Элементарная теория процесса обучения нейросетей
Аннотация
Задача представимости функции многих переменных в виде суперпозиции нескольких функций меньшего числа переменных поставленная еще Гильбертом получила новую жизнь благодаря теореме Хехт-Нильсена “об аппроксимации функции многих переменных двухслойной однородной нейросетью”. Нейросети на сегодняшний день являются важным инструментом при решении многих прикладных задач, а потому представляет большой интерес процесс обучения сетей. В работе сделана попытка анализировать этот процесс и представить его максимально просто и наглядно.
Искусственные (формализованные) нейросети построены по схеме близкой к естественной нервной системе человека, т.е. достаточно простые структурные единицы, объединяясь в определенной последовательности, образуют сложную систему, способную решать огромные классы задач.
Формализованный нейрон – это математическая модель естественного нейрона человека. Он включает в себя невырожденные линейные преобразования, а также некоторую нелинейную функцию, называемую функцией активации, как правило, сигмоидального типа:
s =1/(1+ ехр(-a)) , (1)
где s- непрерывная, всюду дифференцируемая возрастающая ограниченная функция. Графически формализованный нейрон (далее просто нейрон) показан на рис.1:
Рис.1 Схема формализованного нейрона. Х1, Х2,…, Хn- координаты входного
вектора – исходная информация. Числа w1,w2,…,wn – так называемые веса синапсов (входов нейрона) или сила связи данного входа с нейроном, b – дополнительный вход, называемый сдвигом, его значения, как правило, +1, 0. Знак Sозначает операцию линейных преобразований. Каждый вход умножается на соответствующий ему вес и все суммируется, далее полученная величина рассматривается как аргумент функции (1), значение значение которой является выходом нейрона.
Искусственная нейросеть представляет из себя группу связанных определенным образом нейронов. Простейший случай – это однослойная нейросеть. Аналитически ее можно записать следующим образом:
У= s(ХW), (2)
где Х,Y – вектор-строки.
Активационная функция многослойной сети должна быть нелинейной. Если эта функция будет линейной, легко показать, что любую многослойную сеть можно свести к однослойной.
В однородной нейросети все нейроны по отдельности выполняют одинаковые функции. Основным существенным отличием их друг от друга являются веса синапсов, которые и играют главную роль в работе нейросетей. От правильного подбора весовых коэффициентов зависит, корректность работы сети. Процесс их подбора и называется обучением.
Процесс обучения можно сравнить с настройкой.
Известно 2 класса обучающих методов: детерминистские и стохастические. Детерминистский метод состоит в том, что шаг за шагом осуществляется процедура коррекции весов сети, основанная на использовании их текущих значений, а также величин входов и выходов (фактических и ожидаемых). Стохастические методы по определению предполагают выполнение псевдослучайных изменений, которые ведут к улучшению результата.
Наиболее распространенным алгоритмом обучения нейросетей является алгоритм обратного распространения ошибки, основанный на методе градиентного спуска. Обучение при этом проходит в два этапа. Вначале сеть работает в обычном режиме, т.е. прямым потоком: на вход подаются начальные данные, и вычисляется вектор выхода. Затем находят функцию ошибки:
, (3)
где yj,p – реальная, а tj,p – ожидаемая j-тая координата выхода, при подаче на вход р-го образа. А уменьшают ее, напрявляя данные по сети в обратном порядке, работа проходит через определенные этапы следующим образом:
1. Подача на вход сети один из возможных образов и в режиме обычного функционирования нейросети, когда сигнал распространяется от входа к выходу, рассчет значения последнего.
2. Рассчет ошибок dN и DwN слоя N.
3. Рассчет ошибок dn и Dwn для всех остальных слоев, n=N-1,…,1.
4. Корректировка всех весов в сети.
5. Проверка ошибки сети и переход на шаг 1 или в конец.
Сети на шаге 1 попеременно в случайном порядке предъявляются все образы из обучающего множества, чтобы сеть не “забывала” одни по мере “запоминания” других.
Этот алгоритм, после предварительной подготовки, может быть представлен более наглядно и интерпретирован геометрически.
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство. Множества Х, Y, Т – области пространства Еn – множества векторов. Причем, такие что " ÎХ $! соответствующий ему вектор ÎT. Y такое что
= G, (4)
где Gпринадлежит пространству непрерывных операторов. Пусть W - пространство матриц n´n dim=2, где wÎW рассматривается как совокупность вектор-строк, составляющих матрицу w:
(w11 w12 …w1n)
(w21 w22 …w2n) (5)
………
(wn1 wn2 …wnn)
Это делается для геометрической представимости.
Определим вид оператора G½ G: X®Y. Этот оператор есть ни что иное как суперпозиция двух операторов G = S°s. Рассмотрим подробнее каждый из составляющих операторов:
1. Первый оператор:
S = wх (6)
Оператор линейных преобразований, где wÎW, x – вектор-столбец из X,
S – результат умножения – вектор-строка.
