Возможности систем компьютерной математики MathCAD для решения задач математической статистики

Введение 1 Статистические функции пакета MathCAD 1.1 Статистика совокупностей 1.2 Распределение вероятностей 2.1 Плотности распределения вероятности 2.2 Функции распределения 2.3 Обращения функций распределения 1.3 Функция hist 1.4 Случайные числа 1.5 Интерполяция и функции предсказания 17 1.5.1

Линейная интерполяция 5.2 Кубическая сплайн-интерполяция 5.3 Интерполяция сплайнами функций нескольких переменных 5.4 Линейное предсказание 1.6 Функции регрессии 6.1 Линейная регрессия 6.2 Полиномиальная регрессия 6.3 Многомерная полиномиальная регрессия 6.4 Обобщенная регрессия 26 1.7

Функции сглаживания 2 Прикладное использование рассмотренных теоретических сведений 2.1 Метод наименьших квадратов 2.2 Оценка функции и плотности распределения случайной величины 2.3 Точечная оценка числовых характеристик. Методы оценок параметров 2.4 Интервальные оценки числовых характеристик 2.5 Критерии согласия 2.6 Зависимость случайных величин, регрессия. 43 Заключение 46

Список используемой литературы 47 ВВЕДЕНИЕ Мы все являемся свидетелями того, как компьютеры на глазах изменяют нашу жизнь. Облегчение, которое компьютер и созданные для него программы принесли всем людям, работающим за письменным столом, на¬столько значительны, что прежние методы работы воспринимаются нынче как кошмарный сон. Вот, наконец, и ещё по одному направлению произошёл прорыв. Речь идёт о собственно мате¬матических расчётах. Само по себе появление компьютеров не упрощало математические

расчеты, а лишь позволяло резко повысить скорость их выполнения и сложность решаемых задач. Пользователям ПК, прежде чем начинать такие расчеты, нужно было изучать сами компьютеры, языки программирования и довольно сложные методы вычислений, применять и подстраивать под свои цели программы для решения расчетных задач на языках Бейсик или Паскаль. Поневоле ученому и инженеру, физику, химику и математику приходилось становиться программистом. Необходимость в этом отпала лишь после появления интегрированных математических

программных систем для научно-технических расчетов: Eureka, PC MatLAB, MathCAD, Maple, Mathematica и др. Большое число подобных разработок свидетельствует о значительном интересе к ним во всем мире и бурном развитии компьютерных математических систем. Широкую известность и заслуженную популярность еще в середине 80-х годов приобрели интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса

MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США). По сей день они остаются единственными математическими системами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений. Так что системы MathCAD вполне оправдывают аббревиатуру CAD (Computer Aided Design), говорящую о принадлежности к наиболее сложным и продвинутым системам автоматического

проектирования — САПР. Можно сказать, что MathCAD — своего рода САПР в математике. С момента своего появления системы класса MathCAD имели удобный пользовательский интерфейс – совокупность средств общения с пользователем в виде масштабируемых и перемещаемых окон, клавиш и иных элементов. У этой системы есть и эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно

понятны. Словом, системы MathCAD ориентированы на массового пользователя – от ученика начальных классов до академика. MathCAD – математически ориентированные универсальные системы. Помимо собственно вычислений они позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С их помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, они, кроме того, облегчают

набор самых сложных математических формул и дают возможность представления результатов, в изысканном графическом виде. Последние версии системы MathCAD дают новые средства для подготовки сложных документов. В них предусмотрено красочное выделение отдельных формул, многовариантный вызов одних документов из других, возможность закрытия "на замок" отдельных частей документов, гипертекстовые и гипермедиа-переходы и т. д. Это позволяет создавать превосходные обучающие программы и целые книги по любым курсам,

базирующимся на математическом аппарате. Здесь же реализуется удобное и наглядное объектно-ориентированное программирование сложнейших задач, при котором программа составляется автоматически по заданию пользователя, а само задание формулируется на естественном математическом языке общения с системой. В своей работе я хотел бы рассмотреть возможности системы MathCAD для решения задач математической статистики.

В нашем ВУЗе эти задачи решаются с помощью MS Excel. На мой взгляд, MathCAD дает более наглядное и красивое решение статистических задач и гораздо проще в использовании. Все выше изложенное позволило сформулировать цель курсовой работы: показать, что использование системы компьютерной математики MathCAD для решения задач математической статистики дает наиболее наглядное, простое, красивое (с точки зрения оформления) решение этих задач, по сравнению со всеми другими используемыми

для этого средствами (в частности MS Excel в нашем_ВУЗе). Сформулированная цель потребовало решения следующих задач: 1. Рассмотрение характеристик статистических функций системы MathCAD. 2. Изучение работы системы MathCAD для решения задач математической статистики. 3. Рассмотреть работы некоторых статистических функций системы

MathCAD на конкретных примерах. Поставленные цели были решены при помощи следующих методов исследования: 1. Теоретический (изучение и анализ литературы связанной с решением задач математической статистики средствами компьютерной математики). 2. Эмпирический (решение задач математической статистики средствами системы компьютерной математики MathCAD, наблюдение за решение этих задач в MS Excel). Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, перечисляются задачи и методы исследования. В первой главе описаны статистические функции системы MathCAD. Во второй главе рассмотрены примеры решения задач математической статистики средствами системы MathCAD. В заключении подводится итог проведенного исследования, намечаются пути использования курсовой работы в практике. Список литературы состоит из 10 наименований.

