Интересные
примеры в метрических пространствах
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная
ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить
данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб
разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут
образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом
множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера
S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного
множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1,
0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0,
1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние
между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому
последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при
каком e0 задано.
Выберем n так, что 1/2n-1