Нахождение кратчайшего маршрута между двумя городами по существующей сети дорог

Информационная карта

5013 Информационная 5418 Исходящий 7992 Инвентарный 5436 Инвентарный

карта АИП номер, дата номер ФАП номер ВНТИЦ

ИКАП ———— —————————————— ——————————————— ———————————————

| 50 | | | | | | |

———— —————————————— ——————————————— ———————————————

7839 Тип ЭВМ 7902 Тип и версия ОС 5715 Инструмен- 7848 Оперативная

тальное ПО память

——————————— —————————————————— ——————————————— ——————————————

| | | | | | | |

——————————— —————————————————— ——————————————— ——————————————

7965 Разновидность ПС 73 Библиотека программ 5679 Код программы по

46 Программный модуль 82 Программная система ЕСПД

55 Программа 91 Программный комплекс ————————————————

64 Пакет программ 28 Информационная структура | |

19 Комплект программ 37 Прочее | |

————————————————

7884 Объем программы ————————————— 7362 Срок окончания ———————————————

| | разработки | |

————————————— ———————————————

7947 Описание программы ————————— 4956 Распространение 4511 Сертифика-

| | ПП ция

7956 Описание применения|—————————| 35 Организация- 34 Сертифициро-

| | разработчик вана

|—————————|

7974 РТО | | 44 Организация, 43 Несертифици-

————————— ведущая ФАП рована

Сведения об организации, представляющей АИП во ВНТИЦ

2457 Код ОКПО 2934 Телефон 2394 Телефакс 2754 Город

—————————————— —————————————— ————————————— ———————————————————

—————————————— —————————————— ————————————— ———————————————————

1332 Сокращенное наименование министерства (ведомства) 2403 Код ВНТИЦ

————————————————————————————————————————————————————— ———————————————

————————————————————————————————————————————————————— ———————————————

2151 Полное наименование организации

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

| |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

2358 Сокращенное наименование организации —————————————————————————————

—————————————————————————————

2655 Адрес организации

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

| |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

Сведения об организации-разработчике

2988 Телефон 3087 Телефакс 2781 Город

—————————————— ————————————— ————————————————————————————————————

—————————————— ————————————— ————————————————————————————————————

2187 Наименование организации

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

| |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

2385 Сокращенное наименование организации —————————————————————————————

| |

—————————————————————————————

2682 Адрес организации

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

6183 Авторы (разработчики ПС)

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

| |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

9045 Наименование программы

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

| |

| |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

9117 Реферат

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| —————————————————————|

| |5436 |

| | |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

Фамилия, инициалы Должность Уч.степень, Подпись МП

звание

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

|Руководитель |6111 |6311 |6210 | |

|организации | | | | |

|—————————————|——————————————————————|——————————|————————————|——————————|

|Руководитель |6120 |6320 |6228 | |

|разр.(ФАП) | | | | |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

5634 Индексы УДК 7434 Дата 7506 Входящий номер

——————————————————————————————————— ———————— ——————————————————————

——————————————————————————————————— ———————— ——————————————————————

5616 Коды тематических рубрик

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

| . . | . | . . | . | . . | . | . . | . | . . |

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

5643 Ключевое слово

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

|———————————————————————————————————————————————————————————————————————|

|———————————————————————————————————————————————————————————————————————|

|———————————————————————————————————————————————————————————————————————|

|———————————————————————————————————————————————————————————————————————|

|———————————————————————————————————————————————————————————————————————|

|———————————————————————————————————————————————————————————————————————|

———————————————————————————————————————————————————————————————————————

Введение

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была “повинна” математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Ног главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфики экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупность элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность – наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований – в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучение средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют собой наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющийся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

1. Краткое описание модели поставленной задачи

Благодаря своему широкому применению, теория о нахождении кратчайших путей в последнее время интенсивно развивается.

Нахождение кратчайшего пути - жизненно необходимо и используется практически везде, начиная от нахождения оптимального маршрута между двумя объектами на местности (напр. кратчайший путь от дома до академии),также используется в системах автопилота, используется для нахождения оптимального маршрута при перевозках коммутации информационного пакета Internet и мн. др.

Кратчайший путь рассматривается при помощи некоторого математического объекта, называемого графом. Граф задается множеством точек (вершин) и множеством линий (ребер), соединяющих все или часть этих точек.

