Метод виокреслення лінійно незалежних векторів

1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із R^m
, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V.

Візьмемо систему векторів а₁
, а₂
..., а_n
, що належать R^m
. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.

а=Х₁
а₁
+Х₂
а₂
+...Х_n
a_n
,X_s
є R(1) утворює лінійний підпростір V у R^m
.

Справді, якщо а= в=, Х_s
,Y_s
є R

а, в є V, то виконується рівність

La+B_b
=, тобто La+Bb є V.

Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а₁
, а₂
,...,а_n
, або підпростором, породженим векторами а₁
, а₂
,...,а_n
.

2.Означення: Упорядкована сукупність m дійсних чисел а₁
, а₂
,...а_m
називається m-вимірним вектором.

Числа а₁
, а₂
,...а_m
називаються кординатами вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка на навпаки називається транспортуванням вектора.

Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення: Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і назначається R^m
.

Векторні простори R1, R²
,R³
можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.

Означення: Вектори а₁
, а₂
,...,а_n
називаються лінійно незалежними, якщо рівність Х₁
а₁
+Х₂
а₂
+...Х_n
a_n
= О (1)

виконується лише при Х₁
= 0, Х₂
= 0,..., Х_n
=0.

Якщо рівність (1) досягається тоді, коли коефіцієнти Х₁
, Х₂
,...Х_n
не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а₁
, а₂
,...,а_n
.
у одновимірному векторному просторі R, тобто на прямій, будь-який ненульовийвектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.

3.Означення: Найбільше число r лінійно незалежних вектора у системі векторів а₁
, а₂
,...,а_n
називається її рангом і позначається

r= rank (а₁
, а₂
,...,а_n
).

Якщо ранг системи n векторів дорівнює R(r<n), то будь-які (r+1) векторів цієї системи лінійно залежні. Число L = n-r називається дефектом системи векторів.

Обчислюючи ранг системи векторів, можна транспортувати вектори, тобто замінювати вектори – стовпці векторами – рядками. У результаті транспортування ранг системи векторів не змінюється.

Щоб обчислити ранг системи векторів, виокреслюємо в ній лінійно незалежні вектори.

З огляду на сказане дістаємо такий метод виокреслення лінійно незалежних векторів.

1.У заданій системі векторів а₁
, а₂
,...,а_n
відшукуємо вектор, в якого перша координата відмінна від нуля. Якщо всі перші координати векторів а₁
, а₂
,...,а_n
дорівнюють нулю, то шукаємо вектор, в якого друга координата відмінна від нуля, і т.д. Нехай це буде вектор а₁
.

2.Множимо вектор а₁
на В_і
(і=2,...,n) і віднімаємо від вектора а_і
(і=2,...,n) так, щоб вибрана координата перетворилася на нуль.

3.Зі здобутих векторів в_і
= а_і
– В_і
а_і
(і= 2,..., n) знову виокремлюємо вектор, лінійно незалежний від інших векторів, способом, зазначеним у nю 1 і 2.

Кількість лінійно незалежних векторів дорівнює рангу системи векторів.