Способ определения живучести связи (вероятности связности)

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ. Определению живучести связи вероятности связности между двумя конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ 1-5. Однако расчет точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов их построения. Рассмотрим сеть той же мостиковой структуры, что и в 1 рис.1.

Для простоты будем полагать вероятности исправного функционирования всех ребер сети одинаковыми и равными р , а неисправного функционирования - равными q1-p. Для оценки живучести воспользуемся методом прямого перебора состояний элементов сети связи 5. На основании биноминального закона вероятность пребывания сети связи в состоянии, когда i любых ребер сети отказали где - биноминальный коэффициент N число ребер сети.

Например, для сети, изображенной на рис. 1, живучесть связи р13 зависит от следующей совокупности независимых событий исправного состояния сети в целом вероятность этого события равна р3 повреждения любого одного ребра сети вероятность одновременного повреждения любых двух ребер сети, за исключением двух случаев, когда оба ребра подходят к узлу 1 или к узлу 3 вероятность одновременного повреждения трех ребер сети, подходящих к узлу 2 или 4 вероятность 2р2q3. Суммируя все вероятности независимых событий, получаем

искомое выражение что полностью совпадает полученными результатами в 1. Аналагично для всех остальных пар узлов сети рис. 1. Из анализа видно, что Связанной сетью являются сеть, в которой любой из узлов соединен с остальными узлами сети. Вероятность связанности сети рис. 1 так как эта сеть допускает все одиночные повреждения ребер и восемь двойных повреждений ребер. Вероятность связности сети меньше или равна живучести связи

между любой парой узлов сети, в данном случае рс р13. С точки зрения характеристики сети интерес представляют вероятность рс, минимальная рмин и максимальная рмакс живучести связи между любой парой узлов сети и соотношения между ними. Для сети рис 1 рс рмин р13 р12 р14 р23 р34 р24 рмакс. Аналогично можно найти выражения для вероятности связности полносвязных сетей.

Для сети с тремя вершинами n3 1 для n4 2 для n5 3 для n6 4 Для рс при n7.10 расчетные формулы не приводятся из-за громоздкости. Вероятность связности для кольцевых сетей связи, т.е. сетей, у которых степень для каждой вершины равна 2 степенью вершины d называются число граней графа сети, инцидентных данной вершине 6, На рис 2 определена зависимость рс от р для кольцевых сетей при различных n.

Из ее анализа видно, что вероятность связности кольцевых сетей падает с увеличением числа узлов сети при одних и тех же значениях р. Рис 2. На практике довольно редко встречаются полносвязные сети. Обычно бывают сети с небольшими степенями вершин. Имеется большое семейство графов так называемых равнопрочных , в которых степень вершины d, число вершин n и общее число граней m связаны следующим соотношением d2mn при n 2.

Например для шестиугольника n6 без резервирования связей можно построить четыре различных графа с d2, 3, 4, 5. Вероятности связности этих графов определяется следующими выражениями При d2 рис. 3,а 5 при d3 рис. 3,б 6 при d4 рис. 3,в 7 При n8 можно построить шесть различных графов с d2 7 вероятность связности этих графов определится следующими выражениями d2 рис. 4,а 8 d3 рис. 4,б 9 d4 рис. 4,в

Расчетные формулы для рс при d5 и 6 из-за громоздкости не приводятся. На рис 5 и 6 представлены зависимости вероятности связности сети с n6, 8 соответственно при различных d сплошные линии, построенные по формулам 5 10. Из рисунков видно, что увеличение вероятности связности сети с увеличением d при неизменном p объясняется тем , что с увеличением d возрастает разветвленность сети связи. К сожалению, ловольно трудно получить аналитическое выражение для вероятности связности

сети рассматренного семейство графов при различных d и n, за исключением полносвязных сетей с d n 1 см.выражение 1 4. По этому целесобразно определять верхнюю груницу вероятности связности графов. Если граф связный, то в нем не может быть изолированных вершин. В этом случае каждой вершине должна быть инцидента по крайней мере одна ветвь. Пусть Ai событие, когда не существует неповрежденных ветвей, инцидентных вершине i, pAi вероятность

этого события 1 pAi вероятность дополнительного события, когда существует по крайней мере одна целая ветвь, инцидентная вершине i, Поэтому вероятность того, что у всех вершин есть по крайне мере одна целая ветвь, т.е. есть связана, ограничена неравенством 11 На рис. 5,6 представлены зависимости 11 для n6, и d2 7 штриховые линии. Сравнение кривых показывает, что верхнюю границу вероятности связности сети, особенно при больших d.

Таким образом, полученная простая верхняя оценка вероятности связности равнопрочных сетей связи дает шорошее приближение к точному значению вероятности связности сети при больших значениях d.