Векторы в курсе математики 9 класса

Министерство науки и образования Республики Казахстан Карагандинский Государственный Университетим. Е.А.Букетова Кафедра Методики Преподавания Математики и Информатики КУРСОВАЯ РАБОТА тема Векторы в курсе математики 9-го класса Выполнила студентка математ. факультета гр. ЗMиФ-36

Ютландова В.Ю. Руководитель Григорьева Т.С. Караганда 2003 Содержание Введение 3 1 глава. Понятие вектора в школьном курсе геометрии 1 Место изучения понятия вектор и действий над векторами 4 2 глава. Векторы на плоскости 1 Основные определения 2 Коллинеарные векторы 3 Равенство векторов 4 Координаты вектора 10 5

Сложение и вычитание векторов 7 Умножение вектора на число 8 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 9 Скалярное произведение векторов 10 Разложение вектора по координатным осям 19 Набор упражнений для самостоятельного решения учащимися 21 Список использованных источников 22 Введение В настоящее время проблемам преподавания математики в школе

стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д немыслимы без математического аппарата. Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы.

Она требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания. Математика развивает личность учащегося. Изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников. Кроме всего вышесказанного, математика обеспечивает изучение других школьных дисциплин, таких как физика, химия и др. На уроках математики учащиеся получают не только вычислительные навыки для решения прикладных задач,

но и узнают такие необходимые для решения, например, физических задач понятия, как вектор и действия над векторами, аффинная система координат, начинают решать задачи с использованием координатного метода и т.п. Задачи данной работы рассмотреть понятие вектора на плоскости, показать действия над векторами, разобрать методы решение геометрических задач с использованием основных векторных соотношений. В работе будут рассмотрены и изучены печатные учебные пособия для учащихся, используемые в настоящее

время в общеобразовательных средних школах различные учебные пособия по данной теме электронные учебные пособия и проекты в сети интернет. 1 глава. Понятие вектора в школьном курсе геометрии 1 Место изучения понятия вектор и действий над векторами Материалу, непосредственно связанному с изучением векторов на плоскости, отводится достаточно немного времени в школьной программе по математике. Хотя, стоит заметить, что курс геометрии в старших классах

средней школы строится именно на основе векторных представлений. Данный материал играет важную роль при решении школьниками многих геометрических и физических задач, закладывает основу для изучения понятия вектора в пространстве. Изучение векторов начинается в четвертой четверти VIII класса. Для успешного освоения учащимися данного материала, они должны быть знакомы с понятием

декартовых координат на плоскости, понятием отрезок, уметь определять координаты на плоскости и расстояние между двумя точками на плоскости, а также понимать значение понятия параллельный перенос и знать его свойства. В учебнике Погорелова А.В. 4, который сейчас в основном используется в школах, материал преподносится учащимся в следующем порядке 1 Даются основные понятия вектор, направление вектора, абсолютная величина модуль, нулевой вектор. 2 Рассматривается понятие равенства векторов.

3 Определяются координаты вектора. 4 Рассматриваются действия над векторами сложение вычитание векторов, умножение вектора на число. Разбирается, как применяются вектора в физических задачах, на примере сложения сил. 5 Дается понятие коллинеарных векторов и рассматривается разложения вектора по двум неколлинеарным векторам. 6 Рассматривается понятие скалярного произведения векторов. 7 Дается понятия единичного вектора, координатного вектора орта и рассматривается разложение вектора

по координатным осям. 2 Основные результаты изучения векторов на плоскости Прочное освоение в 9 классе материалов, связанных с векторами на плоскости является важным моментом в изучении геометрии, как мы указывали это ранее. Перед преподавателем ставится цель закрепить следующие знания и навыки у учащихся. 1 Учащиеся должны знать - основные понятия вектор, направление вектора, модуль вектора, нулевой вектор, равенства векторов - как определяются координаты вектора - как выполняются

действия над векторами сложение вычитание векторов, умножение вектора на число и какие свойства имеют место при выполнении этих действий - понятие коллинеарных векторов - понятие скалярного произведения векторов и свойства, которыми обладает скалярное произведение векторов - понятия единичного вектора и координатного вектора. 2 Учащиеся должны уметь - строить вектор в декартовой системе координат - находить модуль вектора - находить и записывать координаты вектора - выполнять сложение и вычитание векторов

графическими методами по правилу треугольника и правилу параллелограмма, а также выполнять эти действия, используя координаты векторов - выполнять умножение вектора на число - находить скалярное произведение векторов - находить разложение вектора по двум неколлинеарных векторам - находить разложение вектора по координатным осям - решать геометрические задачи, в которых используются основные понятия, связанные с вектором на плоскости, и применять полученные знания о действиях над векторами.