Сетевые модели используются для решения следующих задач:

1. проектирование газопровода;

2. нахождение кратчайшего маршрута между городами по сети дорог;

3. определение максимальной пропускной способности при транспортировки нефти;

4. составление временных графиков работ и др.

Существуют три наиболее эффективных алгоритма нахождения кратчайшего пути:

1) алгоритм построения минимального основного дерева. Предполагает соединение всех узлов сети с помощью путей наименьшей длины.

2) алгоритм Дейкстры. Используется для нахождения кратчайшего пути между заданным исходным узлом и любым другим узлом сети

3) алгоритм Флойда. Используется для нахождения оптимального маршрута между любыми двумя узлами сети.

Основные определения

Сеть состоит из множества улов, связанных дугами (или ребрами). Таким образом, сеть описывается парой множеств (N,A), где N – множество узлов, а A – множество ребер. Например, сеть, показанная на рис. 1, описывается след образом.

N = {1, 2, 3, 4, 5},

A = {(1, 3), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}.

С каждым типом сети связан определенный тип потоков (например, транспортный поток нефти в нефтепроводах или автомобильные потоки в сети дорог). В общем случае потоки в сети ограничены пропускной способностью ее ребер, которая может быть как конечной, так и бесконечной.

Ребро называется направленным, или ориентированным (и в этом случае ребро будем называть дугой), если в одном направлении возможен только положительный поток, а в противоположном – только нулевой. В ориентированной сети все ребра ориентированы.

Путем называется последовательность различных ребер, соединяющих два узла, независимо от направления от направления потока в каждом ребре. Путь формирует цикл, если начальный и конечный узлы совпадают. Например, на рис. 2 ребра (2, 3), (3, 4) и (4, 2) составляют цикл. Ориентированный цикл – это цикл, в котором все дуги ориентированы в определенном направлении.

Связная сеть – такая сеть, у которой любые два узла связаны по крайней мере одним путем. На рис. 1 показан именно такой тип сети и не имеющий циклов. Остовное дерево – это дерево, содержащая все узлы сети. На рис. 2 показаны дерево и Остовное дерево для сети из рис. 1.

2. Математическая формулировка задачи, обоснование

Алгоритм Флойда

Алгоритм Флойда находит кратчайший путь между любыми двумя узлами сети. В этом алгоритме сеть представлена в виде квадратной матрицы с n строками и n столбцами. Элемент (i ,j) равен расстоянию d_ij от узла i к узлу j, которое имеет конечное значение, если существует дуга (i ,j), и равен бесконечности в противном случае.

Покажем сначала основную идею метода Флойда. Пусть есть три узла i, j и k и заданы расстояния между ними (рис. 3). Если выполняется неравенство d_ij + d_jk <>_ik, то целесообразно заменить путь i → k путем i → j → k. Такая замена (далее ее будем условно называть треугольным оператором) выполняется систематически в процессе выполнения алгоритма Флойда.

Алгоритм Флойда требует выполнения следующих действий.

Шаг 0. Определяем начальную матрицу расстояний D₀ и матрицу последовательности

узлов S₀. Диагональные элементы обеих матриц помечаются знаком “ – “,

показывающим, что эти элементы в вычислениях не участвуют. Полагаем k=1.

Основной шаг. Задаем строку k и столбец k как ведущую строку и ведущий столбец.

Рассматриваем возможность применения треугольного оператора ко всем элементам d_ij матрицы D_k-1. Если выполняется неравенство

d_ij + d_jk <>_ik (i ≠k, j≠k, i ≠j),

тогда выполняем следующие действия :

1. создаем матрицу D_k путем замены в матрице D_k-1 элемента d_ij на сумму d_ij + d_jk, (рис. 4)

2. создаем матрицу S_k путем замены в матрице S_k-1 элемента s_ij на k. Полагаем k=k+1 и повторяют шаг k. (рис. 5)

рис. 4

рис. 5

После реализации n шагов алгоритма определение по матрицам D_n и S_n кратчайшего пути между узлами i и j выполняется по следующим правилам .

1. Расстояние между узлами i и j равно элементу d_ij в матрице D_n.

