Закономерность
изменения эффективности накопления сигнала двоичного кода
Валентин Ручкин
«Существует
один, издавна известный и применяемый в самых различных формах метод борьбы с
помехами. Метод этот состоит в многократном повторении сигнала. Несколько
принятых образцов или экземпляров сигнала оказываются по разному искаженными
помехой, так как сигнал и помеха – процессы независимые. Поэтому, сличая на
приемном конце несколько экземпляров одного и того же сигнала, можно
восстановить истинную форму переданного сигнала с тем большей уверенностью, чем
большим числом экземпляров сигнала мы располагаем. Так как дело сводится в
конечном счете к некоторому суммированию отдельных образцов сигнала, то метод
этот может быть назван методом накопления» [1].
Однако,
остается открытым вопрос о том, что именно и в каком количестве нужно взять от
каждого экземпляра принятого сигнала и накапливать, для того чтобы свести к
минимуму вредное воздействие помех на принимаемое сообщение.
Для ответа на
этот вопрос рассмотрим процесс накопления сигнала для наиболее простого случая
– случая приема элементов двоичного кода на фоне флюктуационного шума, когда,
по результатам n независимых измерений текущего значения модулируемого
параметра переносчика (амплитуда, частота, фаза), нужно определить, какой
именно символ был передан: «0» или «1».
Любое сообщение
(звук, текст, рисунок), передаваемое с помощью технических средств связи, может
быть представлено (закодировано) двоичным кодом [1].
В качестве
одного из примеров реализации метода накопления в [2] описан процесс накопления
самих значений модулируемого параметра переносчика (МПП).
В литературе по
теории оптимального обнаружения сигналов [2...6] для различения символов «0» и
«1» рекомендуется накапливать не сами значения xi МПП, а значения
другой величины yi, которая функционально связана с наблюдаемыми
значениями МПП и условными плотностями их распределений при приеме символа «0»
и символа «1».
y = ln [W1(x)/W0(x)], (1)
где: W1(x)/W0(x)
– отношение правдоподобия; W1(x) – условная плотность распределения
значений МПП при приеме символа «1»; W0(x) – условная плотность
распределения значений МПП при приеме символа «0».
Такая точка зрения
является общепринятой и нашла свое отражение в учебниках, справочниках,
монографиях и энциклопедиях.
В работе [7]
показано, что при малых различиях между условными распределениями W0(x)
и W1(x) такой подход к оптимальному различению символов «0» и «0»
оправдан, но он перестает быть корректным при существенных различиях между
распределениями W0(x) и W1(x) и существенных различиях
между значениями допустимых вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода.
В реальных
технических системах связи в качестве переменной y используется подходящая для
этого случая физическая величина, например, напряжение. Тогда ее можно
рассматривать как некоторый переносчик сигнала, модулированным параметром
которого является амплитуда.
Для
оптимального различения символов «0» и «0» при существенных различиях между
распределениями W0(x) и W1(x) необходимо использовать
установленную в работах [7, 8] закономерность изменения эффективности
накопления каждого квантованного уровня сигнала двоичного кода в зависимости от
вида априорных условных распределений наблюдаемых значений МПП, заключающуюся в
том, что при прочих равных условиях эффективность накопления каждого
квантованного уровня сигнала достигает своего максимально возможного значения,
если условные распределения накапливаемых значений МПП соответствуют минимуму
выражения (2) [8]:
{(s0y zF + s1y zD)/(M1
– M0)} → min, (2)
где: M1
> M0; M0 – среднее значение (математическое ожидание)
МПП при приеме символа «0» ; M1 – среднее значение МПП при приеме
символа «0» ; zF – коэффициент, значение которого зависит от
допустимых вероятностей ошибок 1-го рода и вида функции распределения
накапливаемых значений МПП при приеме символа «0» [9]; zD –
коэффициент, значение которого зависит от допустимых вероятностей ошибок 2-го
рода и вида функции распределения накапливаемых значений МПП при приеме символа
«0» [9].
Зависимость
между значениями zF и zD, с одной стороны, и значениями
вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода, с другой стороны, можно описать с помощью
таких соотношений:
a = 1 – Ф0(zF), b = Ф1(zD).
где: a –
допустимая вероятность ошибок 1-го рода; b – допустимая вероятность ошибок 2-го
рода; Ф0(zF) – нормированая функция распределения
накапливаемых значений МПП на выходе накопителя при приеме символа «0» ; Ф1(zD)
– нормированая функция распределения накапливаемых значений МПП на выходе
накопителя при приеме символа «0».
Обычно функции
Ф0 и Ф1 с достаточной для практики точностью описываются
нормальным распределением.
zF =
V0/σ0, zD =V1/σ1.
