Коды Фибоначи. Коды Грея

Реферат по курсу “Теория информации и кодирования ” Тема: "СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОДЫ" 1. КОДЫ ФИБОНАЧЧИ 1.1 ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ В математике существует большое количество иррациональных (несоизмеримых) чисел, т. е. обозначающих длину отрезка несоизмеримого с единицей масштаба. Ряд из них широко используется как в математике, так и в др. областях.

Например: Число  = 2R/D=3,14159… , которое представляет отношение длины окружности к ее диаметру. Число e = 2,71828… , при этом . Логарифмы с основанием e удобны для математических расчетов. Число 2 =1,44… , которое представляет отношение диагонали к стороне квадрата и ряд других чисел. Особое иррациональное число  = (1+5)/2 = 1,61803, которое называется золотая пропорция или золотое сечение и является результатом решения задачи деления отрезка в крайнем

и среднем отношении (рис. 1) A C B о o o Рис. 1 Деление отрезка Если задан отрезок AB то необходимо найти такую точку C, чтобы выполнялось условие AB/CB = CB/AC. Обозначим: x = CB/AC; (CB+AC)/CB = 1+1/x = x. При этом x2–x–1 = 0. Корни этого уравнения равны: x1,2=(15)/2.

Положительный корень называется золотой пропорцией , а точка C - золотым сечением. Золотая пропорция обладает рядом уникальных свойств. Пропорция 1,61 использовалась в архитектуре, художественных произведениях, музыке с античных времен. С этим числом связан ореол мистики, таинственности, божества и т.д. В последнее десятилетие эта пропорция нашла свое применение в

ЭВМ, АЦП-ЦАП, измерениях и т. д. 1.2 Леонардо из Пизы (Фибоначчи) в XIII веке, которые вычислены по формуле: (1) Эти числа представляют ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 Отношение соседних чисел Фибоначчи 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 в пределе стремится к золотой

пропорции . (2) Числа Фибоначчи обладают еще рядом полезных свойств. Например, остатки от деления чисел Фибоначчи на 2 образуют последовательность: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, и т. д. Обобщенные числа Фибоначчи или p-числа Фибоначчи вычисляются по рекуррентной формуле: (3) Где p = 0, 1, 2, 3, … . При р = 0 число 0(n) совпадает с двоичными разрядами 2n (табл.

1) . Таблица 1 n 0 1 2 3 4 5 0(n) 1 2 4 8 16 32 При р = 1 число 0(n) совпадает с обычным рядом Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, При р = число 0(n) = 1 для любого n  0 равно: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.3 КОДЫ ФИБОНАЧЧИ Любое натуральное число N можно представить с помощью p-чисел Фибоначчи (4) где: ai {0, 1} - двоичная цифра i-го

разряда; p(i) - вес i-го разряда; Любое натуральное число N можно представить также следующим способом: (5) Такое представление чисел N называется p-кодом Фибоначчи. Каждому p {0, 1, 2, …, } соответствует свой код, т. е. их число бесконечно. При p = 0 p -код Фибоначчи совпадает с двоичным кодом. Для 1-кода Фибоначчи кодовые комбинации имеют вид:

Таблица 2 N KK Вес порядка 5 4 3 2 1 0 A0 0 0 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 1 1 A2 0 0 0 1 0 2 A3 0 0 0 1 1 2 A4 0 0 1 0 0 3 A5 0 0 1 0 1 3 A6 0 0 1 1 0 4 A7 0 0 1 1 1 3 A8 0 1 0 0 0 4 A9 1 0 0 0 1 4 A10 0 1 0 1 0 5 A11 0 1 0 1 1 5 A12 0 1 1 0 0 6 A13 0 1 1 0 1 6 А14 0 1 1 1 0 7 А15 0 1 1 1 1 N KK

Вес порядка 5 4 3 2 1 5 A16 1 0 0 0 0 6 A17 1 0 0 0 1 6 А18 1 0 0 1 0 7 A19 1 0 0 1 1 7 A20 1 0 1 0 0 8 A21 1 0 1 0 1 8 A22 1 0 1 1 0 9 A23 1 0 1 1 1 8 A24 1 1 0 0 0 9 A25 1 1 0 0 1 9 A26 1 1 0 1 0 10 A27 1 1 0 1 1 10 A28 1 1 1 0 0 11 A29 1 1 1 0 1 11 A30 1 1 1 1 0 12 А31 1 1 1 1 1 Как видно из таблицы 5 разрядным 1-кодом

Фибоначчи можно закодировать 13 натуральных чисел от 0 до 12, при этом каждому числу соответствует множество комбинаций. Коды Фибоначчи образуют соответствующую систему счисления с набором арифметических операций. Сложение: Вычитание: 0+0 = 0; 0- 0 = 0; 0+1 = 1; 1 -1 = 0; 1+0 = 1; 1 -0 = 1; 1+1 = 111; 10-1 = 1; 1+1 = 1001; 110 -1 = 11; 1000-1 = 111. При сложении 2-х единиц может быть: 1. 1(n)+ 1(n)= 1(n)+ 1(n-1)+ 1(n-2) т.