2. Промежуточные узлы пути от узла i до узла j определяем по матрице S_n. Пусть s_ij = k, тогда имеем путь i → j → k. Если далее s_ik = k и s_ki = j, тогда считаем, что весь путь определен, так как найдены все промежуточные узлы. В противном случае повторяем описанную процедуру для путей от узла i к узлу k и от узла k к узлу j.

3. Численное решение показательного примера

Найдем для сети, показанной на рисунке 5, кратчайшие пути между любыми двумя узлами. Расстояния между узлами этой сети проставлены на рисунке возле соответствующих ребер. Ребро (3,5) ориентировано, поэтому не допускается движение от узла 5 к узлу 3. Все остальные ребра допускают движение в обе стороны.

Шаг 0. Начальное решение матрицы D₀ и S₀ строятся непосредственно по заданной схеме

сети. Матрица D₀ симметрична, за исключением пары элементов d₃₅ и d₅₃, где d₃₅ = ∞ (поскольку невозможен переход от узла 5 к узлу 3).

рис. 8 D0 1 2 3 4 5 1 – 100 30 ∞ ∞ 2 100 – 20 15 ∞ 3 30 20 – 10 ∞ 4 ∞ 15 10 – 50 5 ∞ ∞ 60 50 –

S0 1 2 3 4 5 1 – 2 3 4 5 2 1 – 3 4 5 3 1 2 – 4 5 4 1 2 3 – 5 5 1 2 3 4 –

Шаг 1. В матрице D₀ выделены ведущие строка и столбец (k=1) (рис. 8). После этого каждый элемент проверяется с помощью треугольного оператора. Таким образом, чтобы на основе матриц D₀ и S₀ получить матрицы D₁ и S₁, выполняем следующие действия:

1. проверяем d₃₂ > d₃₁ + d₁₂ = 20 > 30 + 100 = 20 > 130 если условие принимает истину, то устанавливаем S₃₂ = 1 ,а если нет тогда все так и остается.

Матрицы D₁ и S₁ имеют следующий вид (см. рис. 9):

рис. 9 D1 1 2 3 4 5 1 – 100 30 ∞ ∞ 2 100 – 20 15 ∞ 3 30 20 – 10 ∞ 4 ∞ 15 10 – 50 5 ∞ ∞ 60 50 –

S1 1 2 3 4 5 1 – 2 3 4 5 2 1 – 3 4 5 3 1 2 – 4 5 4 1 2 3 – 5 5 1 2 3 4 –

Шаг 2. Полагаем k=2. Треугольный оператор применяется к элементам матриц D₁ и S₁,

выделенным двойной рамкой. В результате получаем матрицы D₂ и S₂ (см. рис.10):

рис. 10 D2 1 2 3 4 5 1 – 100 30 115 ∞ 2 100 – 20 15 ∞ 3 30 20 – 10 ∞ 4 115 15 10 – 50 5 ∞ ∞ 60 50 –

S2 1 2 3 4 5 1 – 2 3 2 5 2 1 – 3 4 5 3 1 2 – 4 5 4 2 2 3 – 5 5 1 2 3 4 –

Шаг 3. Полагаем k=3. В матрице D₂ и S₂ выделены ведущие строка и столбец.

Треугольный оператор применяется к элементам матриц D₂ и S₂, выделенные двойной рамкой. В результате получаем матрицы D₃ и S₃(см. рис.11):

рис. 11 D3 1 2 3 4 5 1 – 50 30 40 ∞ 2 50 – 20 15 ∞ 3 30 20 – 10 ∞ 4 40 15 10 – 50 5 90 80 60 50 –

S3 1 2 3 4 5 1 – 3 3 3 5 2 3 – 3 4 5 3 1 2 – 4 5 4 3 2 3 – 5 5 3 3 3 4 –

Шаг 4. Полагаем k=4. Выделены ведущие строка и столбец в матрице D₃ и S₃.

Получаем новые матрицы (см. рис.12):

рис. 12 D4 1 2 3 4 5 1 – 50 30 40 90 2 50 – 20 15 65 3 30 20 – 10 60 4 40 15 10 – 50 5 90 65 60 50 –

S4 1 2 3 4 5 1 – 3 3 3 4 2 3 – 3 4 4 3 1 2 – 4 4 4 3 2 3 – 5 5 3 4 3 4 –

Шаг 5. Полагаем k=4. Ведущие строка и столбец в матрице D₄ и S₄ выделены_. Никаких

действий на этом этапе не выполняем; вычисления закончены.