где: V0
– превышение порогового уровня над математическим ожиданием накапливаемых
значений МПП на выходе накопителя при приеме символа «0»;
V1 –
превышение над пороговым уровнем математического ожидания накапливаемых
значений МПП на выходе накопителя при приеме символа «0»;
σ0
– среднеквадратичное отклонение накапливаемых значений МПП при приеме символа
«0»;
σ1
– среднеквадратичное отклонение накапливаемых значений МПП при приеме символа
«0».
Рассмотрим
метод покаскадного накопления сигнала двоичного кода, учитывающий описанную
выше закономерность.
Исходя из
представлений о накоплении сигнала с точки зрения теории оптимального
обнаружения сигнала, основанной на критерии отношения правдоподобия или ему
эквивалентных (критерий Байеса, минимаксный критерий и др. [3]), можно прийти к
выводу о том, что принципиально безразлично, происходит ли накопление всех
«экземпляров» сигнала в одном накопителе или накопление сигнала производится
последовательно (покаскадно) в нескольких накопителях. Это положение можно
проиллюстрировать следующим математическим соотношением:
Если
ln[l(X)] = ln[l(x1)] + ln[l(x2)]
+... + ln[l(xn)], (3)
то:
ln[l(X)] = {ln[l(x1)] + ln[l(x2)]}
+... +{ln[l(xn–1)] + ln[l(xn)]}, (4)
где: l(X) –
отношение правдоподобия для всей выборки; l(xi) – отношение
правдоподобия для каждого принятого «экземпляра» сигнала xi.
Однако, на
основе представлений о закономерности накопления двоичного сигнала, изложенной
выше, автором предлагается покаскадный метод накопления сигнала двоичного кода,
который является более эффективным, чем метод накопления сигнала, основанный на
критерии отношения правдоподобия.
Его основные
недостатки:
а) выигрыш в
эффективности этот метод обеспечивает лишь при отношениях мощности сигнала к
мощности шума порядка единица и более;
б) его
техническая реализация более сложна.
Его
преимущество: при том же объеме выборки метод покаскадного накопления позволяет
достичь меньших вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода.
Суть метода
покаскадного накопления сигнала двоичного кода заключается в том, что при
отношениях сигнал/шум на выходе накопителя порядка 1 и больше, условные
распределения накопленных значений МПП уже не соответствуют условию (2). И
поэтому накопление сигнала в первом накопителе осуществляется по частям, такими
порциями, чтобы отношение сигнал/шум на выходе первого накопителя было близко к
наперед заданному значению (0,8...1,5). Между первым и вторым накопителем
осуществляется такая нелинейная обработка выходного сигнала первого накопителя,
чтобы сигнал, поступающий на вход второго накопителя, удовлетворял условию (2).
Аналогичную операцию можно проделать и между вторым и третьим накопителем и
т.д., если будет обеспечен нужный объем выборки.
Покаскадное
накопление может осуществляться не только в линейных структурах, где принятые
независимо один от другого экземпляры сигнала поступают на накопитель
(сумматор) по одному и тому же входу последовательно один за другим, но и в
древовидных иерархических структурах, где независимо полученные экземпляры
сигнала поступают на накопитель по разным (отдельным) входам.
Список
литературы
Харкевич А.А.
Очерки общей теории связи. – М.: ГИЗ техн.-теор. лит. 1955. 270с.
Харкевич А.А.
Борьба с помехами. – М.: ГИЗ физ.-мат. лит. 1963. 276с.
Левин Б.Р.
Теоретические основы статистической радиотехники. – 3-е изд. перераб.и доп. –
М.: Радио и связь, 1989. – 656с.
ВанТрис Г.
Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Теория обнаружения, оценок и
модуляции. Нью-Йорк, 1968. Пер. с англ. Под ред. проф. В.И.Тихонова. – М.:
Советское радио, 1974. 744с.
Ширман Я.Д.,
ГоликовВ.Н. Основы теории обнаружения радиолокационных сигналов и измерения их
параметров. – М.: Сов. радио, 1963. – 279с.
Иган Дж. Теория обнаружения сигналов и анализ
рабочих характеристик / Пер. с англ. – М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. –
216с.
Ручкин В.А.
Скорректированное отношение правдоподобия и эффективность его Использования при
проверке простой гипотезы против простой альтернативы / Киев. воен. ин-т
управл. и связи. Киев. 1997. Деп. в ГНТБ Украины 12.06.97 №359 – УК97.
Ручкин В.А.
Методика автоматизированного нахождения оптимального решения задачи проверки
простой гипотезы против простой альтернативы / Киев. воен. ин-т управл. и
связи. Киев. 1997. Деп. в ГНТБ Украины 06.02.97 №154 – УК97.
Ручкин В.А.
Номограмма для определения количественных соотношений между вероятностью ложной
тревоги и вероятностью правильного обнаружения сигнала // Труды КВИРТУ – К.:
Киевское высш. инж. р-т. училище ПВО, 1968. №44, – с.57...61.