2 глава. Векторы на плоскости Методика обучения математики устанавливает, какими способами можно добиться у всех учащихся прочных знаний, умений и навыков, затрачивая на это минимум сил и времени, а также как развивать творческие способности учащихся и достигать всех тех учебно-воспитательных целей, которые ставятся при изучении математики. Для решения этих задач в методике математики разрабатывают систему методов и приемов обучения. При использовании различных приемов и методик следует учитывать уровень

подготовки учащихся, специфику изучаемой темы и т.п. факторы. Используя в своей работе совокупность различных методов, приемов и их комбинации, учитель может добиться желаемых успехов. Для более глубокого понимания сути вопроса и возможности подбора необходимых методик преподавания изучаемой нами темы, в данной работе мы рассмотрим содержание основной части школьной программы связанной с этим вопросом. 1 Основные определения В различной литературе понятие вектор вводится по-

разному. Так в учебнике Погорелова А.В. 4 дается следующее определение Вектором мы будем называть направленный отрезок рис. 1. Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. В пособие Герасимовича А.И. 1 можно увидеть другой подход во введении этого понятия

Величина, которая определяется числовым значением и направлением, называется вектором. Примерами векторов являются сила, скорость, момент силы и др. Геометрической интерпретацией векторов служат направленные отрезки. Для обозначения векторов обычно используются строчные латинские буквы а, b, с и т.д. Кроме этого, обозначить вектор можно указанием его начала и конца причем, начало вектора указывается

первым. Вместо слова вектор над буквенным обозначением вектора обычно ставят стрелку или черту. Изображенный на рисунке 1 вектор можно обозначить как , или Абсолютной величиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. 4 Абсолютную величину вектора иногда называют, также, длиной вектора и обозначают или . Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называют нулевым вектором.

Такой вектор обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю и он не имеет определенного направления. 2 Коллинеарные векторы Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. 1, 4 Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Можно по-разному разъяснить эти понятия 1 Расположим два коллинеарных вектора таким образом, чтобы их начала лежали на одной прямой. Если они оба лежат в одной полуплоскости относительно прямой, то векторы

одинаково направлены. Если они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то векторы противоположно направлены. 2 Векторы и называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы и называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены. 3 Если два вектора лежат на одной прямой, они одинаково направлены в том случае, если их направления совпадают с направлением одной из полупрямых данной прямой, и противоположно

направлены, если их направления не совпадают с направлением одной полупрямой. На рисунке 2 векторы и одинаково направлены, а векторы и противоположно направлены. Одинаково направленные векторы принято обозначать , противоположно направленные . 3 Равенство векторов Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины. 1 Такое определение дается в пособии Герасимовича

А.И. В учебнике Погорелова А.В. 4 определение дается через понятие параллельного переноса Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора, соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны. Рассмотрим наглядно. На рисунке 3 изображены векторы и одинаково направленные и равные по модулю. При параллельном переносе точка С переходит в точку А, совмещая, таким образом, полупрямую CD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены а соответственно и коллинеарны.

Так как векторы равны, то при осуществляемом нами параллельном переносе точка D совмещается с точкой В, а следовательно вектор переходит . Следовательно, векторы и равны, что и требовалось доказать. 4 Координаты вектора Пусть вектор имеет началом точку А1х1у1, а концом точку А2х2у2 см. рисунок 4. Координатами вектора будем называть числа а1х2-х1, а2у2-у1.

Принято записывать а1а2 или просто . Координаты нулевого вектора равны нулю. Применив формулу, выражающую расстояние между двумя точками по их координатам, выводится формула определения абсолютной величины модуля вектора с координатами а1 и а2, которая будет равна . Теорема. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Обратная если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Данную теорему и обратную ей можно доказать двумя способами. Доказательство 1. Пусть А1х1у1 и А2х2у2 начало и конец вектора . Так как равный ему вектор получается из вектора параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно Отсюда видно, что оба вектора и имеют одни и те же координаты х1-х2, у1-у2. Обратное утверждение доказывается следующим образом.