Конечные матрицы D₄ и S₄ содержат всю информацию, необходимую для определения кратчайших путей между любыми двумя узлами сети.

Для нахождения соответствующих маршрутов напомним, что сегмент маршрута (i,j) состоит из ребра (i,j) только в том случае, когда s_ij=j. В противном случае узлы i и j связаны, по крайней мере, через один промежуточный узел.

4. Описание алгоритма автоматизированных расчетов

1. Cоставляется начальная матрица расстояний D₀ и матрица последовательности узлов S₀. В каждой ячейке матрицы D пишется элемент d_ij, который определяет расстояние между узлом i и узлом j, матрица S заполняется автоматически . Элемент, в котором i==j помечается “—“, он в вычислении не участвует.

2. Шаг 1. Пока k<=n-1 выполняются="" следующие="">

Определяем k-ую стоку и k-ый столбец как ведущую строку и ведущий столбец.

а) осуществляется переборка всех элементов, если d_ik+d_kj<>_ij, то элемент d_ij заменяется на сумму d_ij+d_kj. При условии, что i≠k, j≠k и j≠i.

б) cоставляется матрица расстояний D₁ в соответствии с заменами на шаге 1 и матрица последовательности узлов, в котором элементы s_ij соответствующие элементам d_ij заменяется на k.

3. Полагается, что k=k+1 и повторяется шаг 2.

5. Расчет экономической эффективности расчетной модели

Решение задачи сетевого моделирования при помощи программы курсовой работы по теме “Нахождение кратчайшего маршрута между двумя городами по существующей сети дорог” рассчитывает минимальное расстояние между любыми двумя пунктами с большой точностью, что не происходит при решение таких задач вручную. Результат, получаемый при решении данной задачи отличается от ручного решения тем, что человеку гораздо удобнее использовать ресурсы компьютера, а не заниматься рутинной работой, решая однотипные задачи вручную, что может привести к ошибочным результатам.

Пример некорректных данных с точки зрения данной модели

Некорректными данными с точки зрения выбранной модели являются данные, которые не удовлетворяют условиям ограничения данной модели. Например: при вводе отрицательного расстояния между городами то система выдаст сообщение «Расстояние между городами не может быть отрицательным»

Математический анализ найденного решения

Математический анализ решения задач из темы “Нахождение кратчайшего маршрута между двумя городами по существующей сети дорог” показывает. Что если при вводе входных данных не было допущено ошибки, т. е. входные данные удовлетворяют установленным для системы ограничениям, то полученное решение действительно будет соответствовать поставленной задаче.

Экономический анализ полученного решения

Решение, полученное при исполнении продукта, с точки зрения экономики можно назвать оптимальным. Потому что при использовании данного метода значительно экономятся затраты рабочей силы и времени. Кроме того, не требуется никаких дополнительных программ для запуска.

6. Постановка задачи на программирование

Ограничения модели

Данный проект имеет следующие ограничения:

1. Количество вершин должно быть в диапазоне (i=3;i<>

2. расстояния между одним и тем же узлом быть не может;

3. Если между вершинами нет расстояния - вводится любое отрицательное число.

4. Расстояние не может быть равно 0.

Техническое задание

Программа предназначена для вычисления кратчайшего пути между всеми городами заданной сети дорог.

Задание на проектирование

Результатами проектирования являются:

1. Рассмотрение результатов анализа и проверка их полноты.

Достоверный ответ на поставленную задачу - это матрица действительных чисел, определяющая расстояние между любыми двумя узлами сети.

2. Определение критических участков проекта и оценка ограничений проекта.

Данный проект имеет следующие ограничения:

а) число узлов ограничено (от 3 до 50);

б) Если между вершинами нет расстояния - вводится любое отрицательное число;

в) расстояния между одним и тем же узлом быть не может;

г) Расстояние не может быть равно 0;

3. Определение архитектуры системы.

Windows 98, Turbo C++ IDE.

4. Принятие решений об использовании продуктов других разработчиков, о способах интеграции и механизмов обмена информацией с другими программами.

Продукт не имеет механизмов обмена информацией с другими программами.

Программа может использоваться и копироваться любым пользователем в системе Windows.

5. Проектирование процесса и кода: выбор средств разработки, определение интерфейсов программ, отображение функций системы на ее модуле и определение спецификации модулей.