е. равно 1 и перенос 1 в два младших разряда. 2. 1(n)+ 1(n)= 1(n+1)+ 1(n-2) т. е. равно 0 и перенос 1 в два разряда - предыдущий и последующий. Коды Фибоначчи обладают рядом полезных свойств (например, избыточность и т. д.), позволяющих строить быстродействующие и помехоустойчивые АЦП (“фибоначчевые” АЦП), реализующих специальные алгоритмы преобразования.

Коды Фибоначчи используются для диагностики ЭВМ, в цифровых фильтрах для улучшения спектрального состава сигнала за счет перекодировки и др. областях. 2. ДВОИЧНЫЙ ОТРАЖЕННЫЙ КОД. КОД ГРЕЯ Код Грея отличается от двоичного кода тем, что при переходе к следующей кодовой комбинации изменяется только один элемент кодовой комбинации (табл. 3). Если при передаче сообщений с помощью кода Грея одновременно изменяется несколько разрядов кода,

то это свидетельствует об ошибке, в этом состоит обнаруживающая способность кода Грея. Код Грея, не взвешенный и непригоден для вычислительных операций без предварительного перевода в двоичный код. Таблица 3 Число Дв. Код Код Грея 1000 Схема кодера Грея приведена на рис. 2. Как видно из кодер Грея реализуется с помощью регистра RG, сдвигового регистра

SRG и сумматора по модулю 2 SM2. Правила перехода из кода Грея в двоичный код. Существует несколько способов перехода. 1. Используется следующий алгоритм: an-1 = bn-1; ai = ai+1 bi . где an-1 - значение старшего разряда двоичного числа. Пример 1. Дана запись числа кодом Грея bi = 10101  b4 b3 b2 b1 b0 получить двоичную запись.

Используя приведенные выше формулы, получим a4 = b4 = 1 ; a3 = a4 b3 =1 0 = 1; a2 = a3 b2 =1 1 = 0; a1 = a2 b1 =0 0 = 0; a0 = a1 b0 =0 1 = 1; ai = a4 a3 a2 a1 a0 = 11001 2. Переход осуществляется по алгоритму ai = - т. е. как сумма по модулю 2 всех предыдущих значений Пример 2. Дана запись числа кодом Грея bi = 11001. При этом двоичная запись равна ai = 10101; Правила перехода из двоичного кода и кода

Грея к десятичной записи Для двоичного кода: Для кода Грея: для нечетных “1” знак “+”, для четных “1” знак “-”. Пример 3. Дана запись числа двоичным кодом ai = . При этом десятичная запись равна a10 = 125 + 124 + 122 +121 = 32+16+4+2 = 54. Пример 4. Дана запись числа двоичным кодом ai =110110.

Получить код Грея и преобразовать его в десятичную запись. Получим код Грея ai = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 bi = 1 0 1 1 0 1. Получим десятичную запись b10 = 1(26-1)- 1(24-1)+ 1(23-1)- 1(21 -1) = 63-15+7-1=54. Достоинство кода Грея: Простота перевода в двоичный код и обратно, а также к десятичной записи.

Применение кода Грея: Код Грея, чаще всего, используется для надежного перехода от аналогового представления информации к цифровой и обратно, т. е. в аналого-цифровых преобразователях (АЦП). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Вернер М. Основы кодирования. — М.: Техносфера, 2004. 2. Зюко А.Г Кловский Д.Д Назаров М.В Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь,

2001 г. –368 с. 3. Кнут Дональд, Грэхем Роналд, Паташник Орен Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. 4. Лидовский В.И. Теория информации М «Высшая школа», 2002. – 120с. 5. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах.

Учебник для ВУЗов. / В.И.Нефедов, В.И. Халкин, Е.В. Федоров и др. – М.: Высшая школа, 2001 г. – 383с. 6. Рудаков А. Н. Числа Фибоначчи и простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4. 7. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. –М.: Радио и

Связь, 1984. 8. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы – М.: Энергоатом издат, 2005 440с.