1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы А=. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.
Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен.
Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль.
Пусть
– (1)
характеристический многочлен.
Заменяя в выражении (1) величину на , получим
. (2)
Возьмем произвольный ненулевой вектор
. (3)
Умножим обе части выражения (2) на :
(4)
Положим
, (5)
т.е.
(6)
Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде
, (7)
или в виде
Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то ее корни являются коэффициентами характеристического многочлена (1).
Если известны коэффициенты и корни характеристического многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие собственные векторы по следующей формуле:
(8)
Здесь – векторы, использованные при нахождении коэффициентов методом Крылова, а коэффициенты определяются по схеме Горнера
(9)
Используя все выше сказанное, развернем характеристический определитель матрицы А= методом Крылова.
Выберем в качестве начального следующий вектор:
,
Вычислим
Составим матричное уравнение
, или
Полученную систему уравнений решим методом Жордана-Гаусса.
1
9
2
0
-72
-61
-61
-1
1
0
-3
-3
-3
30
5
1
-167
-131
-131
2
1
2/9
0
-8
-61/9
-61/9
0
11/9
0
-11
-88/9
-88/9
0
-15/9
1
657/9
651/9
651/9
3
1
0
0
-6
-5
-5
0
1
0
-9
-8
-8
0
0
1
58
59
59
4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Исходя из результатов таблицы, имеем .
Таким образом характеристическое уравнение матрицы имеет вид
2. Для определения собственных чисел матрицы необходимо решить полученное характеристическое уравнение третьей степени
Данное кубическое уравнение невозможно решить стандартными средствами. Воспользуемся для этой цели числовыми методами, а точнее методами приближенного вычисления.
2.1 Исследование функции.
Вычислим первую и вторую производные данной функции
Необходимо выбрать интервал, на котором будем находить решение.
Для отделения корней существует несколько способов. Наиболее популярные из них – графический и аналитический.
В литературе рассматриваются эти способы по отдельности. По заданию курсовой работы требуется отделить корни каждым из этих способов. Рискну нарушить это требование, и объединить эти два способа в один. То есть исследовать функцию аналитически и по результатам исследования построить приблизительный график функции.
Областью значений исходного уравнения является вся ось .
Приравняв первую производную к нулю, мы можем получить критические точки данной функции (точки минимумов и максимумов, или же точки, в которых функция не определена).
Стоит отметить, что для вычисления квадратного корня, также применимы числовые методы, на которых и основаны микрокалькуляторы и программы для ЭВМ. Данные методы основаны на логарифмировании корня и последующего вычисления.
вычисляется при помощи числового ряда
Уравнение имеет решение , . Изменив знак равенства на знак неравенства (), можем найти промежутки возрастания и убывания функции.
Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Подставив в исходное уравнение значения критических точек, имеем в результате для и для .
Приравняв вторую производную к нулю, мы можем найти точку перегиба и, соответственно, найти интервал, на котором функция выпуклая и вогнутая.
Далее необходимо найти, интервалы, в которых график функции пересекает ось .
Сразу можно определиться, что так при значение функции больше нуля, а при - меньше нуля, то одна из точек пересечения, будет лежать на данном интервале. Произведя не хитрые математические вычисления значения функции для , сузим интервал до .
Далее рассмотрим оставшиеся два интервала.
Известно, что при - значение функции отрицательно, а в первой критической точке положительно, то будем сужать этот промежуток. В данном случае применим метод половинного деления.
0
58
-100
-1059042
-50
-139492
-25
-19092
-12
-2426
-6
-320
-3
4
-5
-172
-4
-66
4
-10
100
939158
50
109608
25
11708
12
814
6
4
5
-12
Таким образом получили еще один интервал .
Следующий будет от и до бесконечности.
Произведем аналогичные вычисления и получим промежуток
На основании произведенного анализа построим график исходной функции.
2.2 Метод хорд.
Сразу необходимо заметить, что существуют два случая (варианта) при решении методом хорд.
