Содержание:
1. Основные определения. 3
2. Свойства сходящихся рядов. 6
3. Необходимое условие сходимости ряда (критерий Коши). 8
4. Достаточные условия сходимости рядов. 9
Признак сравнения 1. 9
Признак сравнения 2. 9
Признак Даламбера. 10
Признак Коши. 12
Интегральный признак Коши. 13
Список используемой литературы: 14
1. Основные определения.
Пусть дна числовая последовательность a1, a2, …, an, … Выражение вида
(1)
называется числовым рядом.
Числа a1, a2, …, an … называются членами ряда, а член an с произвольным номером - общим членом ряда.
Суммы конечного числа членов ряда
называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм
S1, S2, S3, …, Sn, … (2)
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:
или .
Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящим.
Пример 1: Покажем, что ряд
сходится. Возьмем сумму первых n членов ряда
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде
.
Поэтому
.
Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице: . Таки образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.
Пример 2: Установим, сходится или расходится ряд
.
Последовательность его частичных сумм имеет вид S1=1, S2=0, S3=1, S4=0, … и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.
Пример 3: Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии , (3)
Частичная сумма Sn этого ряда при имеет вид
.
Отсюда:
1) Если то , т.е. ряд сходится и его сумма . Например, при имеем
2) Если то , т.е. ряд расходится;
3) При ряд (3) принимает вид В этом случае , т.е. ряд расходится;
4) При ряд (3) принимает вид Для него т.е. при n четном и при n нечетном. Следовательно, не существует и ряд расходится.
Таким образом, ряд (3) является сходящимся при и расходящимся при .
2. Свойства сходящихся рядов.
Теорема 1: Если сходится ряд
, (4)
то сходится и ряд , (5)
и обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4).
Доказательство. Пусть ряд (4) сходится и имеет сумму S, т.е. . Обозначим через сумму отброшенных членов ряда (4), а через сумму n-k первых членов ряда (5). Тогда
, (6)
где - некоторое число, не зависящее от n. Из равенства (6) следует , т.е. последовательность частичных сумм ряда (5) имеет предел, что означает сходимость ряда (5).
Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , т.е. . Тогда из (6) следует , что означает сходимость ряда (4).
Теорема 2: Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с – некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.
Доказательство. Пусть - частичная сумма ряда , а - частичная сумма ряда . Тогда
.
Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность частичных сумм ряда сходится к cS. Следовательно, .
Теорема 3: Если ряд и сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и ряд сходится и его сумма равна .
Доказательство. Пусть и - частичные суммы рядов и , а - частичная сумма ряда . Тогда
Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно
3. Необходимое условие сходимости ряда (критерий Коши).
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало число такое, что при и (n и p – натуральные числа) было выполнено неравенство
.
В частности, если ряд сходится, то .
Теорема 4: Если ряд сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. .
Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частные суммы ряда и . Отсюда . Т.к. и при , то
.
Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.
4. Достаточные условия сходимости рядов.
Признак сравнения 1.
Теорема 5: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящая последовательность является ограниченной.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающую последовательность: . Монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд .
Признак сравнения 2.
Теорема 6: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из сходимости ряда следует сходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что
(7)
Если ряд сходится, то по теореме 5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. для любого n , где М – некоторое число. Но тогда по формуле (7) и , откуда по той же теореме 5 (достаточность) следует, что ряд сходится.
Если же ряд расходится, то ряд также расходится, т.к., допустив сходимость ряда получим по только что доказанному сходимость ряда , а это противоречит условию теоремы.
Пример. Ряд сходится, т.к. сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии: .
Пример. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда , а гармонический ряд расходится.
Признак Даламбера.
Теорема 7: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; b) при ряд расходится.
Доказательство.
a) Пусть и . Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер N такой, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что . (8)
Т.к. , то можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство . Полагая , на основании правого из неравенств (8) имеем , или для n=N, N+1, N+2, … Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем
т.е. члены ряда (9)
меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:
(10)
Т.к. , то ряд (10) сходится. Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по теореме 1 ряд сходится.
b) Пусть теперь. Докажем, что ряд расходится. Возьмем настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 4, ряд расходится.
Замечание. При ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.
Пример: Ряд сходится, так как
Пример: Ряд расходится, так как
Признак Коши.
Теорема 8: Пусть дан ряд с положительными членами.
a) Если (11)
то он сходится; если же
(12)
то он расходится.
b) Если , (13)
то при qсходится, а при q>1 расходится, и при этом .
c) Если верхний предел , (14)
то ряд при q1 расходится и при этом общий член ряда не ограничен.
Интегральный признак Коши.
Теорема 9: Пусть дан ряд
,
члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале [1, +¥). Тогда, если сходится, то сходится и ряд также расходится.
Список используемой литературы:
1. «Курс математического анализа», автор – Никольский С.М., г. Москва, изд. «Наука», 1990г.
2. «Высшая математика», автор – Щипачев А.В., г. Москва, изд. «Высшая школа», 1996г.