Программа выполняет нахождении кратчайшего пути между двумя заданными точками методом Флойда.

При вводе расстояний между точками в матрицу расстояний и запуска программы на экран выводятся результаты решения – матрицы расстояний и матрицы последовательности узлов.

Задача разбита на подзадачи (программа на модули):

1-ая часть – ввод начальных расстояний.

2-ой частью является определение ведущей строки и ведущего столбца.

3-ей – возможности применения треугольного оператора и произведение нужной замены в двух матрицах (расстояний и последовательности узлов).

2-ая и 3-я часть выполняются такое число раз, сколько узлов сети.

4-ая часть выводит результат на экран.

При программировании модулей словесный алгоритм переводиться в соответствующие операторы ЯП. 2-ой и 3-ий модули выполняются в цикле.

5. Определение требований к процессу тестирования.

Тестирование (Testing) – это этап разработки программы, в процессе которого проверяется работоспособность программы, не содержащей явных ошибок

Тестирование производиться с помощью тестов, совокупностью входных данных, а также точного описания вех результатов, которые должна выработать программа на этих данных. Тесты могут быть взяты из различных источников или разработаны самим программистом.

Все результаты сравниваются с данными, которые были получены при решении задачи вручную.

5. Определение требований безопасности системы.

Данный продукт не связан с другими программами, кроме его запускаемого кода (файла *.exe)

Обоснование выбора языка программирования

Язык Си (разработал Деннисом Ритчи в 1972 г.) соединяет свойства языка высокого уровня с возможностями эффективного использования ресурсов компьютера, которые обычно достигаются только при программировании на языке Ассемблера.

Си не очень прост в изучении и требует тщательности в программировании, но позволяет создавать сложные и весьма эффективные программы. Потому я и выбрал в качестве языка программирования Си.

7. Руководство пользователю

Данная программа находит кратчайшее расстояние между городами по существующей сети дорог. При запуске программа спрашивает, какое количество вершин сети (от 3 до 50) .После чего последовательно вводится расстояние между вершинами (если между вершинами нет расстояния, то ставиться любое отрицательное число).

После ввода данных на экран выводиться матрица расстояний и матрица последовательности узлов.

Если в матрице последовательности узлов s_ij ≠ j, то города i и j связаны, по крайней

мере, через один промежуточный узел. Рассмотрим этот случай на примере (см. «Численное решение показательного примера»):

Поскольку s₁₅ = 4 и s₄₅ = 5, сначала кратчайший маршрут между узлами 1 и 5 будет иметь вид 1→4→5. Но, т. к. s₁₄ ≠ 4, узлы 1 и 4 в определяемом пути не связаны одним ребром (но в исходной сети они должны быть связаны непосредственно). Далее следует

определить промежуточный узел (узлы) между первым и четвертым узлами. Имеем s₁₄=2 и s₂₄=4, поэтому маршрут 1→4 заменяем на 1→2→4. Поскольку s₁₂=2 и s₂₄=4, других промежуточных узлов нет. Комбинируя определенные сегменты маршрута, окончательно получаем следующий кратчайший путь от узла 1 к узлу 5: 1→2→4→5. Длина этого пути равна 12 милям.

Заключение

Данная курсовая работа включает в себя два предмета: «Основы алгоритмизации и программирования» и «Математические методы».

В курсовой работе были рассмотрены следующие вопросы:

• Рассмотрен и дан алгоритм решения сетевых задач методом Флойда.

• Рассмотрен выбор языка программирования.

• Даны ограничения модели.

• Написана программа для решения данной модели.

• Даны инструкции пользователю.

Данная программа была протестирована на многих примерах и на разных ПК и при этом выдавала правильные результат.

Список использованной литературы

1. «Введение в исследование операций» Х.А.Таха;

2. «Математика для экономических специальностей» М.С.Красс;

3. «Основы математики и ее приложение в экономическом образовании» М.С. Красс, Б.П.Чупрынов;

4. «Экономико-математические требования» В.А.Абчук.

5. «C/C++ в задачах и примерах» Н.Культин.

6. «Turbo Pascal в задачах и примерах» Н.Культин.

7. «Информатика» Л.З.Шауцукова.

8. «Дискретная математика для программистов» Ф.А.Новиков.

9. «Основы алгоритмизации и программирования» О.Л.Гальцына, И.И.Попов.

