МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина
Радиофизический факультет
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
«Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью»
Руководитель:
Колчигин Н.Н.
Студент группы РР-32
Бойко Ю.В.
Харьков 2004
Содержание
Введение 4 Основная часть 5
1. Вывод уравнений для плоских волн 5
2. Связь характеристик распространения с параметрами среды 9
3. Вычисление затухания в данной среде 14 Список использованной литературы 15
ЗАДАНИЕ
1.Изучить общие сведения и формулы.
2.Построить зависимость электрической компоненты поля от глубины
проникновения.
3.Вычислить затухание на глубине Н=0,5 м, (=10 м, в пресной воде ((=80,
(=10-3 См/м)
Введение
Распространение электромагнитных волн широко рассматривается в литературе,
но в ней большое внимание уделяется распространению волн в диспергирующих
средах и законам геометрической оптики. В данной работе рассматривается
связь характеристик распространения с параметрами среды и затухание
элекромагнитных волн в средах с конечной проводимостью
Основная часть
1. Вывод уравнений для плоских волн
Рассмотрим электромагнитный волновой процесс, векторы
[pic] и [pic]которого могут быть представлены в виде
[pic]=[pic]((,t), [pic]=[pic]((,t)
(1.1)
[pic]
Рис. 1.1. Направление распространения плоской волны
Здесь (рис. 1.1.) [pic] есть расстояние от начала
координатной системы до плоскости
[pic]
а [pic] является постоянным единичным вектором. Так как производные по
координатам будут равны [pic] и т. д., то
[pic]
[pic] (1.2)
[pic] (1.3)
[pic]
Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид
[pic]
[pic] (1.4)
[pic], [pic]
Последние два уравнения означают независимость проекций [pic] и [pic]
на направление распространения от координаты (, т. е. E( =const и H(=const
в данный момент времени. Исследуем их поведение во времени. Для этого
второе уравнение (1.4) умножим скалярно на [pic]:
[pic]
Так как
[pic] то
[pic] и
[pic][pic]
или [pic], т.е. dH( = 0, H( = const. Для исследования поведения E(
умножим скалярно первое из уравнений (1.4) на [pic]:
[pic]
Так как [pic], получаем
[pic]
Прибавим к этому равенству [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Следовательно, при конечной ( компонента E( экспоненциально убывает со
временем, т. е. статическое электрическое поле не может поддерживаться
внутри проводника.
Найдем уравнения для [pic] и [pic]отдельно. Для этого
продифференцируем по t первое из уравнений (1.4)
[pic][pic]
Найдем [pic] из второго из уравнений (1.4), продифференцировав
его по (:
[pic]
Получаем
[pic][pic] откуда
[pic]
[pic], так как [pic][pic]
Отсюда следует
[pic] (1.6)
Аналогично
[pic] (1.7)
Эти уравнения можно решить методом разделения переменных,
идем решение для комплексной амплитуды Е поля [pic], Положив
E=f1(()f2(()
Получаем
[pic]
[pic] (1.8)
Общее решение для f1 будет
[pic]
Частное решение для f2 возьмем в виде
[pic]
Таким образом, решением для [pic] будет выражение
[pic]
Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для [pic]
[pic]
Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим
[pic] откуда
[pic]
Так как ( в этом равенстве может принимать любые значения,
коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:
[pic]
[pic]
Поэтому
[pic]
[pic] (1.9)
Отсюда следует ([pic][pic])=0 (так как ([pic][[pic][pic]])=0), т. е.
векторы [pic] и [pic]ортогональны к направлению [pic] и друг к другу.
2. Связь характеристик распространения с параметрами среды
Установим связь между р и k. Из (1.8) получим
[pic]
[pic] (2.1)
Если задана периодичность в пространстве, т. е. k, то р можно
найти из уравнения (2.1)
[pic]
Тогда
[pic]
где
[pic]
Распространение возможно, если q действительно. Волновой процесс, в
котором поверхности равных амплитуд и поверхности равных фаз являются
плоскостями, называется плоской волной. Простейшим случаем плоской волны
является плоская однородная волна. В плоской однородной волне плоскости
равных амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Фазовая скорость такой
волны будет равна
[pic]
Если [pic], то q — мнимое, и распространения нет: существует
пространственная периодичность по ( и монотонное затухание. Начальная форма
волны не смещается вдоль оси (, волновое явление вырождается в диффузию.
Частный случай временной зависимости р = i(. Тогда
[pic]
[pic] (2.2)
Таким образом, при [pic] волновое число k комплексно. Обозначим
k=(+i(, где ( — фазовая константа, ( — коэффициент затухания. Тогда
[pic]
[pic]
[pic] (2.3)
Следовательно, при р=i( имеет место волновой процесс с затуханием,
если [pic].
Исследуем фазовую скорость волны в среде с конечными ( и (. Поскольку
волновое число комплексно: k=(+i(, имеем
[pic]
([pic]2 считаем равным нулю).
В общем случае [pic]1 также комплексно: [pic],
[pic] где (, (, [pic], ( — действительные числа. Отсюда получаем выражение
фазовой скорости
[pic]
Действительно, так как [pic] представляет скорость, с которой
движется плоскость постоянной фазы
[pic]=const то
[pic] откуда
[pic]
Для определения степени затухания и фазовой скорости нужно
вычислить ( и (. Из уравнений (2.3) получаем
[pic]
[pic]
Введем обозначение
[pic]
тогда
[pic] или
[pic]
Здесь нужно оставить знак +, так как ( — действительное число
[pic] (2.4)
Аналогично получим для (
[pic] (2.5)
Отсюда находим фазовую скорость
[pic] (2.6)
Зависимость фазовой скорости от частоты сложная: если (, (, ( не
зависят от частоты, то с увеличением ( фазовая скорость увеличивается, т.
е. в сложной волне гармоники убегают вперед.
Рассмотрим зависимость поглощения (, определяемого равенством (2.5),
от электрических характеристик среды. Член [pic] представляет отношение
[pic], так как [pic]. Следовательно,
[pic]
Но [pic], поэтому при tg( 1 формулы (2.4), (2.5) можно упростить и привести к
виду
[pic]
Фазовая скорость
[pic]
3. Вычисление затухания в данной среде
Электромагнитная волна (=10м проникает в воду пресного водоема ((=80, (=10-
3См/м) на глубину 0,5м.
[pic]
[pic]
[pic], tg(