Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию с на промежутке Х , тогда справедливо:
Алгоритм интегрирования подстановкой.
1. Для интеграла подынтегральная ф-ия такая, что является табличным или сводится к нему так, что легко находится .
2. Нах. обратную ф-ию и подставляем в , которая и будет первообразной для исходного интеграла.
Алгоритм:
1. Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая переменная.
2. В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится от новой переменной.
3. В возвращ. к старой переменной.
Интегрирование по частям.
Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:
Пример:
Рекомендации:
В интегралах с подынтегральным выражением вида:
(Pn –многочлен степени n )
Pn принимается за u
В интегралах с подынтегральным выражением вида:
за u ®
Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.
Интегрирование дробно-рациональных выражений
Df Дробно-рациональная ф-ия - отношение 2х многочленов - многочлены степени n и m соответственно.
Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная.
Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен называется целой частью неправильной дроби.
Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.
К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:
- вещественные постоянные
2.- вещественные постоянные,
3.
4.
Интегрирование 1го типа:
Интегрирование 2го типа:
Интегрирование 3го типа:
проводится в два этапа:
1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:
2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.
Интегрирование 4го типа:
1. Выделяем в числителе *** знаменателя:
Выделяем в знаменателе 2го интеграла ф-лы квадрата:
Рекуррентная формула для вычисления Jm (вычисление происходит путем подстановки в известную форму)
Метод неопределенных коэффициентов.
1. Разложим знаменатель на множители:
2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:
с неопределенным коэф. A1 …n
Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:
с неопределенным коэф.B1 C1…
3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.
4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.
Определенный интеграл
Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.
Вычисление площади криволинейной трапеции:
Df. Криволинейная трапеция – фигура на площади, ограниченной линиями с уравнениями
1. Отрезок разобьем на n частей:
*********
Длина каждого отрезка
2. Т.к. - непрерывна на , то она непрерывна на каждом частичном отрезке, принад. ****
3. Впишем в трапецию мн-к, состоящий из пр-в с основаниями, совпадающими с частичными отрезками и высотой mi
Суммируем площади пр-в – получаем площадь трапеции.
Меняя n , получаем числовую последовательность площадей, вписанных в многоугольник.
**********
4. Опишем около трапеции многоугольник
**********************************
Необходимое условие существование определенного интеграла.
Df. Пусть существует интеграл подынтегральная ф-ия ограничена на
Доказательство:
Пусть - неограниченна на , то при любом разбиении этого отрезка она неограниченна на каком-то из частичных отрезков Þ ***на частичном отрезке, мы можем сделать значение ф-ии в т. сколь угодно большим по модулю Þ интегральная сумма, соотв. этому прозв. разб. будет неограниченна Þ не имеет предела Þ противоречит условию Þф-ия ограничена на
Некоторые классы интегральных ф-ий.
Df. Любая ф-ия, для которой существует определенный интеграл на , интегрируема на этом промежутке.
Множество таких ф-ий обозначают
К интегрируемым на ф-иям относятся:
1. Ф-ии, непрерывные на
2. Монотонные на
3. Имеющие на отрезке конечное или счетное мн-во точек разрыва 1-го рода.
Свойства определенного интеграла.
Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.
1. Пусть сущ. определенный интеграл сущ. определенный интеграл и справедливо равенство
2.
Док-во:
3. Свойство линейности определенного интеграла:
1. Пустьф-ииинтегрируемы на ***
2. Пусть , то для любой произвольной постоянной - справедлива формула
4. Аддитивность определенного интеграла:
Пусть ф-ия интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:
Свойство монотонности.
1. Пусть ф-ия неотрицательна на и интегрируема на нем,
Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.
2. Пусть ф-ия на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда
Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****
Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.
3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.
Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда (они не совпадают а интегралы совпадают).
Д-во:
на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2му
4. Пусть на , кроме конечного ч. точек, инт. на , , то
5. Пусть инт-ма на Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство:
6. Пусть интегрируема на , , то существует М, такая что
Интеграл как ф-ия переменного верх. предела.
Пусть ф-ия инт. на , , то она инт. на любом отрезке между
Рассмотрим определенный интеграл . Из определения опр. интеграла следует,что любому х соот. единст. значние этого интеграла.
Определенный интеграл с перемнного верх. предела – есть ф-ия своего предела