10. «C++ Builder 6 справочное пособие» А.Я.Архангельский.

11. «Теория графов» О.И.Леонов.

12. ссылка на алгоритм Флойда http://algolist.manual.ru/maths/graphs/shortpath/floyd.php

13. ссылка “теория графа” http://www.csu.ac.ru/~yan/mvs2002/Mvslab_7.htm

14. ссылка на математические графы http://www.sura.ru/maxwell/scripts/math-graphs.php

15. ссылка “вопросы о графах” http://shade.msu.ru/~mab/summer2002/test/graph.html

16. ссылка алгоритмы на Basic http://www.rsdn.ru/res/book/prog/basic_algorithms.xml

17. ссылка http://olympiads.ru/sis/2003/plans/exam_c.doc

18. ссылка на все алгоритмы http://alglib.dore.ru/all.html

19. ссылка “теорию графов“ http://pco.iis.nsk.su/~dyatlov/alg/graph/index.php

20. ссылка на различные алгоритмы http://www.citforum.ru/book/algoritm/algoritm_c.shtml

21. ссылка “дискретная математика” http://ermak.cs.nstu.ru/site/students/rta/control.phtm

Приложение

Описание алгоритма в виде блок-схемы

Листинг программы

#include

#include

#define MAX_VERT 50

int main ( void )

{

clrscr ( );

int k = 0,

i = 0,

j = 0,

n = 0;

int D [ MAX_VERT ][ MAX_VERT ];

int S [ MAX_VERT ][ MAX_VERT ];

/*-------->8-------------start>>Vvod*dannix----------------->8--------------*/

while ( n < 3="" ||="" n=""> MAX_VERT ){

printf ( "\nvvedite kol_vo versin v seti [ 2 >> %d ] : ", MAX_VERT );

scanf ( "%i", &n );

if ( n > MAX_VERT || n < 3="">

printf ( "\nkol_vo versin dolzno bit v diapozone ot [ 2 >> %d ] ! \n", MAX_VERT );

};

printf ( "\n" );

for ( i=0;i

for ( j=0;j

if ( i = = j ) D[i][j] = 0;

else { printf ( "A [ %i , %i ] = ", i+1, j+1 );

scanf ( "%i", &D[i][j] );

};

};

};

for ( i=0;i

for ( j=0;j

if ( i==j ) S[i][j] = 0;

else S[i][j] = j+1;

};

};

/*-------->8---------------end>>Vvod*dannix----------------->8--------------*/

/*--------------------------------------------------------------------------------------*/

/*-------->8-------------start>>resenia*dannix-------------->8---------------*/

for( k=0;k

for( i=0;i

if ( k==i ) continue;

for ( j=0;j

if ( k = = j || i = = j ) continue;

if ( ( ( D[i][j] > ( D[i][k] + D[k][j] ) )

|| D[i][j] < 0="" )="" &&="" d[k][j]=""> 0

&& D[i][k] > 0 ){

D[i][j] = ( D[k][j] + D[i][k] );

S[i][j] = k+1;

};

};

};

};

/*-------->8---------------end>>resenia*dannix-------------->8--------------*/

/*--------------------------------------------------------------------------------------*/

/*-------->8-------------start>>vivoda*dannix--------------->8---------------*/

printf ( "\n\t" );

printf ( "Matrixa Rastoqnij :" );

printf ( "\n\n" );

for ( i=0;i

for ( j=0;j

printf ( "%5i", D[i][j] );

};

printf ( "\n" );

};

printf ( "\n\t" );

printf ( "Matrixa Posledovatelnosti yzlov :" );

printf ( "\n\n" );

for ( i=0;i

for ( j=0;j

printf ( "%5i", S[i][j] );

};

printf ( "\n" );

};

/*-------->8---------------end>>vivoda*dannix--------------->8--------------*/

printf ( "\n < nazmite="" lubyu="" klavisy="" !="">" );

getch ( );

return 0;

};

Министерство образования Российской Федерации

Департамент образования и науки Краснодарского края

Колледж «………………………..»

Курсовая работа

по предмету: «Математические методы»

на тему: «Нахождение кратчайшего маршрута между двумя городами по существующей сети дорог»

Выполнил:

Студент

Группы ……….. …………..

шифр: 2203021

Руководитель …………………...

Дата

г. Краснодар

2004