Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості

Пошукова робота на тему:

Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості.

П
лан

• Похідна за напрямком


• Градієнт функції


• Основні властивості

1
. Похідна функції за напрямком і градієнт

Нехай
- функція, означена в області
. Розглянемо деяку точку
і деякий напрямок
, визначений напрямними косинусами
і
(тобто
і
- косинуси кутів, утворених вектором
з додатними напрямками осей координат
і
). При переміщенні в заданому напрямку
(рис.7.10) точки
в точку
функція
одержує приріст

, (7.46)

який називається приростом функції
в заданому напрямку
.

Якщо
є величина переміщення точки
, то із прямокутного трикутника
одержуємо
,
, отже,

. (7.47)

Означення
. Похідною
функції
в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто

. (7.48)

З цієї точки зору похідні
і
можна розглядати як похідні функції
в додатних напрямках осей координат
і
. Похідна
визначає швидкість зміни функції в напрямку
.

Виведемо формулу для похідної
, вважаючи, що функція
диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому

,

де
і
при
і
. Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо

.

Отже,

.

Переходячи до границі в останній формулі при
,тобто при
і
, одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:

. (7.49)

Приклад
. Обчислити в точці
похідну функції
в напрямку, що складає кут
з віссю
.

Р о з в ’ я з о к.

.

Зауваження
. Для функції
її похідна в напрямку
дорівнює

(7.50)

Рис.7.10 Рис.7.11

При вивчені поведінки функції
в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання
в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції
.

Означення
. Градієнтом
функції
в точці в даній точці
називається вектор, розміщений в площині аргументів
і
, який має своїм початком цю точку
і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції
в цій точці
:

(7.51)

Тут
- орти координатних осей
і
.

Теорема
. Градієнт диференційованої функції
в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.

Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної
як скалярний добуток двох векторів:

.

Перший із співмножників є
.

Звідси
буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів
і
збігаються; це найбільше значення
дорівнює модулю
, тобто числу

.

Теорема доведена.

Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання
.

Приклад
. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції
в точці
і обчислити значення похідної в цьому напрямку.

Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці
:

.

Отже, шуканий напрямок складає кут
з віссю
.

Похідна
.

Нехай точка
лежить на лінії рівня
в точці з рівнянням
. Кутовий коефіцієнт дотичної до
в точці
(рис. 7.11) дорівнює
(7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта
в точці
дорівнює
.

Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції
в точці
напрямлений за нормаллю до лінії рівня
, яка проходить через точку
.

Зауваження
. Градієнт функції
в точці запишеться так:

, (7.52)

де
- орти координатних осей.