Пусть соответствующие координаты векторов и равны. Докажем, что векторы равны. Пусть и - координаты точки , а и - координаты точки . По условию теоремы Отсюда Параллельный перенос, заданный формулами переводит точку А1 в точку , а точку А2 в точку , т.е. векторы и равны, что и требовалось доказать. Доказательство 2. Пусть векторы и равны. Это значит, что они имеют одинаковые направления и равные

длины см. рисунок 4. прямоугольные треугольники А1А2А и В1В2В равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует равенство катетов А1АВ1В и АА2ВВ2 или, учитывая координаты точек А1х1,у1, А2х2,у2, В1х3,у3, В2х4,у4, получим х2-х1х4-х3 и у2-у1у4-у3 .т.е. координаты равных векторов равны. Пусть координаты векторов и равны. Тогда катеты прямоугольных треугольников

А1А2А и В1В2В равны и А1А2АВ1В2В. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз А1А2 и В1В2, т.е и параллельность прямых А1А2 и В1В2, так как А1А2АВ1В2В. Следовательно, векторы и равны, так как они имеют одинаковые направления и равные длины. Что и требовалось доказать. Задача 1. Доказать, что четырехугольник АВСD параллелограмм, если заданы координаты его вершин

А23, В44, С84, D61. 1 Решение. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы и . Вычислим их координаты Координаты векторов одинаковы, поэтому . Из равенства векторов следует, что и , т.е. у четырехугольника ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны, следовательно, он параллелограмм. Задача 2. Даны три точки А11, В-10, С01. Найдите такую точку

Dxу, чтобы векторы и были равны. 4 Решение. Вектор имеет координаты 2, -1. Вектор имеет координаты х-0, у-1. Так как , то х-0-2, у-1-1. Отсюда находим координаты точки D х-2, у0. Задача 3. Даны три вершины параллелограмма ABCD А11, В34, С85. Найти координаты четвертой вершины D и точку пересечения диагоналей.

1 Решение. Точка пересечения диагоналей середина каждой из диагоналей. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты . Так как точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, можно найти координаты четвертой вершины D . Отсюда х6, у2, т.е. D62. 5 Сложение и вычитание векторов Суммой векторов и с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор

с координатами а1b1, a2b2, т.е Для любых векторов имеют место следующие свойства 1 коммутативность 2 ассоциативность 3 . Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны. Теорема. Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место векторное равенство .

Доказательство. Пусть данные точки см. рисунок 5. Вектор имеет координаты вектор имеет координаты Следовательно, вектор имеет координаты А это есть координаты вектора . Значит, векторы и равны. Теорема доказана. Доказанная теорема дает возможность следующего графического построения суммы произвольных векторов и . Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору .

Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , будет суммой векторов и см. рисунок 6. Такой способ называется правилом треугольника сложения векторов. Для двух векторов с общим началом сумма может также изображаться диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Такой метод построения называется правилом параллелограмма. Действительно а . Значит, см. рисунок 7. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме

с вектором дает вектор . Отсюда находим координаты вектора Очевидно, что вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Началом его является конец вычитаемого вектора , концом конец уменьшаемого вектора см. рисунок 7. Задача 1. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз см. рисунок 8. 4

Решение. Пусть О центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе . Поэтому . Задача 2. Докажите, что точка Х лежит на прямой

АВ тогда и только тогда, когда для некоторого t и любой точки O. 5 Решение. Точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда , т.е Задача 3. Дано несколько точек и для некоторых пар А,В этих точек взяты векторы , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна .

5 Решение. Возьмем произвольную точку О и запишем все выбранные векторы в виде . В силу условия задачи каждый вектор , в сумму всех выбранных векторов войдет со знаком плюс столько же раз, сколько и со знаком минус. Следовательно, сумма этих векторов будет равна . 7 Умножение вектора на число Произведением вектора на число называется вектор , т.е Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами для любых векторов и любых чисел 1

, 2 ассоциативность 3 дистрибутивность относительно векторного множителя 4 дистрибутивность относительно числового множителя. Теорема. Абсолютная величина вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если . Доказательство. Построим векторы и , равные и соответственно О начало координат. Пусть и - координаты вектора . Тогда координатами точки

А будут числа и , а координатами точки В будут и см. рисунок 9. Уравнение прямой ОА имеет вид . Так как уравнению удовлетворяют координаты точки , то ему удовлетворяют и координаты точки . Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты и любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты и полупрямой, дополнительной к

ОА, имеют противоположные знаки. Поэтому если , то точка В лежит на полупрямой ОА, а следовательно, векторы и одинаково направлены. Если , то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы и противоположно направлены. Абсолютная величина вектора равна . Теорема доказана. Задача 1. Даны векторы Найти координаты вектора . 1

Решение. Координаты векторов будут равны и . Разность векторов и имеет координаты, равные разности координат векторов и , т.е 8 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и отличных от нуля является существование числа такое, что . Доказательство. Допустим, векторы и одинаково направлены. Векторы и одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину .

Значит, они равны В случае противоположно направленных векторов и аналогично заключаем, что что и требовалось доказать. Пусть и - отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде . Пусть А и В начало и конец вектора см. рисунок 10. Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и .

Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом что и требовалось доказать. 9 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов и называется число . Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом.

Очевидно Скалярное произведение обладает следующими свойствами 1 коммутативность 2 ассоциативность 3 дистрибутивность. Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю. Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между

ними. Доказательство. Пусть и данные векторы и угол между ними. Имеем , или . Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и .

Скалярное произведение . Теорема доказана. Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что 4, 3, а угол между векторами и равен 60. 1 Решение. Согласно одного из свойств скалярного произведения векторов

Следовательно Задача 2. Вычислить косинусы углов А и В треугольника АВС, вершины которого имеют следующие координаты А16, В11, С41. 1 Решение. Согласно определению скалярного произведения векторов и найдем . Вычислим координаты векторов и Затем вычислим координаты векторов и 05, 30 Следовательно и . Задача 3. В точках М1х1у1, М2х2у2 сосредоточены массы, соответственно равные m1 и

m2. Найти координаты центра тяжести системы этих масс. 1 Решение. Известно, что центр масс С лежит на отрезке М1М2 и удален от точек М1 и М2 на расстояние, обратно пропорциональные массам m1 и m2, т.е. точка С, являющаяся центром тяжести системы двух материальных точек, делит отрезок М1М2 в отношении . Используя формулы для нахождения координат середины отрезка и подставляя в них значение

, после преобразований находим координаты точки С . Задача 4. Пусть О центр описанной окружности треугольника АВС, а точка Н обладает тем свойством, что . Докажите, что Н точка пересечения высот треугольника АВС. 5 Решение. Докажем что . и , поэтому , так как О центр описанной окружности.

Аналогично доказывается, что и . 10 Разложение вектора по координатным осям Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Обычно их обозначают следующим образом на оси х и на оси у см. рисунок 12. Так как координатные векторы отличны от нуля и не коллинеарны, то любой вектор допускает разложение

по этим векторам . Найдем коэффициенты и этого разложения. Умножим обе части равенства на вектор . Так как то . Аналогично, умножая обе части равенства на вектор получим . Таким образом, для любого вектора получается разложение . Задача 1. Найти координаты единичного вектора, одинаково направленного с вектором 34.

Решение. Длина вектора равна . Длина единичного вектора , направленного одинаково с вектором , равна единице. Чтобы вычислить координаты вектора , разделим обе части предыдущего равенства на . Следовательно, координаты единичного вектора , одинаково направленного с вектором , равны . Набор упражнений для самостоятельного решения учащимися 1. Даны вектор и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору , если 1 точка

С лежит на прямой 2 точка С не лежит на прямой . 2. Векторы отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов 3. Даны векторы -3-1, 40, 5-2. Найти координаты векторов а б - в - г . 4. Воспользовавшись условием коллинеарности двух векторов, выяснить, коллинеарны ли векторы а и , б и . 5. Докажите, что для векторов , и имеет место неравенство .

6. К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом Р. Определите силы натяжения нитей рисунок 13. 7. В треугольнике ABC проведена медиана АМ. Докажите, что . 8. Найдите угол между векторами и . 9. Даны четыре точки А00, В11, С02, D-11. Докажите, что четырехугольник АВСD квадрат. 10. Даны вершины треугольника А11, В41,

С45. Найдите косинусы углов треугольника. 11. Доказать, что точка М пересечения медиан треугольника с вершинами в точках имеет координаты . 12. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых о двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки. 13. Докажите, что проекция вектора на ось абсцисс с координатным вектором задается формулой , где .

Список использованных источников 1. Герасимович А.И Пушкина-Варварчук Г.Т Шарикова З.П Цыганова В.К. Геометрия для подготовительных отделений втузов Справ. Пособие Мн. Выш. Шк 1987. 2. Колягин Ю.М Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе.

Общая методика учеб. пособие для студентов физ мат. факт. пед. институтов. М. Просвящение, 1975. 3. Колягин Ю.М Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики учеб. пособие для студентов физ мат. факт. пед. институтов. М. Просвящение, 1977. 4. Погорелов А.В. Геометрия

Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. 3-е изд. М. Просвещение, 1992. 5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 4-е изд дополнен-ное М. Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2001 эл. версия. 6. Программы средней общеобразовательной школы. Математи-ка М. Просвещение, 1988. 7. Рогановский Н.

М. Методика преподавания математики в ср. шк. Учебное пособие Выш. шк 1990. 8. Цыпкин А.Г Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Под. ред. Блогодатс-ких В.И. М. Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.