Розклад вектора за базисом

Означення . Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

(1)

Означення . Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі .

В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (1) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів .

Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді , тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів , не дорівнює нулю.

Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів = (-1,-2,-3); = (7,8,9); = (-4,-5,6) та системи векторів = (3,-2,4,1); = (-1,2,-1,2); = (1,2,2,5).

Розв’язування. Спочатку розглянемо систему векторів , та . Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

Визначник цієї матриці |А| = - 48 + 72 + 105 – 96 +84 – 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r(A)=3 і вектори , , лінійно незалежні.

Тепер розглянемо систему векторів , , . Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2.

Тому вектори , , лінійно залежні.

Означення. Базисом n вимірного простору Еn називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.

Довільний вектор n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса так:

(2)

Числа називають координатами вектора у базисі векторів .

Приклад. Довести, що вектори = (5,4,3); = (-3,-1,2); та = (-3,1,3) утворюють базис в Е3, та розкласти вектор = (12,9,10) за цим базисом.

Розв’язування. Кожен із заданих векторів , , має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця складена з координат цих векторів

має визначник |А|= -15-24-9-9+36-10= -310, тому вектори , , лінійно незалежні. Згідно з означенням базиса, ці вектори утворюють базис в Е3.

Вектор також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна представити у вигляді (2) або

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо

Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи

Отже, маємо розклад за базисом

= 3

Координатами вектора у базисі , , будуть (3,2,-1).

Зауваження. Два лінійно залежних вектори задовольняють рівність , тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто

Вправи з векторної алгебри

Взяти довільний вектор і побудувати вектори

Використовуючи два довільні вектора та , побудувати

+ , - , -, 2 - 3

Паралелограм АВСD побудований на векторах та . Виразити через та вектори , , та , де М – точка перетину діагоналей.

При якому розташуванні вектора відносно осі його проекція:

а) додатня; b) від’ємна; с) дорівнює нулю?

Знайти координати векторів

2+5 та 2 - , якщо = (2,-4,2), =(-3,2,-1)

Побудувати ромб АВСD і записати вектори, що утворені сторонами ромба та:

а) мають рівні модулі; b) колінеарні; с) рівні між собою

Задані точки М1 (1,2,3) та М2 (3,-4,6). Треба:

а) знайти координати векторів = = ;

b) знайти довжину відрізка М1М2 та косінуси кутів що утворює вектор з осями координат;

с) знайти орт вектора

Задана точка А(-2,3,-6). Обчислити:

а) координати радіус-вектора точки А;

b) модуль та косінуси кутів між та осями координат;

Чому дорівнює скалярний добуток, якщо:

а) та колінеарні і однаково напрямлені;

b) та протилежні;

с)  ; d) =

Вектори та утворюють кут Обчислити:

а) ; b) (3 - 2)(+2); c) |+|; d) |2-3|

Задані вектори =(1,-2,4), =(3,0,-1). Знайти модуль вектора =2-3 та його напрямні косінуси.

Задані точки А(-1,3,-7), В(2,-1,5), С(0,1,-5)

Знайти

Перевірити колінеарність векторів =(2,-1,3) та (-6,3,-9)

Чи утворюють базис у тривимірному просторі вектори

= (1,2,2); = (1,2,3); = (1,2,-2)

Знайти:

а) усі можливі базиси системи векторів

= (1,1,1); = (1,2,2); =(1,1,3); = (1,1,-2)

b) координати у базисі , ,

Завдання для індивідуальної роботи.

Задані чотири вектори , , , . Довести, що вектори , , утворюють базис та знайти координати вектора , в цьому базисі та ||.

а = (2,1,0); b = (4,3,-3); с = (-6,5,7); d = (34,5,-26)

а = (1,0,5); b = (3,2,7); с = (5,0,9); d = (-4,2,-12)

а = (4,5,2); b = (3,0,1); с = (-1,4,2); d = (5,7,8)

а = (3,-5-2); b = (4,5,1); с = (-3,0,-4); d = (-4,5,-16)

а = (-2,3,5); b = (1,-3,4,); с = (7-8,-1); d = (1,20,1)

а = (1,3,5); b = (0,2,0); с = (5,7,9); d = (0,4,16)

а = (2,4,-6); b = (1,3,5); с = (0,-3,7); d = (3,2,52)

а = (4,3,-1); b = (5,0,4); с = (2,1,2); d = (0,12,-6)

а = (3,4,-3); b = (-5,5,0); с = (2,1,-4); d = (8,-16,17)

а = (-2,1,7); b = (3,-3,8); с = (5,4,-1); d = (18,25,1)