Случай первый. Первая и вторая производные функции имеют одинаковые знаки, т.е. .
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
Случай второй. Первая и вторая производные функции имеют разные знаки, т.е. .
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
Для оценки точности приближение можно воспользоваться формулой
,
где при , – точное значение корня.
Итак решим наше уравнение методом хорд с точностью .
2.2.1 Интервал .
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
-4,0000000
-3,0000000
-66,0000000
4,0000000
0,0740741
-4,0000000
-3,1142857
-66,0000000
-2,3688397
0,0438674
-4,0000000
-3,0440850
-66,0000000
1,5901736
0,0294477
-4,0000000
-3,0901012
-66,0000000
-0,9879693
0,0182957
-4,0000000
-3,0610770
-66,0000000
0,6456578
0,0119566
-4,0000000
-3,0798611
-66,0000000
-0,4086778
0,0075681
-4,0000000
-3,0678974
-66,0000000
0,2640772
0,0048903
-4,0000000
-3,0755972
-66,0000000
-0,1684077
0,0031187
-4,0000000
-3,0706743
-66,0000000
0,1083107
0,0020058
-4,0000000
-3,0738353
-66,0000000
-0,0692833
0,0012830
-4,0000000
-3,0718112
-66,0000000
0,0444729
0,0008236
-4,0000000
-3,0731096
-66,0000000
-0,0284836
0,0005275
-4,0000000
-3,0722776
-66,0000000
0,0182690
0,0003383
-4,0000000
-3,0728111
-66,0000000
-0,0117068
0,0002168
-4,0000000
-3,0724692
-66,0000000
0,0075061
0,0001390
-4,0000000
-3,0726884
-66,0000000
-0,0048109
0,0000891
-4,0000000
-3,0725479
-66,0000000
0,0030843
0,0000571
-4,0000000
-3,0726380
-66,0000000
-0,0019770
0,0000366
2.2.2 Интервал .
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
3,0000000
4,0000000
4,0000000
-10,0000000
-0,2222222
3,0000000
3,2857143
4,0000000
-0,8746356
-0,0485909
3,0000000
3,2344498
4,0000000
-0,0423087
-0,0023505
3,0000000
3,2319959
4,0000000
-0,0019734
-0,0001096
3,0000000
3,2318815
4,0000000
-0,0000919
-0,0000051
2.2.3 Интервал .
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют одинаковые знаки, то работаем по первому варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
5,0000000
6,0000000
-12,0000000
4,0000000
0,6666667
5,7500000
6,0000000
-2,0156250
4,0000000
0,3359375
5,8337662
6,0000000
-0,1613014
4,0000000
0,0268836
5,8402098
6,0000000
-0,0120198
4,0000000
0,0020033
5,8406885
6,0000000
-0,0008909
4,0000000
0,0001485
5,8407240
6,0000000
-0,0000660
4,0000000
0,0000110
Итак, корнями уравнения будут , , .
2.3 Метод касательных (метод Ньютона).
В век повальной компьютеризации не есть хорошо считать при помощи логарифмической линейки. Поэтому, разработаем алгоритм и прикладную программу для решения кубических уравнений методом Ньютона.
Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная программа при решении исходного уравнения.
//метод Ньютона длЯ решениЯ кубических уравнений
#include
#include
double a[4]={0},
b[3]={0},
c[2]={0},
prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);
double Calc_Second(double);
main(void)
{
Hello();
Input();
Derivative();
Calculation();
return 0;
}
void Hello(void)
{
cout}
void Input()
{
cout for (int i=0;i {
cout cin>>a[i];
}
cout cin>>minim;
cout cin>>maxim;
while(minim==maxim||minim>maxim)
{
cout cin>>minim;
cout cin>>maxim;
}
cout cin>>prec;
}
void Derivative()
{
b[0]=a[0]*3;
b[1]=a[1]*2;
b[2]=a[2];
c[0]=b[0]*2;
c[1]=b[1];
cout }
void Calculation()
{
double x=0, m=0;
cout if (abs(Calc_Fun(minim))*abs(Calc_Second(minim))>0) x=minim;
else x=maxim;
if (Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));
else m=abs(Calc_First(minim));
cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout while((fabs(Calc_Fun(x))/m)>prec)
{
x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));
cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout
}
cout}
double Calc_Fun(double x)
{
return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);
}
double Calc_First(double x)
{
return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);
}
double Calc_Second(double x)
{
return (c[0]*x+c[1]);
}
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска : -4
Введите верхнюю границу поиска : -3
Введите допустимую погрешность : 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :
1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
ПерваЯ производнаЯ имеет вид :
f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
ВтораЯ производнаЯ имеет вид :
f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |
-------------------------------------------------
| -4| -66| 1.222222222|
| -3.24137931| -9.922506048| 0.183750112|
| -3.079817529| -0.40621762| 0.007522548518|
| -3.07261683|-0.000789793230|1.462580056e-05|
-------------------------------------------------
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска : 3
Введите верхнюю границу поиска : 4
Введите допустимую погрешность : 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :
1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
ПерваЯ производнаЯ имеет вид :
f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
ВтораЯ производнаЯ имеет вид :
f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |
-------------------------------------------------
| 3| 4| 0.4444444444|
| 3.222222222| 0.159122085| 0.01768023167|
| 3.231855174| 0.000341137633|3.790418145e-05|
-------------------------------------------------
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска : 5
Введите верхнюю границу поиска : 6
Введите допустимую погрешность : 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :
1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
ПерваЯ производнаЯ имеет вид :
f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
ВтораЯ производнаЯ имеет вид :
f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |
-------------------------------------------------
| 6| 4| 0.6666666667|
| 5.851851852| 0.2601229487| 0.04335382479|
| 5.840787634| 0.001413241032| 0.000235540172|
| 5.840726862|4.255405933e-08|7.092343222e-09|
-------------------------------------------------
2.4 Метод итераций. Как и для предыдущего метода, привожу блок-схему алгоритма решения и листинг программы, реализующей этот алгоритм на языке программирования С++.
//метод итераций длЯ решениЯ кубических уравнений
#include
#include
double a[4]={0},
b[3]={0},
prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);
main(void)
{
Hello();
Input();
Derivative();
Calculation();
return 0;
}
void Hello(void)
{
cout}
void Input()
{
cout for (int i=0;i {
cout cin>>a[i];
}
cout cin>>minim;
cout cin>>maxim;
while(minim==maxim||minim>maxim)
{
cout равна." cin>>minim;
cout cin>>maxim;
}
cout cin>>prec;
}
void Derivative()
{
b[0]=a[0]*3;
b[1]=a[1]*2;
b[2]=a[2];
}
void Calculation()
{
double x=0, x_old=0, m=0;
cout if(fabs(Calc_First(minim))>fabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;
else m=x=x_old=maxim;
m=fabs(1/Calc_First(m));
cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout if(Calc_First(x)>0)
{
do
{
x_old=x;
x=x_old-m*Calc_Fun(x_old);
cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout }
while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);
}
else
{
do
{
x_old=x;
x=x_old+m*Calc_Fun(x_old);
cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout cout.width(15);cout.precision(10);
cout cout }
while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);
}
cout}
double Calc_Fun(double x)
{
return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);
}
double Calc_First(double x)
{
return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);
}
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска : -4
Введите верхнюю границу поиска : -3
Введите допустимую погрешность : 0.00005
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |
-------------------------------------------------
| -4| -66| |
| -3.24137931| -9.922506048| 56.07749395|
| -3.127327517| -3.12093462| 6.801571427|
| -3.091454705| -1.064778438| 2.056156183|
| -3.079215872| -0.372281515| 0.6924969227|
| -3.074936774| -0.131239433| 0.241042082|
| -3.073428275| -0.04639844126| 0.08484099175|
| -3.07289496| -0.01642029825| 0.02997814301|
| -3.072706221|-0.005813178631| 0.01060711962|
| -3.072639403|-0.002058264249| 0.003754914382|
| -3.072615744|-0.000728799396| 0.001329464852|
| -3.072607367|-0.000258060628|0.0004707387678|
| -3.072604401|-9.137721784e-0|0.0001666834108|
| -3.072603351|-3.235601088e-0|5.902120696e-05|
| -3.072602979|-1.145703711e-0|2.089897377e-05|
-------------------------------------------------
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска : 3
Введите верхнюю границу поиска : 4
Введите допустимую погрешность : 0.00005
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |
-------------------------------------------------
| 3| 4| |
| 3.222222222| 0.159122085| 3.840877915|
| 3.231062338| 0.01338370012| 0.1457383849|
| 3.231805877| 0.001151957391| 0.01223174272|
| 3.231869875|9.934183961e-05| 0.001052615552|
| 3.231875394|8.568402322e-06|9.077343728e-05|
| 3.23187587|7.390497921e-07| 7.82935253e-06|
-------------------------------------------------
Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решениЯ.