В развернутом виде матричное умножение выглядит следующим образом:
(w11 w12 … w1n) х1
(w21 w22 …w2n) ´ х2 =||(w11x1+…+w1nxn)…(wn1x1+…+wnnxn)|| =S (7)
……… :
(wn1 wn2 …wnn) хn
Т.е.
, i=1,…,n. (8)
2. Второй оператор - нелинейная функция.
Функция s(см. формулу (1)) называется также сжимающей.
Для последующих операций нормализуем вектора множества Х:
х¢ = х/|х|, где |х| =, х¢ - нормализованный вектор. Аналогичную операцию произведем над множеством Т. Поскольку wÎW совокупность вектор-строк, нормализуем и эти вектора:
wi : wi = (wi1 wi2 … win ), wi¢ = wi /|wi|.
После нормализации векторов х и wi, вектор S изменит свой вид:
=wij ¢ xj ¢= wij /|wi| * хj/|х| = wij хj * 1/ |wi||x|, где
1/ |wi||x| = ki =Const. Таким образом, нормализация векторов х и wi лишь сжимает вектор S, но не меняет его направления.
Для простоты обозначений, заменим вновь полученные вектора х¢, t¢, wi¢ и S* соответственно на х, t, w и S. В результате всех преобразований будем иметь радиус-векторы единичной n-мерной сферы. Пусть для наглядности n =2, тогда весь процесс можно представить геометрически.
Т т s
w1 w1
х х
w2 w2
a. b.
Рис.2 Радиус-векторы единичной n-мерной сферы, полученные после нормализации векторов из множеств X, W, T (a). Векторы S и Y, полученные после всех преобразований (b).
Х и t – взаимнооднозначная пара векторов из множеств Х и Т соответственно, эта пара называется обучающей. Кроме того, вектору х соответствует также вектор уÎY, полученный “экспериментально”, путем применения изложенных выше преобразований. Задача обучения состоит в том, чтобы преобразования эти были таковы, что у = t, "уÎY, tÎT. А это значит, что все координаты уj вектора у должны быть равны одноименным коорданатам вектора t.
Теперь, после того как все вектора нормализовали линейное преобразование (6) будет иметь вид:
Si = wij xj, i=1,…,n, где wij и xj – координаты новых векторов. Но
Si – это фактически скалярное произведение векторов wi и x:
Si =(wi,х)=|wi||х| Cos ai , (9)
где ai – плоский угол между х и wi. Поскольку, |wi|=|х|=1, то
Si= Cos ai (10)
Таким образом, вектор S – это вектор, все координаты которого Cos ai, i=1,…n, а |S|£ Ön. Получили вектор S, подставим его в (1) покоординатно в функцию s. Покажем, что векторы S и у лежат на одной прямой.
Имеем у= 1/ (1+exp(-s)), Ехр(-s)=1+(-s)+1/2!(-s)² +1/3!(-s)² (-s)+…
т.е. разложили экспаненту в ряд по степеням (-s). Этот ряд сходится, разобьем его на два подряда, которые также будут иметь предел, как части сходящегося ряда:
Ехр(-s)=/(2k)!+/(2k+1)! (11)
Первое слагаемое есть Const=C0(s) (за счет четных степеней), а второе слагаемое –C2(s)s. Получили ехр(-s)=C0(s)-C2(s)s, поскольку в знаменателе есть еще единица, прибавим ее к C0, получим C0(s)+1=C1(s). Итак, имеем:
Y=1/(C1(s)-C2(s)) (12)
Вектор, находящийся в знаменателе - n = C1(s)-C2(s), лежит на одной прямой с вектором S. Получили (у, n)=1, а это (в случае, если оба вектора имеют единичную длину, либо длины их взаимнообратные величины, что также возможно) озночает, что вектора у и n совпадают по направлению, т.е. вектор у лежит на одной прямой с вектором S. Таким образом процесс обучения нейросети сводится к “подгону” вектора S под вектор T за счет измнения углов между векторами х и wi (рис.2 (b)), поскольку было показано, что координаты вектора S есть ни что иное, как косинусы этих углов.
На сегодняшний день аппарат нейросетей используется практически во всех областях науки, экономики и т.д. Программа нейротомографии была применена к эксперсс-томографии осесимметричных объектов, которые были изучены с помощью дискретного моделирования. Результаты работы нейротомографии сравнивались с результатами, полученными в ходе вычислительного эксперимента. Соответствие между экспериментом нейротомографии и прямого вычислительного эксперимента оценивались по различным параметрам правдоподобия.
Рис.3
В данном случае нейротомография используется для реконструкции различных осесимметричных объектов (b) по единственной радоновской проекции R(s). На (c) дано сравнение истинного (a) с восстановленным (b).
Было установлено, что нейротомография может быть использована эффективно для решения различных задач томографии.