум смежным сторонам у му ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию,

а основания представляют собой прямоугольники. ТЕОРЕМА Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Док-во Докажем, что AC12AB2AD2AA12 Так как ребро CC1 перпендикулярно к основанию ABCD, то ACC1-прямой. Из прямоугольного треугольника ACC1 по теореме Пифагора получаем AC12AC2CC12. Но AC -диагональ прямоугольника

ABCD, поэтому AC2AB2AD2. Кроме того, CC1AA1. След-но AC12AB2AD2AA12 Ч.Т.Д. БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A1A2 An и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников PA1A2,PA2A3 PAnA1. Многогранник, составленный из n-угольника

A1A2 An и n треугольников, называется пирамидой Многоугольник A1A2 An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2, Pan - ее боковыми ребрами. ТЕОРЕМА Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду. Док-во S-вершина пирамид

A - верш.основания и A1 - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребр. SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэф. гомотет. kSA1SA При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую чз точку A1, т.е. в секущую плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл пирамид подобной данной.

Ч.Т.Д. БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Док-во Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 12d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр.

Ч.Т.Д. БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Док-во 1 Рассмотрим прямую треуг. призму ABCA1B1C1 с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC отрез.BD, которая разделяет этот треуг. на два треуг. Плоскость BB1D разделяет данную призму на две приз основаниями которых явл. прямоугольные треуг.

ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны Sabdh и Sbdch. VV1V2, т.е. VSabdhSbdchSabdSbdch. Таким обр VSabch 2 Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площ. основания S. Такую призму можно разбить на прямые треуг. призмы с высотой h. Выразим объем каждой приз. по формуле 1 и сложим эти объемы.

Вынося за скобки множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д. БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки. Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1AB2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок2rh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Док-во Рассмотрим конус с объемом V. Произвольн. сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в т.M1 пересечения этой плоскости с осью Ox. Обозначим радиус этого круга чз R1, а площадь сечения чз

Sx, где x- абсцисса точки M1. Из подобия прямоугольных треугольников OM1A1 и OMA следует, что OM1OMR1R, или xhR1R, откуда R1xRh. Так как SxR12, то SxR2x2h2. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем Площадь S основания конуса равна R2, поэтому V13Sh Ч.Т Д.