Введите нижнюю границу поиска : 5
Введите верхнюю границу поиска : 6
Введите допустимую погрешность : 0.00005
-------------------------------------------------
| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |
-------------------------------------------------
| 6| 4| |
| 5.851851852| 0.2601229487| 3.739877051|
| 5.842217669| 0.0346921878| 0.2254307609|
| 5.840932773| 0.004788677115| 0.02990351069|
| 5.840755414|0.0006639855431| 0.004124691572|
| 5.840730822|9.212373716e-05|0.0005718618059|
| 5.84072741|1.278267885e-05|7.934105832e-05|
| 5.840726937|1.773688694e-06|1.100899016e-05|
-------------------------------------------------
Решив уравнение , получили корень
Метод
Корень № 1
Корень № 2
Корень № 3
Хорд
-3,072638
3,231881
5,840724
Касательных (Ньютона)
-3,072616
3,231855
5,840726
Итераций
-3,072602
3,231875
5,840726
Для дальнейших расчетов будем использовать среднее арифметическое значение полученных корней.
3. Используя полученные значения, определим собственные значения исходной матрицы.
Собственные вектора матрицы А= определим по формуле
Для нашей матрицы, данная формула примет следующий вид
Коэффициенты определяются по схеме Горнера:
Для имеем:
Для имеем:
Для имеем:
Далее можем найти собственные векторы:
4. Для контроля полученных значений, развернем исходную матрицу А=, и определим ее собственные векторы методом непосредственного развертывания.
Характеристический многочлен для данной матрицы имеет вид:
.
Находим .
Число диагональных миноров второго порядка у матрицы второго порядка .
Выписываем эти миноры и складываем их:
.
И, в заключение, находим
Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид
Данное уравнение идентично уравнению, полученному при помощи метода Крылова. Нет смысла заново его решать. Воспользуемся уже вычисленными корнями (их средним значением).
Определим собственный вектор , соответствующий .
, или
Из третьего уравнения системы выведем и подставим его в первое уравнение системы
Примем , тогда и .
Итак, искомый вектор матрицы , найденный с точностью до постоянного множителя , для собственного значения матрицы будет:
При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного вектора .
Мы можем проверить наши вычисления, взяв :
Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.
Определим собственный вектор , соответствующий .
, или
Из третьего уравнения системы выведем и подставим его в первое уравнение системы
Примем , тогда и .
Итак, искомый вектор матрицы , найденный с точностью до постоянного множителя , для собственного значения матрицы будет:
При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного вектора .
Мы можем проверить наши вычисления, взяв :
Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.
Определим собственный вектор , соответствующий .
, или
Из третьего уравнения системы выведем и подставим его в первое уравнение системы
Примем , тогда и .
Итак, искомый вектор матрицы , найденный с точностью до постоянного множителя , для собственного значения матрицы будет:
При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного вектора .
Мы можем проверить наши вычисления, взяв :
Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.