1 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПАКЕТА MATHCAD В данной главе приводится перечень, и дается описание встроенных функций пакета MathCAD. Эти функции выполняют широкий спектр вычислительных заданий, включая статистический анализ, интерполяцию и регрессионный анализ. Эта глава состоит из следующих разделов: Статистики совокупностей Функции, вычисляющие среднее значение, дисперсию и корреляцию выборочных данных. Распределения вероятностей Функции плотности вероятности, функции распределения и обратные к ним более

чем для дюжины распрост¬ранённых функций распределения. Гистограммы Как вычислить число величин, попадающих в заданные интервалы. Случайные числа Генерирование случайных величин, подчиняющихся различ¬ным законам распределения. Функции интерполяции и предсказания Интерполяция линейным и кубическим сплайном. Интерпо¬ляция функций многих переменных. Функции вычисления регрессии

Функции вычисления линейной регрессии, полиномиаль¬ной регрессии и регрессии, использующей комбинации произвольных функций. Функции сглаживания Функции сглаживания временных рядов с помощью скользя¬щей медианы, гауссового ядра или адаптивного линейно¬го метода наименьших квадратов. 1.1 Статистика совокупностей MathCAD содержит шесть функций для вычисления статистических оце¬нок случайных совокупностей. В последующих описаниях m и n пред¬ставляют число рядов и столбцов рассматриваемых массивов.

В используемых далее формулах переменная ORIGIN по умолчанию при¬нята равной нулю. mean(А) Возвращает среднее значение элементов массива А размернос¬ти согласно формуле median(A) Возвращает медиану элементов массива А. Медианой на¬зывается величина, выше и ниже которой в вариационном ряду находится равное количество членов. Если А имеет четное чис¬ло элементов, медиана определяется как среднее арифметичес¬кое двух центральных величин. var(A)

Возвращает дисперсию элементов массива А размерности согласно формуле cvar(A,В) Возвращает ковариацию элементов массивов А и В размернос¬ти согласно формуле где черта указывает на комплексно-сопряженную величину. stdev(A) Возвращает среднеквадратичное отклонение (квадратный ко¬рень из дисперсии) элементов массива А: corr(A,В) Возвращает скаляр: коэффициент корреляции для двух мас¬сивов А и В. 1.2 Распределение вероятностей MathCAD использует несколько функций для работы с распространёнными

плотностями вероятности. Эти функции распадаются на три класса: Плотности распределения вероятности: вероятность того, что случайная величина будет находиться в окрестности определённой точки, про¬порциональна плотности распределения вероятности случайной величи¬ны в этой точке. • Функции распределения (вероятности): они дают вероятность, что слу¬чайная величина будет принимать значение, меньшее или равное опре¬деленной величине.

Они получены просто интегрированием (или суммированием, когда это необходимо) соответствующей плотности вероятности по подходящему интервалу значений. • Обращения функций распределения: они позволяют по заданной вероят¬ности вычислить такое значение, что вероятность того, что случайная величина будет меньше или равна этому значению, будет равна вероят¬ности, заданной в качестве аргумента. 1.2.1 Плотности распределения вероятности Эти функции показывают отношение вероятности того, что случайная

величина попадает в малый диапазон значений с центром в задан¬ной точке, к величине этого диапазона. Функции плотности вероятнос¬ти — производные соответствующих функций распределения, обсуждаемых в следующем разделе. dbeta(x,s1,s2) Возвращает плотность вероятности бэта-распределения: где (s1,s2>0) являются параметрами формы. (0<x<1). dbinom(k,n,p) Возвращает P(X=k), когда случайная величина X имеет биномиальное распределение: в котором n и k являются целыми

числами, удовлетворяющими условию . p удовлетворяет . dcauchy(x,l,s) Возвращает плотность вероятности распределения Коши: в котором l является параметром расположения, а s>0 есть параметр масштаба. dchisq(x,d) Возвращает плотность вероятности для хи-квадрат распределения: в котором d>0 является числом степеней свободы, и х>0. dexp(x,r) Возвращает плотность вероятности экспоненциального распределения: в котором r>0 является параметром,

и х>0. dF(x,d1,d2) Возвращает плотность вероятности F-распределения: в котором d1,d2>0 являются числами степеней свободы и х>0. dgamma(x,s) Возвращает плотность вероятности Гамма-распределения: в котором s>0 является параметром формы, и . dgeom(k,р) Возвращает P(X=к), когда случайная величина X подчиняется геометрическому распределению в котором является вероятностью успеха в от¬дельном испытании,

k есть неотрицательное целое число. dlnorm(x,&#956;,&#963;) Возвращает плотность вероятности логнормального распределения: в котором &#956; равно натуральному логарифму среднего значения, &#963;>0 равно натуральному логарифму средне¬квадратичного отклонения, и х>0. dlogis(x,l,s) Возвращает плотность вероятности логистического распределения: в котором l является параметром расположения, и s>0 есть параметр масштаба. dnbinom(k,n,р)

Возвращает p(Х=k), когда случайная величина X имеет отрицательное биномиальное распределение: